第一篇：解析法證明平面幾何經(jīng)典問題--舉例

五、用解析法證明平面幾何問題----極度精彩！充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美感！何妨一試？

例

1、設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引兩條直線分別交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．求證：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1圖）（例2圖）

例

2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

【部分題目解答】

例

1、(難度相當(dāng)于高考?jí)狠S題)

如圖，以MN為x軸，A為原點(diǎn)，AO為Y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)圓的方程為：x2?(y-a)2?r2,設(shè)直線AB的方程為：y?mx,直線AD的方程為：y?nx,點(diǎn)B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；則B、C222x?(y-a)?r,消去y得：（1?m2)x2-2amx?a2-r2?{y?mx2ama2-r

2由韋達(dá)定理知：x1?x2?2;x1x2?2,m?1m?12ana2-r2

同理得：x3?x4?2;x3x4?2, n?1n?1直線CD方程為：y-y2?y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)：xQ?

同理得P點(diǎn)橫坐標(biāo)：xP?x1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要證明AP?AQ，只需證明：xQ?-xP3223?-1441, y2-y3y4-y1

即證明：（x3y2-x2y3）（?y4-y1）?（-x1y4-x4y1）（?y2-y3）

將上式整理得：y3y4(x1?x2)?y1y2(x3?x4)?x1y2y4?x2y1y3?x3y2y4?x4y1y3

注意到：y1?mx1,y2?mx2;y3?nx3,y4?nx4，代入整理得：

左邊?m2x1x2(x3?x4)?n2x3x4(x1?x2),右邊?mn[x1x2(x3?x4)?x3x4(x1?x2)] 把上述韋達(dá)定理的結(jié)論代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(m?n)2a-r左邊?m?2?2?n?2?2? 22m?1n?1n?1m?1(m?1)(n?1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(m?n)右邊?mn(2???)?m?1n2?1n2?1m2?1(m2?1)(n2?1)

可見：左邊=右邊，故xQ?-xP，即AP?AQ.證畢！

【此題充分體現(xiàn)：化歸思想、設(shè)而不求思想方法、數(shù)形結(jié)合方法、以及分析計(jì)算的能力】 標(biāo)系.例

2、分析：如右圖，建立坐

總體思路：設(shè)點(diǎn)A、B、C、D坐標(biāo)后，求出直線AD、從而求出兩個(gè)角度的正切值，證明這兩個(gè)角度問題的關(guān)鍵是：如何設(shè)點(diǎn)C、D而C、D兩點(diǎn)是相互獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的，故把點(diǎn)C、D設(shè)AD=BC= r，則C點(diǎn)可以看作是以B為圓心，r上的動(dòng)點(diǎn)，類似看待D點(diǎn)，故，設(shè)

C(a?rcosθ,rsinθ)、D(-a?rcos?,rsin?), 從而得N(cosθ?cos?sinθ?sin?,)22

易得：kBC?tan?,kAD?tan?【此處充分展現(xiàn)了圓的,參數(shù)方程的美妙之處】kMN?

sinθ?sin?????tan;cosθ?cos?2

第二篇：2 用解析法求解初等平面幾何問題

用解析法求解初等平面幾何問題

在初等幾何的教學(xué)中, 常常遇到不同類型的證明題, 一般情況下, 用初等幾何有關(guān)定義、定理處理比較方便, 但有些題目卻要添加輔助線, 發(fā)掘隱含條件等高技巧的特殊處理措施, 初學(xué)者解題時(shí)常遇到困難.如果采用解析法, 有些問題思路反而清晰簡(jiǎn)單, 具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn).以下將常見的不同類型證明題的思路加以羅列, 于讀者共同研究分析.平面上建立直角坐標(biāo)系后, 點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 直線和圓分別對(duì)應(yīng)與某確定的二元方程.這樣, 就可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.將代數(shù)問題解決而得到幾何問題的證明, 這就是解析法的證明方法.平面解析幾何是借助平面坐標(biāo)系, 利用代數(shù)方法來研究平面圖形性質(zhì)的一門學(xué)科.通過建立平面坐標(biāo)系,平面內(nèi)的點(diǎn)均可用坐標(biāo)表示出來, 從而平面圖形的性質(zhì)可以表示為圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系, 特別是代數(shù)關(guān)系, 以此實(shí)現(xiàn)幾何問題與代數(shù)問題的相互轉(zhuǎn)化.下面通過兩個(gè)例題來分析解析法的基本思想方法和解題過程.例8 證明：三角形的三條高交于一點(diǎn)[3].已知AD, EF, CF分別是?ABC的三邊上的高, 求證：AD, BE, CF相交于一點(diǎn).證明 如圖4所示, 以BC邊為x軸, BC邊

