第一篇：數(shù)學(xué)證明法例題

例1 已知，p，q∈R’且p+q＝2，求證：p+q≤

2證明用反證法

設(shè)

p+q＞

2，則q＞2-p，∴q＞8-12p+6p-p

p+q＞8-12p+6p＝2+6(p-1)≥2

與題p+q＝2，矛盾。

所以p+q＞2不成立，只能是p+q≤2。

說明當(dāng)用直接證法證明比較困難時(shí)可以用反證法。反證法的步驟首先是否定結(jié)論，要找準(zhǔn)結(jié)論的反面，然后根據(jù)題設(shè)或定理公理推出矛盾，即結(jié)論的反面不成立。

例2 已知x+y＝1，x，y∈R 223333223233

3證明∵x+y＝1 22

由三角函數(shù)的有界性可得

換元法中應(yīng)用三角函數(shù)，將代數(shù)式化成了三角式再結(jié)合三角公式以及三角函數(shù)中正、余弦函數(shù)的有界性，可以使證明簡練。例2的證法四

例3 已知a，b，m∈R，且a＜b，+

分析本題可以用比較法，綜合法，分析法來證明，而且都比較容易，這里再介紹幾種構(gòu)造法證題。

證法一利用函數(shù)的性質(zhì)來說明

證法二設(shè)點(diǎn)A(b，a)，點(diǎn)B(-m，-m)，其中m＞0∵0＜a＜b，則(如圖5-2)直線OA

∵B在第三象限角的平分線上，所以AB必與x軸的正半軸相交，

第二篇：數(shù)學(xué)歸納法證明例題

數(shù)學(xué)歸納法例題講解

例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1111n． ??????2n?12n?12n?11?33?55?7

請讀者分析下面的證法：

證明：①n=1時(shí)，左邊?1111?，右邊??，左邊=右邊，等式成立． 1?332?1

3②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即：

1111k??????． 2k?12k?12k?11?33?55?7

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有：

11111?????? 2k?12k?12k?12k?31?33?55?7

?1??1??11??11?1??11???11?????????????????????? ?2??3??35??57??2k?12k?1??2k?12k?3??1?1?12k?2 ?1????2?2k?3?22k?3

k?1k?1? 2k?32k?1?1??

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式亦成立．

由①、②可知，對一切自然數(shù)n等式成立．

評述：上面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的方法是錯(cuò)誤的，這是一種假證，假就假在沒有利用歸納假設(shè)n=k這一步，當(dāng)n=k+1時(shí)，而是用拆項(xiàng)法推出來的，這樣歸納假設(shè)起到作用，不符合數(shù)學(xué)歸納法的要求．

正確方法是：當(dāng)n=k+1時(shí)．

11111?????? 2k?12k?12k?12k?31?33?55?7

?k1? 2k?12k?12k?

3?2k?1??k?1? 2k2?3k?1??2k?12k?32k?12k?3?k?1k?1 ?2k?32k?1?

1這就說明，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式亦成立，例2．是否存在一個(gè)等差數(shù)列{an}，使得對任何自然數(shù)n，等式：

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)

都成立，并證明你的結(jié)論．

分析：采用由特殊到一般的思維方法，先令n=1，2，3時(shí)找出來{an}，然后再證明一般性．

解：將n=1，2，3分別代入等式得方程組．

?a1?6?，?a1?2a2?2

4?a?2a?3a?6023?1

解得a1=6，a2=9，a3=12，則d=3．

故存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3，當(dāng)n=1，2，3時(shí)，已知等式成立．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3，對大于3的自然數(shù)，等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

因?yàn)槠鹗贾狄炎C，可證第二步驟．

假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即

a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1

= k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(k+1)+3]

=(k+1)(k2+2k+3k+6)

=(k+1)(k+2)(k+3)

=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，也存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立．

綜合上述，可知存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3，對任何自然數(shù)n，等式a1+2a2+3a3+…

+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

例3．證明不等式1?1

2?1

3???1

n?2n(n∈N)．

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=2．

左邊<右邊，不等式成立．

②假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即1?

