第一篇：證明切線的方法

證明切線的方法

證明一條直線是圓的切線，可分兩種情況進行分析。

（1）圓和直線的唯一公共點已知，方法是：連半

徑，證垂直（比較常用）。

（2）圓和直線的公共點位置未知，方法是：作垂

直，證半徑。

例如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點O

在線段AB上，以O(shè)為圓心、OB為半徑作圓交BC于點D，過點D作DE⊥AC于E。DE是圓O的切線嗎？

分析：這屬于第一種情況，可以考慮連半徑，再證垂直。

DE是切線。

證明：連接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圓O的半徑。

∴DE是圓O的切線。

AB

第二篇：2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)圓切線證明方法

中考數(shù)學(xué)23題圓的切線證明及不規(guī)則陰影面積問題的解法探究

有關(guān)切線證明問題，通常給出直線與圓的交點時，要連半徑通過證明半徑與直線垂直，解決問題，證垂直的方法：（1）證明三角形全等，得出對應(yīng)角相等，進而證得垂直；（2）通過證平行得出角相等，推出90度角得垂直；（3）通過角之間的關(guān)系，推出兩角互余，證垂直。若直線與圓沒有交點，可過圓心作直線的垂線，證明垂線段長等于半徑即可，這個類型的證明多用全等三角形來解決。

不規(guī)則圖形面積的求法，通常是轉(zhuǎn)化為三角形的面積與扇形面積和差來解決。在具體證明解題時，要根據(jù)題中的條件確定解題思路。在解題時注意三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)的運用；圓與平行四邊形、菱形、正方形的綜合題要學(xué)會從整體上著眼，從局部入手，充分運用特殊四邊形的性質(zhì)解題。

在解決這類問題時，經(jīng)常要運用解直角三角形的知識來建立方程，求相關(guān)的量，總而言之，這類題綜合性較強，解題時要認真分析，書寫要嚴謹。

典型題解析

1.(2019葫蘆島)如圖，點M是矩形ABCD的邊AD延長線上一點，以AM為直徑的⊙O交矩形對角線AC于點F，在線段CD上取一點E，連接EF，使EC=EF.(1)

求證：EF是⊙O的切線；

(2)

若cos∠CAD=，AF=6，MD=2，求FC的長.解析

：（1）連接OF，∵四邊形ABCD是矩形可得∠CDA=900，∴∠DCA+∠DAC=900

∵EC=EF,OF=OA

∴∠EFC=∠DCA,∠OFA=∠DAC

∴∠EFC+∠OFA=900

∴∠EFO=1800-(∠EFC+∠OFA)=900

∴OF⊥EF

∴EF是⊙O的切線

(3)

過點O作OH⊥AF，垂足為H。

∵AF=6

∴AH=3

∵cos∠CAD=，cos∠CAD=

∴AO=5

∵AM=2AO=10,MD=2

∴AD=8

∵cos∠CAD=,cos∠CAD=

∴AC=

∴CF=AC-AF=-6=

2.（2019.鐵嶺）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，以點A為圓心、AB長為半徑的⊙A恰好經(jīng)過BC的中點E，連接DE,AE,BD,AE與BD交于點F.（1）

求證：DE與⊙A相切

（2）

若AB=6，求BF的長。

解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴BC=AD=2AB.∵點E是BC的中點

∴BE=AD

∵AE=AB

∴AE=AB=BE

∴∠CBA=∠AEB=600

∵DC∥AB

∴∠C+∠CBE=1800

∴∠C=1200

∵CD=AB,AB=BE=CE

∴CD=CE

∴∠CDE=∠CED=300

∴∠DEA=1800-(∠CED+∠AEB)=900

∴AE⊥DE

∴DE與⊙A相切

（3）

過點B作BH⊥AE，垂足為H.則AH=HE,∵AB=6，∴AD=2AB=12,BE=6,AH=EH=3

∴BH=

∵BE∥AD

∴△FBE∽△FDA

∴

∴EF=AE=2

∴FH=EH-EF=1

∴BF=

3.(2018.撫順)如圖，AB為⊙O直徑，AC為⊙O的弦，過⊙O外的點D作DE⊥OA于點E，交AC于點F，連接DC并延長交AB的延長線于點P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于點H.（1）