上的高AD為y軸建立直角坐標(biāo)系.不防設(shè)A,B, C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0a,), B(b,0), C(c,0).根

據(jù)斜率公式得, KAB??ba, KCA??, KBC?0,ac

又根據(jù)兩直線垂直的充要條件及直線點(diǎn)斜式方程, 容易求出三條高所在的直線方程分別為

AD:x?0, BE:cx?ay?bc?0, CF:bx?ay?bc?0.這三個(gè)方程顯然有公共解, x?0, y??

交與一點(diǎn).bc, 從而證明了三角形的三條高相a

例9 一個(gè)面積為32cm2的平面凸四邊形中, 兩條對(duì)邊與一條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和為16cm試確定另一個(gè)對(duì)角線的所有可能的長(zhǎng)度[3].解 如圖5, 建立直角坐標(biāo)系, 并設(shè)平面凸四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(?a,0), B(b,?b?), C(c,0), D(0,d).根據(jù)已知條件有

11SABCD?c?a）d?(c?a)b??32, 2

2|AB|?

|CD|?|AC|?

(a?c)?16.即有

（(d?b?)?64?(1)?c?a）?2222(2)??(a?b)?b?c?d?16?(a?c)

2(3)根據(jù)圖5可知

b??d?由(1),(2),(3)得(a?c)[16?(a?c)]?64,即[(c?a)?8]?0, 所以c?a?8.且上述不等式只能取等號(hào), 于是得

b??d?8, c?0, a?b?0.由此可知, a?8,b??8.所以, 另一條對(duì)角線BD的長(zhǎng)度為2Y X

圖5 |BD

|?

?cm).從上述兩題的解題過程不難看出, 其解

法的關(guān)鍵在于通過建立坐標(biāo)系, 把原來的幾何問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)(計(jì)算)問題.也就是借助于坐標(biāo)系, 在點(diǎn)曲線與數(shù)組(方程)之間建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系,以次來實(shí)現(xiàn)幾

何問題代數(shù)化.解析法證明初等幾何問題一般步驟[4]：

(1)恰當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系, 使題中某些點(diǎn)的坐標(biāo)、直線和圓的方程呈較簡(jiǎn)單的形式.(2)根據(jù)題目要求, 求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線或圓的方程.(3)從已知條件出發(fā), 以求證的結(jié)論為目標(biāo), 通過運(yùn)算、推理出要證的結(jié)果.在運(yùn)用解析法證明初等幾何問題時(shí), 必須熟練掌握并善于使用在直角坐標(biāo)下的有關(guān)公式, 定理和方程.如兩點(diǎn)間的距離公式、定比分點(diǎn)公式, 直線的斜率公式, 兩直線夾角公式, 兩直線平行、垂直的充要條件, 直線和圓的各種類型的方程, 圓的切線方程等.以下分類型加以闡述：

2.1 等線段與等角的問題

證明線段的相等或不等, 線段的和差倍分及定值問題, 常用的方法是選定坐標(biāo)后,再利用兩點(diǎn)距離公式, 點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)來進(jìn)行運(yùn)算.例10 如圖6, 以Rt?ABC的一條直角邊

