第一篇：高中數(shù)學(xué) 第二章《平面向量》復(fù)習(xí)課教案 新人教A版必修4

第12課時復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。

2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）。

4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(試問：取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解實數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）：

6.向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法

7.向量的坐標(biāo)運算（加.減.實數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積）

8.數(shù)量積（點乘或內(nèi)積）的概念，a2b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2注意區(qū)別“實數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”

二、知識與方法

向量知識，向量觀點在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視.數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長；②求夾角；③判垂直

三、典型例題

例1.對于任意非零向量a與b，求證：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜

證明：(1)兩個非零向量a與b不共線時，a+b的方向與a，b的方向都不同，并且｜a｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜

(3)兩個非零向量a與b共線時，①a與b同向，則a+b的方向與a.b相同且｜a+b｜=｜a｜＋｜b｜.②a與b異向時，則a+b的方向與模較大的向量方向相同，設(shè)|a|＞|b|，則|a+b|=|a|-|b|.同理可證另一種情況也成立。

例2 已知O為△ABC內(nèi)部一點，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a與b表示c i j

解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系xoy，其中i, j是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

例3.下面5個命題：①|(zhì)a2b|=|a|2|b|②(a2b)2=a22b2③a⊥(b－c)，則a2c=b2c ④a2b=0，則|a+b|=|a－b|⑤a2b=0，則a=0或b=0，其中真命題是（）

A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤

三、鞏固訓(xùn)練

1.下面5個命題中正確的有（）

①a=b?a2 ②a2③a2（b+c）=a2 ④c=b2c；c=b2c?a=b；c+b2c；（b2c）=（a2b）2c； ⑤a2

a?ba2?ab.A..①②⑤ B.①③⑤ C.②③④ D.①③ 2.下列命題中，正確命題的個數(shù)為（A）

①若a與b是非零向量，且a與b共線時，則a與b必與a或b中之一方向相同；②若e為單位向量，且a∥e則a=|a|e ③a2a2a=|a|3 ④若a與b共線，a與c共線，則c與b共線；⑤若平面內(nèi)四點A.B.C.D，必有AC+BD=BC+AD

A 1 B 2 C 3 D 4 3.下列5個命題中正確的是

①對于實數(shù)p,q和向量a,若pa=qa則p=q②對于向量a與b，若|a|a=|b|b則a=b③對于兩個單位向量a與b，若|a+b|=2則a=b④對于兩個單位向量a與b，若ka=b，則a=b

4.已知四邊形ABCD的頂點分別為A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求證：四邊形ABCD為正方形。

第二篇：高中數(shù)學(xué)必修4人教A教案第二章平面向量復(fù)習(xí)

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（一）一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(試問：取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解實數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）： 6.向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法

7.向量的坐標(biāo)運算（加.減.實數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積）

8.數(shù)量積（點乘或內(nèi)積）的概念，a·b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2注意區(qū)別“實數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”

二、知識與方法

向量知識，向量觀點在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視.數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長；②求夾角；③判垂直

三、教學(xué)過程

（一）重點知識：

1.實數(shù)與向量的積的運算律：

?????????(1)?(?a)?(??)a(2)(???)a? ?a??a(3)?(a?b)??a??b

2.平面向量數(shù)量積的運算律:

?????????????????(1)a?b?b?a

(2)(?a)?b??(a?b)?a?(?b)

(3)(a?b)?c? a?c?b?c

3.向量運算及平行與垂直的判定: 設(shè)a?(x1,y1),b?(x2,y2),(b?0).則a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?x1x2?y1y2

a//b?x1y2?x2y1?0.a?b?x1x2?y1y2?0.4.兩點間的距離:

|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

5.夾角公式: cos??a?b a ?b?x1x2?y1y2 x1?y1?x2?y22222

6.求模：

a?a?a

a?x2?ya?(x1?x2)2?(y1?y2)2

（二）習(xí)題講解：第二章 復(fù)習(xí)參考題

（三）典型例題

例1． 已知O為△ABC內(nèi)部一點，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a與b表示c

