第一篇：淺析極限的若干求法

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2007 年第 23 期

淺析極限的若干求法

孟金濤

(鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)理系河南 鄭州 450015)

摘要: 極限理論是高等數(shù)學的基礎, 本文給出了極限的若干求法, 并用具體實例加以說明。關鍵詞: 極限;表達式;等價無窮小

極限理論是高等數(shù)學的基礎, 極限問題是高等數(shù)學中困難問題之

a +a +?+a

xx

x n

一。中心問題有兩個: 一是證明極限的存在性, 二是求極限的值。兩個 問題密切相關: 若求出了極限的值, 自然極限的存在性也就證明了。反 之, 證明了存在性, 常常也就為求極限鋪平了道路。

利用定義證明極限的存在, 有一先決條件, 即事先要知道極限的 猜測值。通常情況下我們都不知道表達式的極限值, 那么如何根據(jù)表

→0

a1

+lim

x→0

+?+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)將根式有理化, 于是有原式為

x

解】令 t=-x,則 x→∞時, t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函數(shù)在有定義的地方都連續(xù),=sin

π

=sin項趨向于零求極限。1+

(1)利用收斂級數(shù)的通項趨向于零求極限。(2)利用收斂級數(shù)的余 2 π2lim =1。

原極限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×?×(n+10)例 9】求下列極限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用導數(shù)定義求極限n→∞ n

2×5×8?×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】設 f(x)在 x0 處可導, 求lim 0 【(2)xn=?+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原極限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收斂級數(shù)的性質(zhì)求極限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+當 x→∞時), 所以正項級數(shù) 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收斂, 從而可得通項 xn→0(當 n→∞時)。

∞

∞

∞

解】由導數(shù)定義有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 頁)實可行的財務風險防范措施。

從單個企業(yè)來講, 收益不足是導致財務風險的主要因素, 經(jīng)營收 入扣除經(jīng)營成本費用稅金等經(jīng)營費用后是經(jīng)營收益, 如果從經(jīng)營收益 開始就已經(jīng)虧損, 說明企業(yè)已近破產(chǎn)倒閉, 即使總收益為盈利, 可能是 由于非主營業(yè)務或營業(yè)外收入所形成利潤增加, 如出售手中持有有價 證券、固定資產(chǎn)等;如果經(jīng)營收益為盈利, 而總收益為虧損, 問題不太 嚴重的話,說明已經(jīng)出現(xiàn)危機信號, 但是可以正常經(jīng)營的, 這是因為企 業(yè)的資本結構不合理, 舉債規(guī)模大,利息負擔重所致。企業(yè)必須針對財

務指標的評價采取有效措施加以調(diào)整。

綜上所述,利用財務指標的評價, 找出企業(yè)的薄弱環(huán)節(jié), 制定出企 業(yè)的籌資活動、投資活動、資金回收、收益分配策略及措施, 防范規(guī)避 財務風險,才能使企業(yè)長久穩(wěn)定健康發(fā)展。

[ 1] 溫素彬, 薛恒新.基于科學發(fā)展觀的企業(yè)三重績效評價模型[J].會計

研究.[ 2] 王化成, 劉俊勇, 孫薇.企業(yè)業(yè)績評價[M].北京: 中國人民大學出版

參考文社.獻

488

第二篇：淺談數(shù)列極限的求法

淺談數(shù)列極限的求法

龍門中小李海東

摘要：本文主要介紹了數(shù)列極限的幾種求法，并通過一個例題說明利用函數(shù)極限的求法，幫助尋找數(shù)列極限的方法，幫助學生理解和掌握求極限的方法。

關鍵詞：數(shù)列極限方（求）法說明

引言：在初等代數(shù)，高等代數(shù)學習過程中發(fā)現(xiàn)或多或少都涉及到數(shù)列極限的有關內(nèi)容，在數(shù)學分析中數(shù)列極限是極其重要的章節(jié)，數(shù)列極限是學習函數(shù)極限的基礎和鋪墊，數(shù)列極限的求法和函數(shù)極限求法在某種程度上是彼此相似的，所以可以對照學習，也可以用一種求極限的方法，求出另外一種極限，給解答習題帶來一定的靈活性。方法也是比較靈活的。下面就數(shù)列極限的求法略作淺談，且舉例說明。

一 利用單調(diào)有界準則求極限

預備知識：若數(shù)列?an?收斂，則?an?為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，有 an?M.此方法的解題程序為：

1、直接對通項進行分析或用數(shù)學歸納驗證數(shù)列?an?單調(diào)有界；

2、設?an?的極限存在，記為liman?A代入給定的表達式中，則該式變?yōu)锳的代數(shù)方n??