作直徑作圓O, 此圓與斜邊AC交于D,過D引圓O的切線交BC于E.求證：BE=CE[4].分析 以B為坐標(biāo)原點(diǎn), BA所在直線為

圖6 X軸, 建立直角坐標(biāo)系, 設(shè)A（2a,0）, B(0,0),C(0,b), E(0,y0), 則圓O和直線AC的方程可

求, 由AC交圓O可求得出D點(diǎn)的坐標(biāo), 再由BE=ED, 可求得E為BC的中點(diǎn).利用直線斜率公式, 兩直線平行、垂直條件及兩直線夾角公式, 可證明一些與角的度量有關(guān)的題目.處理的方法一般較簡(jiǎn)單, 只需在選定坐標(biāo)系以后, 求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或方程, 進(jìn)行一些斜率和角度的計(jì)算即可

.例11 如圖7, 在?ABC中, AD⊥BD于D, 且CD=AB+BD, 求證∠ABC=2∠ACB[4].簡(jiǎn)證 以BC, DA所在直線為坐標(biāo), 建立直角坐標(biāo)系, 設(shè)A(0,a), B(-b,0), D(0,0), 則AB=a2?b2由CD=AB+BD得出C點(diǎn)坐標(biāo)(b?a2?b2,0)

故tan∠ABC=kAB?a b2a

ab?a2?b2tan2∠ACB==, ab1?()b?a2?b

2又∠ABC及∠ACB均為銳角,所以∠ABC=2∠ACB.2.2 三點(diǎn)共線與三線共點(diǎn)和共點(diǎn)圓的問題

證三點(diǎn)共線, 常用的方法有：(ⅰ)先建立過兩點(diǎn)的直線方程, 再驗(yàn)證第三點(diǎn)也適合這個(gè)方程;(ⅱ)若能證得kAB?kBC, 則A, B, C三點(diǎn)共線;(ⅲ)點(diǎn)Ai(Xi,Yi)(i=1, 2, 3)共線的充要條件為

x

1x2

x3y1y2?0.y3證明三線共點(diǎn), 常用的方法有：ⅰ)利用定比分點(diǎn)公式, 分別求出三條線上某分點(diǎn)坐標(biāo), 若求得相同, 因直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)和坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng), 故三線共點(diǎn);ⅱ)三條互不平行直線li:Aix?Biy?Ci?0(i?1, 2, 3)若

A1

A2

A3B1B2B3C1C2=0, C

3則l1, l2, l3相交于一點(diǎn).解析法證諸點(diǎn)共圓, 可先求出有關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo), 再利用兩點(diǎn)間距離公式證這點(diǎn)

到某一定點(diǎn)的距離相等;也可先建立過三點(diǎn)的圓的方程, 再證其余點(diǎn)適合圓的方程.例12 如圖8, 正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于a, 在邊BC上取線段BE=a3在邊DC的延長(zhǎng)線上取CF等于a2, 試證：直線AE和BF的交點(diǎn)M與A、B、C、D共圓.分析 以AD, AB為坐標(biāo)軸, 引進(jìn)直角坐標(biāo)系,因A、B、C、D各點(diǎn)坐標(biāo)為已知, 故可求出E, F兩X

點(diǎn)的坐標(biāo)然后求出直線AE, BF的方程, 它們的交點(diǎn)M坐標(biāo)由此可求出, 最后把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入正方形ABCD的外接圓方程, 即可得證.從以上的例子可看出, 解析法證明的優(yōu)點(diǎn)在于解決幾何問題時(shí)有一個(gè)比較固定的思考步驟, 思路較明顯.由一系列的運(yùn)算與推理即可得到證明的結(jié)果.所以, 有些類型的初等幾何問題, 用解析法證明較為簡(jiǎn)便.

第三篇：解析法證明平面幾何題—高二中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座

【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座2】

解析法證明平面幾何

解析法，就是用解析幾何的方法來解題，將幾何問題代數(shù)化后求解，但代數(shù)問題未必容易，采用解析法就必須有面對(duì)代數(shù)困難的準(zhǔn)備，書寫必須非常規(guī)范．

解析法的主要技巧：

1．盡量化為簡(jiǎn)單的代數(shù)問題，盡量利用對(duì)稱性建系，選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系與便于使用的方程形式；

