第一篇：高中競賽專題：平面幾何證明

競賽專題－平面幾何證明

[競賽知識點撥]

1． 線段或角相等的證明（1）利用全等△或相似多邊形（2）利用等腰△3）利用平行四邊形（4）利用等量代換（5）利用平行線的性質(zhì)或利用比例關(guān)系（6）利用圓中的等量關(guān)系等。

2． 線段或角的和差倍分的證明（1）轉(zhuǎn)化為相等問題。如要證明a=b±c，可以先作出線段p=b±c，再去證明a=p，即所謂“截長補短”，角的問題仿此進(jìn)行。（2）直接用已知的定理。例如：中位線定理，Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半；△的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和；圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。

3． 兩線平行與垂直的證明（1）利用兩線平行與垂直的判定定理。（2）利用平行四邊形的性質(zhì)可證明平行；利用等腰△的“三線合一”可證明垂直。（3）利用比例關(guān)系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。

【競賽例題剖析】

【例1】從⊙O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。

從A點作弦AE平行于CD，連結(jié)BE交CD于F。求證：BE

平分CD。

【分析1】構(gòu)造兩個全等△。連結(jié)ED、AC、AF。

CF=DF←△ACF≌△EDF←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB【分析2】利用圓中的等量

關(guān)系。連結(jié)OF、OP、OB

?！螾FB=∠POB←←

注：連結(jié)OP、OA、OF，證明A、O、F、P四點共圓亦可。

【例2】△ABC內(nèi)接于⊙O，P是弧 AB上的一點，過P作

OA、OB的垂線，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。

【分析】只需證，PM2PN=MS2NT。（∠1=∠2，∠3=∠4）

→△APM∽△PBN→→PM2PN=AM2BN（∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA→→MS2NT=AM2BN

【例3】已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個交點，兩外公切線P1P2、Q1Q

2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點。求證：∠O1AO2=∠M1AM2?！痉治觥吭O(shè)B為兩圓的另一交點，連結(jié)并延長BA交P1P2于C，交O1O2于M，則C為P1P2的中點，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM為M1M2的中垂線。在O1M上截取MO3=MO2，則

∠M1AO3=∠M2AO2。故只需證∠O1AM1=∠O3AM

1，即證

。由

△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。【例4】在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分線交△ABC的外接圓于D，DE⊥AB于E，求證：AE=。

【分析】方法1、2AE=AB-AC

← 在BE上截取EF=AE，只需證BF=AC，連結(jié)DC、DB、DF，從而只需證△DBF≌△DCA← DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC ←∠DFA=∠DAF=∠DAG。

方法

2、延長CA至G，使AG=AE，則只需證BE=CG← 連結(jié)DG、DC、DB，則只需證△DBE≌△DCG← DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。

【例5】∠ABC的頂點B在⊙O外，BA、BC均與⊙O相交，過BA與圓的交點K引∠ABC平分線的垂線，交⊙O于P，交BC于M。求證：線段PM為圓心到∠ABC平分線距離的2倍。

【分析】若角平分線過O，則P、M重合，PM=0，結(jié)論顯然成立。若角平分線不過O，則延長DO至D‘，使OD’=OD，則只需證DD‘=PM。連結(jié)D’P、DM，則只需證DMPD‘為平行四邊形。過O作m⊥PK，DD’,K

P，∴∠DPK=∠DKP，BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL為MK中垂線→∠DKB=∠DMK ∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’

D∥PM，∴DMPD‘為平行四邊形。

【例6】在△ABC中，AP為∠A的平分線，AM為BC邊上的中線，過B作BH⊥AP于H，AM的延長線交BH于Q，求證：PQ∥AB。

【分析】方法

1、結(jié)合中線和角平分線的性質(zhì)，考慮用比例證明平行。倍長中線：延長AM至

M’，使AM=MA‘，連結(jié)BA’，如圖6-1。

PQ∥AB←←←

←∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)=

180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ

方法

2、結(jié)合角平分線和BH⊥AH聯(lián)想對稱知識。延長BH交AC的延長線于B’，如

/

圖6-2。則H為BB‘的中點，因為M為BC的中點，連結(jié)HM，則HM∥BC。延長HM交AB于O，則O為AB的中點。延長MO至M’，使OM‘=OM，連結(jié)M’A、M‘B，則