程，解之即得該數(shù)列的極限。

舉例說明：

例：若序列?an?的項滿足a1?a(a?0)且an?11?a????an??,(n?1,2,?),試證2?an??

?an?有極限并求此極限。

解由a1?a

21?a?1?a12?a?2a1aa1???aa2????2??a???a2?a1?1??1?

用數(shù)學歸納法證明ak?a需注意

22?a?2aka1?a?1?ak?ak??????a.ak??????2?ak?2?ak?ak

又an?an?12?a1?a?an???a???0 n??2?an?2an

??an?為單調(diào)減函數(shù)且有下界。

令其極限為A 由 an?1?

1?a?

?an??有： 2?an???

1?a?

??a?n??2?an?

liman?1?

n??

即A?

1?a?

?A?? 2?A?

?A?a?A?

a(A?0)

n??

從而liman?

a.二 利用數(shù)列極限的定義求數(shù)列的極限

大家知道，數(shù)列極限的定義是這樣的：設?an?為數(shù)列，a為定數(shù)，若對任給的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得當n?N時，有an?a??，則稱數(shù)列收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列

an?an?的極限，記作：limn??

?a，當數(shù)列不單調(diào)時，我們就用此定義來求極限，其步驟：

1、先根據(jù)數(shù)列極限的唯一性求出極限；

2、再去證明極限的存在性。舉例說明：

例：設x1?2, xn?1?2?解1.令limxn?t

n??

(n?1)求:：limxn.n??xn

則limxn?1?lim??2?

n??

n??

??

xn

??? ?

即t?2??t?1?2?xn?2

?t?2? t?1?2(t?1?2舍去)

1t

2.證明其極限的存在性對???0xn?t?(2?)?(2?)xn?1t

xn?1?txn?2?t1xn?1?t???? tt?xn?1442

?

2?4n?1

??(當n足夠大)

?

1xn?1

?

x1?44n?1

由極限的下定義可得：lim?xn?t??0

n??

?limxn?t?1?

n??

2.三 利用數(shù)列夾逼準則求數(shù)列極限

回顧一下：設收斂數(shù)列?an??數(shù)列{cn}滿足：存在正數(shù)N0，當n?N0，bn?都以a為極限，時，有：an?cn?bn.則數(shù)列{cn}收斂，且limcn?a.n??

此方法一般通過放大或縮小分母來找出兩邊數(shù)列的通項，從而達到求極限的目的。

舉例說明：

?11?

例：求 lim?1??2?.n??

?nn?

?1??11??n?1?

解由?1????1??2???1?2?

n??n??nn??

??n?1?n?11???

?1??1???1?2????? ?(n?1)(n?1)?n?1n?1??????

n

n

n

n

nnn

?1?

顯然 lim?1???e

n??

?n?

nn?1

??1?1?1?????lim1??1?并且 lim?1???????e ??n??n??

?n?1??n?1?????n?1??

n

?11?

?lim?1??2??e.n??

?nn?

四 利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限

此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎上，對所求式子作適當變形，從而達到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當?shù)募记尚浴?/p>

舉例說明：

n

n?1

?n?1?1

例：求 limsin.n??

nnn

n?1

?n?1?1

解limsin

n??

nnn

=lim?

?n?1?

?n??n??

n?1

sin?1

nsin?1n1n

=lim?1?

?n??

?1??n?

n?1

=lim?1?=e?1?1=e

?n??

?

1??1????1???n??n?1

n

n

sin

例：求極限lim?

?sinx?

?x?asina??

x?a

1x?a

.解lim?

?sinx?

?x?asina???

x?a

?

1x?a

=lim?1?

sinx?sina?

?sina?

1sinacosa

?x?acosasina

x?ax?a??2cossin??=lim?1??x?asina???????

x?a????2cosasin?

??=lim?1?x?a??sina????????

sina

cosa?(x?a)

???????

cosasina

sina

??cosa?(x?a)x?a????2cosasin?????=lim?1??x?a??sina???????????

ctga

=e

ctga

?sin

?

?x?ax?a?

~? 22?

五 利用數(shù)列極限與函數(shù)的極限等值關系來求極限

此方法把數(shù)列極限化成函數(shù)形式的極限，而后回代，從而求出數(shù)列極限的一種方法。

舉例說明：

?a?b?c?

?.例：若 a,b,c?0,求lim???n???3??

解先考慮：

?1

?ax?bx?cx

ln?