2．運(yùn)用各種代數(shù)技巧（巧妙消元，利用行列式等）不能一味死算．

例

1、證明：任意四邊形四條邊的平方和，等于兩條對(duì)角線的平方和，在加上對(duì)角線中點(diǎn)連線的平方的4倍．

例

2、給定任一銳角三角形ABC及高AH，在AH上任取一點(diǎn)D,連結(jié)BD并延長(zhǎng)交AC 與E,又連CD且延長(zhǎng)交AB于F.證明：∠AHE=∠AHF．

AB1AC1??，?u．再在B1C1上ABAC

BDBDm取點(diǎn)D1,使11?（?，u，m，n都是實(shí)數(shù)）．延長(zhǎng)A1D交BC于D，求． DCD1C1n例

3、在?ABC的邊AB上取點(diǎn)B1,AC取點(diǎn)C1,使

例

4、如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證： MQ∥NP．

例

5、[29屆IMO]在Rt?ABC中，AD是斜邊上的高，M、N分別是?ABD與?ACD與的內(nèi)心，連接MN并延長(zhǎng)分別交AB與AC于K及L．求證明、：S?ABC?2S?AKL．

課后拓展訓(xùn)練與指導(dǎo)

鉆研《教程》293~302例

1、例

2、例

3、例

7、例8

思考并完成《高二教程》303練習(xí)題

補(bǔ)充幾道題目，請(qǐng)嘗試用解析法研究

1、（2005全國(guó)聯(lián)賽二試）在銳角三角形ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點(diǎn)H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點(diǎn)，F(xiàn)G與AH相交于點(diǎn)K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的長(zhǎng)．

C

D

GH

K

B AF2、（全國(guó)高中聯(lián)賽二試）如圖，圓O1和圓O2與△ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，并且EG、FH的延長(zhǎng)線交于P點(diǎn)。求P 證直線PA與BC垂直．

O1。O

2C E B3、（20屆IMO）在?ABC中，AB?AC，有一圓內(nèi)切?ABC的外接圓，與AB 與AC分別相切于點(diǎn)P和Q．求證：P和Q連線中點(diǎn)是?ABC的圓圓心．

第四篇：利用放縮法證明不等式舉例

利用放縮法證明不等式舉例

高考中利用放縮方法證明不等式，文科涉及較少，但理科卻常常出現(xiàn)，且多是在壓軸題中出現(xiàn)。放縮法證明不等式有法可依，但具體到題，又常常沒有定法，它綜合性強(qiáng)，形式復(fù)雜，運(yùn)算要求高，往往能考查考生思維的嚴(yán)密性，深刻性以及提取和處理信息的能力，較好地體現(xiàn)高考的甄別功能。本文旨在歸納幾種常見的放縮法證明不等式的方法，以冀起到舉一反三，拋磚引玉的作用。

一、放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。

例1.{bn}滿足：b1?1,bn?1?bn?(n?2)bn?

3（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：bn?n

（2）Tn?

解：(1)略

(2)?bn?1?3?bn(bn?n)?2(bn?3)

又?bn?n

?bn?1?3?2(bn?3)，n?N

迭乘得：bn?3?

2?n?1211111???...?，求證：Tn? 3?b13?b23?b33?bn2*(b1?3)?2n?1 11?n?1,n?N* bn?32

?Tn?1111111 ???...????234n?1n?12222222

2點(diǎn)評(píng)：把握“bn?3”這一特征對(duì)“bn?1?bn?(n?2)bn?3”進(jìn)行變形，然后去

掉一個(gè)正項(xiàng)，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項(xiàng)或者用數(shù)學(xué)歸納法，似乎是不可能的,為什么？值得體味！

二、放縮后裂項(xiàng)迭加

例2．?dāng)?shù)列{an}，an?(?1)

求證：s2n?n?11，其前n項(xiàng)和為sn

n

2解：s2n?1?

令bn?11111 ???...??2342n?12n1，{bn}的前n項(xiàng)和為Tn 2n(2n?1)

1111?(?)2n(2n?2)4n?1n當(dāng)n?2時(shí)，bn?

?s2n?Tn?

?111111111111???(?)?(?)?...?(?)

