第一篇：克萊姆法則的一個(gè)簡(jiǎn)易證明

克萊姆法則的一個(gè)簡(jiǎn)易證明

(學(xué)員作業(yè))范崇金(哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院)

在線性代數(shù)教學(xué)中, 一般是通過解二元和三元線性方程組引入行列式;又為了完整和扣題, 是通過介紹克萊姆法則結(jié)束行列式教學(xué)的, 盡管在后面我們可以用逆陣的理論輕松地得到克萊姆法則.由于此時(shí), 我們還沒有建立完整的線性方程組解的理論, 故一般我們是分解的存在性和唯一性兩部分來(lái)證明克萊姆法則, 結(jié)果是講的費(fèi)勁, 學(xué)的迷惑.特別是, 此刻只能指出(方程與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同的)齊次方程的系數(shù)行列式為零是此方程組有非零解的必要條件, 很難說明充分性也成立.在本文中, 我們用消元法輕松、自然地給出一個(gè)有關(guān)線性方程組的基本引理.用此引理, 我們又可以輕松地證明克萊姆法則及齊次方程組有非零解的充要條件.雖然我們多加了一個(gè)引理, 但此引理突顯的是消元法, 而這也是線性代數(shù)中理應(yīng)強(qiáng)調(diào)的.引理線性方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?

?a21x1?a22x2???a2nxn?b2

(a)?

?????

?ax?ax???ax?b

n22nnnn?n11

可以通過消元變換(將一方程的k倍加到另一個(gè)上)變?yōu)橥夥匠探M

?b11x1?b12x2???b1nxn?c1

?

?b22x2???b2nxn?c2

(b)?

?????

?bx?c

nnnn?

.證明首先, 通過消元法我們證明方程組(a)可化為下列形式的同解方程組

?b11x1?b12x2???b1nxn?c1

?

b22x2???b2nxn?c2?

(c)?.??????bn2x2???bnnxn?cn?

(1)若a11?0, 用?i1乘第1個(gè)方程加到第i方程上, 方程組(a)就可以化為方程組(c)的形式;

a

(2)若a11?0, 但某個(gè)ai1?0(i?1), 則先將第i個(gè)方程加到第1個(gè)方程上, 再進(jìn)行按上面的方法進(jìn)行;

(3)若a11???an1?0, 結(jié)論成立.對(duì)于方程組(c)的后n?1個(gè)方程再進(jìn)行同樣的處理即知本引理成立.克萊姆法則 若線性方程組(a)的系數(shù)行列式D?|aij|n?0, 則此方程組有唯一的一組解

x1?

D1D,x2?

D2D,?,xn?

DnD,這里Di是將D中的第i列a1i,?,ani換成b1,?,bn得到的行列式.證明由上述引理, 方程組(a)與(b)同解, 且它們的系數(shù)行列式相等, 即b11?bnn?D?0.再對(duì)方程組(b)從下向上逐步消元知, 方程組(a)與

?a1x1?d1?

?a2x2?d2

(c)?

?????

?ax?d

nnn?

同解, 且D?a1?an?0.再由行列式的性質(zhì), 我們還有

d1

D1?

d2?dn

a2

?

an

?d1a2?an

a1

d1d2?dn

?

an

?a1d2?an,D2?,......,a1

d1

?

an?1

?dn?1dn

?a1?an?1dn

Dn?

.于是

x1?

d1d2D2dnDnD

?1,x2??,?,xn??.12nDDD

定理齊次線性方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?

?a21x1?a22x2???a2nxn?0

(d)?

?????

?an1x1?an2x2???annxn?0?

有非零解?系數(shù)行列式|aij|n?0.證明(?)設(shè)齊次方程組(d)有非零解, 我們用反證法來(lái)證實(shí)|aij|n?0.假設(shè)|aij|n?0, 由克萊姆法則知此方程組有唯一一組解;又因?yàn)辇R次方程組一定有零解, 故方程組(d)無(wú)非零解.這與開始的假設(shè)矛盾.(?)此時(shí), 以|aij|n?0為已知條件, 來(lái)證明方程組(5)有非零解.由引理知, 方程組(d)與方程組

?b11x1?b12x2???b1nxn?0?

?b22x2???b2nxn?0

(e)?

?????

?bx?0

nnn?

