第一篇：解析法證明平面幾何題—高二中數(shù)學競賽講座

【高中數(shù)學競賽講座2】

解析法證明平面幾何

解析法，就是用解析幾何的方法來解題，將幾何問題代數(shù)化后求解，但代數(shù)問題未必容易，采用解析法就必須有面對代數(shù)困難的準備，書寫必須非常規(guī)范．

解析法的主要技巧：

1．盡量化為簡單的代數(shù)問題，盡量利用對稱性建系，選擇恰當?shù)淖鴺讼蹬c便于使用的方程形式；

2．運用各種代數(shù)技巧（巧妙消元，利用行列式等）不能一味死算．

例

1、證明：任意四邊形四條邊的平方和，等于兩條對角線的平方和，在加上對角線中點連線的平方的4倍．

例

2、給定任一銳角三角形ABC及高AH，在AH上任取一點D,連結BD并延長交AC 與E,又連CD且延長交AB于F.證明：∠AHE=∠AHF．

AB1AC1??，?u．再在B1C1上ABAC

BDBDm取點D1,使11?（?，u，m，n都是實數(shù)）．延長A1D交BC于D，求． DCD1C1n例

3、在?ABC的邊AB上取點B1,AC取點C1,使

例

4、如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證： MQ∥NP．

例

5、[29屆IMO]在Rt?ABC中，AD是斜邊上的高，M、N分別是?ABD與?ACD與的內(nèi)心，連接MN并延長分別交AB與AC于K及L．求證明、：S?ABC?2S?AKL．

課后拓展訓練與指導

鉆研《教程》293~302例

1、例

2、例

3、例

7、例8

思考并完成《高二教程》303練習題

補充幾道題目，請嘗試用解析法研究

1、（2005全國聯(lián)賽二試）在銳角三角形ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點，F(xiàn)G與AH相交于點K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的長．

C

D

GH

K

B AF2、（全國高中聯(lián)賽二試）如圖，圓O1和圓O2與△ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點，并且EG、FH的延長線交于P點。求P 證直線PA與BC垂直．

O1。O

2C E B3、（20屆IMO）在?ABC中，AB?AC，有一圓內(nèi)切?ABC的外接圓，與AB 與AC分別相切于點P和Q．求證：P和Q連線中點是?ABC的圓圓心．

第二篇：解析法證明平面幾何經(jīng)典問題--舉例

五、用解析法證明平面幾何問題----極度精彩！充分展現(xiàn)數(shù)學之美感！何妨一試？

例

1、設MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引兩條直線分別交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．求證：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1圖）（例2圖）

例

2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

【部分題目解答】

例

1、(難度相當于高考壓軸題)

如圖，以MN為x軸，A為原點，AO為Y軸建立坐標系，設圓的方程為：x2?(y-a)2?r2,設直線AB的方程為：y?mx,直線AD的方程為：y?nx,點B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；則B、C222x?(y-a)?r,消去y得：（1?m2)x2-2amx?a2-r2?{y?mx2ama2-r

2由韋達定理知：x1?x2?2;x1x2?2,m?1m?12ana2-r2

同理得：x3?x4?2;x3x4?2, n?1n?1直線CD方程為：y-y2?y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q點橫坐標：xQ?

同理得P點橫坐標：xP?x1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要證明AP?AQ，只需證明：xQ?-xP3223?-1441, y2-y3y4-y1

即證明：（x3y2-x2y3）（?y4-y1）?（-x1y4-x4y1）（?y2-y3）

將上式整理得：y3y4(x1?x2)?y1y2(x3?x4)?x1y2y4?x2y1y3?x3y2y4?x4y1y3

注意到：y1?mx1,y2?mx2;y3?nx3,y4?nx4，代入整理得：

左邊?m2x1x2(x3?x4)?n2x3x4(x1?x2),右邊?mn[x1x2(x3?x4)?x3x4(x1?x2)] 把上述韋達定理的結論代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(m?n)2a-r左邊?m?2?2?n?2?2? 22m?1n?1n?1m?1(m?1)(n?1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(m?n)右邊?mn(2???)?m?1n2?1n2?1m2?1(m2?1)(n2?1)

可見：左邊=右邊，故xQ?-xP，即AP?AQ.證畢！

【此題充分體現(xiàn)：化歸思想、設而不求思想方法、數(shù)形結合方法、以及分析計算的能力】 標系.例

2、分析：如右圖，建立坐

總體思路：設點A、B、C、D坐標后，求出直線AD、從而求出兩個角度的正切值，證明這兩個角度問題的關鍵是：如何設點C、D而C、D兩點是相互獨立運動的，故把點C、D設AD=BC= r，則C點可以看作是以B為圓心，r上的動點，類似看待D點，故，設

C(a?rcosθ,rsinθ)、D(-a?rcos?,rsin?), 從而得N(cosθ?cos?sinθ?sin?,)22

易得：kBC?tan?,kAD?tan?【此處充分展現(xiàn)了圓的,參數(shù)方程的美妙之處】kMN?