判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）

若HB=2，cos∠D=，請求出AC的長.解析：連接OC.∵OC=OA

∴∠OAC=∠OCA

∴∠COP=∠OAC+∠OCA=2∠OAC

∵∠D=2∠A，∴∠D=∠COP

∵DE⊥OA

∴∠DEP=900

∴∠D+∠P=900

∴∠COP+∠P=900

∴OC⊥DC

∴DC與⊙O相切

（3）

∵cos∠D=，cos∠D=

又OB=OC,BH=2

∴

解得：OC=5

∴OH=3,OC=0A=5

∴CH=,AH=8

∴AC=

4.（2020.丹東）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，連接BD，∠CBD的平分線交⊙O于點E，交AC于點F，且AF=AB.（1）

判斷BC所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）

若tan∠FBC=，DF=2，求⊙O的半徑.解析：（1）∵AB為直徑

∴∠ADB=900

∴∠DFB+∠DBF=∠ADB=900

∵BF是∠CBD的平分線,AF=AB.∴∠DBF=∠CBF,∠ABF=∠AFB

∴∠CBF+∠ABF=900

∴BC⊥AB

∴BC所在直線與⊙O相切

(2)

∵tan∠FBC=，∠DBF=∠CBF,DF=2

∴tan∠DBF=,∴BD=5

∵AF=AB

∴AD=AF-BD=AB-2

∵BD2+AD2=AB2

∴25+(AB-2)2=AB2

解得

：AB=

5.（2017.鐵嶺）如圖，AB是半圓O的直徑，點C是半圓上一點，連接OC，BC，以點C為頂點，CB為邊作∠BCF=∠BOC,延長AB交CF于點D.(1)

求證：直線CF是半圓O的切線；

(2)

若BD=5，CD=,求弧BC的長.解析

：（1）∵OC=OB

∴∠OCB=∠OBC

∴∠OBC+∠OCB+∠BOC=1800

∴∠OCB+∠BOC=900

∵∠BCF=∠BOC

∴∠OCB+∠BCF

=900

∴OC⊥CF

∴直線CF是半圓O的切線；

(2)設(shè)半徑為r

則有：r2+CD2=(r+BD)2

即

r2+75=(r+5)2

解得，r=5

∵OB=BD,∠OCD=900

∴BC=OB=OC=5

∴∠BOC=600

∴弧BC=

6.（2020.錦州）平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點E，與AD交于點F，G是AD延長線上一點，連接BG，交AC于點H，且∠DBG=∠BAD.（1）

求證：BG是⊙O的切線；

（2）

若CH=3,tan∠DBG=，求⊙O的直徑.解析:(1)∵AB是直徑

∴∠BEA=900

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴平行四邊形ABCD是菱形

∴AB=AD

∴∠BAE=∠BAD.∵∠DBG=∠BAD.∴∠DBG=∠BAE

∵∠BAE+∠ABE=900,∴∠DBG

+∠ABE=900,∴BG⊥AB

(2)設(shè)HE=x

∵tan∠DBG=

tan∠BAE=，∴BE=2HE=2x,AE=4x

∵CE=AE,CH=3

∴3+x=4x,解得：x=1，即

AE=4,BE=2

∴AB=

7.（2019.本溪）如圖，點P為正方形ABCD的對角線AC上的一點，連接BP并延長交CD于點E，交AD的延長線于點F，⊙O是△DEF的外接圓，連接DP.（1）

求證：DP是⊙O的切線；

（2）

若tan∠PDC=，正方形ABCD的邊長為4，求⊙O的半徑和線段OP的長.7.解析：（1）連接OD.∵四邊形ABCD是正方形

∴CD=CB,∠DCP=∠BCP=450

∵CP=CP

∴△DCP≌△BCP

∴∠CDP=∠CBP

∵∠DCB=900

∴∠CEB+∠CBE=900

∵OD=OE,∠OED=∠CEB

∴∠ODE=∠OED=CEB

∴∠ODE+∠CDP=900

∴OD⊥DP

∴DP是⊙O的切線

(2)∵tan∠PDC=tan∠CBE=,BC=4

∴DE=CE=2

∵BC∥AF

∴∠EFA=∠CBE

∴tan∠DFE=

∴DF=4

∴FE=

∴OD=

過點P作PH⊥DC垂足為H.∵tan∠PDC==

∴DH=2PH

∵∠PCH=∠CPH=4500

∴PH=CH

∵DH+CH=4

∴DH=,PH=CH=

∴DP=

∴OP=

8.（2018.撫順）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=900，以AB為直徑作⊙O，點D為⊙O上一點，且CD=CB，連接DO并延長交CB的延長線于點E.（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由：

