第一篇：高中數(shù)學知識復習要點掌握之平面向量

平面向量復習基本知識點及經(jīng)典結論總結

1、向量有關概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是?AB)；

|AB|

（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因為有0)；④三點A、B、C共線?AB、AC共線；

（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命題：（1）若a?b，則a?b。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若AB?DC，則ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則AB?DC。（5）若a?b,b?c，則a?c。（6）若a//b,b//c，則a//c。其中正確的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點在前，終點在后；（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，等；（3）坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j為基底，則平面內的任一向量a可表示為a?xi?yj??x,y?，稱?x,y?為向量a的坐標，a＝?x,y?叫做向量a的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數(shù)?

1、?2，使a=?1e1＋?2e2。如（1）若a?(1,1),b?

13；（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 A.a?b）2

213；（3）e1?(0,0),e2?(1,?2)B.e1?(?1,2),e2?(5,7)C.e1?(3,5),e2?(6,10)D.e1?(2,?3),e2?(,?)（答：B）2

424已知AD,BE分別是?ABC的邊BC,AC上的中線,且AD?a,BE?b,則BC可用向量a,b表示為_____a?b）；33(1,?1),c?(?1,2)，則c?______（答：

（4）已知?ABC中，點D在BC邊上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，則r?s的值是___（答：0）

4、實數(shù)與向量的積：實數(shù)?與向量a的積是一個向量，記作?a，它的長度和方向規(guī)定如下：?1??a??a,?2?當?>0時，?a的方向與a的方向相同，當?<0時，?a的方向與a的方向相反，當?＝0時，?a?0，注意：?a≠0。

5、平面向量的數(shù)量積：

（1）兩個向量的夾角：對于非零向量，作OA?a,OB?b，?AOB??

?0?????稱為向量，的夾角，當?＝0時，同向，當?＝?時，反向，當?＝2時，垂直。

（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a，b，它們的夾角為?，我們把數(shù)量|a||b|cos?叫做a與b的數(shù)量積（或內積或點積），記作：?，即?＝abcos?。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如（1）△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，則AB?BC?_________（答：－

9）；（2）已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c與d的夾角為?????????????????????????1212?4，則

k等于____（答：1）；（3）已知a?2,b?5,ab??3，則a?b等于____；（4）已知a,b是兩個非零向量，且a?b?a?b，則a與a?b的夾角為____（答：30）

（3）b在a上的投影為|b|cos?，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，則向量a在向量b上的投影為______（答：

?

?

????

12）

5（4）?的幾何意義：數(shù)量積?等于的模|a|與在上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質：設兩個非零向量，其夾角為?，則： ①a?b?a?b?0；

②當，同向時，?

＝ab，特別地，a?a?a?a,a?；當與反向時，?＝－ab；當?為銳角時，?＞0，且a、b不同向，a?b?0是?為銳角的必要非充分條件；當?為鈍角時，?＜0，且a、b不反向，a?b?0是?為鈍角的必要非充分條件；

③非零向量，夾角?的計算公式：cos??

?

?

22a?bab

；④|a?b|?|a||b|。如（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，??

如果a與b的夾角為銳角，則?的取值范圍是______（答：???

??????

41或??0且??）；（2）已知?OFQ的面積為S，3

3????

????13

且OF?FQ?1，若?S?，則OF,FQ夾角?的取值范圍是_________（答：(,)）；（3）已知

432

2a?(cosx,sixnb)?,與b之間有關系式ka?b??kb,其中k?0，①用k表示a?b；②求a?b的最(cyos,ysain

1k2?1

(k?0)；②最小值為，??60）小值，并求此時a與b的夾角?的大?。ù穑孩賏?b?4k26、向量的運算：（1）幾何運算：

①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加

法還可利用“三角形法則”：設AB?a,BC?b，那么向量AC叫做a與b的和，即a?b?AB?BC?AC；

②向量的減法：用“三角形法則”：設AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如（1）化簡：①AB?BC?CD?___；②AB?AD?DC?____

；③(AB?CD)?(AC?BD)?_____（答：①AD；②CB；③0）；（2）若正方形ABCD的邊長為1，；（3）若O是ABC所在平面內一點，且滿足AB?a,BC?b,AC?c，則|a?b?c|＝_____（答：）

?ABCOB?OC?OB?OC?2OA，則ABC的形狀為____（答：直角三角形）；（4）若D為?ABC的邊BC的中點，|AP|

；（5）若點O是△ABC的外??，則?的值為___（答：2）

|PD|

心，且OA?OB?CO?0，則△ABC的內角C為____（答：120）；

（2）坐標運算：設a?(x1,y1),b?(x2,y2)，則：

所在平面內有一點P，滿足PA?BP?CP?0，設

①向量的加減法運算：a?b?(x1?x2，y1?y2)。如（1）已知點A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若

1；（2）已知AP?AB??AC(??R)，則當?＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上（答：）2?1???

