第一篇：§2函數(shù)極限的性質(zhì)

《數(shù)學(xué)分析》上冊教案第三章函數(shù)極限武漢科技學(xué)院理學(xué)院

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

教學(xué)章節(jié)：第三章函數(shù)極限——§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì).教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用.教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)過程：

引言

在§1中我們引進(jìn)了下述六種類型的函數(shù)極限：

1、limf(x)；

2、limf(x)；

3、limf(x)；

4、limf(x);

5、limf(x)；

6、limf(x).x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以limf(x)為代表來敘述并證明這些性質(zhì).至

x?x0

于其它類型極限的性質(zhì)及其證明，只要作相應(yīng)的修改即可.一、函數(shù)極限的性質(zhì)

性質(zhì)1（唯一性）如果x?a

limf(x)x?alimf(x)存在，則必定唯一.證法一設(shè)?A，x?alimf(x)?B,則

???0,??1?0,當(dāng)0?|x?a|??1時(shí)，|f(x)?A|??,(1)

??2?0,當(dāng)0?|x?a|??2時(shí)，|f(x)?B|??.(2)

??min??1,?2?取

因而有，則當(dāng)0?x?a??時(shí)（1）和（2）同時(shí)成立.A?B?(f(x)?A)?(f(x)?B)?f(x)?A?f(x)?B?2?,(3)

由?的任意性，（3）式只有當(dāng)

A?B?0

時(shí)，即A?B時(shí)才成立.A?B

2證法二反證,如x?a

0?x?a??

limf(x)

?A，x?a

limf(x)?B

且A?B，取

?0?，則???0，使當(dāng)

時(shí)，f(x)?A??0,f(x)?B??0,即

A?B2

?A??0?f(x)?B??0?

A?B2

矛盾.性質(zhì)2（局部有界性）若limf(x)存在，則f在x0的某空心鄰域內(nèi)有界.x?x0

limf(x)?A

??1x?x0證明取, 由 , ???0, 當(dāng)0?x?x0??時(shí), 有f(x)?A?1,即

f(x)?A?f(x)?A?A?

1，A?1

說明f(x)在U0(x0;?)上有界，就是一個(gè)界.limf(x)?b

x?a

性質(zhì)3（保序性）設(shè)，x?a

limg(x)?c

.0?x?a??0???0

1）若b?c，則0，當(dāng)時(shí)有f(x)?g(x)；

0?x?a??0

2）若

??0?0，當(dāng)

時(shí)有f(x)?g(x)，則b?c.（保不等式性）

證明1）取

?0?

b?c2

即得.2）反證，由1）即得.注若在2）的條件中, 改“f(x)?g(x)”為“f(x)?g(x)”,未必就有

A?B.以 f(x)?1?x,g(x)?1,x0?0

舉例說明.推論（局部保號性）如果x?a

號.limf(x)?b

0?x?a??0???0

且b?0，則0使當(dāng)時(shí)f(x)與b同

性質(zhì)4（迫斂性）設(shè)limf(x)?limh(x)?A，且在某U0(x0;??)內(nèi)有f(x)?g(x)?h(x)，x?x0

x?x0

則limh(x)?A.x?x0

證明???0, 由x?x

limh(x)?A

limf(x)?A，??1?0，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)，有f(x)?A??，即 A???f(x)?A??.又由

x?x0，??2?0，使得當(dāng)0?x?x0??2時(shí)，有h(x)?A??，即A???h(x)?A??.令??min(?1,?2)，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，有A???f(x)?g(x)?h(x)?A??

limg(x)?A

即g(x)?A??，故 x?x.性質(zhì)6（四則運(yùn)算法則）若limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f?g,fg當(dāng)x?x0時(shí)極限

x?x0

x?x0

也存在，且 1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)；2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x).x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

又若limg(x)?0，則

x?x0

fg

當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且有 3）lim

f(x)g(x)

x?x0

?

x?x0

limf(x)

x?x0

limg(x)

.3）的證明 只要證有

x?x0

lim

1g(x)

B2

?

1B，令

?0?

B2

?0，由

x?x0

limg(x)?B

B2

0?x?x0??1，??1?0使得當(dāng)時(shí)，B2

g(x)?B?，即

g(x)?B?g(x)?B?B??