sinθ?sin?????tan;cosθ?cos?2

第三篇：高考數(shù)學證明法高二

數(shù)學證明法（高二）

明確復習目標

1．理解不等式的性質和證明;

2．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。

建構知識網(wǎng)絡

1.比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式：

（1）比差法：步驟是：①作差；②分解因式或配方；③判斷差式符號；

（2）比商法：要證a>b且b>0，只須證 a?1。b

說明：①作差比較法證明不等式時，通常是進行通分、因式分解或配方，利用各因式的符號或非負數(shù)的性質進行判斷；

②證冪、乘積的不等式時常用比商法，證對數(shù)不等式時常用比差法。運用比商法時必須確定兩式的符號；

2.綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（如均值不等式，常用不等式，函數(shù)單調(diào)性）作為基礎，再運用不等式的性質推導出所要證的不等式的方法。

3.分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。這種證明方法叫做分析法。要注意書寫的格式, 綜合法是分析法的逆過程

4．對較復雜的不等式先用分析法探求證明途徑，再用綜合法,或比較法加以證明。

5.要掌握證明不等式的常用方法，此外還要記住一些常用不等式的形式特點,運用條件,等號、不等號成立的條件等。

經(jīng)典例題做一做

【例1】（1）已知a,b∈R,求證:a2+b2+1>ab+a

a

22b22（2）設a?0,b?0,求證()?()?a2?b2.ba

【例2】已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.111

1【例3】已知?ABC的三邊長為a,b,c,且m為正數(shù).求證:abc??.a?mb?mc?m

【例4】設二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的兩根x1、x2滿足1＜x1＜x2＜1.a

（1）當x∈（0，x1）時，證明x＜f（x）＜x1；

（2）設函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=x0對稱，求證x0＜x1.2【研討.欣賞】已知a＞1，m＞0，求證：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）.提煉總結以為師

1.比較法是一種最重要的、常用的基本方法，其應用非常廣泛，一定要熟練掌握.步驟是：作差→變形(分解因式或配方)→判斷符號.對于積或冪的式子可以作商比較,作商比較必須弄清兩式的符號.2.對較復雜的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分條件,再證這個條件(不等式)成立.3.綜合法是最簡捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,綜合法寫出.有時也需要幾種方法綜合運用.4.要熟練掌握均值不等式、四種平均值之間的關系，記住一些常用的不等式，記住它們的形式特點、證明方法和內(nèi)在聯(lián)系。

【解答題】

y11x7.(1)已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求證：＞ abx?ay?b

(2)若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1．

8．己知a,b,c都是正數(shù)，且a,b,c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)2.9.設x>0,y>0且x≠y,求證x?y?3133??x2?y

?

附錄：不等式基本概念

一．考試要求：

(1)理解不等式的性質及其證明.(2)掌握兩個(不擴展到三個)正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應用.(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單不等式.(4)掌握簡單不等式的解法.(5)理解│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

【注意】不等式在數(shù)學的各個分支中都有廣泛的應用，同時還是繼續(xù)學習高等數(shù)學的基礎.縱觀歷年試題，涉及不等式內(nèi)容的考題大致可分為以下幾類：①不等式的證明；②解不等式；③取值范圍的問題；④應用題.三．基礎知識:

1.常用不等式：

（1）a,b?R?a?b?2ab(當且僅當a＝b時取“=”號)． 2

2a?b?(當且僅當a＝b時取“=”號)． 2

333（3）a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).（2）a,b?

R??

（4）柯西不等式

(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.（5）a?b?a?b?a?b.2.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

（1）若積xy是定值p，則當x?y時和x?y有最小值2p；

（2）若和x?y是定值s，則當x?y時積xy有最大值

3.一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)212s.4(a?0,??b2?4ac?0)，22如果a與ax?bx?c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax?bx?c異號，則其解

集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；

x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).4.含有絕對值的不等式 當a> 0時，有

x?a?x2?a??a?x?a.x?a?x2?a2?x?a或x??a.5.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

(1)當a?1時,af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.?f(x)?g(x)?

(2)當0?a?1時,af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0

?f(x)?g(x)?

三．基本概念

1、不等式的性質：

（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a?b,c?d，則a?c?b?d（若a?b,c?d，則a?c?b?d），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；

（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若a?b?0,c?d?0，則ac?bd

若a?b?0,0?c?d，則ab?； cd

nn（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若a?b?0，則a?

b?