3??

n

??

??xln??

x

?1

?ax?bx?cx?

3????? ??

?1

?ax?bx?cx

而limxln?

x???3?

???? ??

?1?xxx??ln?a?b?c??ln3??=lim

x???1

x

?2?axlna?2?bx?lnb?2?cx?lnc=lim

x???

1?2x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alna?b?lnb?c?lnc

a?b?c

1x

1x

1x

x???

=lnabc

???c?

? ?lim??n????3??

n

?1

?ax?bx?cx

=lim?

n???3?

???? ??

n

=lime

n???

??111??ax?bx?cxxln???????

???????

=e??

?lnabc??

?3?

=e

ln?abc?3

=?abc?

通過上面簡單的對求數(shù)列極限的一般方法加以歸納，并舉例說明，就可以在我們大腦中造成深刻的印象，更好地掌握函數(shù)和數(shù)列極限的求法。但數(shù)列極限的求法并不限于這幾種方法，或許還有很多種，希望大家在學習過程中善于歸納總結求數(shù)列極限的方法，以便我們共勉。

參考文獻：

[1]程其襄.數(shù)學分析第三版[M].高等教育出版社，1981（4）[2]謝惠民.數(shù)學分析習題課講義[M].高等教育出版社，2003（7）

[3]周建瑩 李正元.高等數(shù)學解題指南[M].北京大學出版社，2002.（10）[4]王汝發(fā).高等數(shù)學解題方法[M].蘭州大學出版社，1994.（3）

第三篇：淺談函數(shù)極限的求法

淺談函數(shù)極限的求法

摘要：函數(shù)極限是數(shù)學分析的基本內(nèi)容之一，也是解決其它問題的基礎。如何求出已知函數(shù)的極限是學習微積分必須掌握的基本技能。本文系統(tǒng)地介紹了利用定義、兩個重要極限、無窮小量代換、洛必達法則、夾逼準則等求極限的方法，并結合具體的例子，指出了在解題中常遇見的一些問題。

關鍵詞: 函數(shù)極限夾逼準則等價無窮小量洛必達法則泰勒展開式無窮小量

引言

極限研究的是函數(shù)的變化趨勢，在自變量的某個變化過程中，對應的函數(shù)值無限解決某個確定的數(shù)，那這個數(shù)就是函數(shù)的極限了。極限是數(shù)學分析中一個非常重要的概念，是貫徹數(shù)學分析的一條主線，它將數(shù)學分析的各個知識點連在一起，所以，求極限的方法顯得尤為重要的，我們知道，函數(shù)是數(shù)學分析研究的對象，而極限方法則是數(shù)學分析中研究函數(shù)的重要方法，因此怎樣求極限就非常重要。

數(shù)學分析中所討論的極限大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限，一類是函數(shù)的極限。兩類極限的本質(zhì)上是相同的，在形式上數(shù)列界限是函數(shù)極限的特例。因此，本文只就函數(shù)極限進行討論。函數(shù)極限運算是高等數(shù)學的一個重要的基本運算，一部分函數(shù)的極限可以通過直接或間接的運用“極限四則運算法則”來求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過特殊方法解決。求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的。對某個具體的求極限的問題，我們應該追求最簡便的方法。在求極限的過程中，必然以相關的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧。本文給出了十七種求極限的方法，每種方法都是以定理或簡述開頭，然后以例題來全面展示具體的求法。下面我們通過對一元函數(shù)和二元函數(shù)極限的求法來進行分類討論

一元函數(shù)極限的求法

1.1利用函數(shù)定義求極限

利用函數(shù)極限的???定義驗證函數(shù)的極限。設函數(shù)f在點x0的某空心鄰域，使得當U0(x0;??)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對任給的??0，存在正數(shù)?（???）

0?x?x0??時，有f(x)?A??成立，則稱函數(shù)f當x趨于x0時以A為極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)。x?x0

x2?4例1設f(x)?,證明limf(x)?4.x?2x?

2x2?4?4?x?2?4?x?2，證明: 由于當x?2時，f(x)?4?x?2

故對給定的??0，只要取???，則當0?x?2??時，有f(x)?4??.這就證明了limf(x)?4.x?2

(1)定義中的正數(shù)?，相當于數(shù)列極限??N定義中的N，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定。一般來說，?愈小，?也相應地要小一些，而且把?取得更小一些也無妨，如在題1中可取???

2或???