同解, 且b11?bnn?|aij|n?0.此刻, 至少有一個(gè)bii?0.設(shè)b11,?,bnn中第一個(gè)為0的是bkk.現(xiàn)在,取xk?1,xk?1???xn?0代入方程組(e), 方程組(e)化為

?b11x1?b12x2???b1,k?1xk?1?d1?bx???bx?d2?2222,k?1k?1

(f)?.???????bk?1,k?1xk?1?dk?1

此時(shí), 方程組(f)的系數(shù)行列式等于b11?bk?1,k?1?0.由克萊姆法則, 此方程組有唯一一組解.此解與

xk?1,xk?1???xn?0拼起來(lái)就是方程組(d)的一組非零解.

第二篇：克萊姆森大學(xué) Clemson University

克萊姆森大學(xué) Clemson University

學(xué)校地址:ClemsonUniversity, Clemson,South Carolina 29634

所在州: 南卡羅來(lái)納州

在校學(xué)生:17165人

建校時(shí)間:1889年

學(xué)校網(wǎng)址:http://www.clemson.edu/

克萊姆森大學(xué)創(chuàng)辦于1889年，1893年正式招收第一屆446名學(xué)生。該校原名克萊姆森學(xué)院（Clemson College），是一所只招收男生的軍事學(xué)校，直到1955年，該校才改為男女合校的普通非軍事院校。1964年，由于其研究生項(xiàng)目和研究成就得到了州立法的認(rèn)可，從而該校改名為克萊姆森大學(xué)。學(xué)校位于南卡羅來(lái)那州，現(xiàn)有在校學(xué)生人數(shù)為17，000余人，他們來(lái)自全美50個(gè)州和73個(gè)其他國(guó)家和地區(qū)?？巳R姆森大學(xué)在US News 2008美國(guó)大學(xué)綜合排名（本科）中排位第六十七。

學(xué)校一直把教學(xué)和實(shí)踐的有機(jī)聯(lián)系作為第一宗旨，優(yōu)越的地理位置和便利的交通使得學(xué)生有機(jī)會(huì)到大城市實(shí)踐自己的課堂所學(xué)。克萊姆森大學(xué)通過研究，推廣和公共服務(wù)來(lái)提供教育和培養(yǎng)領(lǐng)導(dǎo)人、思想家和企業(yè)家解決實(shí)際問題的能力。

學(xué)校有超過半數(shù)的班級(jí)每班人數(shù)少于20人，這讓克萊姆森大學(xué)的教授能充分了解他們的學(xué)生和探索創(chuàng)新的教學(xué)方法。這是克萊姆森大學(xué)的畢業(yè)率躋身全國(guó)最高的公立學(xué)校的原因之一，也是為什么克萊姆森能夠持續(xù)吸引該國(guó)的一些最優(yōu)秀的尋求挑戰(zhàn)的學(xué)生。

學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生積極參加各種課外活動(dòng)來(lái)增長(zhǎng)見識(shí)，開闊視野。該校共有各類學(xué)生社團(tuán)與組織275個(gè)?？巳R姆森大學(xué)高爾夫球隊(duì)（2003－2004）是美國(guó)NCAA高爾夫球比賽歷史上第一個(gè)在同一年同時(shí)獲得地區(qū)和全國(guó)冠軍的球隊(duì)。

開設(shè)專業(yè)

克萊姆森大學(xué)最好的學(xué)系是電子工程，計(jì)算機(jī)工程的研究院課程，更是全美規(guī)模最大。化學(xué)系方面，自從總值12,000,000美元的全新實(shí)驗(yàn)室興建完成后，更壯大了聲勢(shì)。大學(xué)的農(nóng)科是歷史最悠久和最優(yōu)秀的學(xué)科。此外，建筑系也很有名氣，挑選學(xué)生十分嚴(yán)格。如果學(xué)生成績(jī)優(yōu)異，可獲選為榮譽(yù)學(xué)位生?？巳R姆森大學(xué)設(shè)有農(nóng)林和生命科學(xué)學(xué)院、建筑、藝術(shù)與人文學(xué)院、商業(yè)與公共事務(wù)學(xué)院、工程與科學(xué)學(xué)院健康、教育與人類發(fā)展學(xué)院等五個(gè)學(xué)院，提供70 多個(gè)學(xué)士學(xué)位項(xiàng)目和 100個(gè)碩士學(xué)位項(xiàng)目。該大學(xué)在創(chuàng)造藝術(shù)、健康、人類發(fā)展、人文和社會(huì)科學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域具有很強(qiáng)的基礎(chǔ)教學(xué)實(shí)力，特別注重發(fā)展學(xué)生的交際與批判思維能力、道德判斷能力和全球意識(shí)以及科技知識(shí)的教育。研究一直是克萊姆森大學(xué)教育的重要部分，尤其是機(jī)械藝術(shù)與科學(xué)系的實(shí)驗(yàn)教學(xué)與培訓(xùn)馳譽(yù)美國(guó)。該校每年為約140名優(yōu)秀研究生提供獎(jiǎng)學(xué)金與助學(xué)金。