（4）若ab?0，a?b，則1111?；若ab?0，a?b，則?。abab

2.不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法 ；(8)圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。

3.利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。

4.常用不等式有：

??(根據(jù)目標不等式左右的運算結構選用)；（1?222（2）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（當且僅當a?b?c時，取等號）；

bb?m（3）若a?b?0,m?0，則?（糖水的濃度問題）。aa?m5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結論。).常用的放縮技巧有：1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

6.簡單的一元高次不等式的解法：

標根法：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；

（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；

（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。

7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。

8.絕對值不等式的解法：

（1）分段討論法（最后結果應取各段的并集）：

（2）利用絕對值的定義；

（3）數(shù)形結合9、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是?”。注意：按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集.提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；

（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。

11.含絕對值不等式的性質：

a、b同號或有

0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；

a、b異號或有

0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征，利用數(shù)形結合法）

1).恒成立問題

若不等式f?x??A在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上f?x?min?A

若不等式f?x??B在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上f?x?max?B

第四篇：高二數(shù)學構造函數(shù)法在不等式證明中運用

構造函數(shù)法在不等式證明中運用

作者：酒鋼三中 樊等林

不等式的證明歷來是高中數(shù)學的難點，也是考察學生數(shù)學能力的主要方面。不等式的證明方法多種多樣，根據(jù)所給不等式的特征，巧妙的構造適當?shù)暮瘮?shù)，然后利用一元二次函數(shù)的判別式、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性等來證明不等式，統(tǒng)稱為函數(shù)法。本文通過一些具體的例子來探討一下怎樣借助構造函數(shù)的方法證明不等式。

一、構造函數(shù)利用判別式證明不等式 ①構造函數(shù)正用判別式證明不等式

在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數(shù)有關或能通過等價轉化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。

例1.設：a、b、c∈R，證明：a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0成立，并指出等號何時成立。

解析：令f(a)?a2?(3b?c)a?c2?3b2?3bc

⊿＝(3b?c)2?4(c2?3b2?3bc)??3(b?c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)?0，∴a2?ac?c2?3b(a?b?c)?0恒成立。

當⊿＝0時，b?c?0，此時，f(a)?a2?ac?c2?3ab?(a?c)2?0，∴a??b?c時，不等式取等號。

?4?例2.已知：a,b,c?R且a?b?c?2,a2?b2?c2?2，求證： a,b,c??0,?。

?3??a?b?c?222解析：?2 消去c得： a?(b?2)a?b?2b?1?0，此方程恒成立，22?a?b?c?2∴⊿＝(b?2)2?4(b2?2b?1)??3b2?4b?0，即：0?b??4?同理可求得a,c??0,?

?3?4。3② 構造函數(shù)逆用判別式證明不等式

對某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結論，結合判別式的結構特征，通過構造二項平方和函數(shù)：f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2

由f(x)?0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明。

例3.設a,b,c,d?R?且a?b?c?d?1，求證：4a?1?4b?1?4c?1?4d?1﹤6。解析：構造函數(shù)：

f(x)?(4a?1x?1)2?(4b?1x?1)2?(4c?1x?1)2?(4d?1x?1)

2＝8x2?2(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)x?4.(?a?b?c?d?1)由f(x)?0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a?1?4b?1?4c?1?4d?1)2?128?0.∴4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?42﹤6.例4.設a,b,c,d?R?且a?b?c?1，求解析：構造函數(shù)f(x)?(＝(1ax?a)2?(149??的最小值。abc2bx?b)2?(3cx?c)2

1492??)x?12x?1,(?a?b?c?1)abc111由f(x)?0（當且僅當a?,b?,c?時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（??）≤0

abc111149

∴當a?,b?,c?時，(??)min?36

632abc

二、構造函數(shù)利用函數(shù)有界性證明不等式

例5.設a﹤1，b﹤1，c﹤1，求證：ab?bc?ac﹥-1.解析：令f(x)?(b?c)x?bc?1為一次函數(shù)。

由于f(1)?(1?b)(1?c)﹥0，且f(x)?(1?b)(1?c)﹥0，∴f(x)在x?(?1,1)時恒有f(x)﹥0.又∵a?(?1,1)，∴f(a)﹥0，即：ab?bc?ac?1﹥0 評注：考慮式中所給三個變量的有界性，可以視其為單元函數(shù)，轉化為f(a)??1。

三、構造函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式

aba?b?例6.設a,b?R?，求證：﹥ 1?a1?b1?a?b解析：設f(x)?又x1?1?，當x﹥0時，f(x)是增函數(shù)，1?x1?xaba?b?aba?b?2aba?b?ab??f(a?b?ab)，＝﹥＝1?a1?b(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)1?a?b?ab而a,b?R?，∴a?b?ab﹥a?b，∴f(a?b?ab)﹥f(a?b)故有： aba?b?﹥ 1?a1?b1?a?b例7.求證：當x﹥0時，x ﹥ln(1?x)。解析：令f(x)?x?ln(x?1)，∵x﹥0，∴f/(x)?1?1x? ﹥0.x?1x?1又∵f(x)在x?0處連續(xù)，∴f(x)在?0,???上是增函數(shù)，從而，當x﹥0時，f(x)?x?ln(1?x)﹥f(0)＝0，即：x﹥ln(1?x)成立。

評注：利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式和比較大小是常見的方法，特別是在引入導數(shù)后，單調(diào)性的應用將更加普遍。

四、構造函數(shù)利用奇偶性證明不等式

xx(x?0)。例8.求證：﹤x21?2xx?xx?x?2xx??＝解析：設f(x)?-(x?0)，f(?x)?＝x?xx221?21?22?12xxxxx1?(1?2)??x?＝＝f(x).21?2x21?2x??所以f(x)是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱。

