第一篇：2012年高二數(shù)學第2章教案 第12課時：平面向量小結與復習

課

題：平面向量小結與復習（2）

教學目的：認識向量的工具性作用，加強數(shù)學在實際生活中的應用意識 教學重點：向量的坐標表示的應用；構造向量法的應用 教學難點：構造向量法的適用題型特點的把握 授課類型：復習課 課時安排：1課時

教

具：多媒體、實物投影儀 教學方法:啟發(fā)引導式

針對向量坐標表示的應用，通過非坐標形式解法與坐標化解法的比較來加深學生對于向量坐標表示的認識，同時要加強學生選擇建立坐標系的意識 教學過程：

一、講解范例：

例1利用向量知識證明下列各式(1)x2＋y2≥2xy(2)｜x｜2＋｜y｜2≥2x·y 分析：(1)題中的結論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識求證，則需構造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產生聯(lián)系

(2)題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結合三角函數(shù)性質求證

????????證明：(1)設a＝（x，y），b＝（y，x）則a·b＝xy＋yx＝2xy

??222222｜a｜·｜b｜＝x?y?x?y?x?y

????????又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ為a，b夾角)≤｜a｜·｜b｜

∴x＋y≥2xy

(2)設x，y的夾角為θ， 22??則x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤∴｜x｜＋｜y｜≥2x·y 22??????x?y222

????例2利用向量知識證明(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

分析：此題形式對學生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標表示產生聯(lián)系，故需要構造向量

2222

2??證明：設a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

?2???22222則a·b＝a1b1＋a2b2，｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2

????????∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜(其中θ為a，b夾角) ?2??2?2∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜

∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

評述：此題證法難點在于向量的構造，若能恰當構造向量，則利用數(shù)量積的性質容易證明結論這一技巧應要求學生注意體會

例3已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線求證AC⊥BD分析：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標形式的充要條件

????????????????????????證法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB， ????????????????????????∴AC·BD＝（AB＋AD）·（AD－AB）

????2????2＝｜AD｜－｜AB｜＝O

????????∴AC⊥BD

證法二：以OC所在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標系，設B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）則由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2

????????????∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b）， ????????????BD＝BA＋BC＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）

????????222∴AC·BD＝c－a－b＝O ????????∴AC⊥BD 即 AC⊥BD

評述：如能熟練應用向量的坐標表示及運算，則將給解題帶來一定的方便通過向量的坐標表示，可以把幾何問題的證明轉化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學生對于“數(shù)形結合”解題思想的認識和掌握

????????例4 若非零向量a和b滿足｜a＋b｜＝｜a－b｜證明：a⊥b

分析：此題在綜合學習向量知識之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應用，也可考慮平面圖形的幾何性質，下面給出此題的三種證法 證法一：(根據(jù)平面圖形的幾何性質)

????????????設OA＝a，OB＝b，由已知可得a與b不平行，

????????????由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線OC和BA相等

所以平行四邊形OACB是矩形，??????????∴OA⊥OB，∴a⊥b

??????2??2證法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b｜ ∴（a＋b）＝（a－b）

?2???2?2???2∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b

????∴a·b＝O，∴a⊥b

??證法三：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

??22｜a＋b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，??22｜a－b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，2222∴(x1?x2)?(y1?y2)＝(x1?x2)?(y1?y2)，化簡得：x1x2＋y1y2＝O，

????∴a·b＝O，∴a⊥b

???例5 已知向量a是以點A(3，－1)為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標

??分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設a的終點坐標，然后表示a的坐標，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程

??解：設a的終點坐標為（ｍ，ｎ）,則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）

??3(m?3)?4(n?1)?0由題意? 22?(m?3)?(n?1)?1由①得：ｎ＝

① ②

12（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O 419?11?m?,m?,??192118?15?25或?解得? ∴a的終點坐標是（,?)或(,?)