解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系xoy，其中i, j是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基礎(chǔ)練習(xí)：

（五）、小結(jié)：掌握向量的相關(guān)知識。

（六）、作業(yè)：

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（二）一、教學(xué)過程

（一）習(xí)題講解：

（二）典型例題

例1．已知圓C：(x?3)?(y?3)?4及點A（1，1），M是圓上任意一點，點N在線

22??段MA的延長線上，且MA?2AN，求點N的軌跡方程。

練習(xí)：1.已知O為坐標(biāo)原點，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）

求點P（x，y）的軌跡方程；

2.已知常數(shù)a>0，向量m?(0,a),n?(1,0)，經(jīng)過定點A（0，－a）以m??n為方向向量的直線與經(jīng)過定點B（0，a）以n?2?m為方向向量的直線相交于點P，其中??R.求點P的軌跡C的方程；

例2.設(shè)平面內(nèi)的向量OA?(1,7), OB?(5,1), OM?(2,1)，點P是直線OM上的一個動點，求當(dāng)PA?PB取最小值時，OP的坐標(biāo)及?APB的余弦值．

解

設(shè)OP?(x,y)．∵

點P在直線OM上，∴ OP與OM共線，而OM?(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有OP?(2y,y)．∵ PA?OA?OP?(1?2y,7?y)，PB?OB?OP?(5?2y,1?y)，∴ PA?PB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

從而，當(dāng)且僅當(dāng)y=2，x=4時，PA?PB取得最小值－8，此時OP?(4,2)，PA?(?3,5)，PB?(1,?1)．

于是|PA|?34，|PB|?2，PA?PB?(?3)?1?5?(?1)??8，∴ cos?APB?PA?PB|PA|?|PB|??834?2??417 17小結(jié)：利用平面向量求點的軌跡及最值。

作業(yè)：

第三篇：高中數(shù)學(xué) 2.3.4《平面向量共線的坐標(biāo)表示》教案 新人教A版必修4

第二章平面向量

本章內(nèi)容介紹

向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系.向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景.在本章中，學(xué)生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，學(xué)習(xí)習(xí)近平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題.本節(jié)從物理上的力和位移出發(fā)，抽象出向量的概念，并說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的一些基本概念.（讓學(xué)生對整章有個初步的、全面的了解.）

第6課時

§2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示

教學(xué)目的：

（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算；

（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點：平面向量的坐標(biāo)運算

教學(xué)難點：向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性 授課類型：新授課

教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入： 1．平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a?(x,y)

其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標(biāo)運算

若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，用心

愛心

專心 則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

二、講解新課：

???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

????設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)?? 消去λ，x1y2-x2y1=0

y??y2?1?探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵b?0 ∴x2，y2中至少有一個不為0（2）充要條件不能寫成y1y2 ∵x1，x2有可能為0 ?x1x2a??b

x1y2?x2y1?0???(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b(b?0)?

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系.例3設(shè)點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當(dāng)點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標(biāo).??例4若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x ??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線 ∴(-1)×2-x?(-x)=0

?? ∴x=±2 ∵a與b方向相同 ∴x=2

例5 已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？

用心

愛心

專心 解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又 ∵ AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD

四、課堂練習(xí)：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（） A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.6.已知□ABCD四個頂點的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.五、小結(jié)（略）

六、課后作業(yè)（略）

七、板書設(shè)計（略）

八、課后記：

用心

愛心

專心

第四篇：高中數(shù)學(xué)必修4平面向量復(fù)習(xí)5正弦定理余弦定理

5．5正弦定理、余弦定理

要點透視：

1．正弦定理有以下幾種變形，解題時要靈活運用其變形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實現(xiàn)三角形中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，如常把a，b，c換成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C來解題．