212304344564n?1n71 ??104n2

點(diǎn)評(píng):本題是放縮后迭加。放縮的方法是加上或減去一個(gè)常數(shù)，也是常用的放縮手法。值得注意的是若從第二項(xiàng)開始放大，得不到證題結(jié)論，前三項(xiàng)不變，從第四項(xiàng)開始放大，命題才得證，這就需要嘗試和創(chuàng)新的精神。

例3.已知函數(shù)f(x)?ax?b?c(a?0)的圖象在(1,f(1))處的切線方程為 x

y?x?

1（1）用a表示出b,c

（2）若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立，求a的取值范圍

（3）證明：1?

解：（1）（2）略

（3）由（II）知：當(dāng)a?111n ??...??ln(n?1)?23n2(n?1)1時(shí),有f(x)?lnx(x?1)2

111令a?,有f(x)?(x?)?lnx(x?1).22x

11且當(dāng)x?1時(shí),(x?)?lnx.2x

k?1??11k?1k111令x?,有l(wèi)n?[?]?[(1?)?(1?)], kk2kk?12kk?1

111即ln(k?1)?lnk?(?),k?1,2,3,?,n.2kk?1

將上述n個(gè)不等式依次相加得

ln(n?1)?

整理得 11111?(????)?, 223n2(n?1)

1?111n?????ln(n?1)?.23n2(n?1)

點(diǎn)評(píng)：本題是2010湖北高考理科第21題。近年，以函數(shù)為背景建立一個(gè)不等關(guān)系，然后對(duì)變量進(jìn)行代換、變形，形成裂項(xiàng)迭加的樣式，證明不等式，這是一種趨勢(shì)，應(yīng)特別關(guān)注。當(dāng)然，此題還可考慮用數(shù)學(xué)歸納法，但仍需用第二問的結(jié)論。

三、放縮后迭乘

例4

．a(chǎn)1?1,an?1?1(1?4an?n?N*).16

（1）求a2,a3

（2）

令bn?{bn}的通項(xiàng)公式

（3）已知f(n)?6an?1?3an，求證：f(1)f(2)f(3)...f(n)?

解：（1）（2）略 1 2

21n1n1()?()? 3423

13231?f(n)?n?n?2?n?n?1?1?n 42424

111211(1?n)(1?n?1)1?n?n?2n?11?n1?1?n???11141?n?11?n?11?n?1444

11?n?f(n)?1?n?14

11111?1?21?n1?n?...??1?f(1)f(2)...f(n)?1?11?11?122

n?144由（2）得an?

點(diǎn)評(píng)：裂項(xiàng)迭加，是項(xiàng)項(xiàng)相互抵消，而迭乘是項(xiàng)項(xiàng)約分，其原理是一樣的，都似多米諾骨牌效應(yīng)。只是求n項(xiàng)和時(shí)用迭加，求n項(xiàng)乘時(shí)用迭乘。

第五篇：平面幾何證明習(xí)題專題

平面幾何證明習(xí)題

1.如圖5所示，圓O的直徑AB?6，C為圓周上一點(diǎn)，BC?3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為D，則?DAC?,線段AE的長(zhǎng)為l線段CD的長(zhǎng)為，線段AD的長(zhǎng)為

圖

5PA?2．PB?1，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，2.已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，則圓O的半徑R?．

3.如圖4，點(diǎn)A,B,C是圓O上的點(diǎn)，且AB?4,?ACB?450，則圓O的面積等于．

4.如圖3, 半徑為5的圓O的兩條弦AD和BC相交于點(diǎn)P,OD?BC,P為AD的中點(diǎn), BC?6, 則弦AD的長(zhǎng)度為

5.如圖5, AB為⊙O的直徑, AC切⊙O于點(diǎn)A,且AC?22cm,過C

CMN交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,CM=MN=ND.AD的長(zhǎng)等于_______cm.6.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)于C，圖5

AD?CE于D，若AD＝1，?ABC?30?，則圓O的面積是

7.如圖，O是半圓的圓心，直徑AB?2，PB

與半圓交于點(diǎn)C，AC?4，則PB?