（2）若BE=4,DE=8,求AC的長.解析：理由如下：

連接OC.∵CB=CD,OB=OD,OC=OC

∴△OBC≌△ODC

∴∠ODB=∠OBC=900

∴OD⊥DC

∴直線CD與⊙O相切

（2）設(shè)半徑

為r，則OE=DE-OD=8-r,OB=r

∵OB2+BE2=OE2

∴r2+16=(8-r)2

解得：r=3

即OB=3,AB=6,OE=5

∵∠OEB=∠CED,∠EBO=∠EDC=900

∴△OEB∽△CED

∴

∴EC=

∴BC=CE-BE=10-4=6

∴AC=

9.(2020。遼陽)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對角線，∠CAB=900,以點A為圓心，以AB的長為半徑作⊙A，交BC邊于點E，交AC于點F，連接DE.（1）求證：DE與⊙A相切；

（2）若∠ABC=600，AB=4，求陰影部分的面積.解析

：連接AE.∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴BA=DC,∠B=∠ADC

∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,DC=AE

∵BC∥AD

∴∠EAD=∠AEB=∠CDA

∵DA=AD

∴△DAC≌△ADE

∴∠DEA=∠ACD

∵CD∥AB

∴∠DCA=∠BAC=900

∴∠DEA=∠ACD=900

∴AE⊥DE

∴DE與⊙A相切

(2)過點E作EH⊥AC垂足為H.∵∠ABC=600，AE=AB=4

∴∠EAB=600,AC=

∴∠CAE=300

∴FE=1

∴陰影部分的面積=S△AEC-S扇形FAE=

10.（2018.葫蘆島）如圖AB是⊙O的直徑弧AC=弧BC，E是OB的中點，連接CE并延長到點F，使EF=CE,連接AF交⊙O于點D，連接BD，BE.(1)求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若OB=2，求BD的長。

解析：（1）連接OC.∵B是⊙O的直徑弧AC=弧BC

∴∠COA=∠COB=900

∵E是OB的中點

∴CE=FE

∵EF=CE,∠CEO=∠FEB

∴△CEO≌△FEB

∴∠FBA=∠COB=900

∴AB⊥BF

∴直線BF是⊙O的切線

(2)∵△CEO≌△FEB

∴BF=OC=OB=2

又∵AB=2OB=4

∴AF=

由AB?BF=AF?DB得

DB=

11.（2020.葫蘆島）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交線段BC，AC于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為F，線段FD，AB的延長線相交于點G.（1）

求證：DF是⊙O的切線；

（2）

若CF=1,DF=,求圖中陰影部分的面積。

解析：（1）證明

：連接OD，AD.∵AB是⊙O直徑

∴∠ADB=900

∵AB=AC，OD=OA

∴∠BAD=∠CAD，∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠AFG=∠ODG

∵DF⊥AC

∴∠ODG=∠AFG=900

∴OD⊥FD

∴DF是⊙O的切線

（2）∵CF=1,DF=，∠DFC=900

∴∠C=600，CD=2

∵AB=AC，∠ADB=900

∴∠OBD=∠C=600,DB=DC=2

∵OD=OB

∴△ODB是等邊三角形

∴∠BOD=600,OD=2

∴∠OCG=300

∴DG=

∴圖中陰影部分的面積=S△ODC-S扇形DOB=

12.（2017.本溪）如圖，△PAB內(nèi)接于⊙O，平行四邊形ABCD的邊AD是⊙O的直徑，且∠C=∠APB，連接BD.(1)

求證：BC是⊙O的切線。

(2)