5555?n??2.?n??8.12?5?5??評述：向量的坐標表示是終點坐標減去起始點的坐標，所以向量的坐標與點的坐標既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆

上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應用，在突出本章這一重點知識的同時，應引導學生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標化思路在解題時的應用，將幾何與代數(shù)知識溝通起來

二、課堂練習：

三、小結 通過本節(jié)學習，要求大家進一步熟悉向量的性質及運算律，熟悉平面幾何性質在解題中的應用，能夠掌握向量坐標化的思路求解問題，掌握構造向量并利用向量性質解題、證題的方法

四、課后作業(yè)：

五、板書設計（略）

六、課后記

第二篇：29-第二章平面向量小結與復習

第二章平面向量章末復習（第2課時）

教學目標

重點：平面向量數(shù)量積的定義及其坐標表示；數(shù)量積的幾何意義、向量法在平面幾何中的應用． 難點：用向量法解決平面幾何問題時，如何建立平面幾何與平面向量之間的聯(lián)系．

能力點：在運用向量方法解決平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題過程中，進一步發(fā)展學生的運

算能力和解決實際問題的能力．

教育點：提高學生的認知水平，為學生塑造良好的數(shù)學認識結構．

自主探究點：例題及變式的解題思路的探尋．

易錯點：(1)忽視兩向量垂直的概念是針對兩非零向量的而致錯；

(2)對兩向量夾角的定義理解不清致錯；

(3)把數(shù)的乘法的消去律運用在向量的數(shù)量積運算上而致錯；

(4)混淆點的坐標與向量的坐標致錯．

學法與教具

1．學法：講授法、討論法．2．教具：投影儀．

二、【知識梳理】

1．平面向量的數(shù)量積

(1)數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量abcos?叫做a與b的數(shù)量積(inner product)（或內積），記作a?b，即a?b=abcos?，其中?是a與b的夾角．

(2)數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長度a與b在a方向上的投影bcos?的乘積，或等于b的長度b與a在b方向上的投影acos?的乘積．

(3)數(shù)量積的性質

b?0． ①a?b?a?

②當a與b同向時，a?b=ab；當a與b反向時，a?b=?ab；特別地，a?a=a，所以

2a記作a2． a?a?

③a?b?ab

(4)數(shù)量積的運算律

已知向量a、b、c和實數(shù)?，則：

b?b?a； ①a?

②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)； ③(a?b)?c?a?c?b?c．(5)數(shù)量積的坐標表示

已知兩個非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?x1x2?y1y2． 由此可得：

2①a

?x1?y1或a

②a?b?x1x2?y1y2?0； ③設?為a、b的夾角，則cos??

a?b

?

|a||b|2．平面幾何中的向量方法

用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系．

在上述步驟中，把平面幾何問題轉化為向量問題是解決問題的關鍵一步，轉化方法大致有兩種思路：第一，選取恰當?shù)幕蛄?；第二，建立坐標系?/p>

3．向量法在物理中的應用

向量有豐富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量的數(shù)量積的物理背景是力所做的功．因此，用向量可以解決一些物理問題．向量在物理中的應用，實際上是把物理問題轉化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲的結果解釋物理現(xiàn)象．用向量法解決物理問題時，應作出相應的圖形，以幫助我們建立數(shù)學模型．

三、【范例導航】

????????

例1（2012?天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．設點P，Q滿足 AP??AB，????????????????

CP??2，則?? AQ??1???AC,??R.若BQ?

????????????????????2????

2【分析】由題意可知AB?AC?0，根據(jù)BQ?CP?(??1)AC??AB??2，解方程可以求得?的值.????????????

??

c?0，【解答】如圖，設AB?b，AC?c，則b?1，c?2，b?

????????????????????????????

又BQ?BA?AQ??b?(1??)c，CP?CA?AP??c??b，????????由BQ?CP??2得，[??(1??)]?(???)?(??1??4(??1)????2，即3??2,所以??