．

8.如圖，點(diǎn)A,B,C是圓O上的點(diǎn),且AB?2,BC??CAB?120?, 則?AOB對(duì)應(yīng)的劣弧長(zhǎng)為．

9.如圖，圓O的割線PAB交圓O于A,B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過圓心O，已知PA?6，AB?

10.如圖，已知P是圓O外一點(diǎn)，PD為圓O的切線，D為切點(diǎn)，割線PEF經(jīng)過圓心O，若PF?12,PD?則圓O的半徑長(zhǎng)為，2

2，PO?12，則圓O的半徑是．

3?EFD的度數(shù)為

11.如圖4，已知PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，直線PO交⊙O 于B、C兩點(diǎn)，D是OC的中點(diǎn)，連結(jié)AD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E． 若PA?23，?APB?30?，則AE=．

12.如圖，在?ABC中，DE//BC，EF//CD，若

P

B

O

D

C圖

4BC?3,DE?2,DF?1，則BD的長(zhǎng)為，AB的長(zhǎng)為___________．

13.如圖，圓O是?ABC的外接圓，過點(diǎn)C的切線交AB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，CD?2，AB?BC?3，則線段BD的長(zhǎng)為，線段AC的長(zhǎng)為

14．如圖，?ACB?60°，半徑為2cm的⊙O切BC于點(diǎn)

C，若將⊙O在CB上向右滾動(dòng)，則當(dāng)滾動(dòng)到⊙O與CA

也相切時(shí)，圓心O移動(dòng)的水平距離是__________cm．

15．如圖，A、B、c是⊙0上的三點(diǎn)，以BC為一邊，作∠CBD=

∠ABC，過BC上一點(diǎn)P，作PE∥AB交BD于點(diǎn)E．若∠AOC=60°，BE=3，則點(diǎn)P到弦AB的距離為_______．

16．四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE 的中點(diǎn)，BR分別交AC,CD于點(diǎn)P,Q．則CP:AP= ……()A．1:3B．1:4C．2:3D．3:4

C

R

E

17． 如圖,Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點(diǎn),作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,設(shè)BP=x,則PD+PE=……………………………（）A．

x5

?3B．4?

x5

C ．

D．

12x12x25

?

18.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠B=60°，則∠CAO的度數(shù)是………………()A．15°

19.已知 ?ABC中，AB=AC,D是 ?ABC外接圓劣弧?，延長(zhǎng)AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合）BD至E。

（1）求證：AD的延長(zhǎng)線平分?CDE；

（2）若?BAC=30，?ABC中BC邊上的高為

B．30°

C．45°D．60°

?ABC外接圓的面積。

20.如圖，在邊長(zhǎng)為2的圓內(nèi)接正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，P為邊CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交圓于

點(diǎn)E．

（1）∠E=度；

（2）寫出圖中現(xiàn)有的一對(duì)不全等的相似三角形，并說明理由；（3）求弦DE的長(zhǎng)．

21.如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CE⊥AB，垂足為E，BD 交CE于點(diǎn)F．（1）求證：CF?BF；（2）若AD=4，⊙O的半徑為6，求BC的長(zhǎng)．

22.如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，若∠MAC=∠ABC ．（1）求證：MN是半圓的切線；

（2）設(shè)D是弧AC的中點(diǎn)，連結(jié)BD交AC 于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．求證：FD＝FG．

（3）若△DFG的面積為4.5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．

00

?O的直徑，AD是弦，?DAB=22.5，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使得?ACD=45。24．（10分）如圖，AB是○?O的切線；（1）求證：CD是○（2）若AB=22，求BC的長(zhǎng)。

A

C

?O，?O的直徑，?ABC內(nèi)接于○25．（9分）如圖，AB為○?BAC=2?B，?O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，求PA的長(zhǎng)。AC=6，過點(diǎn)A作○

OB

B

A

C

P

26.如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D．求證：ED?EB?EC．

?

27.如圖，已知?ABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H，?B=60，F(xiàn)在AC上，且

A

B D E

AE?AF。

（1）證明：B,D,H,E四點(diǎn)共圓；

（2）證明：CE平分?DEF。