若BC=2，∠PBD=600，求AP與弦AP圍成的陰影部分的面積。

解析

：（1）連接OB.∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠C=∠DAB

∵∠C=∠APB

∴∠DAB=∠APB

∴弧BD=弧AB

∵AB是直徑

∴∠AOB=∠BOD=900

∵AD∥BC

∴∠OBC=∠AOB==900

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切線。

（2）連接OP.∵∠PBD=600

∴∠PAD=∠PBD=600

∵OP=OA

∴△OAP是等邊三角形

∴∠AOP=600,OH=

∵AD=BC=2

∴OA=1

∴AP與弦AP圍成的陰影部分的面積=S扇形OAP-S△OAP=

13.（2017.鐵嶺）如圖，四邊形ABCD中，連接AC，AC=AD，以AC為直徑的⊙O過點B，交CD于點E，過點E作EF⊥AD于點F.（1）

求證：EF是⊙O的切線；

（2）

若∠BAC=∠DAC=300,BC=2,求弧BCE的長。（結(jié)果保留）

解析：（1）證明：連接OE,AE.∵AC為直徑

∴∠AEC=∠AED=900

∵AC=AD

∴CE=DE

∵OA=OC

∴OE∥AD

∴∠OEF=∠EFD

∵EF⊥AD

∴∠OEF=∠EFD=900

∴OE⊥EF

∴EF是⊙O的切線；

（2）連接OB.∵∠BAC=∠DAC=300,∠CAE=∠CAD

∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=450

∴∠BOE=2∠BAE=900

∵AC是直徑

∴∠ABC=900

∴AC=2BC=4

∴弧BCE的長=

14.（2017.撫順）如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=CB，點O在△ABC的內(nèi)部，⊙O經(jīng)過B，C兩點，交AB于點D，連接CO并延長交AB于點G，以GD，GC為鄰邊作GDEC.（1）

判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。

（2）

若點B是弧DBC的中點，⊙O的半徑為2，求弧BC的長。

解析：（1）DE與⊙O的位置相切，理由如下：

連接OD.∵∠ACB=900，AC=CB

∴∠B=∠A=450

∴∠DOC=2∠B=900

∵四邊形DECB是平行四邊形

∴ED∥CG

∴∠EDO+∠DOC=1800

∴∠EDO=900

∴OD⊥DE

∴DE與⊙O的位置相切

（2）∵點B是弧DBC的中點

∴弧CB=弧DB

∴∠DOB=∠COB

∵∠DOB+∠COB+∠DOC=3600，∠DOC=900

∴∠COB=1350

∵⊙O的半徑為2

∴弧CB=

15.（2017.營口）如圖，△ABC中，∠ACB=900,BO為△ABC的角平分線，以點O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交于點D.（1）

求證：AB為⊙O的切線；

（2）

若tan∠A=，AD=2,求BO的長.解析：（1）證明：過點O作OH⊥AB，垂足為H.則∠OHB=900

∵BO為△ABC的角平分線，∴∠HBO=∠CBO

∵∠ACB=900,∴∠OHB=∠ACB，又BO=BO

∴△BOH≌△BOC

∴OH=OC=R

∴AB為⊙O的切線

（2）設(shè)OH=3k，由tan∠A=得，AH=4K,根據(jù)勾股定理

得，AO=5k。

∵AD=2，AO=AD+OD,OD=OH=3k.∴5k=2+3k，解得：k=1

∴OC=3，AC=8

在Rt△ACB中

tan∠A=

∴BC=6

∴OB=

16.（2018.本溪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，點O，D分別為AB，BC的中點，連接OD，作⊙O與AC相切于點E，在AC邊上取一點F，使DF=DO，連接DF.（1）

判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）

當(dāng)∠A=300，CF=時，求⊙O的半徑。

解析：（1）直線DF與⊙O的位置相切，理由如下：

連接OE,過點O作OH⊥DF，垂足為H.∵⊙O與AC相切于點E,∴OE⊥AB

∵點O，D分別為AB，BC的中點

∴OD∥AC

∴∠ODC+∠C=1800,又∠C=900，∴∠ODC=∠OEC=∠C=900

∴四邊形DCEO是矩形

∴DC=OE=R

∵∠ODH=∠CFD,DF=DO,∠OHD=∠DCF=900

∴△OHD≌△DCF

∴OH=DC=OE=R

∴直線DF與⊙O的位置相切

（2）∵OD是△ABC的中位線

∴OD=AC,∵四邊形DCEO是矩形

∴OD=CE

∴OD=AE

在Rt△OEA中，∠A=300，∠OEA=900

∴OD=AE=OE=R

∵△OHD≌△DCF

∴DH=CF=

在Rt△OHD中，OH2+DH2=OD2

∴R2+2=3R2,解得：R=1

第三篇：圓的切線方程公式證明

已知:圓的方程為:(xb)2 = r2, 圓上一點P(x0, y0)解:圓心C(a, b)

直線CP的斜率:k1 =(y0a)