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，12?1???1k?2k．

1?1

2?1

???1

k?1

k?1

?2k?1

k?1?2kk?1?1

k?1

2?k?1?

k?1 ?k??k?1??1

k?1??2k?1

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．

由①、②可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立．

說明：這里要注意，當(dāng)n=k+1時(shí)，要證的目標(biāo)是

1?

12?1

1???1k?1k?1?2k?1，當(dāng)代入歸納假設(shè)后，就是要證明： 2k?k?1?2k?1．

認(rèn)識(shí)了這個(gè)目標(biāo)，于是就可朝這個(gè)目標(biāo)證下去，并進(jìn)行有關(guān)的變形，達(dá)到這個(gè)目標(biāo)． 例4．已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=1，當(dāng)n∈N時(shí)，an+2=an+1+an．

求證：數(shù)列{an}的第4m+1項(xiàng)(m∈N)能被3整除．

分析：本題由an+1=an+1+an求出通項(xiàng)公式是比較困難的，因此可考慮用數(shù)學(xué)歸納法． ①當(dāng)m=1時(shí)，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除． ②當(dāng)m=k時(shí)，a4k+1能被3整除，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+

3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=3a4k+2+2a4k+1

由假設(shè)a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．

因此，當(dāng)m=k+1時(shí)，a4(k+1)+1也能被3整除．

由①、②可知，對一切自然數(shù)m∈N，數(shù)列{an}中的第4m+1項(xiàng)都能被3整除．

例5．n個(gè)半圓的圓心在同一條直線l上，這n個(gè)半圓每兩個(gè)都相交，且都在直線l的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓弧？

分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進(jìn)行猜想和論證．

當(dāng)n=2時(shí)，由圖(1)．兩個(gè)半圓交于一點(diǎn)，則分成4段圓弧，故f(2)=4=22．

當(dāng)n=3時(shí)，由圖(2)．三個(gè)半徑交于三點(diǎn)，則分成9段圓弧，故f(3)=9=32．

由n=4時(shí)，由圖(3)．三個(gè)半圓交于6點(diǎn)，則分成16段圓弧，故f(4)=16=42．

由此猜想滿足條件的n個(gè)半圓互相分成圓弧段有f(n)=n2．

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n=2時(shí)，上面已證．

②設(shè)n=k時(shí)，f(k)=k2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)半圓與原k個(gè)半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個(gè)半圓不能交于一點(diǎn)，所以第k+1個(gè)半圓把原k個(gè)半圓中的每一個(gè)半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓?。涣硗庠璳個(gè)半圓把第k+1個(gè)半圓分成k+1段，這樣又多出了k+1段圓?。?/p>

∴ f(k+1)=k2+k+(k+1)

=k2+2k+1=(k+1)

2∴ 滿足條件的k+1個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成(k+1)2段圓?。?/p>

由①、②可知，滿足條件的n個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成n2段圓弧．

說明：這里要注意；增加一個(gè)半圓時(shí)，圓弧段增加了多少條？可以從f(2)=4，f(3)=f

(2)+2+3，f(4)=f(3)+3+4中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f(k+1)=f(k)+k+(k+1)．

N的4K+1次方-N為何是10的倍數(shù)？ 先證明n^5-n一定是10 的倍數(shù)

再用數(shù)學(xué)歸納法證明n^(4k+1)-n也是10的倍數(shù)

n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)

顯然n,n-1中必有一個(gè)數(shù)是偶數(shù) 所以n^5-1是2的倍數(shù)

下面分情況討論

n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍數(shù)

而(2,5)互質(zhì) 所以n^5-n是10 的倍數(shù)

所以當(dāng)k=1時(shí)成立

假設(shè)當(dāng)k=r時(shí)成立 即n^(4r+1)-n=10s

則當(dāng)k=r+1 時(shí) n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)