2．判斷三角形的形狀特征，必須從研究三角形的邊與邊關(guān)系，或角與角的關(guān)系入手，充分利用正弦定理與余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，由三角形的邊或角的代數(shù)運算或三角運算，找出邊與邊或角與角的關(guān)系，從而作出正確判斷．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本關(guān)系式

B?CAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，進行三角變換的運2

2用．

4．應(yīng)用解三角形知識解決實際問題時，要分析和研究問題中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，應(yīng)選用正弦定理還是余弦定理進行求解．

5．應(yīng)用解三角形知識解實際問題的解題步驟：

（1）根據(jù)題意畫出示意圖．

（2）確定實際問題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知元和末知元．

（3）選用正、余弦定理進行求解，并注意運算的正確性．

（4）給出答案．

活題精析：

例1．(2001年全國卷)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四邊形ABCD的面積．

要點精析：本題主要考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及應(yīng)用三角形面積公式和余弦定理解三角形的方法，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析、解決實際問題的能力．

解：如圖所示，連BD，四邊形ABCD的面積

11S=S?ABD?S?CDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, ?cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對

邊長，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要點精析：（1）∵ a，b，c成等差數(shù)列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2?c2?a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin60?32∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的長度．

13要點精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，當(dāng)∠C=60°時，c2＝a2＋b2－ab，c

當(dāng)∠C=120°時，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.練習(xí)題

一、選擇題

tanAa

2?1．在△ABC中，若，則△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

A?Ba?b?2．在△ABC中，tan，則三角形中（）2a?b

A．a(chǎn)＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a(chǎn)=b或c2=a2+b2

3．為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓的樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，測得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．設(shè)α，β是鈍角三角形的兩個銳角，下列四個不等式中不正確的是（）

???1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知銳角三角形的三邊長分別為2，3，x，則x的取值范圍是（）C．a(chǎn)=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三邊分別為 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），則最大內(nèi)角的度數(shù)為（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空題：

a?b?c7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，則 sinA?sinB?sinC

113??8．△ABC的三邊滿足：，則∠B＝ a?bb?ca?b?c

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，則sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC邊上的中線長是ma，用三邊a，b，c表示ma，其公式是.三、解答題

11．設(shè)a，b，c是△ABC中A，B，C的對邊，當(dāng)m>0時，關(guān)于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有兩個相等實根，且sinCcosA－cosCsinA=0，試判斷△ABC的形狀。

12．已知⊙O的半徑為R，若它的內(nèi)接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大??；

（2）求△ABC的面積S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）試寫出△ABC的面積S與邊長a的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)a等于多少時，S有最大值并求出最大值；

（3）當(dāng)a等于多少時，周長l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面積S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

??????CCCC?15．在△ABC中，m?(cos,sin)，n?(cos,?sin)，且m與n的夾角是． 22222

（1）求C；

73（2）已知c=，三角形面積 S＝3，求a+b。22

第五篇：高中數(shù)學(xué) 第二章平面向量向量的概念教學(xué)設(shè)計 新人教B版必修4

2015高中數(shù)學(xué) 第二章平面向量向量的概念教學(xué)設(shè)計 新人教B版必

修4 1．向量概念的形成

1．1 讓學(xué)生感受引入概念的必要性

引子：生：去錄播室怎么走？師：出了樓門走50米就到了．

意圖：向量概念不是憑空產(chǎn)生的．用這一簡單、直觀例子中的“位移不僅有大小，而且有方向”，讓學(xué)生感受“既有大小又有方向的量”的客觀存在，自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容．

問題1 你能否再舉出一些既有方向，又有大小的量？ 意圖：激活學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗．

（學(xué)生能容易地舉出重力、浮力、作用力等物理中學(xué)過的量．）追問：生活中有沒有只有大小，沒有方向的量？請你舉例． 意圖：形成區(qū)別不同量的必要性．