.g(x)?B?

B2

???0,仍然由

x?x0

limg(x)?B

??2?0, 使得當(dāng)0?x?x0??2時(shí)，有

?

.0?x?x0??

取??min(?1,?2)，則當(dāng)時(shí)，有

1g(x)

?1B?

g(x)?Bg(x)B

?

2B

g(x)?B?

2B

?

B2

???

即

x?x0

lim

1g(x)

?

1B.二、利用函數(shù)極限的性質(zhì)計(jì)算某些函數(shù)的極限

利用“迫斂性”和“四則運(yùn)算”，可以從一些“簡單函數(shù)極限”出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的極限.已證明過以下幾個(gè)極限：

limC?C,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0;

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

lim

1x

x??

?0,limarctgx??

x???

?

.（注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值）

這些極限可作為公式用.在計(jì)算一些簡單極限時(shí),利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計(jì)算得所求極限.例1 求limx??.x?0

?x?

?1?

例2 求lim?

(xtgx?1).x?

例3 求lim（1x??1

x?1

?

3x3

?1).例4lim

5x?3x?73x3

?2x2

?5

.x??

注關(guān)于x的有理分式當(dāng)x??時(shí)的極限.參閱[4]P37.7

例5lim

x?1n

x

10利用公式x?1

?1

.[a?1?(a?1)(a

n?1

?a

n?2

???a?1)

].例6lim

x?2x?2?1x?1

x2

?x?2

.例7lim

2x?

3x?1

x???

3x?5

.例8lim

xsin(2x?x?10)

3?2x

.x??

例9lim

?x?1.x?0

?x?1

例10已知 lim

x?16?A參閱[4]P69.x?3

x?3

?B.求 A和B.作業(yè)教材P51—521-7，8(1)(2)(4)(5)； 2

補(bǔ)充題已知lim

x?Ax?B7.求A和B.(A??

16x?2

x2?4

?B?3,B?

203

.)

例11lim??2?x2?ax?b?

??0.x????1?x

?求a和b.?

2解法一

2?x

?ax?ax

1?x

?ax?

2?x1?x

?

?(a?1)x2

?ax?2

1?x

?b,(x??).?a?1?0,a??1;又 ?a?b,?b?1.解法二2?x2

1?x?ax?b?x ??? 2?x2?a?b?

?，?x?x

2x? 由x??且原式極限存在，??

2?x2x?x

?a?b

x?0，即 a?lim??2?x2?b?

???1,b?lim??2?x2?x???1x???.?x?x2x??x????1?x??

第二篇：2函數(shù)極限的性質(zhì)解讀

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1）；

2）；

3）；

4）；

5）；

6）。

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4）種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)。

至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若極限 證

設(shè)與、都是

當(dāng)

存在，則此極限是唯一的。

時(shí)的極限，則對任給的，分別存在正數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)有

（1）

當(dāng) 時(shí)有

（2）

取，則當(dāng)時(shí)，（1）式與(2)式同時(shí)成立，故有

由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。定理3.3（局部有界性）若極限 內(nèi)有界。

存在，則在某空心鄰域證

設(shè)。取，則存在，使得對一切。

有

這就證明了在內(nèi)有界。

定理3.4（局部保號性）若（或），存在，使得對一切

有

（或），則對任何正數(shù)

（或證 設(shè)有，這就證得結(jié)論。對于，對任何，取，則存在）。，使得對一切的情形可類似地證明。

定理3.5（保不等式性）設(shè) 內(nèi)有，則

與都存在，且在某鄰域。

（3）

證 設(shè)，使得當(dāng)，時(shí)，則對任給的，分別存在正數(shù)與

（4）

當(dāng)

時(shí)有

（5）

令，則當(dāng)

時(shí)，不等式

與（4）,（5）式同時(shí)成立，于是 有式成立。，從而

。由的任意性得，即（3）定理3.6（迫斂性）設(shè)==，且在某內(nèi)有

（6）

則。

證 按假設(shè)，對任給的時(shí)

（7），分別存在正數(shù)

與，使得當(dāng)當(dāng)時(shí)有

（8）

令，則當(dāng)