費(fèi)用情況：

申請(qǐng)費(fèi)：40美元學(xué)費(fèi)：18640美元生活費(fèi)：12100美元

入學(xué)要求

1)高中畢業(yè)證書（本科）或?qū)W位證書（研究生），在讀學(xué)生需提供在讀證明

2)學(xué)校成績(jī)單

3)托福或雅思

4)GRE成績(jī)或GMAT成績(jī)-申請(qǐng)研究生

5）個(gè)人陳述6）三封推薦信8）財(cái)產(chǎn)證明

第三篇：克萊姆森大學(xué)留學(xué)

克萊姆森大學(xué)排名

克萊姆森大學(xué)留學(xué)

大學(xué)簡(jiǎn)介

克萊姆森大學(xué)是一所公立研究型大學(xué)，位于美國(guó)南卡羅來(lái)納州克萊姆森時(shí)，是美國(guó)二十所頂尖的公立大學(xué)之一?？巳R姆森大學(xué)成立于1889年，共分為五個(gè)學(xué)院：農(nóng)林與生命科學(xué)學(xué)院，建筑藝術(shù)與人文學(xué)院，商業(yè)和行為科學(xué)學(xué)院，工程與科學(xué)學(xué)院，衛(wèi)生教育與人類發(fā)展學(xué)院。目前，克萊姆森大學(xué)通過結(jié)合兩種模式來(lái)重新確立自己“一流的研究型大學(xué)”的地位，這兩種模式分別是專業(yè)研究的科學(xué)技術(shù)能力和將高度參與的學(xué)術(shù)和社會(huì)環(huán)境凝聚在小學(xué)院內(nèi)?？巳R姆森大學(xué)以獨(dú)特的管理制度、促進(jìn)穩(wěn)定的領(lǐng)導(dǎo)、學(xué)院的獨(dú)特結(jié)構(gòu)，創(chuàng)造了無(wú)與倫比的合作氣氛，并推動(dòng)競(jìng)爭(zhēng)精神，鼓勵(lì)教師、學(xué)生及職工擁有大膽的目標(biāo)。2012年，克萊姆森大學(xué)共有在校本科生16,562名，研究生4,206名，師生比例為16:1。

大學(xué)排名

在不斷地加強(qiáng)自身的研究生教育實(shí)力的同時(shí)，保持著自己良好的本科生教育的質(zhì)量，克萊姆森大學(xué)一直致力于成為一所全美排名前二十的公立大學(xué)。從2005年到2008年，克萊姆森在公立大學(xué)中的排名從34名穩(wěn)步提升到30，27，22名。并在2013年被美國(guó)新聞與世界報(bào)道列在全美最佳的25所頂級(jí)公立大學(xué)名單之列。

2011年，《普林斯頓評(píng)論》將克萊姆森大學(xué)列為最佳與社區(qū)和睦相處的學(xué)校榜單的第1位；學(xué)生最快樂的學(xué)校的第2位；最適合運(yùn)動(dòng)員的學(xué)校的第2位；運(yùn)動(dòng)普及率最高的學(xué)校的第3位；校際運(yùn)動(dòng)最受歡迎的學(xué)校的第8位；最佳職業(yè)服務(wù)學(xué)校的第9位。