2.3【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的運算，屬于中檔題.??????2

變式訓練1(2011·江蘇卷10)已知e1,e2是夾角為?的兩個單位向量，a?e1?2e2,b?ke1?e2, 若

?

?

??

a?b?0，則k的值為

答案：

4??

????????2?????解析：a?b??e1?2e2??ke?e?ke?1?2ke?e?2e?k?1?2kcos?0，??122???12?

13????

解得k?

.4

例2(2012·江蘇9)如圖，在矩形ABCD

中，AB?，BC?2，點E為BC的中點，點F在邊CD

上，若AB?AFAE?BF的值是．【分析】根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示，求出要用的向量的模，表示出要求得向量的數(shù)量積，注意應用垂直的向量的數(shù)量積等于0，得到結果.????????????????

????????????

【解答】因為AF?AD?DF，?????????????????????????????????????????????

AB?AF?AB?AD?DF?AB?AD?AB?DF?AB?DF??

?

?

????

????DF?1CF?1.所以，????????????????????????????????????????AE?BF?AB?BE?BC?CF?AB?CF?BE?BC1)?1?2? 所以

???

?

【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算.解題的關鍵是要把要用的向量表示成已知向量的和的形式.變式訓練2(2012·湖南文15)如圖4，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，AP?3且AP?AC=

答案：18

????????

????????????解析：設AC?BD?O，則AC?2AB?BO，??

所以，????????????????????????????????????????????????????????????2

AP?AC?AP?2AB?BO?2AP?AB?2AP?BO?2AP?AB?2AP?AP?PB?2AP?18

????

例3.證明：對于任意的a1、a2、b1、b2?R，恒有不等式?a1b1?a2b2??a1?a

2?

??b

12?b2?．

【分析】此題形式對學生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關

【解答】設a?(a1,a2)，b

?(b1,b2),222

則a?，b?b1?b2 b?a1b1?a2b2，a?a12?a2

因為a?b?ab，b?a所以a?

b

所以?a1b1?a2b2??a1?a2

?

??b

2?b2?.【點評】

變式訓練3.如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A(cos?,sin?)，B(cos?,sin?)，試用A、B兩點的坐標表示?AOB的余弦值.答案：cos?AOB?cos?cos??sin?sin?

解析：因為A(cos?,sin?),B(cos?,sin?),????????

所以OA?(cos?,sin?)，OB?(cos?,sin?)

????????OA?OB

那么，cos?AOB??cos?cos??sin?sin?.OAOB

四、【解法小結】

1．準確把握平面向量數(shù)量積的重要性質：設a?(x1,y1)，b?(x2,y2)

(1)a?b?a? b?0?x1x2?y1y2?0，既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進行有關計算；

a=a2?a

與a?(2)a?

轉化．

(3)cos??

?a?b

a、b的夾角，也可用來求?

|a||b|直線的夾角(向量的夾角與向量所在直線的夾角有區(qū)別)，還可利用夾角的取值情況建立方程或不等式

用于求參數(shù)的值或范圍．

2．向量解決幾何問題就是把點、線、平面等幾何元素直接歸納為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算的結果 翻譯成關于點、線、平面的相應結果，可以簡單表述為“形到向量?向量的運算?數(shù)到形”.3．明確和掌握用向量研究物理問題的相關知識：

(1)力、速度、加速度、位移的合成、力的分解就是向量的加減法，運動的疊加亦用到向量的合成；(2)動量mv是數(shù)乘向量；

(3)功即是力F與所產生的位移s的數(shù)量積.五、【布置作業(yè)】

必做題： 1．（2012·遼寧卷）已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結論正確的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b

π2．（2012·上海卷）在平行四邊形ABCD中，∠AAB、AD的長分別為2、1.若M、N

分別是邊

→→|BM||CN|→→

BC、CD，則AM·AN的取值范圍是________．

→→|BC||CD|

→→→→

3．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則DE·CB的值為__ __.DE·DC的最大值為________．

