第一篇：【新課教學過程(二)】3.1.2共面向量定理Z

3．1．2共面向量定理（教學過程2）

一、教學目標：

知識與技能：了解共面向量的含義，理解共面向量定理；

利用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題．

過程與方法：運用類比的方法，自主探究向量共面的條件,并能靈活運用．

情感態(tài)度與價值觀：體會類比，化歸的思想方法；領悟數(shù)學研究方法的模式化特點，感受理

性思維的力量．

二、教學重點：共面向量的含義，理解共面向量定理．

三、教學難點：利用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題．

四、教學過程

課前準備:

復習、關于空間向量線性運算的理解

（1）

C（2）

???

思考

1、如圖（1），MN可以由哪些向量相加得到？圖（2）中呢？

平面向量加法的三角形法則可以推廣到空間向量，只要圖形封閉，其中的一個向量即可

以用其它向量線性表示．

從平面到空間，類比是常用的推理方法．

思考

2、的向

量稱為平行向量或共線向量呢？ 思考

3、怎樣判定向量b與非零向量a是否為共線向量呢？．思考4：對于空間任意一點O，試問滿足?x?y（其中x+y=1）的三點P，A，B,三點是否共線？

思考

5、這個結(jié)論能解決什么問題？．

新課導學：

師生共同活動

???

思考

1、如圖：在長方體中，向量a、b、p與面ABCD有怎樣的位置關系？

思考

2、觀察下圖你能給出共面向量的定義嗎？

共面向量的定義：說明：

⑴共面向量與共線向量的定義對象不同，但形式相同．

⑵向量a與平面α平行是用a所在直線 l與α平行或在α內(nèi)來定義的，因此//? 與直線a//α既有聯(lián)系也有區(qū)別．

思考

3、在平面向量中，向量與向量(≠0)共線的充要條件是存在實數(shù)λ,使得b=λa,那么空間任意一個向量與兩個不共線向量,共面時,它們之間有什么樣的關系?．

共線向量基本定理:． 證明：

先證必要性∵向量p與向量a、b共面，∴表示它們的有向線段可位在同一平面內(nèi)，于是根據(jù)平面向量的基本定理，一定存在實數(shù)對(x,y)，使?x?y．再證充分性

?xa、yb分別與 內(nèi)。a、b共線，xa、yb都在a、b確定的平面

?x?y是以|x|、|y|為鄰邊的平行四邊形的一條對角線表示的向量，并且此平行四邊形在∴?x?y在即向量與向量確定的平面內(nèi)，確定的平面內(nèi)，共

面．

說明：當向量、都是非零向量時，共面向量定理實際上也是、所在直線共面的充要條件，但用于判斷時，還需證明其中一直線上有一點在另兩條直線確定的平面內(nèi)．

五、數(shù)學應用

例

1、如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相交于AD，點M，N分別在對角

線BD，AE上，且BM=

2BD，AN=AE．求證：MN∥平面CDE． 3

3A

F

B

C

試試：課本P76練習

1N

D

E

?????????

探究:對于空間任意一點O,試問滿足向量關系OP?xOA?yOB（其中x+y=1）的三點P、A、B是否共線?

類比3:設空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若點P滿足向量關系

?x?y?z（其中x+y+z=1）

試問：P、A、B、C四點是否共面？

分析：要判斷P、A、B、C四點是否共面，可考察三個共起點的向量AP,AB,是否共面． 解：由x+y+z=1(不妨設x≠0),可得x=1-y-z,則

?????????????????????

OP?xOA?yOB?zOC?(1?y?z)OA?yOB?zOC

???????????????

?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)????????????

所以OP?OA?yAB?zAC，即?y?z

由 A,B,C三點不共線，可知AB與AC不共線，所以AP,AB,AC共面且具有公共起點A.從而P,A,B,C四點共面． 思考：①為什么要不妨設x≠0？

②反過來成立嗎？

設空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若P、A、B、C四點共面，且點P滿足向量關系?x?y?z，則x+y+z=1一定成立嗎？

????????????

③如果將x+y+z=1整體代入，由(x?y?z)OP?xOA?yOB?zOC出發(fā)，你能得

到什么結(jié)論？

????????試試：已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量OE=kOA，????????????????????????

OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD,求證：

⑴四點E、F、G、H共面； ⑵平面EG∥平面AC．

證明：⑴∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴??,??