AM’BM是平行四邊形，∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是，所以PQ∥AB。

【例7】菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求證：MQ∥NP。（95年全國聯(lián)賽二試3）

【分析】由AB∥CD知：要證MQ∥NP，只需證∠AMQ=∠CPN，結(jié)合∠A=∠C知，只需

證△AMQ∽△CPN←，AM2CN=AQ2CP。連結(jié)AC、BD，其交點為內(nèi)切圓心O。

設(shè)MN與⊙O切于K，連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，則∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。

∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是同理，AQ2CP=AO2CO。，∴AM2CN=AO2CO

【例8】ABCD是圓內(nèi)接四邊形，其對角線交于P，M、N分別是AD、BC的中點，過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證：KP⊥AB。

【分析】延長KP交AB于L，則只需證∠PAL+∠APL=90°，即只需證∠PDC+∠KPC=90°，只需證

∠PDC=∠PKF，因為P、F、K、E四點共圓，故只需證∠PDC=∠PEF，即

EF∥DC。

←

←←△DME∽△CNF

【例9】以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點D、E。過D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點M。求證：AM⊥BC。

【分析】連結(jié)BE、CD交于H，則H為垂心，故AH⊥BC。（同一法）設(shè)AH⊥BC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面證M1、M2重合。

OM1∥DF→

→OM1=

。OM2∥EG→

→OM2=

。只需

證OG2DF=EG2OF，即

←Rt△OEG∽Rt△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。

第二篇：高中平面幾何定理

（高中）平面幾何基礎(chǔ)知識（基本定理、基本性質(zhì)）

1． 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去

這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．(2)鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．

2． 射影定理（歐幾里得定理）

3． 中線定理（巴布斯定理）設(shè)△ABC的邊BC的中點為P，則有AB2?AC2?2(AP2?BP2)； 中線長：ma?2b?2c?a2222．

4． 垂線定理：AB?CD?AC2?AD2?BC2?BD2． 高線長：ha?2ap(p?a)(p?b)(p?c)?bc

asinA?csinB?bsinC．

5． 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，則BD

DC?AB

AC；（外角平分線定理）． cosA

2角平分線長：ta?

6． 正弦定理：a

sinA?2b?cb

sinB(p?a)?csinC2bcb?c（其中p為周長一半）． ??2R，（其中R為三角形外接圓半徑）．

7． 余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC．

8． 張角定理：sin?BAC

AD? sin?BAD

AC?sin?DAC

AB．

9． 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2·DC+AC2·BD

－AD2·BC＝BC·DC·BD．

10． 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）

11．12．

13． 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角． 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對角線的交點P向

一邊作垂線，其延長線必平分對邊．

2214． 點到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上任意一點，PO=d，⊙O的半徑為r，則d－r就是點P對

于⊙O的冪．過P任作一直線與⊙O交于點A、B，則PA·PB= |d－r|．“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當(dāng)三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點．

15． 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即2

2AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點，弦CD、EF經(jīng)過點M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．

17． 費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離．定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時，在三角形內(nèi)必存在一點，它對三條邊所張的角都是120°，該點到三頂點距離和達(dá)到最小，稱為“費馬點”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時，此角的頂點即為費馬

點．

18． 拿破侖三角形：在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線

共點，并且AE＝BF＝CD，這個命題稱為拿破侖定理．以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1、⊙A1、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2、⊙A2、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圓共點，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三角形．這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心．

19． 九點圓（Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對

邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:

（1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;

（2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;

（3）三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕． 20． 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上． 21． 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr． 22． 23．

G（銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．

重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；

xA?xB?xC,yA?yB?yC)

重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則AG:GD?2:1；

（2）設(shè)G為△ABC的重心，則S?ABG?S?BCG?S?ACG?

交

DEBC

3S?ABC；

（3）設(shè)G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，BC

?FPCA

于

?

F，過

KHAB

?

G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則

2DEFPKH

;???2； 3BCCAAB

（4）設(shè)G為△ABC的重心，則

①BC2?3GA2?CA2?3GB2?AB2?3GC2； ②GA2?GB

?GC

?