；（3）已知作用在點A(1,1)A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)，x,y?(?,)，則x?y?或?）22226的三個力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)，則合力F?F1?F2?F3的終點坐標是（答：（9,1））

②實數(shù)與向量的積：?a???x1,y1????x1,?y1?。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。如設A(2,3),B(?1,5)，且AC?

AB，AD?3AB，則C、D的坐標分別是__________（答：

3(1,1

1；),(?7,9)）

④平面向量數(shù)量積：a?b?x1x2?y1y2。如已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。（1）

?3??11,]，求向量、的夾角；（2）若x∈[?函數(shù)f(x)???的最大值為，求?的值（答：(1)150;(2)842

2或1）；

若x＝

⑤向量的模

：|a|?_____；

⑥兩點間的距離：若A?x

1,y1?,Bx?2y,a?|a|2?x2?y2。如已知

a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a?3b|＝

?，則|AB|?如如圖，在平面斜坐標系xOy中，?xOy?60，平面上任一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若OP?xe1?ye2，其中

（1）若點P的斜坐標為（2，e1,e2分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點斜坐標為(x,y)。－2），求P到O的距離｜PO｜；（2）求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x2?y2?xy?1?0）；

??

?b??a???ab?律：a?b?c??a??,b?ca?c?，??bc???a?b??a???b?；（3）分配律：

?????a??a??a,??a?b???a??b，?a?b??c?a?c?b?c。如下列命題中：① a?(b?c)?a?b?a?c；②

7、向量的運算律：（1）交換律：a?b?b?a，??a?????a，a?b?b?a；(2)結合?

?

?

??

??

?

a?(b?c)?(a?b)?c；③(a?b)?|a|

2?

?

?

??

?

?

????????

?2|a|?|b|?|b|；④ 若a?b?0，則a?0或b?0；⑤若a?b?c?b,則a?c；⑥a?a；⑦

a?ba

?

ba；

⑧(a?b)2?a?b；⑨(a?b)2?a?2a?b?b。其中正確的是______（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即(?)?(?)，為什么？

8、向量平行(共線)的充要條件：a//b?a??b?(a?b)2?(|a||b|)2?x1y2?y1x2＝0。如(1)若向量

u?a?2b，v?2a?b，當x＝_____時a與b共線且方向相同（答：2）；（2）已知a?(1,1),b?(4,x)，a?(x,1),b?(4,x)，且u//v，則x＝______（答：4）；（3）設PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，則k＝_____時，A,B,C共線（答：－2或11）

9、向量垂直的充要條件：a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x1x2?y1y2?0.特別地

（ABAB

?

ACAC)?（ABAB

?

AC

3；（2）)。如(1)已知OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?OB，則m?）2AC

以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，?B?90?，則點B的坐標是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知n?(a,b),向量n?m，且n?m，則m的坐標是________（答：(b,?a)或(?b,a)）

10.線段的定比分點：

（1）定比分點的概念：設點P是直線P1P2上異于P1、P2的任意一點，若存在一個實數(shù)?，使PP??PP2，則

1?叫做點P分有向線段PP?的定比分點； 12所成的比，P點叫做有向線段PP12的以定比為

（2）?的符號與分點P的位置之間的關系：當P點在線段 P1P2上時??>0；當P點在線段 P1P2的延長線上?，則點P分有時??<－1；當P點在線段P2P1的延長線上時??1??

?0；若點P分有向線段PP12所成的比為

向線段P2P1所成的比為

?

。如若點P分AB所成的比為

37，則A分BP所成的比為_______（答：?）

43?x???

?，（3）線段的定比分點公式：設P則?x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向線段PP1(12所成的比為

?y???

x1??x

21??，y1??y21??

x1?x2?x???2?特別地，當?＝1時，就得到線段P1P2的中點公式。在使用定比分點的坐標公式時，應明確(x,y)，?y?y1?y2??2(x1,y1)、(x2,y2)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據(jù)題設條件，靈活地確定起點，分

???1???

點和終點，并根據(jù)這些點確定對應的定比?。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MP??MN，則點P的坐標為

1_______（答：(?6,?)）；（2）已知A(a,0),B(3,2?a)，直線y?ax與線段AB交于M，且AM?2MB，則a等于

32_______（答：２或－４）

x??x?h

11.平移公式：如果點P(x,y)按向量a??h,k?平移至P(x?,y?)，則?；曲線f(x,y)?0按向量a??h,k??

k?y??y?

平移得曲線f(x?h,y?k)?0.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標不

變性，可別忘了??！如（1）按向量a把(2,?3)平移到(1,?2)，則按向量a把點(?7,2)平移到點______（答：（－８，(?３））；（2）函數(shù)y?sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是y?cos2x?1，則a＝________（答：

12、向量中一些常用的結論：

（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；

（2）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，特別地，當a、b同向或有0?|a?b|?|a|?|b|

??

?,1)）

；當a、b反向或有0?|a?b|?|a? b不共線?||a|?|b||?|a?b|；當a、|b|?|a|?|b|?|a|?|b).?|a|?|b|?|a|?|b?a|?|(這些和實數(shù)比較類似b

?x?x2?x3y1?y2?y3?