=n^4*10s+n^5-n

由于n^5-n是10的倍數(shù)

所以當(dāng)k=r+1時(shí)也成立

證明:2的n次方大于2n+1,n是大于3的整數(shù)

n=3時(shí)，2^3=8>2*3+1,2的n次方大于2n+1成立

設(shè)n≤k,k>3時(shí)成立

則：

2^(k+1)=2*2^k>2*(2k+1)=4k+2>2k+8>2(k+1)+

1n=k+1時(shí)成立

所以，2的n次方大于2n+1,n是大于2的整數(shù)

證明：當(dāng)且僅當(dāng)指數(shù)n不能被4整除時(shí)，1n＋2n＋3n＋4n能被5整除

證明設(shè)A=1^n＋2^n＋3^n＋4^n，當(dāng)n=4k(k為整數(shù))時(shí)，1^n、3^n的個(gè)位數(shù)均為1，2^n、4^n的個(gè)位均為6，1+1+6+6=14，A的個(gè)位為4，顯然A不能被5整除

當(dāng)n≠4k時(shí)，⑴若n=4k+1，易知A的個(gè)位=（1+2+3+4）的個(gè)位=0，∴A能被5整除 ⑵當(dāng)n=4k+2時(shí)，A的個(gè)位=（1+4+9+16）的個(gè)位=0，∴A能被5整除

⑶當(dāng)n=4k+3時(shí)，A的個(gè)位=（1+8+27+64）的個(gè)位=0，∴A能被5整除

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)指數(shù)n不能被4整除時(shí)，A能被5整除，也即當(dāng)且僅當(dāng)指數(shù)n不能被4整除時(shí)，1^n＋2^n＋3^n＋4^n能被5整除

第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式經(jīng)典例題

放縮法證明數(shù)列不等式

主要放縮技能： 1.1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

114411????2(?)

22n4n?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1n2?4

2.???? ????2)

? ??

??

??

?

? 4.2n2n2n?1115.n ????(2?1)2(2n?1)(2n?2)(2n?1)(2n?1?1)2n?1?12n?16.n?22(n?1)?n11??? n(n?1)?2n?1n(n?1)?2n?1n?2n(n?1)?2n?1

x2?x?n*c?(n?N)例1.設(shè)函數(shù)y?的最小值為，最大值為，且abnnn2x?1

（1）求cn；（2）證明：

例2.證明：16?1?

例3.已知正項(xiàng)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和為sn，且an?

2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117?????? 444c14c2c3cn4????17 1?2sn，n?N*； an??

（2）解關(guān)于數(shù)列n的不等式：an?1?(sn?1?sn)?4n?8

（3）記bn?2sn,Tn?331111?Tn??????

?，證明：1 2b1b2b3bn

例4.已知數(shù)列?an?滿足：?n?2?an?an?1； ?是公差為1的等差數(shù)列，且an?1?nn??

（1）求an；（2

????2 例5.在數(shù)列?an?中，已知a1?2,an?1an?2an?an?1；

（1）求an；（2）證明：a1(a1?1)?a2(a2?1)?a3(a3?1)???an(an?1)?3

2n?1an例6.數(shù)列?an?滿足：a1?2,an?1?； n(n?)an?22

5112n

（1）設(shè)bn?，求bn；（2）記cn?，求證：?c1?c2?c3???cn? 162n(n?1)an?1an

例7.已知正項(xiàng)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和為sn滿足：sn?1,6sn?(an?1)(an?2)；

（1）求an；

（2）設(shè)數(shù)列?bn?滿足an(2n?1)?1,并記Tn?b1?b2?b3???bn，b

求證：3Tn?1?log2n

(a?3)（函數(shù)的單調(diào)性，貝努力不等式，構(gòu)造，數(shù)學(xué)歸納法）

例8.已知正項(xiàng)數(shù)列?an?滿足：a1?1,nan?1(n?1)an??1，anan?1

記b1?a1,bn?n[a1?