3等等。

(2)定義中只要求函數(shù)f在點x0的某個空心領域內(nèi)有定義，而一般不考慮f在點x0處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值。這是因為，對于函數(shù)極限我們所研究的是當x趨于x0過程中函數(shù)值的變化趨勢。如在題1中函數(shù)f在點x?2是沒有定義的，但當x?2時,f的函數(shù)值趨于一個定數(shù)。

1.2 利用單側(cè)極限求函數(shù)極限

這種方法適用于求分段函數(shù)在分段點處的極限。首先必須考慮分段點處的左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點處的極限存在，否則極限不存在。如符號函數(shù)sgnx，由于它在x?0處的左、右極限不相等，所以limsgnx不存在。x?0

f(x)?limf(x)?A.定理1 limf(x)?A?lim??x?x0x?x0x?x0

?2xx?0?例2 ： f(x)??0 x?0,求f(x)在x?0處的極限.?1?x2x?0?

f(x)?lim2x?1，解: lim??x?0x?0

f(x)?lim1?x?1，lim??x?0x?0

2f(x)?limf(x)?1，? lim??x?0x?0

? limf(x)?1.x?0

1.3 利用函數(shù)極限的四則運算法則求極限

定理2 若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，x?x0x?x0

當x?x0時也存在極限，且有

①limx?x0

x?x0?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)； x?x0x?x0x?x0x?x0②lim?f(x)?g(x)?=limf(x)?limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)x?x0③又若limg(x)?0，則在x?x0時也存在極限，且有l(wèi)im.?x?x0x?x0g(x)g(x)limg(x)

x?x0

利用函數(shù)極限的四則運算法則求極限，條件是每項或每個因子極限都存在，一般所給的變量都不滿足這個條件，如?0，等情況，都不能直接用四則運算法?0

則，必須要對變量進行變形，設法消去分子、分母中的零因子，在變形時，要熟練掌握因式分解、有理化運算等恒等變形。

(xtanx?1).例3：求lim?x?4

解: 由xtanx?xsinx?2及l(fā)imsinx?sin??limcosx，有 ??x?x?cosx42lim(xtanx?1)=limx???x?4limsinx?x?4x?limcosx?x??lim1??x??4?1.1.6 利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限

參考文獻:

[1] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陳傳璋,朱學炎等.數(shù)學分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 張再云，陳湘棟等，極限計算的方法與技巧[J].湖南理工學院學報(自然科學版),2009,22(2):16-19.[4]歐陽光中.數(shù)學分析[M].上海：復旦大學出版社，2002.[5]錢吉林.數(shù)學分析解題精粹[M].武漢：崇文書局出版社，2001

第四篇：高數(shù)極限求法總結

首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學是棵樹木得話，那么 極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。

為什么第一章如此重要？ 各個章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個方面

首先 對 極限的總結 如下

極限的保號性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負與極限一致 極限分為 一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了?。?！你還能有補充么？？？）1 等價無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮?。?/p>

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提?。?！

必須是 X趨近而不是N趨近！?。。。ㄋ悦鎸?shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點 數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的 不可能是負無窮！）

必須是 函數(shù)的導數(shù)要存在?。。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死！）

必須是 0比0 無窮大比無窮大?。。。?！

當然還要注意分母不能為0 落筆他 法則分為3中情況 0比0 無窮比無窮 時候 直接用 0乘以無窮 無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了 3 0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意?。。?/p>

E的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開 對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項除分子分母?。。。。。】瓷先碗s處理很簡單?。。。?！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結果就出來了?。?/p>

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數(shù)列公式應用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化2 個重要極限的應用。這兩個很重要?。。Φ谝粋€而言是X趨近0時候的sinx與x比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式（地2個實際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式）（當?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的?。。。。。。。?/p>

x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）！??！當x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了 換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13假如要算的話 四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的

14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時候使用 證明單調(diào)性?。?！

16直接使用求導數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導數(shù)=0的時候 就是暗示你一定要用導數(shù)定義?。。?/p>

（從網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)，謝謝總結者）

第五篇：函數(shù)極限的若干求法 20121109

高等數(shù)學中極限的分析與研究

【摘 要】極限是高等數(shù)學中一個很重要的基礎知識點，是微積分的前提，因此函數(shù)極限的求解是非常重要的。本文針對高等數(shù)學中極限的求解方法進行了一些分析與研究，主要以一元和二元函數(shù)的極限為主，尤其是a針對大學生如何學習并掌握極限而總結歸納了若干種求極限的方法，并對有些方法進行了改進，對于每種方法都是以定理和簡述開始，然后以例題的方式展示。