當x﹥0時，1?2x﹤0，故f(x)﹤0；當x﹤0時，依圖象關于y軸對稱知f(x)﹤0。

xx(x?0)﹤21?2x評注：這里實質上是根據(jù)函數(shù)奇偶性來證明的，如何構造恰當?shù)暮瘮?shù)充分利用其性質是關健。

由上述幾種情況可以看出，能否順利地構造函數(shù)利用其函數(shù)性質和使用數(shù)學思想來證明不等式，最重要的是要有扎實的基本功和多種思維品質，敢于打破常規(guī)，創(chuàng)造性地思維，才能獨辟蹊徑，使問題獲得妙解。故當x?0時，恒有f(x)﹤0，即

第五篇：高二數(shù)學上學期期中期末考試50題基礎解析版

期中解答題精選50題（基礎版）

1．（2020·浙江）已知平面內(nèi)兩點M（4，﹣2），N（2，4）.（1）求MN的垂直平分線方程；

（2）直線l經(jīng)過點A（3，0），且點M和點N到直線l的距離相等，求直線l的方程.【答案】（1）x﹣3y＝0（2）x＝3或3x+y﹣9＝0

【詳解】解：（1）平面內(nèi)兩點M（4，﹣2），N（2，4），所以MN中點坐標為（3，1），又直線MN的斜率為，所以線段MN的中垂線的斜率為，線段MN的中垂線的方程為，即x﹣3y＝0.（2）當直線l與直線MN平行時，由（1）知，kMN＝﹣3，所以此時直線l的方程為y＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣9＝0；

當直線l經(jīng)過點（3，1）時，此時直線的斜率不存在，所以直線方程為x＝3；

綜上知，直線l的方程為x＝3或3x+y﹣9＝0.2．（2020·長春市第二十九中學高二期中（文））已知兩條直線

與的交點為P，直線的方程為：

（1）求過點P且與平行的直線方程；

（2）求過點P且與垂直的直線方程．

【答案】（1）；（2）．

【詳解】解：（1）由得,∴，∵，∴過點P且與平行的直線方程為：，即

（2）∵，過點P且與垂直的直線方程為：

即

3．（2021·全國高二期中）已知點在圓C：上．

（Ⅰ）求該圓的圓心坐標及半徑長；

（Ⅱ）過點M（﹣1，1），斜率為的直線l與圓C相交于A，B兩點，求弦AB的長．

【答案】（Ⅰ）圓心，半徑；（Ⅱ）弦長

【詳解】（Ⅰ）由題可知：

所以圓的標準方程為

所以圓心，半徑

（Ⅱ）直線的方程為，即

則圓心到直線的距離為

所以弦長

4．（2020·六安市裕安區(qū)新安中學高二期中（理））已知△ABC的三個頂點分別為A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC邊上的中線所在直線的方程；

（2）求BC邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.【詳解】（1）因為B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中點為M(4，2).因為A(2，4)在BC邊上的中線上，所以所求直線方程為=，即BC邊上的中線所在直線的方程為x+y-6=0.（2）因為B(1，1)，C(7，3)，所以直線BC的斜率為=.因為BC邊上的高所在直線與直線BC垂直，所以BC邊上的高所在直線的斜率為-3.因為A(2，4)在BC邊上的高上，所以所求直線方程為y-4=-3(x-2)，即BC邊上的高所在直線的方程為3x+y-10=0.5．（2020·六安市裕安區(qū)新安中學高二期中（理））已知實數(shù)滿足，求的最小值.【答案】5.【詳解】

表示點與圓上動點之間的距離的平方，若最小，則也最小，數(shù)形結合知的最小值為，故的最小值為5.6．（2020·重慶市萬州南京中學）在直角坐標系中，已知圓與直線相切，（1）求實數(shù)的值；

（2）過點的直線與圓交于?兩點，如果，求.【答案】（1）；（2）.【詳解】解:（1）圓的方程可化為，圓心，半徑，其中，因為圓與直線相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即，解得；

（2）當直線斜率不存在時，其方程為，此時圓心到直線的距離，由垂徑定理，不合題意；

故直線斜率存在，設其方程為，即，圓心到直線的距離，由垂徑定理，即，解得，故直線的方程為，代入圓的方程，整理得，解得，于是，這里，)，所以.7．（2019·靜寧縣第一中學高二期中（理））過原點O作圓x2+y2-8x=0的弦OA．

(1)求弦OA中點M的軌跡方程；

(2)延長OA到N，使|OA|=|AN|，求N點的軌跡方程.【答案】(1)x2+y2-4x=“0;“

(2)x2+y2-16x=0

試題分析：（1）設M點坐標為（x，y），那么A點坐標是（2x，2y），A點坐標滿足圓x2+y2-8x=0的方程，所以，（2x）2+（2y）2-16x=0，化簡得M