（1）求an；

（2）證明：(1?

2111????](n?2)。222a2a3an?11111)(1?)(1?)?(1?)?4 b1b2b3bn4

第四篇：《人民警察法》例題

《人民警察法》例題

一、填充：

1、人民警察依法執(zhí)行職務(wù)，受________保護(hù)。

2、人民警察依法實(shí)行________制度。

3、錄用人民警察，必須按照國家規(guī)定公開________、嚴(yán)格_______擇優(yōu)選用。

4、人民警察必須執(zhí)行上級的決定和命令。人民警察認(rèn)為決定和命令有錯(cuò)誤時(shí)，可以按照規(guī)定提出意見，但___________或者_(dá)_________決定和命令的執(zhí)行。

5、人民警察執(zhí)行職務(wù)，依法接受人民檢察院和_______________的監(jiān)督。

6、人民警察包括公安機(jī)關(guān)_____________、_____________勞動(dòng)教養(yǎng)管理機(jī)關(guān)的人民警察和人民法院、人民檢察院的司法警察。

7、公安機(jī)關(guān)人民警察對嚴(yán)重危害社會(huì)治安秩序或者威脅公共安全的人員，可以強(qiáng)行____________、依法予以拘留或者采取法律規(guī)定的其他措施。

8、對被盤問人的留臵時(shí)間自帶至公安機(jī)關(guān)之時(shí)起不超過____________小時(shí)。

9、為制止________________活動(dòng)的需要，公安機(jī)關(guān)的人民警察依照國家有關(guān)規(guī)定可以使用警械。

10、違反紀(jì)律的人民警察，必要時(shí)可以對其采取停止執(zhí)行職務(wù)、___________的措施。

11、為制止嚴(yán)重違法犯罪活動(dòng)的需要，公安機(jī)關(guān)的人民警察依照國家有關(guān)規(guī)定可以使用_______________。

12、公安機(jī)關(guān)的人民警察因履行職責(zé)的緊急需要，經(jīng)出示相應(yīng)證件，可以_______乘坐公共交通工具，遇交通阻礙時(shí)，___________通行。

13、人民警察在非工作時(shí)間，遇有其職責(zé)范圍內(nèi)的緊急情況，應(yīng)當(dāng)________。

14、人民警察個(gè)人或者集體在工作中表現(xiàn)突出，有顯著成績和特殊貢獻(xiàn)的，給予獎(jiǎng)勵(lì)。獎(jiǎng)勵(lì)分為：嘉獎(jiǎng)、________、_______、一等功、授予________。

15、人民警察必須以___________和____________為活動(dòng)準(zhǔn)則，忠于職守，清正廉潔，紀(jì)律嚴(yán)明，服從命令，嚴(yán)格執(zhí)法。

16、人民警察遇到公民人身、財(cái)產(chǎn)安全受到侵犯或者處于其他危難情形，應(yīng)當(dāng)_____________。

17、人民警察對超越法律、法規(guī)規(guī)定的人民警察職責(zé)范圍的指令，有權(quán)___________，并同時(shí)向______________報(bào)告。

18、人民警察的警用標(biāo)志、___________、___________證件為人民警察專用，其他個(gè)人和組織不得持有和使用。

19、人民警察執(zhí)行職務(wù)，依法接受人民檢察院和_______________的監(jiān)督。

20、人民警察在非工作時(shí)間，遇有其職責(zé)范圍內(nèi)的緊急情況，應(yīng)當(dāng)_________。

21、對受獎(jiǎng)勵(lì)的人民警察，按照國家有關(guān)規(guī)定，可以_________，并給予一定的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)。

22、人民警察的警用標(biāo)志、制式服裝、__________、___________為人民警察專用，其他個(gè)人和組織不得持有和使用。

23、人民警察執(zhí)行職務(wù)，必須自覺地接受社會(huì)和公民的監(jiān)督。人民警察機(jī)關(guān)作出的與公眾利益直接有關(guān)的規(guī)定，應(yīng)當(dāng)向__________公布。

