第一篇：證明方法

2.2直接證明與間接證明BCA案

主備人：史玉亮 審核人:吳秉政使用時間：2012年2-1

1學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解直接證明的兩種基本方法，即綜合法和分析法。了解間接證明的一種基本方法——反證法。

2.了解綜合法和分析法的思考過程與特點(diǎn)，并會用兩種方法證明。了解反證法的解題步驟，思維過程及特點(diǎn)。

重點(diǎn)：

1.對綜合法和分析法的考查是本課的重點(diǎn)。應(yīng)用反證法解決問題是本課考查的熱點(diǎn)。

2.命題時多以考查綜合法為主，選擇題、填空題、解答題均有可能出現(xiàn)。反證法僅作為客觀題的判斷方法不會單獨(dú)命題。

B案

一、直接證明

1.定義：直接證明是從___________或___________出發(fā)的，根據(jù)已知的_________、________________，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。

2.直接證明的方法：______________與________________。

二、綜合法

1.定義：綜合法是從___________推導(dǎo)到______________的思維方法。具體地說，綜合法 從__________除法，經(jīng)過逐步的___________，最后達(dá)到_______________。

? ?

? ? ?

三、分析法

1.定義：分析法是從__________追溯到__________的思維方法，具體地說，分析法是從________出發(fā)，一步一步尋

求結(jié)論成立的____________，最后達(dá)到

_________或__________。

?

? ? ? ?

四、反證法的定義

由證明p?q轉(zhuǎn)向證明?p?r?????t,t與_________矛盾，或與某個________矛盾，從而判定_________，推出___________的方法，叫做反證法。

預(yù)習(xí)檢測：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

A.|x?y|?|x?y|≥2B.x?yC.xy?1?x?yD.|x|?|y|

ln2ln3ln5,b?,c?，則（）23

5A.a?b?cB.c?b?aC.c?a?bD.b?a?c 2.若a?

3.命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是（）

A.有兩個內(nèi)角是直角

B.有三個內(nèi)角是直角

C.至少有兩個內(nèi)角是直角

D.沒有一個內(nèi)角是直角

4.a?b?c?d的必要不充分條件是（）

A.a?cB.b?dC.a?c且b?dD.a?c或b?d

5.“自然數(shù)a,b,c中恰有一個是偶數(shù)”的反證法設(shè)為（）

A.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)B.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)

C.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個是偶數(shù)D.自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)

6.已知a是整數(shù)，a2為偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)。

C案

一、綜合法

例1求證：12

3log19?log19?19?

253log2

2.已知n是大于1的自然數(shù)，求證：log(n?1)?log(n?2)

n(n?1)

二、分析法

例2．求證??

2變式突破： 已知a,b,c表示三角形的三邊，m?0,求證：

三、反證法：

例3．（1）證明：2不是有理數(shù)。

變式突破：若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2y?

求證：a、b、c中至少有一個大于0.2abc?? a?mb?mc?m?2,b?y2?2z??3,c?z2?2x??6.當(dāng)堂檢測：

1.“x?

0”是“?0”成立的（）

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.非充分非必要條件 D.充要條件

2.設(shè)a?log54，b?(log53)2，c?log45，則（）

A.a?c?bB.b?c?aC.a?b?cD.b?a?c

3.設(shè)x,y,z?R?，a?x?111,b?y?,c?z?，則a,b,c三數(shù)（）yzx

A.至少有一個不大于2B.都小于2C.至少有一個不小于2D.都大于

22224.若下列方程：x?4ax?4a?3?0,x?(a?1)x?a?0，x?2ax?2a?0至少有2

一個方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

A案

1.A、B為△ABC的內(nèi)角，∠A＞∠B是sinA?sinB的（）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

2.若向量a?(x,3)(x?R)，則“x?4”是“|a|?5”的（）

A.充分不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)的和，若a2?a3?2a1且a4與2a7的等差中項(xiàng)為5，則S5=（）A.35B.33C.31D.29

44.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy(x,y?R)，f(1)?2，則f(?2)等于（）A.2B.3C.6D.9

5.分析法證明問題是從所證命題的結(jié)論出發(fā)，尋求使這個結(jié)論成立的（）

A.充分條件B.必要條件C.重要條件D.既非充分條件又非必要條件

6.下面四個不等式：①a?b?c≥ab?bc?ca；②a(1?a)≤2221ba；③?≥2； 4ab

④(a2?b2)?(c2?d2)≥(ac?bd)2，其中恒成立有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

7.若x,y?0且x?y?2，則1?y1?x1?y1?x和的值滿足（）A.和的中至少xxyy

有一個小于2B.1?y1?x1?y1?x和都小于2C.和都大于2D.不確定 xxyy

8.已知?、?為實(shí)數(shù)，給出下列三個論斷：

①???0；②|???|?