點軌跡方程為x2+y2-4x=0．

（2）設N點坐標為（x，y），那么A點坐標是（），A點坐標滿足圓x2+y2-8x=0的方程，得到：（）2+（）2-4x=0，N點軌跡方程為：x2+y2-16x=0．

8．（2019·蕪湖市城南實驗中學（文））在中，邊上的高所在的直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，若點的坐標為．

（1）求點的坐標；

（2）求直線BC的方程；

（3）求點C的坐標．

【答案】（1）（2）（3）

試題分析：（1）直線和直線的交點得，即的坐標為，（2）∵直線為邊上的高，由垂直得，所以直線BC的方程為

（3）∵的平分線所在直線的方程為，A(-1,0),B（1，2），,設的坐標為，則，解得，即的坐標為．

9．（2020·六安市城南中學高二期中（文））求圓心為且與直線相切的圓的標準方程．

【答案】．

【詳解】解：由題意可知圓的半徑為，所以所求的圓的方程為

10．（2020·山西大同一中高二期中（理））已知直線

（1）求直線的斜率；

（2）若直線m與平行，且過點，求m的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，可得，所以斜率為；

（2）由直線m與平行，且過點，可得m的方程為，整理得：.11．（2020·清遠市清新區(qū)鳳霞中學）圓的圓心坐標為，且過點

（1）求圓的方程；

（2）判斷直線與圓的位置關系，說明理由.如果相交，則求弦長．

【答案】（1）；（2）直線與圓相交；.【詳解】（1）圓的半徑．故圓的方程為．

（2）圓心到直線的距離，即，直線與圓相交，可知弦長為．

12．（2020·天津市濱海新區(qū)漢沽第六中學高二期中）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．

（1）斜率是，且經(jīng)過點；

（2）斜率為4，在軸上的截距為；

（3）經(jīng)過，兩點；

【答案】（1）（2）（3）

【詳解】（1）由直線的點斜式方程可得

即

（2）由直線的斜截式方程可得

即

（3）由直線的兩點式方程可得

即

13．（2020·安徽宣城·高二期中（文））若點A與點B到直線的距離相等，求a的值．

【答案】或

【詳解】因為點A與點B到直線的距離相等，所以有：或，解得：或.14．（2020·湖北）已知點，直線L經(jīng)過A，且斜率為.（1）求直線L的方程；

（2）求以B為圓心，并且與直線L相切的圓的標準方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）由題意，直線的方程為：，整理成一般式方程，得，∴直線L的方程為；

（2）由已知條件，得所求圓的圓心為，可設圓B方程為：，∵圓B與直線相切，∴

∴.故圓B的方程為.15．（2020·重慶市鳳鳴山中學）已知直線，圓C以直線的交點為圓心，且過點A(3,3)，（1）求圓C的方程；

（2）若直線

與圓C交于不同的兩點M、N，求|MN|的長度；

（3）求圓C上的點到直線的距離的最大值．

【答案】（1）；（2）：（3）．

【詳解】（1）聯(lián)立直線方程，即可得交點C(1,3)，圓C的半徑，∴圓C的方程為：.（2）由C點到直線的距離，∴|MN|=2．

（3）由C點到直線的距離，即圓C上點到直線距離的最大值為．

16．（2020·四川高二期中（理））已知直線過點和兩點

（1）求出該直線的直線方程(用點斜式表示)

（2）將（1）中直線方程化成斜截式，一般式以及截距式且寫出直線在x軸和y軸上的截距.【答案】（1）；（2）答案見解析.【詳解】解；（1）直線AB的斜率為

故直線AB的點斜式方程為：或.（2）由，得，可化為，當時，當時，所以斜截式：，一般式：，截距式：，在x軸上的截距為；在y軸上的截距為

17．（2020·四川省成都市鹽道街中學高二期中）在中，邊上的高所在的直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，若點的坐標為.（1）求點的坐標.（2）求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）聯(lián)立，解得，可得.（2）∵邊上的高所在的直線的方程為，∴，即，∴直線的方程為，整理得.18．（2020·合肥市廬陽高級中學高二期中（文））直線l經(jīng)過點，（1）直線l與直線垂直，求直線l的方程；

（2）直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）或

【詳解】（1）直線的斜率為，所以直線的斜率為，直線的方程為，即.（2）當直線過原點時，直線的方程為，當直線不過原點時，設直線的方程為，代入點的坐標得，解得，所以直線的方程為.19．（2020·九龍坡·重慶市育才中學）（1）已知直線經(jīng)過點且與直線垂直，求直線的方程.（2）已知直線與軸，軸分別交于兩點，的中點為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）．

【詳解】（1）直線的斜率，則，故直線的方程為；

（2）設，的中點為，知，則直線的方程為．

20．（2018·北京市第二中學分校高二期中（理））如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，．

（）求與平面所成角的正弦．

（）求二面角的余弦值．

【答案】(1)

.(2)

.詳解：

（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，即，兩兩垂直，∴以為原點，，分別為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標系，由，得，，，則，，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，∴，∴，故與平面所成角的正弦值為．