2012年，著名美國(guó)理財(cái)雜志Smart Money 將克萊姆森大學(xué)列為最高性價(jià)比學(xué)校的第7位。

【高校專業(yè)排名】

《美國(guó)新聞與世界報(bào)道》工業(yè)與制造工程專業(yè)排名 第30位；

《美國(guó)新聞與世界報(bào)道》環(huán)境與環(huán)境健康工程專業(yè)排名 第39位；

《美國(guó)新聞與世界報(bào)道》生物醫(yī)學(xué)與生物工程專業(yè)排名 第42位；

《美國(guó)新聞與世界報(bào)道》土木工程專業(yè)排名 第47位；

《美國(guó)新聞與世界報(bào)道》機(jī)械工程專業(yè)排名 第52位；

《美國(guó)新聞與世界報(bào)道》化學(xué)工程專業(yè)排名 第57位；

《美國(guó)新聞與世界報(bào)道》教育學(xué)專業(yè)排名 第91位；

【國(guó)內(nèi)MBA排名】

施強(qiáng)留學(xué)網(wǎng)http://教育網(wǎng)http://edu.strong-study.com

克萊姆森大學(xué)排名

全球教育商學(xué)院排名網(wǎng)國(guó)家商學(xué)院排名 第87位；

【國(guó)內(nèi)高校排名】

《美國(guó)新聞與世界報(bào)道》全國(guó)綜合性大學(xué)排名 第64位；

華盛頓周刊美國(guó)大學(xué)排名 第64位。

休閑娛樂

學(xué)生們喜歡在校外的克萊姆森郊區(qū)進(jìn)行社會(huì)活動(dòng)。學(xué)生們只需步行就可以到餐廳，咖啡廳，各種休閑吧和購(gòu)物。大學(xué)校園緊挨克萊姆森郊區(qū), 同時(shí)格林威爾離這里就只有大概45分鐘的距離，很多學(xué)生喜歡在周末到那里去玩。Hartwell湖和附近的位于南北卡羅萊納之間的藍(lán)脊山，讓學(xué)生們有了很多可以進(jìn)行的戶外活動(dòng)，比如劃船，閥運(yùn)，皮船，滑雪，攀巖，山地自行車，徒步旅行，遠(yuǎn)足野營(yíng)等。

校園生活

學(xué)校一直把教學(xué)和實(shí)踐的有機(jī)聯(lián)系作為第一宗旨，優(yōu)越的地理位置和便利的交通使得學(xué)生有機(jī)會(huì)到大城市實(shí)踐自己的課堂所學(xué)。學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生積極參加各種課外活動(dòng)來(lái)增長(zhǎng)見識(shí)，開闊視野。該校共有各類學(xué)生社團(tuán)與組織275個(gè)。

留學(xué)申請(qǐng)

【本科申請(qǐng)要求】

開學(xué)時(shí)間：每年8月、1月；

申請(qǐng)截至日：5月1日，10月1日；

留學(xué)費(fèi)用：29,720.0 美元；

TOEFL分?jǐn)?shù)要求：79.0；

【研究生申請(qǐng)條件】

開學(xué)時(shí)間：每年8月、1月、5月或7月；

申請(qǐng)截至日：秋季入學(xué)：每年12月1日；春季入學(xué)：每年12月15日；

留學(xué)費(fèi)用：16,670.0 美元；

TOEFL分?jǐn)?shù)要求：79.0；

【獎(jiǎng)學(xué)金】

該校每年為約140名優(yōu)秀研究生提供獎(jiǎng)學(xué)金與助學(xué)金。

申請(qǐng)材料

申請(qǐng)費(fèi)、申請(qǐng)表、SATI成績(jī)單、托福成績(jī)單、高中成績(jī)單推薦人信息表、財(cái)力證明表。

施強(qiáng)留學(xué)網(wǎng)http://教育網(wǎng)http://edu.strong-study.com

第四篇：2017年克萊姆森大學(xué)校園生活

004km.cn

校園生活

學(xué)校一直把教學(xué)和實(shí)踐的有機(jī)聯(lián)系作為第一宗旨，優(yōu)越的地理位置和便利的交通使得學(xué)生有機(jī)會(huì)到大城市實(shí)踐自己的課堂所學(xué)。學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生積極參加各種課外活動(dòng)來(lái)增長(zhǎng)見識(shí)，開闊視野。該校共有各類學(xué)生社團(tuán)與組織275個(gè)。