【關鍵詞】 極限 洛必達法則 積分中值定理 等價無窮小 夾逼準則 泰勒公式 一、一元函數(shù)極限求解方法 a1.利用定義求極限

這種方法的關鍵是找到符合定義要求的條件，這可能需要用到一些不等式的技巧，如縮放法等。

例 證明：limn?4n2n???1.22證???0,要使|n?4n?1|?n?4?nn?4n(n?4?n)2?4n??, a 取N?4?,當n?N時，有|n?4n2?1|?4n?4N??成立，即limn?4n2n???1.此例題在用極限定義證明時, 只需要證明存在,當N>n時存在|f(x)-A |故求解的關鍵在于不等式的建立.在求解的過程中往往采用放大的技巧,注意不能把含有的因子移到不等式的另一邊再放大, 而是應該直接對要證其極限的式子一步一步放大, 有時還需加入一些限制條件, 限制條件必須和所求的(或)一致, 最后結合在一起考慮.a2.利用極限的運算法則

已知limf(x), limg(x)都存在, 極限值分別為A, B, 則

x?x0x?x01

(1)lim[f(x)?g(x)]?A?B；

x?x0(2)limf(x)g(x)?A?B；

x?x0(3)limf(x)g(x)x?x0?AB（此時需B?0成立).總的說來就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。因此對于和、差、積、商形式的函數(shù)求極限, 可以采用極限運算法則, 使用時需要先對函數(shù)做某些恒等變換或化簡, 變換的方法通常有分式的通分、約分、分解因式、分子分母有理化、三角函數(shù)的恒等變化、拆項消去法、比較最高次冪法等.但必須注意只有各項極限都存在(對商, 還要分母極限不為零)時才能適用.例 求極限lim3?x?1?xx?x?22

2?1-x?(x?2)(x?1)x?1 解：原式?lim3?x?1?x(x?2)(x?1)x?1?limx?1?lim13?x?1?x

x?1 ?lim?2x?2x?1?lim13?x?1?xx?1??26

3.用單調(diào)有界準則求極限

定理：在實數(shù)系中, 有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.因此利用單調(diào)準則證明極限存在, 主要針對遞推數(shù)列, 必須驗證數(shù)列兩個方面的性質(zhì): 單調(diào)性和有界性.解題的難點在于判斷單調(diào)性, 一般通過數(shù)學歸納法、減法、除法比較前后項． 例 設a?0,x1?0,xn?1?12(xn?axn),(n?1,2,?)

求證：???數(shù)列?xn?單調(diào)遞減有下界

????求limx??xn

???證明：顯然xn?0(n?1),因此 xn?1?12(xn?axn12)?xn?axn?a(n?2)故

?x?有下界

n 又xn?1?xn?(xn?axn)?xn?a?xn2x2?0(n?2)

即xn?1?xn，故數(shù)列?xn?單調(diào)遞減

????由???知：limxn?A是存在的

x?? 對xn?1?12(xn?axn)兩邊取極限得A?12(A?aA)

解得A?a或A??a(舍去)

4.利用兩個重要極限求極限

兩個重要極限:（1)limsinxxx?01???1；(2)lim?1???e.x??x??x 根據(jù)復合函數(shù)的極限運算法則, 可將以上兩個公式進行推廣:(1)limsinf(x)f(x)?1(limf(x)?0,y?x?x0sinuu,u?f(x))；

x?x0?1??(2)lim?1?x?x0?g(x)???g(x)u??1????e limg(x)??,y??1??,u?g(x)??x?x0?u????n?1?nn?1?n

例 求極限：lim[n(n?1?n)?]n??12 原式?lim[n(n??1n?1?nn?1?nn)?12](n?1?n)2

?lim(1?n???12)(n?1?n)2 ?lim[1?n??n?n?1n?n?1n)2(n?1?2](n?1?n)2

?lim[1?n??n?n?1n)2(n?1?n)2(n?1?n?1?4n]n?n?1?2(n?1?n)?(n?1?n)n?n?1?limen??2(n?1?n)?(n?1?n)2

?4nn?n?1?3nn)?limen??2nn2(n?1? 1 ?limen??4?e2

5.利用無窮小的性質(zhì)和等價無窮小代換求極限

定理：設函數(shù)f(x),g(x),h(x)在U(x0,??)內(nèi)有定義, 且有

f(x)~g(x)(x?x0).(1)若limf(x)h(x)?A, 則limg(x)h(x)?A；

x?x0x?x03

(2)若limh(x)f(x)x?x0?B, 則limh(x)g(x)x?x0?B.性質(zhì) 1 有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量；