（3）在?ABC中，①若A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，則其重心的坐標為G?1,?。如

33??若⊿ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標為_______（答：(?

4,)）； 3

3②PG?(PA?PB?PC)?G為?ABC的重心，特別地PA?PB?PC?0?P為?ABC的重心；

③PA?PB?PB?PC?PC?PA?P為?ABC的垂心；

④向量?(AB?AC)(??0)所在直線過?ABC的內心(是?BAC的角平分線所在直線)；

|AB||AC|

⑤|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的內心；

?，點M為平面內的任一點，則MP?MP1??MP2，特別地P為PP（3）若P分有向線段PP12的中12所成的比為

1??

1?MP2； 點?MP?MP

2（4）向量PA、PB、PC中三終點A、B、C共線?存在實數(shù)?、?使得PA??PB??PC且????1.如平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(?1,3),若點C滿足OC?

???

?1OA??2OB,其中?1,?2?R且

??????

?1??2?1,則點C的軌跡是_______（答：直線AB）

第二篇：2014高考數(shù)學復習：平面向量

高考數(shù)學內部交流資料【1--4】

2014高考數(shù)學復習：平面向量

一選擇題（每題5分，共50分）

1.向量????﹒化簡后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面給出的關系式中，正確的個數(shù)是（）

10·=0○2 ·=·○

3?○4○2??5?a?b ????a??

A.0B.1C.2D.3 3.對于非零向量a.b,下列命題中正確的是（）

A.a?b?0 ?a?0或b?0B//?在上的投

影為。C.?????D.a?c?b?c?a?b

4.已知=?5,?2?,=??4,?3?,=?x,y?.若-2+3=.則等于()A.?1,?B.??2?8?

?3??138??134??134?,?C.?,?D.??,?? ?33??33??33?

1AB?()25已知???2,4?,??2,6?,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面內的一組基底，則下列四組向量中，不能作為一組基底的是（）

A.e1 和e1?e2B.e1—2e2和e2?2e1 C.e1—2e2和4e2?2e1 D.e1?e2和e1—e2 7已知?ABC中AB?AC>0,則?ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定 8已知??1,0?,??1,1?，且?k恰好與垂直，則實數(shù)k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不對

9.已知=??,2?,???3,5?，且與的夾角是鈍角，則?的范圍是（）

A.??10101010B.??C.??D.?? 3333

10.已知,是夾角為60的兩個單位向量，則?2?,??3?的夾角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空題（每題5分,共25分）

11.若a??6,?8?，則與a平行的單位向量是12.若向量,?1?2且與的夾角為13.?

1?

2，???0，則與的夾角為

?

?

?=3

14．設e1.e2為兩個不共線的向量，若?e1??e2與??2e1?3e2與共線，則??15已知平面內三點A.B.C?3?4

?5,則?????的值等于三．解答題（共75分）

16(12分)已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2其中e1??1,0?,e2??0,1?求：（1）?，（2）與夾角的余弦值。

17(12分).已知向量??3,?4?,??2,x?,??2,y?且//,?求：（1）x,y的值；（2的值

??

18.（12分）已知向量??sinx,1?,??cosx,1?（1）當a//b時，求cosx?sinxcosx的值；（2）求f(x)=?的最小正周期及最值。

19.（12分）已知??2,?2?4,?3?6（其中,是任意兩個不共線

向量），證明：A.B.C三點共線。

20．（13分）已知?ABC中，A?5,?1?，B??1,7?,C?1,2.?求（1）BC邊上的中線AM的長;（2）cos?ABC的值

21.（14

?3?2,的夾角為60，c?3a?5b,d?ma?3b；（1）當m為何值時，c與d垂直？（2）當m為何值時，c與d共線？

第三篇：2013高中文科平面向量習題精選

2013高中文科平面向量習題精選

一、證明三點共線

例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別在BC、CD上，且BG : GC＝DH: HC＝1: 2.設EG和HF交于點P，求證P、A、C三點共線.?????????????????????????????

解設DA?a,DB?b,DC?c，則AC?DC?DA?c?a, F PFEF

3??，∴ PF?3FH ?????????????????????????1??????????????∴PA?3FH?DF?3DH?DF?DF?3?DC?DF??DF

?3?

???????????????????DC?2DF?DC?DA?c?a????????

∴ PA?AC且A為PA、AC公共點，故P、A、C三點共線

∵

??

B G

二、證明直線平行平面

D

A

M

A1??????????

向量a平行平面ABC的充要條件是a?xAB?yAC

例2 直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是AB1與BC1上的點，且

CN C

1AMBN，求證MN∥平面ABCD.?

11???????????????AMBN解 設AB?a,AD?b,AA1?c,???，則

AB1BC1

??????????????????????????????????????∵ MN?AN?AM?AB?BN?AM?a??BC1??AB1

????????????????????????

?a??BB1?B1C1??AA1?A1B1?a??c?b???c?a?

????