二、單項(xiàng)選擇：

1、人民警察對超越法律、法規(guī)規(guī)定的人民警察職責(zé)范圍的指令，在向上級機(jī)關(guān)報(bào)告的同時(shí)()。

a、不得拒絕執(zhí)行b、不得中止執(zhí)行c、可以改變執(zhí)行d、有權(quán)拒絕執(zhí)行

2、對違反紀(jì)律的人民警察停止執(zhí)行職務(wù)的期限為15天至()。

a、1個(gè)月b、2個(gè)月c、3個(gè)月d、4個(gè)月

3、人民警察必須按照規(guī)定著裝，佩戴人民警察標(biāo)志或者持有人民警察證件，保持

()，舉止端莊。

a、服裝整齊b、語言文明c、警容嚴(yán)整d、文明禮貌

4、人民警察法的立法依據(jù)是()。

a、法律b、法規(guī)c、憲法d、刑法和刑事訴訟法

5、對違反紀(jì)律的人民警察，采取禁閉的天數(shù)為1至()

a、3天b、5天c、7天d、15天

6、對有違法犯罪嫌疑的人，需要繼續(xù)盤問的，在特殊情況下，經(jīng)縣級以上公安機(jī)關(guān)批準(zhǔn)，可以將留臵時(shí)間延長至()小時(shí)

a、12b、24c、48d、727、人民警察執(zhí)行職務(wù)，依法接受人民檢察院和()的監(jiān)督。

a、人民法院b、上級公安機(jī)關(guān)c、行政監(jiān)察機(jī)關(guān)d、當(dāng)事人

8、縣級以上人民政府公安機(jī)關(guān)，為預(yù)防和制止嚴(yán)重危害社會(huì)治安秩序的行為，可以在一定的區(qū)域和時(shí)間，限制人員、車輛的通行或者停留，必要時(shí)可以實(shí)行()

a、現(xiàn)場封鎖b、現(xiàn)場管制c、交通封鎖d、交通管制

9、縣級以上人民政府公安機(jī)關(guān)，經(jīng)上級公安機(jī)關(guān)和同級人民政府批準(zhǔn)，對嚴(yán)重危害社會(huì)治安秩序的突發(fā)事件，可以根據(jù)情況實(shí)行()。

a、交通封閉b、交通管制c、現(xiàn)場管制d、現(xiàn)場封閉

10、錄用人民警察，必須按照國家規(guī)定，()，嚴(yán)格考核、擇優(yōu)選用。

三、多項(xiàng)選擇：

1、人民警察在辦案過程中，如果()，應(yīng)當(dāng)回避。

a、是本案的當(dāng)事人b、是當(dāng)事人的近親屬c、本人與本案有利害關(guān)系d、其近親屬與本案有利害關(guān)系

2、公民或者組織對人民警察的違法、違紀(jì)行為，有權(quán)向()檢舉、控告。a、公安機(jī)關(guān)b、人民檢察院c、人民法院d、行政監(jiān)察機(jī)關(guān)

3、人民警察的任務(wù)有()等。

a、維護(hù)國家安全b、維護(hù)社會(huì)治安秩序c、保護(hù)公民人身安全、人身自由和合法財(cái)產(chǎn)d、保護(hù)公共財(cái)產(chǎn)

4、公安機(jī)關(guān)的人民警察有()等權(quán)限。

a、實(shí)施行政強(qiáng)制措施b、實(shí)施行政處罰c、按照規(guī)定使用武器d、執(zhí)行刑事強(qiáng)制措施和搜查

5、人民警察義務(wù)和紀(jì)律的基本要求是()

a、秉公執(zhí)法、辦事公道b、模范遵守社會(huì)公德c、尊重人民群眾的風(fēng)俗習(xí)