性質(zhì) 2 有限個無窮小量的乘積為無窮小量；

性質(zhì) 3 常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量.定理：設?,?均為無窮小, 且??~?,?則 lim???lim~??, 且lim????存在，????.對于分子或分母中的兩個無窮小之差不能直接用無窮小代換.常用等價代換公式: 當x?0時, sinx~x, arcsinx~x, tanx~x，arctanx~x, e?1~x, a?1~xlna等.xx例 求limxlncosxetanxx?0?esinx

xln[1?(cox?1)](etanx?sinx 解：原式?limx?0?1)?esinx?limx(cosx?1)(tanx?sinx)esinxx?0

?limx(cox?1)(1?cosx)e?1esinxx?0sinxtanx?lim?xesinxx?0tanx

?limx?0??11??1

6.利用洛必達法則求極限

定理：若函數(shù)f(x)和g(x)滿足：(1)limf(x)?limg(x)?0；

x?x0x?x0(2)在點x0的某空心鄰域U0(x0,??)內(nèi)兩者都可導, 且g?(x)?0；(3)limf?(x)g?(x)?A(A可為實數(shù), 也可為?)，f?(x)g?(x)x?x0則 lim這是對于00f(x)g(x)x?x0?limx?x0?A.??型不定式極限，對于型不定式極限有類似的方法。洛必達法則是求兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限的, 在同一運算過程中可連續(xù)

使用, 直到求出所求極限.但是, 對于其他不定式的極限（如0??，1,0,?,????00等類型）如果無法判斷其極限狀態(tài), 則羅必達法則失敗, 但只需

00??經(jīng)過簡單變換, 它們一般可以化為型和?1?2例 6 求極限lim?2?cotx?x?0?x?解：原極限=lim=lim=lim型的極限.?sinx-xcosx??sinx?xcosx?xsinxsinx-xcosxx322x?0x?0?limsinx+xcosxx?limcosx+cosx-xsinx1x?0

x?0cosx-cosx+xsinx3xx222x?0=2limx?03x?237． 利用導數(shù)的定義求極限

定義：設函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義, 若極限

limf(x)?f(x0)x?x0

x?x0存在,則稱函數(shù)f(x)在點x0處可導, 并稱該極限為函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù), 記作f?(x0).對于一般抽象函數(shù)求極限時, 如果已知它的導數(shù)是存在的, 則經(jīng)常利用導數(shù)的定義求極限.例 a 求極限：limex?1x2x

x?0xlnx 解：原式?lim?e0x?0xlnx?lnxx

x ?(e)'|x?0?1

8.利用微分中值定理求極限

定理:(拉格朗日中值定理)若函數(shù)f(x)滿足如下條件：(1)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；(2)f(x)在開區(qū)間(a,b)上可導，則在(a,b)上至少存在一點?,使得 f?(?)?例 8 求極限limnn??2f(b)?f(a)b?a.?n+1x-nx.?x>0?1?.令f(n)=?x>0??nx??112?解:原極限=limn?n+1-nn??x?x1xn+1所以，由拉格朗日中值定理有：f(n+1)-f(n)=即有1xn+1-1xn=f(?)?n+1?n?.???n,n?1?

'-1xn=1?1?-2??x?????lnx?11?lnx2?所以limn?n+1-n?=-lim?=0n??x?n??x?x 9.用泰勒展式求極限（或麥克勞林展式)

常用展式： cosx?1?x2x22!?????(?1)nx2n?2n?!?o(x2n?1)，e?1?x?x2!?x33!2?????xnn!n?o(x)，n11?x?1?x?x?????x?o(x), sinx?x?nx33!?????(?1)n?1x2n?1(2n?1)!?o(x2n)

ln?x+1?=x-x22+x33-x44+??-1?n-1?xnn+??xn?

等.在計算過程中, 要注意高階無窮小的運算及處理.例 求limn?sin(2?en!)

n?? 解：將e用泰勒公式展開有e?1?1?12!1n!12!?13!???1n!??