A

H

B

G

?kOC?kOA?kAC?k(AD?AB)?k(OD?OA?OB?OA)

F

?OH?OE?OF?OE?EF?EH

∴四點E、F、G、H共面

⑵????k?k?k,又由⑴證明知?k，又∵k≠1，即點E不在平面AC上，即E不在直線AB、AC上，∴EF∥AB，EG∥AC，∴平面EG∥平面AC

課堂達標：

????1????2????2????

1、已知A,B,C三點不共線，對平面外任一點，滿足條件OP?OA?OB?OC，55

5試判斷：點P與A,B,C是否一定共面？

????????????????????????????????

2．已知兩個非零向量e1,e2不共線，如果AB?e1?e2，AC?2e1?8e2，AD?3e1?3e2，求證：A,B,C,D共面．

????????????

3．已知a?3m?2n?4p,b?(x?1)m?8n?2yp，a?0，若a//b，求實數(shù)x,y值．

4．如圖，E,F,G,H分別為正方體AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中點，求證：（1）E,F,D,B四點共面；（2）平面AEF//平面BDHG．

F

D

1E

HB1

GC1

答案： 課堂達標

A1

D

B

C

????1????1????A

1．P、A、B、C四點共面；2．由AB?AC?AD得A、B、C、D四點共面；

53．x??13,y?8；4．證明略

5．已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點，（1）用向量法證明：E,F,G,H四點共面；（2）用向量法證明：BD//平面EFGH．

六、課堂小結(jié)：

1、共面向量的概念及向量共面的充要條件

2、從中學到了什么？

七、作業(yè)布置

八、教學反思

E D

B

第二篇：3.1.2空間向量基本定理學案范文

3．1．2空間向量的基本定理

一．自學達標： 1．共線向量定理：

2．共面向量定理：

3．空間向量分解定理:

?,b?,?

4．a(chǎn)c可作空間的基底的充要條件是：

5．已知平行六面ABCD-A??????????a,AD???b,????AA?

1B1C1D1,AB1?c，試用基底{a?,b?,?c}表示如下向量???AC???????????????1,BD1,CA1,DB

1二．例題精選：

例1．已知三棱柱ABC-A1B1C1，設

???AB???????a,AC??b?,????AA?

1?c，M,N分別為AC1 ,BC中點，證明：（1）????MN?，??a,?

c共面

（2〕證明：????MN??????

A1B

例2：空間四邊形中，???OA???a????,OB???b,???OC???

c，M,N分別

為OA,BC中點，G在MN上，NG?2GM，用基底

{a?,b?,?c}表示????MN?，???OG?

三．達標練習：

1．下列命題正確的是（）?

???

??A．若a與b共線，b與c共線，則a與ca?共線

??

B．向量、b、c共面即它們所在的直線共面

Ｃ．零向量沒有確定的方向??b?

Ｄ．若a，則存在唯一的實數(shù)?，使?a????b?

2.設空間四點O、A、B、P，滿足???OP??mOA?????nOB????，其中

m?n?1，則（）

A.P在直線AB上B.P不在直線AB上 C.點P不一定在直線AB上D.以上都不對

3.①任意給出三個不共面的向量都可以作為一個基底②已知?

a?b?，則?a，b?

與任何向量都不能構(gòu)成空間一個基底③A,B,M,N是空間四點，若???BA?,????BM?,???BN?

不能構(gòu)成空

???

間的一個基底，則A,B,M,N共面。④已知{a,b,c}是空

?????

c?????間的一個基底，若m?a，則{a,b,c,m}

也是空間的一個基底。其中正確的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4

{a?,b?,?

4．若c}是一組基底，則x?y?z?0是

xa??yb??zc?的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件 5．如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別在B和D?11

1B1D上，且BE3B1B，DF?3

D1D。

（1）證明A,E,C1,F四點共面；

（2）若???EF??xAB?????y???AD??z????

AA1，求x?y?z

自助餐：對于空間任一點O和不共線的三點A、B、C，且有???OP??xOA?????yOB?????zOC????