競(jìng)技體育

克萊姆森大學(xué)校隊(duì)以老虎隊(duì)聞名于世。自1953-1954賽季起，克萊姆森大學(xué)一直作為美國(guó)大學(xué)體育協(xié)會(huì)（NCAA）第一級(jí)別球隊(duì)參加各項(xiàng)體育賽事，并在大西洋海岸聯(lián)盟中具有很強(qiáng)的競(jìng)爭(zhēng)力。男子體育包括了棒球、籃球、越野、橄欖球、高爾夫、足球、網(wǎng)球和田徑，而女子包括了籃球、越野、高爾夫、賽艇、足球、游泳、網(wǎng)球、田徑和排球?？巳R姆森大學(xué)贏得過四次全國(guó)冠軍，包括了一次橄欖球（1981），兩次男足（1984和1987）以及男子高爾夫（2003）。其高爾夫球隊(duì)（2003－2004）是美國(guó)NCAA高爾夫球比賽歷史上第一個(gè)在同一年同時(shí)獲得地區(qū)和全國(guó)冠軍的球隊(duì)。

虎爪

虎爪在1970年代替了老虎成為了克萊姆森大學(xué)的官方標(biāo)志?，F(xiàn)在，虎爪不僅已用于橄欖球頭盔，保險(xiǎn)杠貼紙和橄欖球場(chǎng)中，也用于校園的各個(gè)角落和路標(biāo)中。

休閑娛樂

學(xué)生們喜歡在校外的克萊姆森郊區(qū)進(jìn)行社會(huì)活動(dòng)。學(xué)生們只需步行就可以到餐廳，咖啡廳，各種休閑吧和購(gòu)物。大學(xué)校園緊挨克萊姆森郊區(qū), 同時(shí)格林威爾離這里就只有大概45分鐘的距離，很多學(xué)生喜歡在004km.cn

周末到那里去玩。Hartwell湖和附近的位于南北卡羅萊納之間的藍(lán)脊山，讓學(xué)生們有了很多可以進(jìn)行的戶外活動(dòng)，比如劃船，閥運(yùn)，皮船，滑雪，攀巖，山地自行車，徒步旅行，遠(yuǎn)足野營(yíng)等。

第五篇：線性代數(shù)培訓(xùn)之收獲 ——對(duì)“克萊姆法則”的一個(gè)新教案

線性代數(shù)培訓(xùn)之收獲

——對(duì)“克萊姆法則”的一個(gè)新教案

有幸參加國(guó)家線性代數(shù)精品課程的培訓(xùn)，聆聽李尚志老師的教誨，真是受益匪淺，感觸很多。李老師對(duì)數(shù)學(xué)的高深領(lǐng)悟，“空間為體，矩陣為用”，獨(dú)創(chuàng)性的設(shè)計(jì)了線性代數(shù)新的教學(xué)內(nèi)容體系，淋漓盡致的體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，使人耳目一新。李老師的啟發(fā)式教學(xué)方法也是值得我們學(xué)習(xí)和借鑒，以問題為驅(qū)動(dòng)，引入新概念，使學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念（如n階行列式、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、方程的秩等）有了形象的、感性的、更簡(jiǎn)潔、更深刻的理解.特別是用幾何方法引入二階行列式和三階行列式，而且賦于其幾何含義：二階行列式和三階行列式分別表示平行四邊形的有向面積和平行六面體的有向體積，更一般n階行列式在幾何上表示“n維體的有向體積”,這樣可以發(fā)揮學(xué)生的想象力，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)更多，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理，充分培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，一切是為了學(xué)生的發(fā)展，正如李老師所說評(píng)價(jià)教學(xué)的效果主要是看學(xué)生懂了沒有，體現(xiàn)了以學(xué)生為本的教學(xué)理念。

對(duì)比本人對(duì)線性代數(shù)的理解以及教學(xué)實(shí)際，真是差距很大，覺得自己需要努力去奮斗。這里就結(jié)合這次培訓(xùn)的體會(huì)和收獲聯(lián)系自己以往的線性代數(shù)教學(xué)實(shí)際，擬寫一份教案，談?wù)勛约簩?duì)“克萊姆法則”內(nèi)容新的處理方式。