（）由（）可得，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，∴，∴，故二面角的余弦值為．

21．（2021·廣西平果二中高二期中（理））如圖，四棱錐中，為正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點.（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)見解析;(2).詳解：（1）連接，∵是正方形，是的中點，∴是的中點，∵是的中點，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，設平面的法向量，則，取得，設與平面所成角為，則.22．（2021·橫峰中學高二期中（理））如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．

（1）求異面直線EF與所成角的大?。?/p>

（2）證明：平面．

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標系．于是：，，，∴，，．

（1），∴

∴異面直線EF和所成的角為．

（2）

∴，即，∴即．

又∵，平面且

∴平面．

23．（2021·上海市進才中學高二期中）如圖所示，球O的球心O在空間直角坐標系的原點，半徑為1，且球O分別與x?y?z軸的正半軸交于A?B?C三點，已知球面上一點.（1）求證：；

（2）求D?C兩點在球O上的球面距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）由題意，，，，；

（2），，D，C兩點在球O上的球面距離為；

24．（2021·重慶市第二十九中學校高二期中）在邊長為2的菱形中，點是邊的中點（如圖1），將沿折起到的位置，連接，得到四棱錐（如圖2）

（1）證明：平面平面；

（2）若，連接，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析，（2）.【詳解】（1）連接圖1中的，因為四邊形為菱形，且

所以為等邊三角形，所以

所以在圖2中有，因為

所以平面，因為，所以平面平面

（2）因為平面平面，平面平面，所以平面

以為原點建立如圖空間直角坐標系

所以

所以

設平面的法向量為，則，令，則，所以

所以直線與平面所成角的正弦值

25．（2021·浙江溫州市·高二期中）在等腰梯形中，，E為中點，將沿著折起，點C變成點P，此時．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【詳解】（1）證明：取BE中點記為H,連結PH、CH，是CD中點,，且，四邊形ABED是平行四邊形，是邊長為2等邊三角形，由題意可知，是邊長為2的等邊三角形，是中線，PH是中線，，又，平面PCH，；

（2）解：由（1）可求得，，又，平面，以為原點，HB，HC，HP所在直線為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標系，，設平面BCP的法向量為，即，令,則，平面BCP的法向量為，設直線與平面所成角為，所以直線與平面所成角的正弦值為.26．（2021·渝中·重慶巴蜀中學高二期中）如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，，，把沿BE折起，使得，得到四棱錐.如圖2所示.（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）在等腰梯形中，，可知，由可得.又，則，則，又，可得平面

（2）又，則以點E為原點，以EB，ED，EA所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間之間坐標系E-BDA.，，設平面的法向量為，則：

注意到，面AED的法向量，設平面ABC與平面AED所成銳二面角的平面角為，故

27．（2020·江西宜春市·宜春九中高二期中（文））已知圓，其中

（1）如果圓C與圓外切，求m的值；

（2）如果直線與圓C相交所得的弦長為，求m的值．

【答案】（1）；（2）

【詳解】解：（1）圓C的圓心為，半徑

因為圓C與圓外切，所以兩圓的圓心距等于其半徑和，即，解得

（2）圓C的圓心到直線的距離

因為直線與圓C相交所得的弦長為，所以，解得

28．（2020·合肥市廬陽高級中學高二期中（文））（1）求過點，且圓心在直線上的圓的標準方程.（2）已知圓C：，圓心在直線上，且圓心在第二象限，半徑長為求圓的一般方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）線段的中點為，線段的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，線段的垂直平分線方程為.，即圓心坐標為，半徑為，所以圓的標準方程為.（2）圓心，∵圓心在直線上，∴，即.①

又∵半徑長，∴.由①②可得或

又∵圓心在第二象限，∴，即.則.故圓的一般方程為.29．（2020·合肥市廬陽高級中學高二期中（文））直線l經(jīng)過點，（1）直線l與兩個坐標軸圍成的三角形的面積是4的直線方程.（2）直線l與兩個坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小時的直線方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】設直線方程為，由直線l經(jīng)過點可得，（1）由題可得，解得，，則直線方程為；

（2），∴，當且僅當，時面積取最小值，則直線方程為.30．（2020·黑龍江佳木斯一中高二期中（文））已知的三個頂點，．

（1）求邊上的中線所在直線方程以及中線的長度；

（2）求邊上的高線的長度．

【答案】（1）；；（2）.【詳解】（1）的三個頂點，，故邊上的中點，所以邊上的中線的長度，邊上的中線所在直線方程為，即．

（2）由于邊所在的直線方程為，即，故邊上的高線的長度，即點到直線的距離為．

31．（2020·通城縣第二高級中學高二期中）求過點，且與圓相切的直線l的方程.【答案】或.【詳解】設切線方程為，即，∵圓心到切線l的距離等于半徑2，∴，解得，∴切線方程為，即，當過點M的直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑2.綜上可知，所求直線方程為或.32．（2020·四川省瀘縣第二中學（理））已知兩條直線，．