(x,y,z?R)，x?y?z?1，證明A,B,C,P四點共面

第三篇：平面向量基本定理(教學設計)

平面向量基本定理

教學設計

平面向量基本定理教學設計

一、教材分析

本節(jié)課是在學習了共線向量基本定理的前提下，進一步研究平面內(nèi)任一向量的表示，為今后平面向量的坐標運算打下堅實的基礎。所以，本節(jié)在本章中起到承上啟下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之間的基本關系，是向量解決問題的理論基礎。平面向量基本定理提供了一種重要的數(shù)學思想—轉(zhuǎn)化思想。

二、教學目標

知識與技能: 理解平面向量基本定理，學會利用平面向量基本定理解決問題，掌握基向量表示平面上的任一向量.過程與方法：通過學習習近平面向量基本定理，讓學生體驗數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力.情感態(tài)度與價值觀：通過學習習近平面向量基本定理，培養(yǎng)學生敢于實踐的創(chuàng)新精神，在解決問題中培養(yǎng)學生的應用意識。

教學重點：平面向量基本定理的應用； 教學難點：平面向量基本定理的理解.三、教學教法

1.學情分析: 學生已經(jīng)學習了向量的基本知識，并且對向量的物理背景有了初步的了解.2.教學方法：采用“問題導學—討論探究—展示演練”的教學方法，完成教學目標.3.教學手段：有效使用多媒體和視頻輔助教學，直觀形象.四、學法指導

1.導學：設置問題情境，激發(fā)學生學習的求知欲，引發(fā)思考.2.探究：引導學生合作探究，解決問題，注重知識的形成過程.3.應用：在解決問題中培養(yǎng)學生的應用意識與學以致用的能力.五、教學過程

針對以上情況，結(jié)合我?！皩W本課堂”模式，我設計了如下教學過程，分為六個環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)：問題導學 自主學習

首先是課前預習，預習學案分為問題導學、典例精析、鞏固拓展三大部分。通過預習學案，可以幫助學生完成課前預習。設計意圖：通過預習學案讓學生預習新知識，發(fā)現(xiàn)問題，使學習更具針對性，培養(yǎng)學生的自學與探索能力.第二環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境 導入課題

進入新課，引入課題采用問題情境的辦法。通過導彈的飛行方向和力的分解兩個實例，將問題類比，引入本節(jié)問題-向量的分解。為了幫助學生理解，提供了兩段直觀的視頻，直觀形象。設計意圖：借助實際與物理問題設置情境，引發(fā)學生思考與想象，將問題類比，引入本節(jié)課題。

第三環(huán)節(jié)：分組討論 合作探究

提出問題，進入探究階段。采用分組討論，合作探究的方法，先讓學生回顧知識-向量加法的平行四邊形法則。進入小組討論，共同討論兩個問題。

問題1：向量a與向量e1，e2共起點，向量a是同一平面內(nèi)任一向量，e1與e2不共線，探究向量a與e1，e2之間的關系.問題2：向量e1與e2是同一平面內(nèi)不共線的兩個向量，向量a是同一平面內(nèi)任一向量，探究向量a與e1，e2之間的關系.設計意圖：各小組成員討論交流，合作學習，共同探討問題，尋求結(jié)果，展示結(jié)果.第四環(huán)節(jié)：成果展示 歸納總結(jié)

小組討論完畢，由幾個小組展示研究成果。結(jié)合小組展示成果，借助多媒體展示，由師生共同探究向量的分解。展示過程中，要重點強調(diào)平移共起點，借助平行四邊形法則解說分解過程，加深學生的直觀映像，完成向量的分解。通過向量的分解，由學生小組討論，共同歸納本節(jié)的核心知識—平面向量基本定理。在定理中重點補充強調(diào)以下幾點說明：（1）基底e1,e2不共線，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，實數(shù)?1，?2唯一；（3）?1e1??e2叫做向量a關于基底e1,e2的分解式.第五環(huán)節(jié)：問題解決 鞏固訓練

引入定理后，應用定理解決學案例題與練習。例題1重在考查基底的概念，引導學生思考向量作為基底的條件，將問題轉(zhuǎn)化為兩個向量的共線問題。講解完例題1之后，通過一個練習，鞏固所學。通過兩個問題，讓學生認識理解基底的概念，把握基底的本質(zhì)，突出重點——平面向量基本定理的應用。在例題2中繼續(xù)強化對基底概念的理解，采用分組討論，合作探究的教學方法，共同探討解法，并由小組板演解題過程，最后強調(diào)解題步驟；此后，給出例2的一個變式題，讓學生進一步深刻理解基底，體會基底的重要作用。解決本節(jié)難點——平面向量基本定理的理解，通過例題3對平面向量基本定理綜合應用，解決三點共線問題。采用先啟發(fā)引導后學生探究的方法，解決學生的困惑。例題講解完畢后，對本題結(jié)論適當拓展，得到“當t?11，點P是AB的中點，OP=（OA?OB）”的重要結(jié)論。通過探究22本題，可以使學生深化對平面向量基本定理的理解，培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力.為了加強對定理的應用，在學案中設計了幾個鞏固練習，在課堂上當場完成，并及時糾錯，鞏固本節(jié)所學。