5；③|?|??|?個論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的命題是______________。

9.設(shè)a?0,b?0,c?0，若a?b?c?1，則

111??≥______________。abc

第二篇：證明不等式方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。1比較法

比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時常用作商比較）

例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

證明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba

分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小

證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法

利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：

（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）

（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）

（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）

例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤

1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y2

2證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時，等號成立

練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥

33綜合法

綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。

例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

證明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+cn

3求證：2f（n）≤f（2n）

4分析法

從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價于 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。

要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab

證明：即證 ｜a-c｜＜c2-ab

即證(a-c)2＜c2-ab

即證 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知

∴ 不等式成立

練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放縮法

放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮小）分式的分子（或分母）等。

例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)

求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。

證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1

6換元法

換元法是許多實(shí)際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。

(1)三角換元：

是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜

1證明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值換元：

對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設(shè)一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥431

4證明：設(shè)x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反證法

有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。

例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤

2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。

證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求證：a＞0，b＞0，c＞0

8數(shù)學(xué)歸納法

與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通常考慮用數(shù)學(xué)歸納法來證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。

例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法

證明：（1）當(dāng)n=2時，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么當(dāng)n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

對于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時，原不等式成立

由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立

練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49構(gòu)造法

根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。

1構(gòu)造函數(shù)法

例11：證明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0）

證明：設(shè)f（x）=x1-2x-x2（x≠0）

∵f(-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的圖像表示y軸對稱

∵當(dāng)x＞0時，1-2x＜0，故f（x）＜0

∴當(dāng)x＜0時，據(jù)圖像的對稱性知f（x）＜0

∴當(dāng)x≠0時，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab

2構(gòu)造圖形法

例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添項(xiàng)法

某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。

1倍數(shù)添項(xiàng)

若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過對不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立）證明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。

2平方添項(xiàng)

運(yùn)用此法必須注意原不等號的方向

例14 ：對于一切大于1的自然數(shù)n，求證：

(1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添項(xiàng)

例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin π

3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反復(fù)運(yùn)用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等號成立的條件添項(xiàng)

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立

證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等號不成立∴③中等號不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

錯解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

錯因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 設(shè)x+y>0，n為偶數(shù)，求證yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

錯證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同號，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

錯因：在x+y>0的條件下，n為偶數(shù)時，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同號，應(yīng)分x、y同號和異號兩種情況討論。

正解：應(yīng)用比較法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 當(dāng)x>0,y>0時，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 當(dāng)x,y有一個是負(fù)值時，不妨設(shè)x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|

又n為偶數(shù)時,所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

綜合①②知原不等式成立

第三篇：韓信點(diǎn)兵方法證明

關(guān)于韓信點(diǎn)兵問題

公式的證明

設(shè)：第一次每排A人，最后剩余a人，第二次每排B人，最后剩余b人，第三次每排C人，最后剩余c人。按照求解方法的步驟是：

第一步

1找到滿足下列條件的k1、k2： ○

（B×C）·k1=A·k2+

12將上面的等式兩邊擴(kuò)大a(第一次最后剩余人數(shù))倍 ○

1式或：（B×C）·a ·k1=A·a·k2+a，……○

[(B×C）·a ·k1]÷A=a·k2……a第二步同法：

1找到滿足下列條件的k3、k4： ○

（A×C）·k3=B·k4+1

2將上面的等式兩邊擴(kuò)大b(第二次最后剩余人數(shù))倍 ○

2式或（A×C）·b·k3=B·b·k4+b……○

[(A×C)·b·k3]÷B=b·k4……b第三步同法：

3式或(A×B）·c ·k5 =C·c·k6+c……○

[（A×B）·c ·k5]÷C=c·k6……c

1○2○3式相加，并驗(yàn)證 第四步把○

1式(B×C）·a·k1= A·a·k2+a……○

2式(A×C）·b·k3 = B·b·k4+b……○

3式(A×B）·c·k5= C·c·k6+c……○

1○2○3式左邊相加 驗(yàn)證：○

1式說明左邊除以A，余a ○

2式說明左邊除以A，無余數(shù)； ○

3式說明左邊除以A，也無余數(shù)； ○

1○2○3式相加，和除以A,余數(shù)必然是a;把○

同理:

1○2○3式相加，和除以B,余數(shù)必然是b;把○

1○2○3式相加，和除以C,余數(shù)必然是c;把○

最后總結(jié)一下：

該數(shù)=(B×C）·a·ka+(A×C）·b·kb+(A×B）·c·kc其中：

ka 滿足:(B×C）·ka= An+1取最小 kb 滿足:(A×C）·kb = Bn+1取最小 kc 滿足:(A×B）·kc= Cn+1取最小

第四篇：立體幾何證明方法

立體幾何證明方法

一、線線平行的證明方法：

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線

3、如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。（線面平行的性質(zhì)定理）

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行的性質(zhì)定理）

5、如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。（線面垂直的性質(zhì)定理）

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點(diǎn)。

2、如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（線面平行的判定定理）

3、兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個平面。

三、面面平行的證明方法：

1、定義法：兩平面沒有公共點(diǎn)。

2、如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的兩個平面平行

4、經(jīng)過平面外一點(diǎn)，有且只有一個平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個平面平行。

四、線線垂直的證明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點(diǎn)在線上的射影。6利用向量來證明。

7、如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線就和這個平面內(nèi)任意的直線都垂直。

8、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線。

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。

2、點(diǎn)在面內(nèi)的射影。

3、如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。（線面垂直的判定定理）

4、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。（面面垂直的性質(zhì)定理）

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則必垂直于另一個平面。

7、兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面交線垂直于第三個平面。

8、過一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點(diǎn)，有且只有一個平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個平面的二面角是直二面角。

2、如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直。

4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直。

第五篇：不等式證明若干方法

安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 11 級本科生

論文（設(shè)計(jì)）選題實(shí)習(xí)報告

11級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《科研訓(xùn)練2》評分表

注：綜合評分?60的為“及格”； <60分的為“不及格”。