慣d、禮貌待人、文明執(zhí)勤

6、對人民警察的外部執(zhí)法監(jiān)督包括()監(jiān)督。

a、檢察b、行政c、公民和社會(huì)組織d、新聞媒介

7、公安機(jī)關(guān)的人民警察對違反治安管理或者其他公安行政管理法律、法規(guī)的個(gè)人或者組織，依法可以實(shí)施()

a、行政強(qiáng)制措施b、行政處分c、行政處罰d、刑事處罰

8、人民警察不得()。

a、參加罷工b、接受當(dāng)事人請客c、從事營利性的經(jīng)營活動(dòng)d、受雇于某組織

9、人民警察義務(wù)和紀(jì)律的基本要求是()

a、秉公執(zhí)法、辦事公道b、模范遵守社會(huì)公德c、尊重人民群眾的風(fēng)俗習(xí)慣d、禮貌待人、文明值勤

4、對違反紀(jì)律的人民警察的行政處分包括()。

a、警告b、記過c、記大過d、禁閉

10、公安機(jī)關(guān)因偵查犯罪的緊急需要，可以優(yōu)先使用有關(guān)組織和個(gè)人的()。a、交通工具b、通信工具c、現(xiàn)金d、建筑物

四、判斷改錯(cuò)：

1、人民警察必須以人民警察法為活動(dòng)準(zhǔn)則，忠于職守，清正廉潔，紀(jì)律嚴(yán)明，服從命令，嚴(yán)格執(zhí)法。

2、對被盤問人的留臵時(shí)間，在特殊情況下，經(jīng)縣級以上公安機(jī)關(guān)批準(zhǔn)，可以延長四十八小時(shí)。

3、人民警察遇到公民人身財(cái)產(chǎn)安全受到侵犯或者處于其他危難情形的，可以參加救助。

4、縣級以上人民政府公安機(jī)關(guān)，為預(yù)防和制止嚴(yán)重危害社會(huì)治安秩序的行為，可以在一定的區(qū)域和時(shí)間，限制人員車輛的通行或者停留，必要時(shí)可以實(shí)行現(xiàn)場管制。

5、對違反紀(jì)律的人民警察，必要時(shí)可以對其采取停止執(zhí)行職務(wù)，責(zé)令具結(jié)悔過的措施。

6、公安機(jī)關(guān)在報(bào)紙上刊登通緝令，并附有被通緝?nèi)说恼掌?，公安機(jī)關(guān)因此侵犯了被通緝?nèi)说男は駲?quán)。

7、人民警察所有執(zhí)行職務(wù)的行為都受法律保護(hù)。

8、基層公安機(jī)關(guān)認(rèn)為上級的決定和命令有錯(cuò)誤時(shí)，可以按照規(guī)定提出意見，也可以中止決定和命令的執(zhí)行。

9、對人民警察采取禁閉措施的期限為1至3天。

10、人民警察遇到公民人身財(cái)產(chǎn)安全受到侵犯或者處于其他危難情形的，可以參加救助。

11、人民警察執(zhí)行職務(wù)，必須自覺地接受社會(huì)和公民的監(jiān)督。人民警察機(jī)關(guān)作出的與公眾利益直接有關(guān)的規(guī)定，不必向公眾公布。

12、錄用人民警察，必須按照國家規(guī)定，開卷考試，嚴(yán)格考核，擇優(yōu)選用。

13、人民警察對超越法律、法規(guī)規(guī)定的人民警察職責(zé)范圍的指令，不得拒絕執(zhí)行，向上級機(jī)關(guān)報(bào)告。

14、縣級以上人民政府公安機(jī)關(guān)，經(jīng)上級公安機(jī)關(guān)和同級人民政府批準(zhǔn)，對嚴(yán)重危害社會(huì)治安秩序的突發(fā)事件，可以根據(jù)情況實(shí)行交通管制。