(AB

?BC

?CA)；

③PA2?PB2?PC2?GA2?GB2?GC2?3PG2（P為△ABC內(nèi)任意一點）；

④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即GA2?GB2?GC2最??；

⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）．

24．垂

aH（cosA

心

xA?

b

：

xB?

三

c

角

xC,形

acosA的yA?

b

三

yB?

條

c

高

yC)

線的交點；

cosBcosC

abc

??

cosAcosBcosCcosBcosC

abc

??

cosAcosBcosC

垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；

（2）垂心H關(guān)于△ABC的三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上；

（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則?BAO??HAC,?CBO??ABH,?BCO??HCA．

25．內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等；

I（axA?bxB?cxC

a?b?c,ayA?byB?cyC

a?b?c)

內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則?BIC?90??

2?A,?AIC?90??

?B,?AIB?90??

?C；

（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若?A平分線交△ABC外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心；（4）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC?a,AC?b,AB?c, ?A平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點K，則

AIID?AKKI

?IKKD

?b?ca；

（5）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC?a,AC?b,AB?c,I在BC,AC,AB上的射影分別為D,E,F，內(nèi)切圓

半

徑

為

r，令

p?

(a?b?c)，則①

S?ABC?pr

；②

AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c；③abcr?p?AI?BI?CI．

26． 外心：三角形的三條中垂線的交點——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；

O（sin2AxA?sin2BxB?sin2CxC

sin2A?sin2B?sin2C,sin2Ay

A

?sin2ByB?sin2CyC

sin2A?sin2B?sin2C)

外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點距離相等；

（2）設(shè)O為△ABC的外心，則?BOC?2?A或?BOC?360??2?A；（3）R

和． 27．

旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點——旁切圓圓心；設(shè)△ABC的三邊

(a?b?c)，分別與BC,AC,AB外側(cè)相切的旁切圓圓心記為

?

abc4S?

；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之

BC?a,AC?b,AB?c,令p?

IA,IB,IC，其半徑分別記為rA,rB,rC．

旁心性質(zhì)：（1）?BIAC?90??（2）?IAIBIC?

?A,?BIBC??BICC?

?A,（對于頂角B，C也有類似的式子）；

(?A??C)；

（3）設(shè)AIA的連線交△ABC的外接圓于D，則DI

A

； ?DB?DC（對于BIB,CIC有同樣的結(jié)論）

（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑R'等于△ABC的直徑為2R． 28． 三角形面積公式

S?ABC?

12aha?

absinC?

a4R

c2b

?2RsinAsinBsinC?

a4（：

?b

?c

oC)o

o

tt

t

A?ccB?c

?pr?

p(p?a)(p?b)(p?c)，其中ha表示BC邊上的高，R為外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，p?

(a?b?c)．

29． 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系：

A2

rtan

B2tan

C2

r?4Rsinsin

B2

sin

C2

;ra?4Rsin

rtan

A2tan

C2

A2

cos

B2

cos

r

C2,rb?4Rcos

;1ra

?1rb

?

A2

sin

?

B2

1r.cos

C2,rc?4Rcos

A2

cos

B2

sin

C2

;

r

a

?,rb?,rc?

tan

1rc

A2

tan

B2

30． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我?/p>

BPPC

?CQQA

?ARRB

?1．（逆定理也成立）

頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有

31． 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q，∠C的平分線交邊AB

于R，∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線． 32． 33．

梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線．

塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直

AZBXCY

·．

ZBXCYA

34． 塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設(shè)

BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中點M．

線交于一點的充要條件是35．

塞瓦定理的逆定理：（略）

36． 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角分線交于一點． 37．

塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點．38． 西摩松（Simson）定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）． 39． 西摩松定理的逆定理：（略）40．

關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上．

41． 關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其

余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點． 42． 史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于△ABC的點P的西摩松線通

過線段PH的中心． 43．

史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上．這條直線被叫做點P關(guān)于△ABC的鏡象線． 44． 牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共

線．這條直線叫做這個四邊形的牛頓線．45． 46．

牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線．

笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和D、B和E、C和

F）的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線． 47． 笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線． 48． 波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2?)．49． 波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點． 50． 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取

三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點． 51． 波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR

為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點． 52．

波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點．

53． 卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線． 54．

奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓上取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線．

55． 清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則

D、E、F三點共線． 56． 他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點

分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線．（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關(guān)于圓O互為反點）57． 朗古來定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直

線上．58．

從三角形各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心．

59． 一個圓周上有n個點，從其中任意n－1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點． 60． 康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n－2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點． 61．

康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關(guān)于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松線的交點在同一直線上．這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線． 62． 康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線

交于一點．這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點．

63． 康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關(guān)于四邊

形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上．這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線． 64． 65．

費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切．

莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形．這個三角形常被稱作莫利正三角形．

66． 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線

共點． 67． 帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或

延長線的）交點共線． 68． 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點P，位于將線段AB分成m：n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上．這個圓稱為阿波羅尼斯圓． 69． 庫立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個

三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓． 70． 密格爾（Miquel）點： 若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點，構(gòu)成四

個三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點． 71． 葛爾剛（Gergonne）點：△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為葛爾剛點．72． 歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點，過M向三邊

作垂線，三個垂足形成的三角形的面積，其公式： S?DEF

S?ABC

?|R

?d

|

．

4R

第三篇：平面幾何證明習(xí)題專題

平面幾何證明習(xí)題

1.如圖5所示，圓O的直徑AB?6，C為圓周上一點，BC?3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為D，則?DAC?,線段AE的長為l線段CD的長為，線段AD的長為

圖

5PA?2．PB?1，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，2.已知PA是圓O的切線，切點為A，則圓O的半徑R?．

3.如圖4，點A,B,C是圓O上的點，且AB?4,?ACB?450，則圓O的面積等于．

4.如圖3, 半徑為5的圓O的兩條弦AD和BC相交于點P,OD?BC,P為AD的中點, BC?6, 則弦AD的長度為

5.如圖5, AB為⊙O的直徑, AC切⊙O于點A,且AC?22cm,過C

CMN交AB的延長線于點D,CM=MN=ND.AD的長等于_______cm.6.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點于C，圖5

AD?CE于D，若AD＝1，?ABC?30?，則圓O的面積是

7.如圖，O是半圓的圓心，直徑AB?2，PB

與半圓交于點C，AC?4，則PB?

．

8.如圖，點A,B,C是圓O上的點,且AB?2,BC??CAB?120?, 則?AOB對應(yīng)的劣弧長為．

9.如圖，圓O的割線PAB交圓O于A,B兩點，割線PCD經(jīng)過圓心O，已知PA?6，AB?

10.如圖，已知P是圓O外一點，PD為圓O的切線，D為切點，割線PEF經(jīng)過圓心O，若PF?12,PD?則圓O的半徑長為，2

2，PO?12，則圓O的半徑是．

3?EFD的度數(shù)為

11.如圖4，已知PA是⊙O的切線，A是切點，直線PO交⊙O 于B、C兩點，D是OC的中點，連結(jié)AD并延長交⊙O于點E． 若PA?23，?APB?30?，則AE=．

12.如圖，在?ABC中，DE//BC，EF//CD，若

P

B

O

D

C圖

4BC?3,DE?2,DF?1，則BD的長為，AB的長為___________．

13.如圖，圓O是?ABC的外接圓，過點C的切線交AB 的延長線交于點D，CD?2，AB?BC?3，則線段BD的長為，線段AC的長為

14．如圖，?ACB?60°，半徑為2cm的⊙O切BC于點

C，若將⊙O在CB上向右滾動，則當(dāng)滾動到⊙O與CA

也相切時，圓心O移動的水平距離是__________cm．

15．如圖，A、B、c是⊙0上的三點，以BC為一邊，作∠CBD=

∠ABC，過BC上一點P，作PE∥AB交BD于點E．若∠AOC=60°，BE=3，則點P到弦AB的距離為_______．

16．四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE 的中點，BR分別交AC,CD于點P,Q．則CP:AP= ……()A．1:3B．1:4C．2:3D．3:4

C

R

E

17． 如圖,Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,設(shè)BP=x,則PD+PE=……………………………（）A．

x5

?3B．4?

x5

C ．

D．

12x12x25

?