??1???a??1???b，且a與b不共線

??????

?????

∴ MN∥平面ABCD，而MN?平面ABCD，故MN∥平面ABCD.三、證明直線垂直直線（或直線垂直平面）????a?b?a?b?0

例3 如圖，在四面體ABCD中，M是AB的中點，N是CD的中點，求證：MN是異面直線AB，CD的公垂線的充要條件是：AC＝BD，BC＝AD.?????????????????

證明 設AM?a,MN?b,CN?c

????

b?0,b?c?0 必要性 若MN是異面直線AB，CD的公垂線，則a????????????????????????????????

∵AC?AM?MC?AM?MN?NC?a?b?c，N

?????????????????????

同樣的可得 BD??a?b?c，BC??a?b?c,AD?a?b?c ????2???∴ AC?a?b?c

??

?2?2?2?2????????

?a?b?c?2a?c，BD??a?b?c

??

?2?2?2??

?a?b?c?2a?c

因此，AC＝BD，同理BC＝AD.???

充分性 由AC＝BD，得a?b?c

???

?????a?b?c

?

?????a?b?b?c ①

???

由BC＝AD，得?a?b?c

???

????a?b?c

?

????

?a?b??b?c ②

??

b?0 故MN⊥AM，同理MN⊥CN，即 MN是異面直線AB，CD的公垂①＋②得 a?

線.四、求異面直線的夾角

例4 在正四面體ABCD中，M、P分別為棱AD、CD的中點，N、Q分別是面BCD、面ABC的中心，求MN與PQ的夾角.???????????????

解 設正四面體的棱長為2，O為BC中點，AB?a,AC?b,AD?c，則

?????????a?b?c?2，a?b?b?c?c?a?2，??????????????????????1????????1????1????

∵ MN?AN?AM?AO?ON?AD?AO?OD?AD

32????1????????1????2????1????1??1? ?AO?AD?AO?AD?AO?AD?a?b?c

QB????????????2????1????????1??1?

PQ?AQ?AP?AO?AC?AD?2a?b?c

O

M

????

????

?????2?1??1??2

∴ MN??a?b?c??1，即|MN|＝|PQ|＝1，6??3

??

?????????

???????????????????1??1???1??1??MN?PQ1

1MN?PQ??a?b?c???2a?b?c???，cosMN,PQ???

6??62?1818?3MNPQ

????

?1?因此，MN與PQ的夾角為arccos???

?18?

空間向量的基底的應用恰恰是教學中的薄弱環(huán)節(jié),如果不注意及時補上這一課,久而久之,應用向量的思維會鈍化,甚至會緣木求魚.向量回路與基底

例：如圖1，在平行四邊形ABCD中E，F(xiàn)分別為AD，CD中點，連接BE，BF交AC于點R，T，求證R，T分別為AC三等分點。

圖1

基底法證明：第一步，建立平面幾何與向量的關系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面

????????????????????

幾何問題轉化成向量問題：設AB?a，AD?b，AR?r，AT?t，則AC?a?b。

????????

第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關系：由于AR與AC共線，所以，我們設

????????????????????1

r?n(a?b)，n?R，又因為EB?AB?AE?a?b，ER與EB共線，所以我們設

????????????????????111ER?mEB?m(a?b)。因為AR?AE?E，R所以r?b?m(a?b)。因此

222

11m?1

n(a?b)?b?m(a?b)，即(n?m)a?(n?b?0。由于向量a，b不共線，要

222

?n?m?0????1????????2????1?

使上式為0，必須?。解得n?m?。所以AR?AC，AT?AC。m?1

333n??0??2

第三步，把運算結果“翻譯”成幾何關系：AR?RT?TC。

???????????????????????????

回路法證明：由題意得AB?DC?2FC，即AT?TB?2FT?2TC。根據(jù)平面向量的基????????

本定理，可得AT?2TC，故點T為AC三等分點。同理點R為AC三等分點。

從學生已有的知識儲備來考慮，學生已經(jīng)學過三角形相似，很容易證明?ATB??CTF，從而

ATAB

??2，而學了教材上的新方法反而更復雜了。CTCF

基底法常見的作法是：一上來就設基底，然后將其他向量用基底表示，接下來只要計算就行了。而回路法則是：先充分利用題目已知條件列出等式，再逐步轉化。

????????

譬如上面的例題，一遇到平行四邊形ABCD，基底法馬上就設“AB?a，AD?b”，根本????????

不管題目中的另外已知條件。這樣設基底，用處不大，通過“AB?a，AD?b”連AB、????????????