????????????????????????4．在邊長為1的正三角形ABC中，則AB?BC?BC?CA?CA?AB?________．.必做題答案：

1．因為|a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?a·b＝0，所以a⊥b，答案選B.點評：本小題主要考查向量的數(shù)量積以及性質．解題的突破口為對于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．

→→→→→→→→→

2．令BM＝nBC(0≤n≤1)，則DN＝(1－n)DC，在平行四邊形ABCD中，AM＝AB＋nAD，AN＝AD＋(1－→→→→→→→n)AB，所以AM·AN＝(AB＋nAD)·[AD＋(1－n)AB]＝－n2－2n＋5，→→而函數(shù)f(n)＝－n2－2n＋5在[0,1]上是單調遞減的，其值域為[2,5]，所以AM·AN的取值范圍是[2,5]． →→3．以D為坐標原點，DC與DA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，→→→→所以DE＝(x,1)，CB＝(0,1)，可得DE·CB＝x×0＋1×1＝1.→→→→→因為DC＝(1,0)，所以DE·DC＝x，因為1≥x≥0，所以(DE·DC)max＝1.????????????????????????

CA?CA?AB= 4．AB?BC?BC?

????????????????????????3?1??1??1?00

ABBCcos120?BCCAcos120?CAABcos1200??????????????

2?2??2??2?

點評：利用數(shù)量積的定義求解時，務必要注意兩向量夾角的大小.兩向量夾角的定義前提是兩向量的起

????????????????????????00

點要重合，對于本題要特別注意：向量AB與BC,BC與CA,CA與AB的夾角不是60，而是120.選做題：

???

1．已知向量a是以點A(3，－1)為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標.2．如圖，在?ABC中，AD?DB，AE?EC，CD與BE交于F，證明：CF?2FD.選做題答案：

1.設a的終點坐標為(m,n),則a＝(m,n),

??

??3(m?3)?4(n?1)?0由題意? 2

2?(m?3)?(n?1)?

1由①得：ｎ＝

① ②

（3ｍ－13）代入②得25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O

419?11?m?,m?,???192118?15?2

5或?解得?∴a的終點坐標是（,?)或(,?)

5555?n??2.?n??8.12?5?5??

點評：向量的坐標表示是終點坐標減去起始點的坐標，所以向量的坐標與點的坐標既有聯(lián)系又有區(qū)別，2.本題選自《學生自主學習叢書·數(shù)學》P122，例2.

六、【教后反思】

1．本教案的亮點是：(1)用結構圖呈現(xiàn)本章知識，直觀簡明；(2)知識梳理部分十分詳實且分類明晰；(3)例題具有典型性且解法總結到位，變式練習有效，講練結合教學效果明顯；(4)在作業(yè)的布置上，選擇了部分高考題，對學生理解、鞏固知識能夠起到良好的作用．

2．本教案的弱項是：(1)有關平面向量數(shù)量積的應用涉及題目較少，如夾角的計算、模的計算等；(2)向量法在物理中的應用沒有涉及到，有待于進一步補充．

第三篇：人教版高中數(shù)學教案：第5章：平面向量,教案,課時第 (18)