（1）當為何值時，與垂直；

（2）當為何值時，與平行．

【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）若與垂直，則，解得：；

（2）若與平行，則，解得：.33．（2020·湖南湘潭市·湘潭一中高二期中）已知直線：

().（1）證明：直線過定點；

（2）若直線交軸負半軸于，交軸正半軸于，的面積為(為坐標原點)，求的最小值并求此時直線的方程．

【答案】（1）證明見解析；（2）4，.【詳解】（1）證明：直線的方程可化為，令，則，解得，∴無論取何值，直線總經(jīng)過定點.（2）由題意可知，再由的方程，得，．

依題意得：，解得．

∵.當且僅當，即時取等號，∴，此時直線的方程為．

34．（2021·全國高二期中）已知斜率為的直線與圓心為的圓相切于點，且點在軸上.（1）求圓的方程；

（2）若直線與直線平行，且圓上恰有四個不同點到直線距離等于，求直線縱截距的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）依題意，設點的坐標為.，解得，即點的坐標為，從而圓的半徑.故所求圓的方程為.（2）因為，設：，由圓上恰有四個不同點到直線距離等于，得圓心到直線的距離，解得.即直線縱截距的取值范圍為.35．（2020·黑龍江哈爾濱·哈九中高二期中（理））已知的三個頂點的坐標分別為，.（1）求邊上中線所在直線的方程；

（2）求邊上高所在直線的方程.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）中點為，直線方程為：，即；

（2），直線方程為：，即.36．（2021·安徽省懷寧中學高二期中（文））大家知道，等邊三角形的重心(三條中線的交點)?外心(三條邊的中垂線的交點)?垂心(三條高的交點)三點重合.（1）觀察等腰直角三角形(如圖)，若其重心是?外心為?垂心為，判斷??的位置關系以及線段和的長度之間的數(shù)量關系.（2）若是等腰三角形(如圖)，且，驗證（1）的結論是否成立？若成立，請證明你的結論.【答案】（1）可得到??三點共線，且；（2）答案見解析.【詳解】（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，設等腰直角三角形中，所以有，顯然重心的坐標為：，外心的坐標為：，顯然垂心與點重合，，所以有，因此??三點共線，且；

（2）建立如圖所示的直角坐標系：

因為，所以有，顯然重心的坐標為：，設，由，即

且，解得，即，設，因此有：，即，即，，所以有，因此??三點共線，且.37．（2020·安徽立人中學高二期中（文））已知圓過點，且與圓關于直線對稱．

（1）求圓、圓的方程；

（2）過點Q向圓和圓各引一條切線，切點分別為C，D，且，則是否存在一定點M，使得Q到M的距離為定值？若存在，求出M的坐標，并求出的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1），；（2）存在，Q到M的距離為定值．

【詳解】（1）設圓的圓心，因為圓與圓關于直線對稱，可得，解得，設圓的方程為，將點，代入可得，所以圓的方程為，圓的方程為．

（2）由，根據(jù)切線長公式，可得，設，則，化簡得，所以存在定點使得Q到M的距離為定值．

38．（2021·安徽高二期中（文））已知圓：.（1）若圓的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；

（2）從圓外一點向圓引切線PM，M為切點，O為坐標原點，且有，求使最小的點P的坐標.【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）圓：的標準方程為，所以圓心，.設圓的切線在x軸和y軸上的截距分別為a，b，①當時，切線方程可設為，即，由點到直線的距離公式，得.所以切線方程為.②當時，切線方程為，即.由點到直線的距離公式，得，.所以切線方程為，.綜上，所求切線方程為，.（2）由圓的切線性質可知：，∵，∴.即.整理得.∴.當時，最小，此時，∴.39．（2021·上海市長征中學高二期中）1972年9月，蘇步青先生第三次來到江南造船廠，這一次他是為解決造船難題、開發(fā)更好的船體數(shù)學放樣方法而來，他為我國計算機輔助幾何設計的發(fā)展作出了重要貢獻.造船時，在船體放樣中，要畫出甲板圓弧線，由于這條圓弧線的半徑很大，無法在鋼板上用圓規(guī)畫出，因此需要先求出這條圓弧線的方程，再用描點法畫出圓弧線.如圖，已知圓弧的半徑

r

=29米，圓弧所對的弦長l

=12米，以米為單位，建立適當?shù)淖鴺讼?，并求圓弧的方程（答案中數(shù)據(jù)精確到0.001米，）.【答案】

【詳解】

如圖，以所在直線為軸，弦的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，設圓弧的圓心為，連接，則，所以，即圓心的坐標為，所以圓弧的方程為

40．（2020·阜陽市耀云中學高二期中）三角形的頂點是A（，0）、B（，3）、C（0，5）.求這個三角形的三邊所在直線的方程.【答案】，．

【詳解】由題意直線方程為，即，直線方程為，即，直線方程為，即．

41．（2010·貴州遵義市·高二期中）已知正方形的中心為，一邊所在直線的方程為，求其他三邊所在的直線方程.【答案】，【詳解】正方形的中心到四邊的距離均為，設正方形中與已知直線平行的邊所在的直線方程為，則，即，解得（舍去）或.故與已知直線平行的邊所在的直線方程為；