AD是平行四邊形ABCD的兩鄰邊都看不出來。而回路法的“AB?DC?2FC”，短短一行

式子，就將平行四邊形、中點兩個基本信息包含在內了。解題，是從已知條件出發(fā)，利用推理規(guī)則，到達結論的彼岸。

面對一個題目，可用的方法、定理、公式，何其多矣，并不一定要用向量法，把大把可用的方法、定理、公式排除在外，結果只會是自我束縛，難以施展。

即使確定要用向量法，也沒必要一上來就設基底，因為平面上任意兩個不共線的向量都可以選擇成為基底，那么我們完全用不著事先設定，而是走著瞧，誰用著方便就選誰。而題目的已知條件則是必須用到的，一個題目如果不是條件冗余，那么解題者必須把每個

條件至少用上一遍，才有可能解答出來。既然已知條件是必須用上的，就好比我們在生活中的有些事是必須做的那樣，我們何不把這件事擺在首位呢？

向量回路法先充分利用題目條件列出等式，而不確定誰為基底，有點打游擊戰(zhàn)的感覺；筆者承認，回路法是比基底法更靈活，但我們教學生學習數(shù)學，不就是要教給學生靈活運用的能力么？回路法的靈活會激發(fā)學生的思考，遠勝過基底法的生搬硬套帶來的繁瑣計算。數(shù)學教學，絕不是培養(yǎng)死套公式的解題機器。

解題不從題目已知條件出發(fā)，而總想生搬硬套。即使題目被解出來了，也缺少靈氣。

向量解題，選擇基底是必須的，就好比坐標法需要建立坐標系一樣，否則就沒法用平面向量基本定理，但筆者認為向量法的好處就在于不必像坐標法那樣首先建坐標系。稍有經(jīng)驗的解題者就知道：坐標系的選取不同很大程度上決定了接下來的運算是否輕松。

本文例題涉及交點分線段比例，解析法求交點相當于解聯(lián)立方程，解題人思路往往被導向解方程，以致走向彎路。向量回路法處理涉及交點的問題，其訣竅在于從一個涉及解題目標的回路等式出發(fā)，利用題設條件和回路等式代換盡量把等式中的向量都化到相交的線段上，從而應用基本定理獲取關鍵信息。心中只要有了這個主見，相當多的幾何問題可以迎刃而解。

平面向量基本定理同步訓練題

1．下面給出三種說法，其中正確的說法是()

①一個平面只有一對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；②一個平面內有無數(shù)對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；③零向量不能作為基底中的向量．

A．①②B．②③C．①③D．①②③

2．如果e1,e2是平面α內所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是()

A、若實數(shù)?1,?2使?e1??e2?0，則?1??2?0

B、空間任一向量a都可以表示為a??1e1??2e2，其中?

1、?2?R C、?1e1??2e2一定不在平面?內，?

1、?2?R

D、對于平面?內任一向量a,使a??1e1??2e2的實數(shù)?1?2有無數(shù)對

3、設點O是平行四邊形ABCD的兩對角線的交點，下列向量組：①AD與AB；②DA與BC；③CA與DC；④OD與OB，可作為該平面其他向量基底的是（）A、①②B、①③C、①④D、③④

4、已知e1,e2是平面內兩不共線向量a?3e1?2e2,b??2e1?e2，若c?7e1?4e2，試用a和b表示c。

5、如圖2—3—1，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點，已知AM?c,AN?d，試用c、d表示AB和AD。

6、若OP1?a,OP2?b,P1P??PP2，則OP?（）

A、a??b

B、?a?b

C、?a?(1??)b

D、1?a?b 1??1??

7、已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點E，O是平面內任意一點。

8、如圖2—3—2，在△OAB中，延長BA到C，使AC=BA，在OB

上取

求證：OA?OB?OC?OD?4OE

點D，使DB?OB,DC與OA交于E,設OA?a,OB?b，用a、b表示向量、。

9、已知a與b不共線，實數(shù)x、y滿足等式3xa?(10?y)b?(4y?7)a?2xb，則

3x?__________，y=________。

10、如圖2—3—3在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點P，求AP：PM的值。

【參考答案】

1、B2、A3、B4、解：∵a,b不共線，設c?xa?yb，則

c?x(3e1?2e2)?y(?2e1?e2)

?(3x?2y)e1?(?2x?y)e

2又∵c?7e1?4e2，∴7e1?4e2?(3x?2y)e1?(?2x?y)e2 ∵e1,e2不共線，?3x?2y?7,∴?

?2x?y??4,??x?1∴?,?c?a?2b。

y??2?

5、解：設?a,?b，則由M、N分別為DC、BC的中點，可得BN?

從△ABN和△ADM中可得，1?a?b?d①??2 ?

1?b?a?c②?2?

1b，DM?a。

2(2d?c)。32

②?2?①，得b?(2c?d)。

即AB?(2d?c),AD?(2c?d)

3①?2?②，得a?

OP1??OP21?

?a?b。

1??1??1??

7、證明：∵在△OAC中，OE為中線，∴?(?)

21同理OE?(OB?OD)

∴????4。

8、解：∵A是BC中點，∴OA?(OB?OC)

即OC?2OA?OB?2a?b

5DC?OC?OD?OC?OB?2a?b?b?2a?b。

333?3x?4y?747169、點撥：? ,10?y?2x1111?

6、D 點撥：?