因為直線CP與切線垂直, 所以切線的斜率:k2 =-1/k1 =a)/(y0y0 = k2(xy0 = [-(x0b)](xx0)(x0y0)(y0ax + ax0 + y0yx02a)2 +(y02ax0 + a2 + y12x022by0 + a2 + b2ax + ax0 + y0y2by0 + a2 + b2axyba)(xb)(y(x0 + D/2)/(y0 + E/2)

根據(jù)點斜式, 求得切線方程：

yx0)

yx0)

整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2-x02x02Dx0/2a)2 +(yMC2)

(根據(jù)勾股定理)

= √ [(x0b)2MC2)

(根據(jù)勾股定理)

= √ [(x0 + D/2)2 +(y0 + E/2)2-((√(D2+E2-4F))/2)2 ]

(半徑:r=(√(D2+E2-4F))/ 2)

= √(x02 + y02 + Dx0 + Ey0 + F)

第四篇：中考復(fù)習(xí)專題——如何證明圓的切線

如何證明圓的切線

證明直線是圓的切線，通常有的兩種方法：

一、要證明某直線是圓的切線，如果已知直線過圓上的某一個點，那么作出過這一點的半徑，證明直線垂直于半徑．

【例1】如圖1，已知AB為⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD＝OB，點C在圓上，∠CAB＝30o．求證：DC是⊙O的切線．

思路：要想證明DC是⊙O的切線，只要我們連接OC，證明∠OCD

＝90o即可．

證明：連接OC，BC．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90o． ∵∠CAB＝30o，∴BC＝∵BD＝OB，∴BC＝

圖

1AB＝OB．

2OD．∴∠OCD＝90o． 2

∴DC是⊙O的切線．

【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線．本題在證明∠OCD＝90o時，運用了“在一個三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”，當(dāng)然也可以從角度計算的角度來求∠OCD＝90o．

二、如果直線與圓的公共點沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于半徑．

【例2】如圖2，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一點，⊙D與OA相切于點E．求證：OB與⊙D相切．

思路：連接DE，過點D作DF⊥OB于點F，證明DE＝DF即可，這可由角平分線上的點到角兩邊的距離相等證得．

請同學(xué)們寫出證明過程．

圖

2【評析】一定要防止出現(xiàn)錯將圓上的一點當(dāng)作公共點而連接出半徑．同學(xué)們一定要認真體會證明切線時常用的這兩種方法，作輔助線時一定要注意表述的正確性．

【例3】如圖3，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點

圖

3的切線互相垂直，垂足為D．求證：AC平分∠DAB．

思路：利用圓的切線的性質(zhì)——與圓的切線垂直于過切點的半徑．

證明：連接OC．

∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．

∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．

∴AC平分∠DAB．

【評析】已知一條直線是某圓的切線時，切線的位置一般是確定的．在解決有關(guān)圓的切線問題時，輔助線常常是連接圓心與切點，得到半徑，那么半徑垂直切線．

【例4】如圖4，已知AB為⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BC，連接

OC，弦AD∥OC．求證：CD是⊙O的切線．

思路：本題中既有圓的切線是已知條件，又證明另一條直線是圓的切線．也

就是既要注意運用圓的切線的性質(zhì)定理，又要運用圓的切線的判定定理．欲證明

CD是⊙O的切線，只要證明∠ODC＝90o即可．

證明：連接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o．

∴DC是⊙O的切線．

【評析】本題綜合運用了圓的切線的性質(zhì)與判定定理．一定要注意區(qū)分這兩個定理的題設(shè)與結(jié)論，注意在什么情況下可以用切線的性質(zhì)定理，在什么情況下可以用切線的判定定理．希望同學(xué)們通過本題對這兩個定理有進一步的認識．本題若作OD⊥CD，就判斷出了CD與⊙O相切，這是錯誤的．這樣做相當(dāng)于還未探究、判斷，就以經(jīng)得出了結(jié)論，顯然是錯誤的．

圖42

第五篇：證明方法

2.2直接證明與間接證明BCA案

主備人：史玉亮 審核人:吳秉政使用時間：2012年2-1

1學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解直接證明的兩種基本方法，即綜合法和分析法。了解間接證明的一種基本方法——反證法。

2.了解綜合法和分析法的思考過程與特點，并會用兩種方法證明。了解反證法的解題步驟，思維過程及特點。

重點：

1.對綜合法和分析法的考查是本課的重點。應(yīng)用反證法解決問題是本課考查的熱點。

2.命題時多以考查綜合法為主，選擇題、填空題、解答題均有可能出現(xiàn)。反證法僅作為客觀題的判斷方法不會單獨命題。

B案

一、直接證明

1.定義：直接證明是從___________或___________出發(fā)的，根據(jù)已知的_________、________________，直接推證結(jié)論的真實性。

2.直接證明的方法：______________與________________。

二、綜合法

1.定義：綜合法是從___________推導(dǎo)到______________的思維方法。具體地說，綜合法 從__________除法，經(jīng)過逐步的___________，最后達到_______________。

? ?