設正方形中與已知直線垂直的邊所在的直線方程為，則，即，解得或，所以正方形另一組對邊所在的直線方程分別為和；

綜上所述，正方形其他三邊所在的直線方程分別為，.42．（2020·北京市第十二中學高二期中）已知圓經(jīng)過點，．

（1）求圓的方程；

（2）若直線：與圓交于，兩點，且，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設圓的方程為，圓經(jīng)過，三點，則有，解可得：，，故要求圓的方程為；

（2）根據(jù)題意，圓的方程為，圓心坐標為，半徑，若直線與圓交于，兩點，且，則圓心到直線的距離，則有：，解可得：，故．

43．（2020·北京市第十二中學高二期中）已知三個頂點的坐標分別為，．求：

（1）過點且與直線平行的直線方程．

（2）中，邊上的高線所在直線的方程．

【答案】（1）；（2）．

【詳解】解：（1）因為三個頂點的坐標分別為，，所以直線的斜率為，則過點且與直線平行的直線方程為，即.（2）因為直線的斜率為，所以中邊上的高所在直線的斜率為-1，又高所在直線過點，所以高所在直線的方程為，即．

44．（2021·江西高安中學高二期中（理））如圖所示的幾何體中，是菱形，平面，.（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）證明：取中點，連結，設交于，連結，在菱形中，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，∵，分別是，的中點，∴，又，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，則，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）由（1）中證明知，平面，則，兩兩垂直，以，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由及是菱形，得，，則，，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，求得，所以，同理，可求得平面的一個法向量為，設平面與平面構成的二面角的平面角為，則，又，∴，∴平面與平面構成的二面角的正弦值為.45．（2020·安徽淮北·高二期中（理））如圖所示，與都是邊長為的正三角形，平面平面，平面，．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【詳解】（1）證明：取中點，因為為正三角形，所以．

由于平面平面，平面平面，所以平面．

又因為平面，所以．又平面，平面，所以平面．

（2）連接，則，又平面．

取為原點，直線，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系如圖所示．，則各點坐標分別為，，．．

設平面的法向量為，由

得，解得，取，得．又平面的法向量為，所以，設所求二面角為，則．

46．（2021·北京一七一中）如圖，在四棱錐中，平面平面，O，M分別為線段AD，DE的中點．四邊形BCDO是邊長為1的正方形，．

（1）求證：平面ABE；

（2）求直線DE與平面ABE所成角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）

【詳解】解：（1）如圖取線段中點，連接、，為中點，，又四邊形是邊長為1的正方形，，．四邊形為平行四邊形，．

面，面，平面；

（2）連接，為中點，．

面，面面，面面．

面．

又面，面，，如圖建立空間直角坐標系．，，0，，1，，1，，0，，設面的法向量為，由，可取．，．

直線與平面所成角的正弦值為；

47．（2021·北京延慶·高二期中）如圖，正方體中，棱長為2，分別是，的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【詳解】解：（Ⅰ）證明：取的中點，連接，．

因為是的中點，所以，．

因為是的中點，所以，．

所以，．

所以四邊形是平行四邊形．

所以．

因為平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）因為正方體中，以點為坐標原點，分別以直線，為，軸建立空間直角坐標系．

所以，，所以，，設平面的法向量為，所以

所以直線與平面所成角的正弦值．

48．（2021·重慶實驗外國語學校）如圖1，在等腰梯形中，分別是的兩個三等分點．若把等腰梯形沿虛線折起，使得點和點重合，記為點，如圖2．

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大?。?/p>

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【詳解】解：（1）因為分別是的兩個三等分點，所以四邊形是正方形；

所以，又因為，且，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．

（2）過作于，過作的平行線交于，則面，又所在直線兩兩垂直，故以它們所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，易知，所以，設平面的法向量為，則，取，則

同理，設平面的法向量為，則，取，則，所以，所以平面與平面所成銳二面角的大小為.49．（2020·山西晉城·高二期中（理））如圖，在多面體中，平面，點到平面的距離為，是正三角形，．

（1）證明：．

（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點，連接，．，且，就是點到平面的距離，即平面

平面，又，四邊形是平行四邊形，是正三角形，．

（2）解：由（1）得平面，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，，則由得，令，得．

設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值．

50．（2020·天津市天津中學高二期中）如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，且點和分別為和的中點.（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求點到平面的距離；

（4）設為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）；（4）.【詳解】（1）證明：以點為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，因為，分別為，的中點，則，由題意可知，是平面的一個法向量，又，所以，又平面，故平面；

（2）解：由（1）可知，，設平面的法向量為，則，令，則，故，設平面的法向量為，則，令，則，故，所以，故二面角的正弦值為；

（3）解：因為，，設平面的法向量為，則，令，則，故，所以，設點到平面的距離為，則，所以點到平面的距離為；

（4）解：由題意，設，其中，則，所以，又時平面的一個法向量，因為直線和平面所成角的正弦值為，則，整理可得，又，解得或（舍），故線段的長為.