時(shí)，不等式（6）、（7）、（8）式同時(shí)成立，故有，由此得，所以。定理3.7（四則運(yùn)算法則）若極限數(shù)，當(dāng)

與

都存在，則函 時(shí)極限也存在，且

1）=

2）=

又若，則當(dāng)時(shí)極限也存在，且有

3）

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給讀者作為練習(xí)。利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限。

例1求。

解 由第一章§3習(xí)題13，當(dāng) 時(shí)有，而，故由迫斂性得

。另一方面，當(dāng)時(shí)有，故由迫斂性又可得。

綜上，我們求得。

例2 求。

解

由

及§1例4所得的

并按四則運(yùn)算法則有

=

例3 求

解 當(dāng) 時(shí)有。故所求極限等于。

例4

證明

證

任給（不妨設(shè)），為使

（9）

即，利用對數(shù)函數(shù)

（當(dāng)

時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要

于是，令成立，從而證得結(jié)論。，則當(dāng)時(shí)，就有（9）式

第三篇：函數(shù)極限的性質(zhì)

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

Ⅰ.教學(xué)目的與要求

1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關(guān)命題.2.掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理,會利用其求函數(shù)極限.Ⅱ.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):

重點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì).難點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.Ⅲ.講授內(nèi)容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?

x???x???x???f?x?；

6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證

設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對任給的??0，分別存在正數(shù)

?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

f?x?????，(1)

當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有

????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內(nèi)有界．

x?x0

證

設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有

x?x0

f?x????1?f?x????1 這就證明了f在U0?x0;??內(nèi)有界．

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數(shù)r??（或

x?x0r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證

設(shè)??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結(jié)論．對于??0的情形可類似地證明．

注

在以后應(yīng)用局部保號性時(shí)，常取r?A．

2x?x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內(nèi)

x?x0??有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?

（３）

x?x0x?x0

證

設(shè)

limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

????f?x?，當(dāng)0?x?x0??2 時(shí)有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時(shí)成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內(nèi)有

x?x0x?x0????

f?x??則limh?x???．

x?x0h?x??g?x?

證

按假設(shè)，對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng) 0?x?x0??1時(shí)有，§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

????f?x?

(7)

當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

g?x?????

(8)

令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式(6)、(7)、(8)同時(shí)成立，故有

????f?x??h?x??g?x????? 由此得h?x?????，所以limh?x???

x?x0?'?

定理3．7（四則運(yùn)算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù)

x?x0x?x0f?g,f?g當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?；

x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?；

x?x0 又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時(shí)極限存在，且有

x?x03）limx?x0f?x??g?x?x?x0limf?x?limg?x?．

x?x0

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．

利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限．

例 1求limx??x?0?x?解

當(dāng)x?0時(shí)有

1?x?x???1，?x??1?

?1??1?x?1?故由迫斂性得：

xlim

而limx??=1

?0?x?0??x?另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：

lim x???1 ?

x?0

?x??x?綜上，我們求得lim x???1

x?0?x?

?1??1??1??1?§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

例 2求lim?xtanx?1?x??

4解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosxsixn?sin?

limx???442?limcoxs，?2x?4并按四則運(yùn)算法則有

limsinx?xtanx?1?=limx?

limx?x?

?4?4x??4limcosx

x?

1=?lim?x?4???1 44例 3求lim?3??1?3?．

x??1x?1x?1??解 當(dāng)x?1?0時(shí)有

?x?1??x?2??x?

213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1??1????1??1lim例4

證明lima?1?a?1? xx?0

證

任給??0(不妨設(shè)??1)，為使

x

a?1??

（9）

即1???a?1??，利用對數(shù)函數(shù)loga

loga?1????x?loga?1??? 于是，令

x（當(dāng)a?1時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要

??min?loga?1???,?loga?1????，則當(dāng)0?x??時(shí)，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．

Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對定理的應(yīng)用作總結(jié).Ⅴ 課外作業(yè): P51 2、3、5、7、8、9.