（學(xué)生所舉的例子有年齡、身高、面積等．）概念抽象需要典型豐富的實例．讓學(xué)生舉例可以觀察到他們對概念屬性的領(lǐng)悟，形成對概念的初步認(rèn)識，為進一步抽象概括做準(zhǔn)備．

T：由同學(xué)們的舉例可見，現(xiàn)實中有的量只有大小沒有方向，有的量既有大小又有方向．類似于從一支筆、一本書、一棵樹……中抽象出只有大小的數(shù)量1，數(shù)學(xué)中對位移、力……這些既有大小又有方向的量進行抽象，就形成一種新的量——向量（板書概念）． 演練回饋一【概念辨析】

1、身高是一個向量（）

2、溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量（）

3、坐標(biāo)平面上的x軸和y軸都是向量（）

4、有人說，由于海平面以上的高度（海拔）用正數(shù)表示，海平面以下的高度用負(fù)數(shù)表示，所以海拔也是向量，你認(rèn)為對嗎？

1．2 向量的幾何表示

問題2 數(shù)學(xué)中，定義概念后，通常要用符號表示它．怎樣把你所舉例子中的向量表示出來呢？

意圖：讓學(xué)生先嘗試向量的表示方法，自覺接受用帶有箭頭的線段（有向線段）來表示向量．

T：看來大家都認(rèn)為用帶箭頭的線段表示向量比較好．在初中，常用AB，CD，a，b，c等表示線段．現(xiàn)在，我們加上箭頭，用，，等表示向量．以前AB與BA表示同一線段，現(xiàn)在和表示同一向量嗎？為什么？

S：不．向量和起點、終點正好相反．

T：對，方向是向量的本質(zhì)屬性之一．向量的另一本質(zhì)屬性是大小，我們用||表示，稱為向量的模．同樣，用||來表示向量的模．因為向量有大小和方向兩個要素，只用代數(shù)形式或幾何形式是無法確定的，必須兩者結(jié)合．

思考：既然向量可以用有向線段表示，那么向量是否就是有向線段？ 1．3 零向量與單位向量

T：現(xiàn)在，我們已經(jīng)建立了一個向量的集合．就象每個人都有名字一樣，這個集合中的每一個向量都有了名稱．那么

問題3 你認(rèn)為在所有向量組成的集合中，哪些向量較特殊？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察一組對象．面對一組對象，首先注意特殊對象是自然的．（學(xué)生普遍認(rèn)為零向量、單位向量是特殊的．）T：大家為什么認(rèn)為它們最特殊？你們是怎么想的？

意圖：挖掘結(jié)果背后的思維過程．企圖引導(dǎo)學(xué)生把向量集合與實數(shù)集類比．

（課堂中，學(xué)生從長度這個角度進行了解釋，認(rèn)為零向量的長度是0，單位向量的長度是1，最為特殊．這表明他們已經(jīng)在把向量集與實數(shù)集作類比．從實數(shù)集的認(rèn)知經(jīng)驗出發(fā)，自然會想到零向量、單位向量的特殊性．）

T：是的．類比實數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗有利于向量的學(xué)習(xí)．在實數(shù)中，0是數(shù)的正負(fù)分界點，有0就可定義相反數(shù)；1是“單位”，作用很大．對實數(shù)的研究經(jīng)驗告訴我們，“引進一個新的數(shù)就要研究它的運算；引進一種運算就要研究運算律”．可以預(yù)見，引進向量就要研究向量的運算，進而就要研究相應(yīng)的運算律或運算法則．所以，對于向量，還有許多內(nèi)容等待我們?nèi)パ芯浚?/p>

2．相等向量、平行向量、共線向量、相反向量概念的形成

問題例2觀察圖1中的正六邊形ABCDEF．給圖中的一些線段加上箭頭表示向量，并說說你所標(biāo)注的向量之間的關(guān)系．（舉例）

意圖：不是先給出相等向量、平行向量、共線向量、相反向量的定義，再做練習(xí)鞏固，而是讓學(xué)生參與概念的定義過程，使概念成為學(xué)生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物．