第十八教時

教材：余弦定理

目的：要求學生掌握余弦定理及其證明，并能應用余弦定理解斜三角形。過程：

一、復習正弦定理及正弦定理能夠解決的兩類問題。提出問題：1．已知兩邊和它們的夾角能否解三角形？

2．在Rt△ABC中(若C=90?)有：c2?a2?b2在斜三角形中一邊的平

方與其余兩邊平方和及其夾角還有什么關系呢？

二、提出課題：余弦定理1．余弦定理的向量證明：設△ABC三邊長分別為a, b, c b

AC=AB+BC

A

B

?=(+)?(+)=2+2?+

2=| |2+2||?||cos(180?-B)+||2=c2?2accosB?a2

即：b2?a2?c2?2accosB

同理可得：a2?b2?c2?2bccosAc2?a2?b2?2abcosC

2．語言敘述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它

們夾角的余弦的積的兩倍。

3．強調幾個問題：1?熟悉定理的結構，注意“平方”“夾角”“余弦”等2?知三求一

3?當夾角為90?時，即三角形為直角三角形時即為勾股定理（特例）

4?變形：cosA?b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

2bccosB?2accosC?2ac

三、余弦定理的應用

能解決的問題：1．已知三邊求角

2．已知三邊和它們的夾角求第三邊

例

一、(P130例4)在△ABC中，已知a=7, b=10, c=6求A,B,C（精確到期1?）解略

例

二、(P131例5)在△ABC中，已知a=2.730, b=3.696, C=82?28’解這個三角

形（邊長保留四個有效數(shù)字，角度精確到期1’）解略

例

三、設a?=(x?=(x?1, y1)b2, y2)a?

與b的夾角為?（0≤?≤?），求證：

x+ ya?||b?

121y2=||cos?

證：如圖：設a?, b?

起點在原點，終點為A，B

A

則A=(x=b??a?

1, y1)B=(x2, y2)在△ABC中，由余弦定理 B

a?

|b??a?|2=|a?|2+|b?|2?2|a?||b?

| cos?

b?

O

∵|b??a?|2

=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 |a?|2=xb?12+y12

||2= x22+y22 ∴(x2-x1)2

+(y2-y1)

= x2+ x?

12+y122+y22?2|a

||b?

| cos?

∴xy??????

1x2+ y12=|a||b|cos?即有a?b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos?

四、小結：余弦定理及其應用

五、作業(yè)：P131練習P132習題5.9余下部分

x

第四篇：人教版高中數(shù)學教案：第5章：平面向量,教案,課時第 (21)

第二十二教時

教材：復習一——向量、向量的加法與減法、實數(shù)與向量的積

目的：通過復習對上述內容作一次梳理，使學生對知識的理解與應用提高到一個

新的水平。

過程：

一、知識（概念）的梳理：

1．向量：定義、表示法、模、幾種特殊向量 2．向量的加法與減法：法則（作圖）、運算律

3．實數(shù)與向量的積：定義、運算律、向量共線的充要條件、平面向量的基本定義

二、例題：

1．若命題M：'=；命題N：四邊形ABB’A’是平行四邊形。則M是N的（C）(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件 解：若=，則 ||=||，且, 方向相同

∴AA’∥BB’從而ABB’A’是平行四邊形，即：M?N 若ABB’A’是平行四邊形，則|AA’|=|BB’|，且AA’∥BB’ ∴|'|=|'|從而'=，即：N?M 2．設A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：

1?AB?BC?CD2?DB?AC?BD3??OA?OC?OB?CO 解：1? 原式=(?)????

2? 原式=(?)????

3? 原式=(?)?(??)??(?)??? 3．a =“向東走5km”，b =“向西走12km”，試求a+b的長度與方向。解：如圖：||?52?122?13(km)

O

tan?AOB =125 ,∴?AOB = arctan12

a+b a

∴a + b的長為13km，方向與成arctan12

5的角。B

4．如圖：1?已知a、b、c、d，求作向量a?b、c?d。

b A

2?已知a、b、c，求作a + b c ? b

?bc

5．設x為未知向量，a、b2x?(5a+3x?4b)+

1a?3b=0

解：原方程可化為：(2x ? 3x)+(?5a +19

2a)+(4b?3b)= 0∴x =?2

a + b

6．設非零向量a、b不共線，c=ka+b，d=a+kb(k?R)，若c∥d，試求k。解：∵c∥d∴由向量共線的充要條件得：c =λd(λ?R)