10、解：設?e1,?e2，則????3e2?e1,?2e1?e2，∵A、P、M和B、P、N分別共線，∴存在實數(shù)?、u，使AP??AM???e1?3?e2，?u?2ue1?ue2，而BA?BP?AP?(??2u)e1?(3??u)e2，又∵???2e1?3e2，4???

???2u?2??5∴? ,??

3??u?33??u?

?5?

∴?,?AP:PM?4:1

第四篇：平面向量復習課教案

平面向量復習課

一．考試要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。

2、掌握向量的加法和減法。

3、掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算。

5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義。了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度，角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。二．知識梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，單位向量，平行向量（共線向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本運算（1）向量的加減運算

幾何運算：向量的加減法按平行四邊行法則或三角形法則進行。坐標運算：設a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)

(2)平面向量的數(shù)量積 ： a?b=abcos?

設a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a?b=x1x2+y1y2（3）兩個向量平行的充要條件 ∥ 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，則 ∥ 3．兩個非零向量垂直的充要條件是 ⊥

=λ

x1y2-x2y1=0

· =0 設 =(x1,y1)，=(x2,y2)，則 ⊥ x1x2+y1y2=0 三．教學過程

（一）基礎知識訓練

1.下列命題正確的是（）

(A)單位向量都相等(B)任一向量與它的相反向量不相等(C)平行向量不一定是共線向量(D)模為0的向量與任意向量共線 2.已知正六邊形ABCDEF中，若AB?a，F(xiàn)A?b，則BC?（）

(A)12(a?b)(B)12(a?b)(C)a?b(D)12a?b

3.已知向量e1?0,??R，a?e1??e2,b=2e1若向量a與b共線，則下列關系一定成立是（）

(A)??0(B)e2?0(C)e1∥e2(D)e1∥e2或??0 4.若向量a?(?1,x)，b?(?x,2)共線且方向相同，x=__________。

（二）．典例分析

??例1：（1）設a與b為非零向量，下列命題：

???? ①若a與b平行，則a?與b?向量的方向相同或相反；

?? ②若AB?a,CD?b, a與b共線，則A、B、C、D四點必在一條直線上；

?????????a??③若a與b共線，則a?b?a?b；④若a與b反向，則a???b

b其中正確命題的個數(shù)有（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

（2）下列結論正確的是（）

??????????????（A）a?b?ab（B）a?b?a?b（C）若(a?b)c?(c?a)b?0

????????（D）若a與b都是非零向量，則a?b的充要條件為a?b?a?b

錯解：（1）有學生認為①②③④全正確，答案為4；也有學生認為①或④是錯的，答案為2或3；（2）A或B或C。

分析：學生對向量基礎知識理解不正確、與實數(shù)有關性質運算相混淆，致使選擇錯誤。

??第（1）小題中，正確的應該是①④，答案為2。共線向量（a與b共

?線）的充要條件中所存在的常數(shù)?可看作為向量b作伸縮變換成為另一個向量???????a所作的伸縮量；若a，b為非零向量，則共線的a與b滿足a與b同向時??????b??ba?a?，a與b反向時a??a?。

bb第（2）小題中，正確答案為（D）。學生的錯誤多為與實數(shù)運算相混淆所致。選擇支D同時要求學生明確向量垂直、兩個向量的數(shù)量積、向量的模之間互化方法，并進行正確互化。

例2 設a、b是兩個不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb

∴ 2=2λ且 k=-λ

∴ k=-1 例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分別為DC、AB中點。AB=a AD=b 用a，b來標DC、BC、MN。解：DC= 12AB=12a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b-a

2211MN=DN-DM=12a-b-a= a-b 4411例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a

22解：設a=(x,y)則 x+y=100（1）

由a∥b得-4x-3y=0（2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8?；?x=-6 y=8 ∴ a=(6,-8)或(-6,8)四． 歸納小結

1． 向量有代數(shù)與幾何兩種形式，要理解兩者的內在聯(lián)系，善于從圖形中發(fā)現(xiàn)向量間的關系。

2． 對于相等向量，平行向量，共線向量等概念要區(qū)分清楚，特別注意零向量與任何向量共線這一情況。要善于運用待定系數(shù)法。

五．作業(yè)：

1、下列命題正確的是（）

A．若|a|?0，則a?0 B．若|a|?|b|，則a?b或a??b

C．若a||b，則|a|?|b| D．若a?0，則?a?0

2、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(?2,1)、B(?1,3)、C(3,4)，則頂點D的坐標為（）

A．(1,2)B．(2,2)C．(2,1)D．(?2,?2)

3、設|a|?m(m?0)，與a反向的單位向量是b0，則a用b0表示為

A．a?mb0 B．a??mb0 C．a?1mb01m D．a??b0

4、D、E、F分別為?ABC的邊BC、CA、AB上的中點，且BC?a，CA?b，下列命題中正確命題的個數(shù)是（）①AD??12a?b；②BE?a?12b；③CF??12a?12b；

④AD?BE?CF?0。

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

5、化簡：CE?AC?DE?AD=__________。

?????a?ba?3,b?(1,2)

6、已知向量，且，則a的坐標_____________。

????2???