原式?limn?sin[2?(1?1?n?????2?]??)?n!]?limn?sin[2k???(n??1n?11)?)]1

n?1?limn?sin[n??2?n?1??(2?

n?1?limn?limsin[n??n??n?1??(n?1)]?limn?n??2?n?1?2?6

10.利用夾逼準則與定積分求極限

夾逼準則多適用于所考慮的函數(shù)比較容易適度放大或縮小, 而且放大和縮小的函數(shù)是容易求得相同的極限.基本思想是把要求解的極限轉(zhuǎn)化為求放大或縮小的函數(shù)或數(shù)列的極限.利用夾逼準則求函數(shù)極限的關鍵：

（1）構造函數(shù)f(x), h(x), 使f(x)?g(x)?h(x)；（2）limf(x)?limh(x)?A, 由此可得limg(x)?A.x?x0x?x0x?x0定理:設limf(x)?limh(x)?A, 且在x0某一空心鄰域U0(x0,??)內(nèi)

x?x0x?x0有 f(x)?g(x)?h(x), 則 limg(x)?A.x?x0定義:設f(x)在?a,b?上的一個函數(shù), J是一個確定的實數(shù).若對任給的正數(shù)?, 總存在某一正數(shù)?, 使得對?a,b?的任何分割T, 以及其上任意選取的點集{?i}, 只要T??, 就有 |?f(?i)?xi?J|??，i?1n則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?上可積, 數(shù)J稱為f(x)在?a,b?上的定積分, 記作 J??baf(x)dx.nb若用極限符號表達定積分, 可寫作J?limT?0?i?1f(?i)?xi??af(x)dx.由定積分的定義我們知道, 定積分是某一和式的極限, 因此, 如果關于n的某一和式可以表示成某一積分的形式時, 則可利用定積分, 求出這個和式的極限, 顯然, 若要利用定積分求極限, 其關鍵在于將和式化成某一函數(shù)的積分形式.lim例：求極限：ln(n?1)n?1n???ln(n?2)n?12?????ln(n?n)n?1n?lnn

n解：原式?lim[?n??i?1ln(n?i)n?1i?lnn]

nlnn?ln(1?n?i)1ii?lim n???i?1n?lnn)

lnn?ln(1?n?1iln(1?i)nlnn?ln(1?i又?

n?1n?n?)lnn?ln(n?n)n

inlnn?ln(1?ni而?i?1n?lnn?)n?i?1n=1nn?ln(1?n)??i?1i10ln(1?x)dx

?[xln(1?x)]1??0lnn?ln(1?n?1i10xx?1dx?ln2??10x?1?1x?1ndx?2ln2?1 in而?i?1n?lnn??)lnnn?1ln(1???i?1n

n?1)??lnnn?1n?1ln(1?i??i?1n?1?n?1i)ln(1?)n?1 n?1n?1in?1nlnn?ln(1?n?1?limn???i?1n?lnn?lim(?n??)lnnn?1ln(1??n?1?n?1)n?1ln(1??i?1n?1)n?1)n?1ln(1? ?0?limn???i?1)n?1?n?1i?10ln(1?x)dx?2ln2?1

即由夾逼準則得 原極限?2ln2?1

11.利用積分中值定理求極限

定理：設f(x)與g(x)都在?a,b?上連續(xù), 且g(x)在?a,b?上不變號, 則至少存在一點???a,b?, 使得 ?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx.aabb例 求極限limn???1xn01?xdx.解: 取?a,b???0,1?, f(x)?m?1211?x, g(x)?xn, 則f(x)在?0,1?上的最小值

1n, 最大值M?1, 由積分中值定理知 原式?lim??xdx?limn??0?n?1n??

n因為12???1, 所以 limn???1x01?xdx?0.12.利用級數(shù)求解極限

利用級數(shù)展開式求極限，從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運算、逐項求導、逐項求積定義法等直接或間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式。

例 求limsinx?arctanxx3

x?0 解: 利用冪級數(shù)的展開式, 可得

x?x3 原式?lim3!?x55!?x77!?????x?x3x33?x55?x77????

x?0 ?lim??1??????x2??????

33!??55!?x?0???613.利用黎曼引理求極限

定理:a若f(x)在?a,b?上可積, g(x)是以T為周期的函數(shù), 且在?0,T?上可積, 則有 lim??1??11??1n????baf(x)g(nx)dx?11T?T0g(x)?f(x)dxab.例 計算limn???sin2nx201?xdx.解:因為sin2x的周期為?, limn???1sin2nx201?xdx?1???0sinxdx??2111?x20dx??8 二、二元函數(shù)極限求解方法

二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎上發(fā)展起來的, 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別．在極限運算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個數(shù)的增加, 二元函數(shù)極限變得更加復雜, 它實質(zhì)上是包含任意方向的逼近過程, 是一個較為復雜的極限, 對于二元函數(shù)f(x,y)的二重極限, 其重點是研究極限的存在性以及具體的求解方法．