15、人民警察執(zhí)行職務(wù)，受法律保護(hù)。

16、人民警察認(rèn)為上級的決定和命令有錯(cuò)誤時(shí)，可以按照規(guī)定提出意見，也可以中止決定和命令的執(zhí)行。

17、對人民警察采取禁閉措施的期限為1至3天。

18、人民警察在非工作時(shí)間，遇到其職責(zé)范圍內(nèi)的緊急情況，可以不履行職責(zé)。

五、簡答：

1、簡述繼續(xù)盤問的條件。

2、何為交通管制

六、案例簡釋：(回答問題，并說明理由)

1、公安民警柏某下班后著便裝乘公共汽車回家。在車上恰遇兩名歹徒持刀對乘客恐嚇搶劫，柏某見狀與歹徒展開搏斗。后在乘客協(xié)助下將歹徒制服，柏某左臂受傷住院，柏

某的行為得到當(dāng)?shù)厝罕姷馁潛P(yáng)。

問：柏某的行為是見義勇為，還是履行職責(zé)？為什么？

2、偵察員張某、李某駕車追緝一逃犯過程中，因車輛發(fā)生故障，不能繼續(xù)行駛。這時(shí)，一輛出租車路過，民警將其攔下，要求使用該車追逃犯，司機(jī)以其要做生意為由拒絕，民警張某當(dāng)機(jī)立斷將車開走，在追緝返回途中致車輛外殼被碰壞。

問：民警這種做法是否合法？對使用的車輛及造成的損壞公安機(jī)關(guān)應(yīng)如何處理？

3、某青年明知是贓物而替人窩藏，被公安民警盤問，后又被帶至公安機(jī)關(guān)繼續(xù)盤問。經(jīng)過1天的盤問，認(rèn)為需要拘留，經(jīng)縣公安局領(lǐng)導(dǎo)批準(zhǔn)，依法予以拘留。

問：公安民警的執(zhí)法行為是否符合程序？為什么？

4、某日晚，派出所民警王某、張某執(zhí)勤時(shí)發(fā)現(xiàn)一男青年神色慌張，形跡可疑，上前盤問檢查，發(fā)現(xiàn)該青年提包內(nèi)裝有2萬元現(xiàn)金和幾件首飾。問其姓名、地址、錢物來源、欲往何處，均不作回答。在此情況下，民警將該青年帶至派出所。

問：根據(jù)人民警察法，下一步該怎么辦？如案情復(fù)雜，1天內(nèi)仍盤查不清又該怎么辦？

5、某車站派出所民警在候車室發(fā)現(xiàn)旅客張某手提密碼箱，形跡可疑，遂將其帶至派出所進(jìn)行盤問，并對其密碼箱進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)里面裝1支雷管和1把自制手槍。由于張某拒不講明自己的真實(shí)身份、住址，盤問近24小時(shí)仍無進(jìn)展，經(jīng)派出所長批準(zhǔn)繼續(xù)盤問。問：派出所長的行為是否適當(dāng)？為什么？

6、某夜，一輛長途客車正在行駛，旅客們大都睡意朦朧。突然，一名歹徒持槍對準(zhǔn)乘客，聲稱誰不交出錢和首飾就打死誰?？吹竭@種情況，車上的公安民警孫某暗暗掏出手槍，選擇有利時(shí)機(jī)將其擊斃。

問：民警孫某的行為有無不當(dāng)？為什么？

7、民警王某休假期間著便裝乘公共汽車回故鄉(xiāng)，在車上恰遇兩名歹徒對乘客恐嚇搶劫，王某見狀與歹徒搏斗。后在乘客協(xié)助下將歹徒制服，王某負(fù)傷，受到群眾贊揚(yáng)。王某是履行人民警察職責(zé)，還是見義勇為？