27、若a?1,b?2,?a?b??a?0，則a與b的夾角為______________。

???????

8、已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2,其中e1?(1,0),e2?(0,1)????求（1）a?b;a?b??的值；（2）a與b的夾角。

9、如果向量a與b，c的夾角都是60?，而b?c，且|a|?|b|?|c|?1，求(a?2c)?(b?c)的值。

PQBC10、如圖，設O為?ABC內一點，PQ∥BC，且OB?b?t，OA?a，OC?c，試用a，b，c表示OP,OQ．

答案

基礎知識訓練：D，C，D，2

達標練習： D，B，B，D，5，0； 6，（655655，—

355），（—，355）

102217，450，8，(1)a?b=10, a?b=52(2)?=arccos9,-1 10,OP=(1-t)a+tb, OQ=(1-t)a+tb

第五篇：29-第二章平面向量小結與復習

第二章平面向量章末復習（第2課時）

教學目標

重點：平面向量數(shù)量積的定義及其坐標表示；數(shù)量積的幾何意義、向量法在平面幾何中的應用． 難點：用向量法解決平面幾何問題時，如何建立平面幾何與平面向量之間的聯(lián)系．

能力點：在運用向量方法解決平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題過程中，進一步發(fā)展學生的運

算能力和解決實際問題的能力．

教育點：提高學生的認知水平，為學生塑造良好的數(shù)學認識結構．

自主探究點：例題及變式的解題思路的探尋．

易錯點：(1)忽視兩向量垂直的概念是針對兩非零向量的而致錯；

(2)對兩向量夾角的定義理解不清致錯；

(3)把數(shù)的乘法的消去律運用在向量的數(shù)量積運算上而致錯；

(4)混淆點的坐標與向量的坐標致錯．

學法與教具

1．學法：講授法、討論法．2．教具：投影儀．

二、【知識梳理】

1．平面向量的數(shù)量積

(1)數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量abcos?叫做a與b的數(shù)量積(inner product)（或內積），記作a?b，即a?b=abcos?，其中?是a與b的夾角．

(2)數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長度a與b在a方向上的投影bcos?的乘積，或等于b的長度b與a在b方向上的投影acos?的乘積．

(3)數(shù)量積的性質

b?0． ①a?b?a?

②當a與b同向時，a?b=ab；當a與b反向時，a?b=?ab；特別地，a?a=a，所以

2a記作a2． a?a?

③a?b?ab

(4)數(shù)量積的運算律

已知向量a、b、c和實數(shù)?，則：

b?b?a； ①a?

②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)； ③(a?b)?c?a?c?b?c．(5)數(shù)量積的坐標表示

已知兩個非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?x1x2?y1y2． 由此可得：

2①a

?x1?y1或a

②a?b?x1x2?y1y2?0； ③設?為a、b的夾角，則cos??

a?b

?

|a||b|2．平面幾何中的向量方法

用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系．

在上述步驟中，把平面幾何問題轉化為向量問題是解決問題的關鍵一步，轉化方法大致有兩種思路：第一，選取恰當?shù)幕蛄?；第二，建立坐標系?/p>

3．向量法在物理中的應用

向量有豐富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的數(shù)量積的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解決一些物理問題．向量在物理中的應用，實際上是把物理問題轉化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲的結果解釋物理現(xiàn)象．用向量法解決物理問題時，應作出相應的圖形，以幫助我們建立數(shù)學模型．

三、【范例導航】

????????

例1（2012?天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．設點P，Q滿足 AP??AB，????????????????

CP??2，則?? AQ??1???AC,??R.若BQ?

????????????????????2????

2【分析】由題意可知AB?AC?0，根據(jù)BQ?CP?(??1)AC??AB??2，解方程可以求得?的值.????????????

??

c?0，【解答】如圖，設AB?b，AC?c，則b?1，c?2，b?

????????????????????????????

又BQ?BA?AQ??b?(1??)c，CP?CA?AP??c??b，????????由BQ?CP??2得，[??(1??)]?(???)?(??1??4(??1)????2，即3??2,所以??

2.3【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的運算，屬于中檔題.??????2

變式訓練1(2011·江蘇卷10)已知e1,e2是夾角為?的兩個單位向量，a?e1?2e2,b?ke1?e2, 若

?

?

??

a?b?0，則k的值為

答案：

4??

????????2?????解析：a?b??e1?2e2??ke?e?ke?1?2ke?e?2e?k?1?2kcos?0，??122???12?

13????

解得k?

.4

例2(2012·江蘇9)如圖，在矩形ABCD

中，AB?，BC?2，點E為BC的中點，點F在邊CD

上，若AB?AFAE?BF的值是．【分析】根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的數(shù)量積，注意應用垂直的向量的數(shù)量積等于0，得到結果.????????????????

????????????

【解答】因為AF?AD?DF，?????????????????????????????????????????????

AB?AF?AB?AD?DF?AB?AD?AB?DF?AB?DF??