引例 求limxy2222(x,y)?(0,0)x?y.原解法： 因為|xy2222x?y|?|xx2|?|x|,2???0, 取????0，()?1y222當x??, y??, 且(x,y)?(0,0)時, 有xyx?y22?x?02

2的定義得

?x?r(x,y)?(0,0)limxy2222x?y?0.新解法：令?xy2222??y?rsin?2當（x,y)?(0,0)有r?0?, x?y?rcos?sin?,2222因為|cos?sin?|?1, 所以

(x,y)?(0,0)limxy2222x?y?lim?rcos?sin??0.r?0222兩者相對比, 我們就會發(fā)現(xiàn), 此例用極坐標代換求極限比用定義求解簡單的多, 那么, 選擇一個正確的解題方法就顯得尤為重要了。下面是對各類方法進行的探索.1.利用定義, 證明某極限為某數(shù)A或不存在．

例 證明極限limx?3y???xy?1y?1?3

證明：???0,有不等式(取y?0)

?5xy?1y?1?3?(x?3)y?4y?1?x?3?4y

取?? 有|?0,于是???0,????5>0,對??x,y?:|x?3|??與y?xy?1y?11?, xy?1y?1?3|?|x?3|?4y???4??5???,即limx?3?3得證

y???

2.將函數(shù)變形, 想辦法約去零因式（或無窮大因式）例 求limx?0y?0(1?4x)(1?6y)?12x?3ylim2222 解：原式=

(1?4x)(1?6y)?12x?0y?0?2x2?3y2???1?4x??1?6y??1?22

=lim(x?0y?02(1?4x)(1?6y)?122?24xy222222)

(2x?3y)((1?4x)(1?6y)?1)=1+0=1

3． 利用等價無窮小來代換 例 求 limx?0y?0sin(x?y)x?y33.解: 當x?0,y?0時, x3?y3?0,sin(x3?y3)和x3?y3是等價無窮小, 故原極限?limsin(x?y)x?y33x?0y?0?lim(x?y?xy)?0.22x?0y?04.變量代換

第一類: 依據(jù)函數(shù)f(x,y)的特殊類型, 利用兩變量x,y的和x?y?t,平方和x2?y2?t及乘積xy?t等做代換, 將二元函數(shù)f(x,y)求極限的問題, 整體或者部分轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題.（1）當x??,y?a（a?0的常數(shù)), 二元函數(shù)f(x,y)的極限, 作代換xy?t, 相應的有t??, 利用已知一元函數(shù)的極限知識.例 lim(1?x??y?a1xyx2)x?y(a?0).x2解： 因為(1?1xy)x?y?(1?1xyxyx(x?y)y), 當x??,y?a時, 令xy?t, 則 t??,lim(1?x??y?a1xyx2)x?y1t?lim(1?)?et??t1xyxyx(x?y)y.1xy)xy所以 lim(1?x??y?a1xyx2)x?y[ln(1?]x(x?y)y1?lim(1?x??y?a)?e?ea.第二類：討論當（x,y)?(0,0), 二元函數(shù)極限f(x,y), 用變量變?x?rcos?換,?.則r?0?.?y?rsin?11

例 求limx?yx?y22x?0y?0

解：令x?rcos?,y?rsin? ?r?0?

x?yx?y22 則?r2r?cos??sin???cos??r?sin??

因?cos??sin??2?1?sin2? 所以sin??sin??1故

22x?yx?y22?r

而當?x,y???0,0?時，r?0所以limx?yx?yx?0y?0?0

【結語】極限是高等數(shù)學的基礎，極限思想直接影響到微分、積分、導數(shù)的解法，如果沒有極限思想和極限理論，我們的近代數(shù)學殿堂就不會如此輝煌，所以極限的重要性不言而喻。通過大一對極限的學習，我們對極限學習中所存在的不知如何求解極限的問題做出了相關方法的總結和進一步分析。相信在正確領會極限的定義以及解答方法的條件下，突破此難點并非難題。

參 考 文 獻

[1] 吉米多維奇.數(shù)學分析習題集解題.濟南: 山東科學技術出版社, 1999 [2] 數(shù)學考研考點精講方法精練 西安交大出版社，2011 [3] 數(shù)學分析全程輔導及習題精講 中國水利水電出版社，2011 [4] 高等數(shù)學輔導 國家行政學院出版社，2008 [5] 高等數(shù)學教學輔導書 高等教育出版社，2010 [6] 高等數(shù)學學習指導 北京郵電大學出版社，2011 [7] 大學生數(shù)學競賽習題精講 清華大學出版社，2010