第六環(huán)節(jié)：拓展演練 反饋檢測

為了攻克難點，檢測效果，最后設計了幾道課后習題進行拓展延伸，培養(yǎng)學生的綜合能力。通過這些設計，可以增強教學的針對性，提高教學效果。在本節(jié)尾聲，讓學生回顧本節(jié)主要內(nèi)容，完成小結(jié)，并在小結(jié)中強調(diào)轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想及方法。最后是布置課后作業(yè)及時間分配與板書設計。

六、評價感悟

本節(jié)教學設計在“學本課堂”的教學模式下，采用“問題導學—討論探究—展示演練”的教學方法，引導學生自主學習，發(fā)現(xiàn)問題，小組討論，合作探究，解決問題。在教學過程中，學生處于主體地位，教師充分發(fā)揮學生的積極性，力求打造高效課堂。

以平面向量基本定理為主題，從預習知識到探究定理，學生始終參與學習，參與探究，主觀性與積極性得到了充分發(fā)揮，學習與探求知識的能力得到了極大的提升；應用定理解決問題，培養(yǎng)了學生的應用意識；通過學習定理，讓學生體會了轉(zhuǎn)化思想，提高了學習的綜合能力。

第四篇：專題二向量的坐標表示和空間向量基本定理

第7課時專題二向量的坐標表示和空間向量基本定理 任務1點共面問題

例1.已知A、B、C三點不共線，對平面外一點O，在下列條件下，點P是否一定與A、B、C共面？

（1）；（2）

例2.若點M在平面ABC內(nèi)，點O為空間中的任意一點，?????????

OM?xOA?1???

??1????OBOC,則x的值為3

3多少 筆記：

任務2空間向量基本定 理

例3已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且M分

成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實數(shù)x、y、z的值。

任務3 利用空間向量證明平行、垂直問題

例4.如圖，在四棱錐

P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB

⊥平面EFD；

筆記：

【堂中精練】

1．設????

????

????

O,P,A,B為空間任意四個點，若OP?mOA?nOB,且m?n?1,則（）

A.P在直線AB上B.P,A,B三點不共線C.P有可能在直線AB上D.以上都不對

2．若點M在平面ABC內(nèi)，點O為空間中的任意一點，?????????1????OM?xOA?OB?1????

OC,則x3

3的值為（）

A.1B.0C.3D.13

????????????????????????

3．設A,B,C,D為空間不共面的四點，且滿足AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0,則?BCD是

（）A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

4．若a,b均為單位向量，且?a,b??60?,則|a?3b

|?（）

B

CD.4點睛：點共面問題，可轉(zhuǎn)化為向量共面問題，要證明P、A、B、C四點共面，只

要

能

證

明，或

對空間任一點O，有

或

即可，以上結(jié)論是判定空間四點共面的一個充要條件，共面向量定理實際上

也是三個非零向量所在直線共面的必要條件。

點睛：結(jié)合圖形，從向量

出發(fā)，利用向量運算法則不斷進行分解，直到全部向量都

用、、表示出來，即

可求出x、y、z的值

點睛：證明線面平行的方

法：

①證 明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已 知直

線的方向向量共線

【反饋測評】

1.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點M,N,P,Q,R,S分別為AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中點，則MN?PQ化簡的結(jié)果為（）A.0B.RSC.SRD.NQ

????

???

????

?????

????

10已知A(1,?1,2),B(5,?6,2),C(1,3,?1),則?ABC中AC邊上的高BD是

2．在以下命題中，不正確的命題個數(shù)是（）①對于空間中任意????

????????????的四點A,B,C,D恒有AB?

BC?C?D0D?；A②

|a?|

b|?|a|?b?|共線；③若ab

a與b共線，則a與b所在直線平行；④對空間中任意的一點O和不共線的三點

????????????????

A,B,C,若OP?xOA?yOB?zOC（x,y,z?R)，則P,A,B,C四點共面。A.1B.2C.3D.43．若點G為?ABC的重心，點O是空間中任意一點，則下列結(jié)論中（）是正確的。

????

????????

????????A.GA?GB?GC?0

B.OG?1????OA?1????OB?1OC????????????OA?O?BO

????

?????2???2????

2????C.OG?