即：ka+b=λ(a+kb)∴(k?λ)a +(1?λk)b = 0

又∵a、b不共線∴由平面向量的基本定理：??k???0

?1?k??0?k??1

7．如圖：已知在ABCD中，AH=HD，BF=MC=1

BC，設=a，=b，試用a、b分別表示、、。D F

M

C

解：∵ABCD中，BF=MC=

BC,a

∴FM=

12BC=

1AD=AH ∴FMAH A H b B

∴四邊形AHMF也是平行四邊形，∴AF=HM

又：BM?34BC?3311

4AD?4a ,而FB??4BC??4

b

∴AM?AB?BM= a +31

4b ,MH?FA?FB?BA= ?4b ? a

AF??FA??(?11

4b ? a)= 4

b + a

三、作業(yè)： 《導學?創(chuàng)新》§5.1§5.2

第五篇：人教版高中數(shù)學教案：第5章：平面向量,教案,課時第 (13)

第十三教時

教材：平面向量的數(shù)量積的坐標表示

目的：要求學生掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，掌握向量垂直的坐標表示的充要條件。

過程：

一、復習：

1．平面向量的坐標表示及加、減、實數(shù)與向量的乘積的坐標表示 2．平面向量數(shù)量積的運算 3．兩平面向量垂直的充要條件 4．兩向量共線的坐標表示：

二、課題：平面兩向量數(shù)量積的坐標表示

1．設a =(x1, y1)，b =(x2, y2)，x軸上單位向量i，y軸上單位向量j，則：i?i = 1，j?j = 1，i?j = j?i = 0 2．推導坐標公式：

∵a = x1i + y1j,b = x2i + y2j

∴a?b =(x1i + y1j)(x2i + y2j)= x1x2i2 + x1y1i?j + x2y1i?j + y1y2j2= x1x2 + y1y2

從而獲得公式：a?b = x1x2 + y1y2

例

一、設a =(5, ?7)，b =(?6, ?4)，求a?b

解：a?b = 5×(?6)+(?7)×(?4)= ?30 + 28 = ?2 3．長度、角度、垂直的坐標表示

1?a =(x, y)?|a|2 = x2 + y2?|a| =x2?y2

2?若A =(x1, y1)，B =(x2, y2)，則=(x1?x2)2?(y1?y22)

3? cos? =

a?b

?x1x2?y1y2|a|?|b|

x

21?y1

x2

?y2

4?∵a?b ? a?b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意與向量共線的坐標表示原則）

4．例

二、已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(?2, 5)，求證：△ABC是直角三角形。

證：∵=(2?1, 3?2)=(1, 1),=(?2?1, 5?2)=(?3, 3)∴?=1×(?3)+ 1×3 = 0∴?

∴△ABC是直角三角形

三、補充例題：處理《教學與測試》P153第73課

例

三、已知a =(3, ?1)，b =(1, 2)，求滿足x?a = 9與x?b = ?4的向量x。解：設x =(t, s)，由x?a = 9 ? 3t ? s = 9由x?a = 9 ? 3t ? s = 9?t =

2s = ?3∴x =(2, ?3)

例

四、如圖，以原點和A(5, 2)為頂點作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求點B和向量AB的坐標。

B

A

解：設B點坐標(x, y)，則=(x, y)，=(x?5, y?2)O∵?∴x(x?5)+ y(y?2)= 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0又∵|| = ||∴x2 + y2 =(x?5)2 +(y?2)2即：10x + 4y = 29

由???x?y?5x?2y?0???x7?31??10x?4y?29?2x?或?2?3?27

??

y1??2??y2?

2∴B點坐標(72,?32)或(32,7)；=(?32,?7732)或(?2,2)

例

五、在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一個內角為直角，求k值。

解：當A = 90?時，?= 0，∴2×1 +3×k = 0∴k =?

3當B = 90?時，AB?BC= 0，BC=AC?AB=(1?2, k?3)=(?1, k?3)

∴2×(?1)+3×(k?3)= 0∴k =

113

當C = 90?時，AC?BC= 0，∴?1 + k(k?3)= 0∴k =3?2

四、小結：兩向量數(shù)量積的坐標表示長度、夾角、垂直的坐標表示

五、作業(yè)： P121練習及習題5.7

《教學與測試》P1545、6、7、8，思考題