? ? ?

三、分析法

1.定義：分析法是從__________追溯到__________的思維方法，具體地說，分析法是從________出發(fā)，一步一步尋

求結(jié)論成立的____________，最后達到

_________或__________。

?

? ? ? ?

四、反證法的定義

由證明p?q轉(zhuǎn)向證明?p?r?????t,t與_________矛盾，或與某個________矛盾，從而判定_________，推出___________的方法，叫做反證法。

預(yù)習(xí)檢測：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

A.|x?y|?|x?y|≥2B.x?yC.xy?1?x?yD.|x|?|y|

ln2ln3ln5,b?,c?，則（）23

5A.a?b?cB.c?b?aC.c?a?bD.b?a?c 2.若a?

3.命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是（）

A.有兩個內(nèi)角是直角

B.有三個內(nèi)角是直角

C.至少有兩個內(nèi)角是直角

D.沒有一個內(nèi)角是直角

4.a?b?c?d的必要不充分條件是（）

A.a?cB.b?dC.a?c且b?dD.a?c或b?d

5.“自然數(shù)a,b,c中恰有一個是偶數(shù)”的反證法設(shè)為（）

A.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)B.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)

C.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個是偶數(shù)D.自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)

6.已知a是整數(shù)，a2為偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)。

C案

一、綜合法

例1求證：12

3log19?log19?19?

253log2

2.已知n是大于1的自然數(shù)，求證：log(n?1)?log(n?2)

n(n?1)

二、分析法

例2．求證??

2變式突破： 已知a,b,c表示三角形的三邊，m?0,求證：

三、反證法：

例3．（1）證明：2不是有理數(shù)。

變式突破：若a、b、c均為實數(shù)，且a?x?2y?

求證：a、b、c中至少有一個大于0.2abc?? a?mb?mc?m?2,b?y2?2z??3,c?z2?2x??6.當(dāng)堂檢測：

1.“x?

0”是“?0”成立的（）

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.非充分非必要條件 D.充要條件

2.設(shè)a?log54，b?(log53)2，c?log45，則（）

A.a?c?bB.b?c?aC.a?b?cD.b?a?c

3.設(shè)x,y,z?R?，a?x?111,b?y?,c?z?，則a,b,c三數(shù)（）yzx

A.至少有一個不大于2B.都小于2C.至少有一個不小于2D.都大于

22224.若下列方程：x?4ax?4a?3?0,x?(a?1)x?a?0，x?2ax?2a?0至少有2

一個方程有實根，試求實數(shù)a的取值范圍。

A案

1.A、B為△ABC的內(nèi)角，∠A＞∠B是sinA?sinB的（）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

2.若向量a?(x,3)(x?R)，則“x?4”是“|a|?5”的（）

A.充分不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項的和，若a2?a3?2a1且a4與2a7的等差中項為5，則S5=（）A.35B.33C.31D.29

44.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy(x,y?R)，f(1)?2，則f(?2)等于（）A.2B.3C.6D.9

5.分析法證明問題是從所證命題的結(jié)論出發(fā)，尋求使這個結(jié)論成立的（）

A.充分條件B.必要條件C.重要條件D.既非充分條件又非必要條件

6.下面四個不等式：①a?b?c≥ab?bc?ca；②a(1?a)≤2221ba；③?≥2； 4ab

④(a2?b2)?(c2?d2)≥(ac?bd)2，其中恒成立有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

7.若x,y?0且x?y?2，則1?y1?x1?y1?x和的值滿足（）A.和的中至少xxyy

有一個小于2B.1?y1?x1?y1?x和都小于2C.和都大于2D.不確定 xxyy

8.已知?、?為實數(shù)，給出下列三個論斷：

①???0；②|???|?

5；③|?|??|?個論斷為結(jié)論，寫出你認為正確的命題是______________。

9.設(shè)a?0,b?0,c?0，若a?b?c?1，則

111??≥______________。abc