C D.OG?3OA?3O?B3O C4．下列命題正確的是（）A.若

????1????1????OP?OA?OB,則

P,A,B

三點共線2

3B.若{a,b,c}為一個基底，則{a?b,b?c,c?a}也為一個基底

C.|(a?b)c|?|a|?|b|?|c|

????????

D.?ABC為直角三角形的充要條件是AB?AC?0

5.已知向量a?(?1,2,3),b?(1,1,1),則向量a在向量b方向上的射影向量的模為

6.已知兩點A(1,?2,3),B(2,?1,1),則直線AB與平面xOz的交點坐標為

7.如圖，在矩形ABCD中，AB?1,BC?a,PA?平面AC，且PA?1,若在BC邊上存在兩個

點Q,使得PQ?QD,則正實數(shù)a的取值范圍是8如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC為直角的等腰三角形，AC?2a,BB1?3a,D是A1C1的中點，點E在棱AA1上，要使CE?平面B1DE，則AE? 9.設A,B,C,D為空間不共面的四點，且滿足

????????????????????????AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0,則?BCD是何三角形

11.若a,b均為單位向量，且?a,b??60?,則|a?3b|? 多少

12.如圖所示，邊長為a的正方形ABC是D和正方形ABEF相交于AB,?E

BD,AE上的動點，且AN?DM,試用向量解決：（1）證明：

求|MN|的最小值。

答案

例1.(1)P

與A、B、C共面。(2)P與A、B、C三點不共面

例2.1/3 例3

例4.連接AC，AC交BD于G，連接EG。

依題意得?！叩酌鍭BCD是正方形?！郍是此正方形的中心，故點G的坐標為，∴則

【堂中精練】5.A6.D7.C8.C 【反饋測評】1.C.2.A3.A4.B.5.6.C(,0,).7.a?(2,??).8.?AE?a或2a。

9.銳角三角形

12.(1)

由

C|a?3b|?(a?3b)?1?3?9?13.題意，設

BBD

?

MEA

E

?x(?x?0

N

則1),?????????????????????????????????BM?xBD?x(BA?BC),EN?xEA?x(BA?BE),???????????????????????MN?BN?BM?BE?EN?BM?

?????????????????????????????????

.B(?Ex?B)A(B?Ex?)?B(A1?xB)BCE?xBC

?MN//面EBC，?MN?面EBC，?MN//面EBC。

(2)|MN|max?asin

?

2.?????

第五篇：平面向量基本定理(教學設計)

平面向量基本定理

教學設計

教材分析：

分析基本定理在教材中的作用，讓學生有目標性地學習． 教學目標：

1．通過作圖法理解并掌握平面向量基本定理的內(nèi)容及含義．

2．深刻理解向量的基底表示的意義及作用，會將平面內(nèi)的任意一個向量用一組基底表示． 2．理解平面上兩個向量的夾角的概念及范圍，掌握平面內(nèi)兩個向量的位置關系． 3．會用平面向量基本定理解決向量相互表示的問題． 教學重難點：

重點：平面向量基本定理的內(nèi)容，向量基底的意義及應用； 難點：平面向量基本定理的應用．

教學方法：CAI課件、圖形模擬法、形成性歸納與總結(jié)． 課時安排：1課時． 教學過程： Ⅰ 新課導入

【回顧】：向量數(shù)乘運算．（重點回顧幾何意義及作圖方法）【圖片】：

幻燈片1

（展示生活中許多結(jié)構(gòu)與矢量的聯(lián)系）

【引入】：物理中力的合成與分解．

幻燈片2

（展示物理學中力的合成與分解）

?【問題】：力是物理學中的矢量，矢量也就是數(shù)學中的向量，那么平面內(nèi)的任一向量a能否都可?????以表示成?1e1??2e2的形式呢？

Ⅱ 新課講授

一、知識點精講 1．作圖分析

幻燈片3 幻燈片4 2．形成結(jié)論

幻燈片5 幻燈片6 3．練習

幻燈片7 Ⅲ 課時小結(jié)

本節(jié)課學習了平面向量的基本定理，注意基本定理的應用與向量的互相表示，這是重點，也是難點，同時還是以后學習向量坐標運算以及空間向量的基礎． Ⅳ 課后作業(yè)

（兩個例題，鞏固練習）

（歸納整理向量夾角的定義）

（動態(tài)展示向量的合成與分解）

（學生訓練）

（歸納整理平面向量基本定理的內(nèi)容）

T3． 課本P102-Ⅴ 教學反思