第四篇：函數(shù)極限的性質(zhì)

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

§2函數(shù)極限的性質(zhì)

Ⅰ.教學(xué)目的與要求

1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關(guān)命題.2.掌握函數(shù)極限四則運(yùn)算法則、迫斂性定理,會利用其求函數(shù)極限.Ⅱ.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):

重點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì).難點(diǎn): 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.Ⅲ.講授內(nèi)容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對任給的??0，分別存在正數(shù)

?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

f?x?????，(1)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內(nèi)有界． x?x0

證設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在U0?x0;??內(nèi)有界．

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數(shù)r??（或x?x0

r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設(shè)??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結(jié)論．對于??0的情形可類似地證明．

注在以后應(yīng)用局部保號性時(shí)，常取r?A．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內(nèi)x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設(shè)limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0

得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有

????f?x?，當(dāng)0?x?x0??2 時(shí)有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時(shí)成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內(nèi)有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設(shè)，對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有，2????f?x?(7)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，不等式(6)、(7)、(8)同時(shí)成立，故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四則運(yùn)算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù) x?x0x?x0

f?g,f?g當(dāng)x?x0時(shí)極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時(shí)極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．

利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當(dāng)x?0時(shí)有

1?x?x???1，?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x??1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs，?2x?4

并按四則運(yùn)算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1

4例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當(dāng)x?1?0時(shí)有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0(不妨設(shè)??1)，為使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對數(shù)函數(shù)loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（當(dāng)a?1時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????，則當(dāng)0?x??時(shí)，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．

Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對定理的應(yīng)用作總結(jié).Ⅴ 課外作業(yè): P51 2、3、5、7、8、9.

第五篇：2 函數(shù)極限的性質(zhì)（小編推薦）

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1）；2）；3）；

4）；5）；6）。

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4）種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)。

至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若極限

證設(shè)與、都是當(dāng) 存在，則此極限是唯一的。時(shí)的極限，則對任給的，分別存在正數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)有

（1）

當(dāng)

時(shí)有

（2）取，則當(dāng)時(shí)，（1）式與(2)式同時(shí)成立，故有

由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。

定理3.3（局部有界性）若極限

內(nèi)有界。存在，則在某空心鄰域

證設(shè)

。取，則存在，使得對一切。

有

這就證明了在內(nèi)有界。

定理3.4（局部保號性）若（或），存在，使得對一切

有

（或），則對任何正數(shù)

（或

證 設(shè)

有，這就證得結(jié)論。對于，對任何，取，則存在）。，使得對一切的情形可類似地證明。

定理3.5（保不等式性）設(shè)

內(nèi)有，則

與

都存在，且在某鄰域

。（3）

證 設(shè)，使得當(dāng)，時(shí)，則對任給的，分別存在正數(shù)與

（4）

當(dāng)

時(shí)有

（5）

令，則當(dāng)

時(shí)，不等式

與（4）,（5）式同時(shí)成立，于是

有式成立。，從而

。由的任意性得，即（3）

定理3.6（迫斂性）設(shè)==，且在某內(nèi)有

（6）

則。

證 按假設(shè)，對任給的，分別存在正數(shù)

與，使得當(dāng)

時(shí)

（7）

當(dāng)

時(shí)有

（8）

令

式同時(shí)成立，故有，則當(dāng)

時(shí)，不等式（6）、（7）、（8），由此得，所以。

定理3.7（四則運(yùn)算法則）若極限，當(dāng)

與

都存在，則函數(shù)

時(shí)極限也存在，且

1）

=

2）

=

又若，則當(dāng)時(shí)極限也存在，且有）

這個(gè)定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給讀者作為練習(xí)。利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運(yùn)算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限。

例1求。

解 由第一章§3習(xí)題13，當(dāng) 時(shí)有，而，故由迫斂性得。

另一方面，當(dāng)時(shí)有，故由迫斂性又可得。

綜上，我們求得。

例2 求。

解由

及§1例4所得的并按四則運(yùn)算法則有

=

例3 求

解 當(dāng) 時(shí)有。

故所求極限等于。

例4證明證任給

（不妨設(shè)），為使

（9）

即，利用對數(shù)函數(shù)

（當(dāng)

時(shí)）的嚴(yán)格增性，只要

于是，令

成立，從而證得結(jié)論。，則當(dāng)時(shí)，就有（9）式