§7克萊姆法則

一、教學(xué)內(nèi)容

(1)克萊姆法則的證明(2)克萊姆法則的應(yīng)用

二、教學(xué)要求

（1）理解克萊姆法則的證明

（2）理解非齊次線性方程組有唯一解的充分條件是它的系數(shù)行列式D≠0;若D=0，方程組無(wú)解或有無(wú)窮多解

（3）理解齊次線性方程組有非零解的必要條件是它的系數(shù)行列式D=0；若D≠0，方程組只有零解

教學(xué)過程

一、（定理1）克萊姆法則

若n×n線性方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2, ⑴ ????????????????ax?ax???ax?bn22nnnn?n11的系數(shù)行列式

a11a12?a1n

D=

a21a22?a2n?????an1an2?ann?0，則方程組⑴有唯一解：x1=

DD1D,x2=2,?,xn=n.⑵ DDD其中Di(i=1,2,?,n)是把系數(shù)行列式D中的第i列的元素用方程組⑴右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n 階行列式，即

a11?a1,i?1b1a1,i?1?a1n

Di=

a21?a2,i?1b2a2,i?1?a2n??????????an1?an,i?1bnan,i?1?ann.證：先證明⑵式是方程組⑴的解.要證⑵式是方程組⑴的解，只需把它代入方程組⑴的第i個(gè)方程，如果左端也等于bi，則說明⑵確是方程組⑴的解.將⑵代入方程組⑴的第i個(gè)方程的左端，并把Di按照第i列展開，第i個(gè)方程的左端=ai1=

DD1D+ai22+?+ainn DDD1(aD1+ai2D2+?+ainDn)Di11=[ ai1(b1A11+b2A21+?+biAi1+?+bnAn1)+ D

ai2(b1A12+b2A22+?+biAi2+?+bnAn2)+

?

+

ain(b1A1n+b2A2n+?+biAin+?+bnAnn)]

1[b1(ai1A11+ai2A12+?+ainA1n)+ D

b2(ai1A21+ai2A22+?+ainA2n)+

?

+

bi(ai1Ai1+ai2Ai2+?+ainAin)+

?

+

bn(ai1An1+ai2An2+?+ainAnn)] =根據(jù)行列式按行展開法則，可以看出，上面最后一式的方括中只有bi的系數(shù)是D，而其他bk(k≠i)的系數(shù)都是零，從而第i個(gè)方程的左端=ai1DD1D+ai22+?+ainn

DDD=1（bi D）=bi =第i個(gè)方程的右端, i=1,2,?,n.D故⑵確是方程組⑴的解.再證明解的唯一性.若方程組⑴還有一個(gè)解：

x1=c1 ，x2=c2 , ?, xn=cn

⑶ 只要證明⑶與⑵相同即可.將⑶代入方程組⑴，得

?a11c1?a12c2???a1ncn?b1,??a21c1?a22c2???a2ncn?b2,?

⑷ ???????????????ac?ac???ac?bn22nnnn?n11現(xiàn)在構(gòu)造一個(gè)新的行列式

a11c1a12?a1n

c1 D=a21c1a22?a2n??????an1c1an2?ann（即在D的第1列乘以c1）

給此行列式的第2，3，?，n 列分別乘以c2，c3, ?,，cn后都加到第1列，得

a11c1?a12c2???a1ncna12?a1n

c1D= a21c1?a22c2???a2ncna22?a2n?????????????an1c1?an2c2???anncnan2?ann

根據(jù)⑷式，得

b1a12?a1n

c1D=b2a22?a2n????bnan2?annDD2,?, cn=n.DD=D1, 因?yàn)?D≠0,所以 c1=

D1.D 同理可證，c2=

唯一性得證.（說明：我們學(xué)校現(xiàn)使用同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編《工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)（第三版）》，其中克萊姆法則的證明（現(xiàn)略）,筆者認(rèn)為，有以下幾點(diǎn)值得商榷和改進(jìn)：一是先證明解的唯一性，后驗(yàn)證解的存在性，是否符合思維邏輯？因?yàn)闆]有解的存在性這個(gè)前提，怎么談解的唯一性？二是在解的唯一性的證明中所用的技巧很強(qiáng)與前面行列式的性質(zhì)聯(lián)系不夠，教學(xué)實(shí)踐也證明學(xué)生難以理解，而且不具備數(shù)學(xué)中證明很多“唯一性”問題的一般方法.因?yàn)橐粋€(gè)好的方法應(yīng)是一般性的、具有“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的功效，而且應(yīng)充分利用學(xué)生已知的知識(shí)，化未知為已知，這是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法。，基于以上想法，本文給出克萊姆法則的一個(gè)簡(jiǎn)捷的證明.先證明了解的存在性，再證明了解的唯一性，在證明中充分應(yīng)用了行列式的性質(zhì)和行列式的展開定理，學(xué)生容易理解，而且具有一定意義的數(shù)學(xué)教育價(jià)值.另外，不足之處是，能否象李老師所說引導(dǎo)學(xué)生去自然而然的發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理，而不是一開始直接給出這個(gè)定理，再去證明，本人目前還沒有好的方法，有待繼續(xù)考慮。）