留給學(xué)生足夠的時間，并提出問題5，組織學(xué)生交流．

問題5 你是怎樣研究的？比如，你畫了哪幾個向量？你認(rèn)為它們有怎樣的關(guān)系？ 意圖：不僅關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注過程．尤其要挖掘?qū)W生用向量概念思維的過程．

（課堂中，有的學(xué)生首先關(guān)注大??；有的學(xué)生首先畫出向量與，認(rèn)為它們長度相等且方向相同，是相等的向量；也有學(xué)生首先畫出向量

與，認(rèn)為它們是共線的向量；等．教師適時介入，解釋數(shù)學(xué)中的向量是自由向量，可以平移，因此，與也稱為共線向量．“平行向量”的產(chǎn)生比較順利，但“相反向量”的產(chǎn)生有困難，其間還類比了“相反數(shù)”．）

歸納得到：

（1）從“方向”角度看，有方向相同或相反，就是平行向量，記為 ∥；（2）從“長度”角度看，有模相等的向量，||=||；

（3）既關(guān)注方向，又關(guān)注長度，有相等向量=，相反向量=－． T：我們規(guī)定：零向量與任意向量都平行，即∥．

問題6 由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和模確定．由此，你能說說數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量的異同嗎？另外，向量的平行、共線與線段的平行、共線有什么聯(lián)系與區(qū)別？

意圖：讓學(xué)生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區(qū)分，真正抓住向量的本質(zhì)特征，完成“數(shù)學(xué)化”的過程．

3．閱讀課本

請同學(xué)們把課本看一遍，看看我們的討論過程與課本講的是否一致，有什么遺漏？有什么不同？

意圖：通過閱讀，對本課的內(nèi)容再一次進行歸整、明晰．引導(dǎo)學(xué)生重視課本． 4．課堂練習(xí)5．課堂小結(jié)

問題7（引導(dǎo)學(xué)生自己小結(jié)）能否畫個圖，把今天學(xué)的內(nèi)容梳理一下？

（有的學(xué)生提出可以把本課的內(nèi)容分為三個部分，與圖2所呈現(xiàn)的內(nèi)容基本一致，只是把“特殊關(guān)系”說成了“向量的性質(zhì)”，這也是正確的．教師肯定了她的結(jié)論，展示了圖2．）

T：今天我們學(xué)習(xí)向量的概念及其表示方法，并初步研究了向量這個集合，發(fā)現(xiàn)了其中的兩個特殊向量，以及向量之間的一些特殊關(guān)系．同學(xué)們要認(rèn)真體會其中的基本思路，即：從同類具體事例中抽象出共同本質(zhì)特征——下定義——符號表示——認(rèn)識特殊對象——考察某些特殊關(guān)系．

這里特別要注意，因為向量帶有方向，所以只用代數(shù)的形式已無法表示，必須結(jié)合幾何的形式．因此，向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”．隨著學(xué)習(xí)的深入，我們會看到這種身份給向量帶來的力量．

另外，我們用類比數(shù)集的方法初步認(rèn)識了向量的集合．我們知道，數(shù)與運算分不開，數(shù)

2的概念的發(fā)展也與運算不可分割．例如，為了解方程x=2，我們需要有無理數(shù)概念，于是要有“開方”運算．引進一種新的數(shù)，就要研究關(guān)于它的運算；引進一種運算，就要研究相應(yīng)的運算律．今天我們引進了一個新的量——向量，下面我們該研究它的哪些問題？如何研究？請同學(xué)們課后認(rèn)真考慮，下節(jié)課來交流．（說罷，教師在“特殊關(guān)系”的右邊增加了省略號“……”．）6．布置作業(yè)（略）