8、民警張某在夜巡中，發(fā)現(xiàn)一男青年推著一輛摩托車行為鬼祟。遂上前出示警官證，對其當(dāng)場盤問檢查，因前言不搭后語，回答自相矛盾，張某遂將其帶至派出所決定繼續(xù)盤問。經(jīng)盤問，該稱摩托車是其鄰居朱某委托其開回家，因發(fā)動(dòng)不著而推行。民警張某認(rèn)為其態(tài)度不老實(shí)，經(jīng)派出所長批準(zhǔn)，決定對其延長留臵盤問至48小時(shí)。期間經(jīng)調(diào)查核實(shí)，該青年無違法犯罪嫌疑。48小時(shí)后該離開派出所留臵室。本案，公安機(jī)關(guān)執(zhí)法中有哪些問題？

9、陶某參加其同事婚禮，酒席間喝得爛醉如泥，又拒絕同事送其回家，在回家的大馬路上，陶某對過往行人尋釁滋事，民警接報(bào)后，迅速趕赴現(xiàn)場。

問：該民警下一步應(yīng)如何處臵？還應(yīng)注意哪些事項(xiàng)？

10、民警小孔在辦理一起治安案件時(shí)，私自接受了一方當(dāng)事人（系小孔的同學(xué)）王某的兩條香煙，另一方當(dāng)事人李某知悉此情后，要求小孔逥避。小孔說：我與王某是同學(xué)關(guān)系，收他兩條香煙又沒有違反什么規(guī)定，再說我與王某又不是親戚關(guān)系，不符合迴避的條件。

問：你對此事有何認(rèn)識(shí)？為什么？

11、某縣政府決定召開一次萬人大會(huì)，根據(jù)縣領(lǐng)導(dǎo)的指示，為了維護(hù)好會(huì)場的交通秩序，保證安全，縣公安交巡大隊(duì)決定在某日7時(shí)30至10時(shí)30分，縣體育場南側(cè)主要街道實(shí)行交通管制。

問：交巡大隊(duì)決定實(shí)行交通管制對不對？為什么？

第五篇：放縮法典型例題

放縮法典型例題

數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問題能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問題的能力．本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和．

一．先求和后放縮

例1．正數(shù)數(shù)列（1）數(shù)列的前項(xiàng)的和的通項(xiàng)公式；，滿足，試求：

（2）設(shè)解：（1）由已知得，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，所以時(shí)，求證：，作差得：，又因?yàn)?，得為正?shù)數(shù)，所列，所以以，即是公差為2的等差數(shù)列，由（2），所以

注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式．如果此數(shù)列的前項(xiàng)和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列倒序相加等方法來求和．

二．先放縮再求和

1．放縮后成等差數(shù)列，再求和

例2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.滿足條件）求和或者利用分組、裂項(xiàng)、(1)求證：；

(2)求證：

解：（1）在條件中，令有，得，上述兩式相減，注意到

∴，又由條件得

所以，所以

（2）因?yàn)?，所以，所以?/p>

2．放縮后成等比數(shù)列，再求和

例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：；

（2）等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè)，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn＜．

解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an≥a，于是，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a－1≥1，且an≥a2，于是

． ．

（2）∵，，∴公比． ∴．

．

∴

3．放縮后為差比數(shù)列，再求和 ．

例4．已知數(shù)列滿足：，．求證：

證明：因?yàn)椋耘c同號，又因?yàn)?，所以，即，即．所以?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：． 令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．

4．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和

例5．在m（m≥2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時(shí)Pi＞P（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列

．j

（1）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式； 的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列

321的逆序數(shù)

（2）令，證明，n=1,2,….（2）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所?/p>

=

綜上，..注：常用放縮的結(jié)論：（1）

（2）．

在解題時(shí)朝著什么方向進(jìn)行放縮，是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式．如例２要證明的結(jié)論、為等差數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等差數(shù)列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論為等比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列，再求和即可；如例4要證明的結(jié)論為差比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為差比數(shù)列，再求和即可；如例5要證明的結(jié)論

相消求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為相鄰兩項(xiàng)或相隔一項(xiàng)的差，再求和即可．為裂項(xiàng)