例1 解線性方程組（現(xiàn)略）

（說明：這是一個(gè)含有4個(gè)未知數(shù)4個(gè)方程的非齊次線性方程組，其目的是熟悉克萊姆法則的內(nèi)容和直接的、簡(jiǎn)單的應(yīng)用，也使學(xué)生對(duì)克萊姆法則從一般到特殊有感性的認(rèn)識(shí)，加深學(xué)生對(duì)克萊姆法則的理解和應(yīng)用。）

定理1的逆否定理為：

定理1ˊ若線性方程組（1）無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式D=0

二、齊次線性方程組的克萊姆法則

若線性方程組（1）中的所有的常數(shù)項(xiàng)全為0，即b1=b2=?=bn=0, 若線性方程組（1）稱為齊次線性方程組。

事實(shí)1：齊次線性方程組必有解，如x1=x2=?xn=0一定是它的解。這個(gè)解稱為它的零解。如果有一組不全為0的數(shù)是它的解，則這個(gè)解稱為它的非零解。

事實(shí)2：若齊次線性方程組有一個(gè)非零解，則它有無(wú)窮多解。

（說明：這2個(gè)事實(shí)不難證明，它們?cè)诤罄m(xù)的學(xué)習(xí)中反復(fù)遇到，而且可以以不同的形式出現(xiàn)：如零向量可以用任意一組向量線性表示，特別是事實(shí)2為后續(xù)學(xué)習(xí)齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)設(shè)下伏筆，正如李老師所說很多內(nèi)容事實(shí)上是一回事，只是表現(xiàn)形式不同而已，這里講透了以后可以少講，這樣使得學(xué)生精裝上陣，減輕學(xué)生頭腦的負(fù)擔(dān)，先將書由薄讀厚，再由厚讀薄。）

定理2 若n×n齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則此齊次線性方程組只有零解。

定理2的逆否定理為：

定理2ˊ若n×n齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式D=0。

證：用反證法。

假設(shè)D≠0，則由 克萊姆法則可知該齊次線性方程組線性方程組有唯一解x1=

DD1D,x2=2,?,xn=n。而D1=D2=?DN=0,因此唯一解是零解，這與有非零解相矛盾。DDD故D=0。

注1：定理2ˊ的逆命題也成立，即若n×n齊次線性方程組的系數(shù)行列式D=0，則它一定有非零解。（第三章證明）

注2：關(guān)于更一般的m×n線性方程組的情況在本書第三章討論。

例2 設(shè)齊次線性方程組

?(5??)x1?2x2?2x3?0,?有非零解，問?取何值？ ?2x1?(6??)x2?0,?2x?(4??)x?03?1

解

由定理2ˊ可知，若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式D=0，5??即D=26??020=?5????6????4????4?4????4?6??? 4??=?5????2????8???=0 22 從而得??2或??5或??8。

（說明：齊次線性方程組的情形是線性方程組的特例，從而定理2和定理2ˊ分別是定理1和定理1ˊ的特例，分別由定理1和定理1ˊ演繹得到。數(shù)學(xué)教學(xué)中，歸納和演繹無(wú)處不在，我們要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)一般化和特殊化的關(guān)系，這容易被忽視。特別是定理2ˊ的逆命題我們還沒有證明，所以這里的例2是將原例題改變而成，原例題是問?取何值時(shí)，此齊次線性方程組有非零解。這樣，更符合邏輯，好讓學(xué)生懂?dāng)?shù)學(xué)，讓學(xué)生更好的掌握知識(shí)。因?yàn)槔罱淌谡f我們不但要教數(shù)學(xué)，也要教學(xué)生，不但要懂?dāng)?shù)學(xué)，更要懂學(xué)生。）

蘭州交通大學(xué)

李興東

2007，11，22