18.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠B=60°，則∠CAO的度數(shù)是………………()A．15°

19.已知 ?ABC中，AB=AC,D是 ?ABC外接圓劣弧?，延長AC上的點（不與點A,C重合）BD至E。

（1）求證：AD的延長線平分?CDE；

（2）若?BAC=30，?ABC中BC邊上的高為

B．30°

C．45°D．60°

?ABC外接圓的面積。

20.如圖，在邊長為2的圓內(nèi)接正方形ABCD中，AC是對角線，P為邊CD的中點，延長AP交圓于

點E．

（1）∠E=度；

（2）寫出圖中現(xiàn)有的一對不全等的相似三角形，并說明理由；（3）求弦DE的長．

21.如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點，CE⊥AB，垂足為E，BD 交CE于點F．（1）求證：CF?BF；（2）若AD=4，⊙O的半徑為6，求BC的長．

22.如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，若∠MAC=∠ABC ．（1）求證：MN是半圓的切線；

（2）設(shè)D是弧AC的中點，連結(jié)BD交AC 于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．求證：FD＝FG．

（3）若△DFG的面積為4.5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．

00

?O的直徑，AD是弦，?DAB=22.5，延長AB到點C，使得?ACD=45。24．（10分）如圖，AB是○?O的切線；（1）求證：CD是○（2）若AB=22，求BC的長。

A

C

?O，?O的直徑，?ABC內(nèi)接于○25．（9分）如圖，AB為○?BAC=2?B，?O的切線與OC的延長線交于點P，求PA的長。AC=6，過點A作○

OB

B

A

C

P

26.如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．求證：ED?EB?EC．

?

27.如圖，已知?ABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H，?B=60，F(xiàn)在AC上，且

A

B D E

AE?AF。

（1）證明：B,D,H,E四點共圓；

（2）證明：CE平分?DEF。

第四篇：2011高考平面幾何證明

2011高考平面幾何證明試題選講

1（2011安徽）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分別為

AD，BC上點，且EF=3，EF∥AB，則梯形ABCD與梯形EFCD的面積比為（2011北京）如圖，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F(xiàn)，延長AF與圓O交于另一點G。給出下列三個結(jié)論：

1AD+AE=AB+BC+CA； ○

2AF·AG=AD·AE ○

③△AFB ～△ADG

其中正確結(jié)論的序號是

（A）①②（B）②③

（C）①③（D）①②③（2011天津理）如圖已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線

上一點，且DF?CF?AF:FB:BE?4:2:1.若CE與圓相切，則CE的長為

_________

4（2011陜西理）（幾何證明選做題）如圖，?B??D,AE?BC,?ACD?90?，且AB?6,AC?4,AD?12，則BE?________（2011湖南理）如圖2，A,E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC=4，AD⊥BC,垂足為D,BE與AD相交與點F，則AF的長為。（2011全國新課標(biāo)）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，D，E分別為?ABC的邊AB，AC上的點，且不與?ABC的頂點重合。已知AE的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x2?14x?mn?0的兩個根。

（Ⅰ）證明：C，B，D，E四點共圓；

（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圓的半徑。

第五篇：高中平面幾何60大定理

1、勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)

2、射影定理(歐幾里得定理)

3、三角形的三條中線交于一點，并且，各中線被這個點分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對角線中心的連線交于一點

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。

6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點。

7、從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線交于一點

8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足不L，則AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。

10、(九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上

12、庫立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點圓)圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓。

13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss為三角形周長的一半

14、(旁心)三角形的一個內(nèi)角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交于一點

15、中線定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有

n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnBC17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點M和對角線交點E的直線垂直于CD18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上

19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，21、愛爾可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的重心構(gòu)成的三角形也是正三角形。

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為P、Q、R則有 BPPC×CQQA×ARRB=

124、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)

27、塞瓦定理：設(shè)△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)

34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心。

36、波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點。

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是

D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點。

41、關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。

42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點。

43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三 邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

45、清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。(反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關(guān)于圓O互為反點)

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。

48、九點圓定理：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點[連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點]九點共圓[通常稱這個圓為九點圓[nine-point circle],或歐拉圓,費爾巴哈圓.49、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點。

50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點。

51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關(guān)于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。

52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點。這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點。

53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

55、莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。

58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線。60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點。