?

?

????

????DF?1CF?1.所以，????????????????????????????????????????AE?BF?AB?BE?BC?CF?AB?CF?BE?BC1)?1?2? 所以

???

?

【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算.解題的關鍵是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.變式訓練2(2012·湖南文15)如圖4，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，AP?3且AP?AC=

答案：18

????????

????????????解析：設AC?BD?O，則AC?2AB?BO，??

所以，????????????????????????????????????????????????????????????2

AP?AC?AP?2AB?BO?2AP?AB?2AP?BO?2AP?AB?2AP?AP?PB?2AP?18

????

例3.證明：對于任意的a1、a2、b1、b2?R，恒有不等式?a1b1?a2b2??a1?a

2?

??b

12?b2?．

【分析】此題形式對學生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關

【解答】設a?(a1,a2)，b

?(b1,b2),222

則a?，b?b1?b2 b?a1b1?a2b2，a?a12?a2

因為a?b?ab，b?a所以a?

b

所以?a1b1?a2b2??a1?a2

?

??b

2?b2?.【點評】

變式訓練3.如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A(cos?,sin?)，B(cos?,sin?)，試用A、B兩點的坐標表示?AOB的余弦值.答案：cos?AOB?cos?cos??sin?sin?

解析：因為A(cos?,sin?),B(cos?,sin?),????????

所以OA?(cos?,sin?)，OB?(cos?,sin?)

????????OA?OB

那么，cos?AOB??cos?cos??sin?sin?.OAOB

四、【解法小結】

1．準確把握平面向量數(shù)量積的重要性質：設a?(x1,y1)，b?(x2,y2)

(1)a?b?a? b?0?x1x2?y1y2?0，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進行有關計算；

a=a2?a

與a?(2)a?

轉化．

(3)cos??

?a?b

a、b的夾角，也可用來求?

|a||b|直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區(qū)別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式

用于求參數(shù)的值或范圍．

2．向量解決幾何問題就是把點、線、平面等幾何元素直接歸納為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算的結果 翻譯成關于點、線、平面的相應結果，可以簡單表述為“形到向量?向量的運算?數(shù)到形”.3．明確和掌握用向量研究物理問題的相關知識：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加減法，運動的疊加亦用到向量的合成；(2)動量mv是數(shù)乘向量；

(3)功即是力F與所產生的位移s的數(shù)量積.五、【布置作業(yè)】

必做題： 1．（2012·遼寧卷）已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結論正確的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四邊形ABCD中，∠AAB、AD的長分別為2、1.若M、N

分別是邊

→→|BM||CN|→→

BC、CD，則AM·AN的取值范圍是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則DE·CB的值為__ __.DE·DC的最大值為________．

????????????????????????4．在邊長為1的正三角形ABC中，則AB?BC?BC?CA?CA?AB?________．.必做題答案：

1．因為|a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?a·b＝0，所以a⊥b，答案選B.點評：本小題主要考查向量的數(shù)量積以及性質．解題的突破口為對于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，則DN＝(1－n)DC，在平行四邊形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函數(shù)f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是單調遞減的，其值域為[2,5]，所以AM·AN的取值范圍是[2,5]． →→3．以D為坐標原點，DC與DA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因為DC＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因為1≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.????????????????????????

CA?CA?AB= 4．AB?BC?BC?

????????????????????????3?1??1??1?00

ABBCcos120?BCCAcos120?CAABcos1200??????????????

2?2??2??2?

點評：利用數(shù)量積的定義求解時，務必要注意兩向量夾角的大小.兩向量夾角的定義前提是兩向量的起

????????????????????????00

點要重合，對于本題要特別注意：向量AB與BC,BC與CA,CA與AB的夾角不是60，而是120.選做題：

???

1．已知向量a是以點A(3，－1)為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標.2．如圖，在?ABC中，AD?DB，AE?EC，CD與BE交于F，證明：CF?2FD.選做題答案：

1.設a的終點坐標為(m,n),則a＝(m,n),

??

??3(m?3)?4(n?1)?0由題意? 2

2?(m?3)?(n?1)?

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

419?11?m?,m?,???192118?15?2

5或?解得?∴a的終點坐標是（,?)或(,?)

5555?n??2.?n??8.12?5?5??

點評：向量的坐標表示是終點坐標減去起始點的坐標，所以向量的坐標與點的坐標既有聯(lián)系又有區(qū)別，2.本題選自《學生自主學習叢書·數(shù)學》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮點是：(1)用結構圖呈現(xiàn)本章知識，直觀簡明；(2)知識梳理部分十分詳實且分類明晰；(3)例題具有典型性且解法總結到位，變式練習有效，講練結合教學效果明顯；(4)在作業(yè)的布置上，選擇了部分高考題，對學生理解、鞏固知識能夠起到良好的作用．

2．本教案的弱項是：(1)有關平面向量數(shù)量積的應用涉及題目較少，如夾角的計算、模的計算等；(2)向量法在物理中的應用沒有涉及到，有待于進一步補充．