第一篇：教案-二面角的求法

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)會(huì)用不同方法求二面角

知識(shí)歸納：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫做二面角（這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角。

例題講解：

一、定義法：

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。

例1（2009全國(guó)卷Ⅰ理）如圖，四棱錐S-ABCD

AD=2，DC=SD=2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，?ABM

求二面角S-AM-B的大小。ABCD為矩形，SD?底面ABCD，=60°（I）證明：M在側(cè)棱SC的中點(diǎn)（II）

練習(xí)1（2008山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，?ABC=60?,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)

6點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為2，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計(jì)算出各線段的長(zhǎng)度之后，考慮到運(yùn)用在二面角的棱AF上找到可計(jì)算二面角的平面角的頂點(diǎn)S，和兩邊SE與SC，進(jìn)而計(jì)算二面角的余弦值。

二、三垂線法

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過二面角B-FC1-C中半平面BFC上的一已知點(diǎn)B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點(diǎn)與終點(diǎn)得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。

例2．(2009山東卷理)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分別是棱AD、AA1、AB的中點(diǎn)。（1）證明：直線EE1//平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。

練習(xí)2（2008天津）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形． 已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,?PAB=60（Ⅰ）證明AD?平面PAB；（Ⅱ）求異面直線PC與AD所成的角的大?。唬á螅┣蠖娼荘-BD-A的大?。?/p>

分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD⊥平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一個(gè)點(diǎn)，于是可過點(diǎn)P 作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。

?

三、補(bǔ)棱法

本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決

例3（2008湖南）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補(bǔ)充完整（延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個(gè)適合的點(diǎn)形成二面角的平面角解之。

練習(xí)3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱長(zhǎng)都是a，側(cè)棱與底面成60的角，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC。

（1）求證：AC1⊥BC；

（2）求平面AB1C1與平面 ABC所成的二面角（銳角）的大小。

提示：本題需要補(bǔ)棱，可過A點(diǎn)作CB的平行線L

o

四、射影面積法（cosq=S）S

S）求出二面角的大小。S

PC?AB（Ⅱ）求二面角凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos??例4．（2008北京理）如圖，在三棱錐

P-ABCAC=BC=2，?ACB=90，AP=BP=AB，PC?ACo

B-AP-C的大小；

分析：本題要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對(duì)原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射 于是得到下面解法。

練習(xí)4： 如圖5，E為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值.分析平面AB1E與底面A1B1C1D1交線即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個(gè)平面的交線，這給解題帶來一定的難度?？紤]到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，從而求得兩個(gè)三角形的面積即可求得二面角的大小。

五、向量法

向量法解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。

例4：（2009天津卷理）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=1AD(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II)證

2明平面AMD?平面CDE； 求二面角A-CD-E的余弦值

練習(xí)

5、（2008湖北）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC?側(cè)面A1ABB1.（Ⅰ）求證：AB?BC（Ⅱ）若直線AC與平面1ABC所成的角為?,二面角A1-BC-A的大小為?，試判斷?與?的大小關(guān)系，并予以證明.上述五種二面角求法中，前三種方法可以說是三種增添輔助線的一般規(guī)律，后兩種是兩種不同的解題技巧

第二篇：立體幾何二面角求法練習(xí)題 1

立體幾何二面角求法練習(xí)題

1、正方形ABCD-A1B1C1D1中二面角B-A1C-A的大小為____

2、將∠A為60°的棱形ABCD沿對(duì)角線BD折疊使A、C的距離等于BD則二面

角A-BD-C的余弦值是__

3、正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對(duì)角線BD1

8BD1與側(cè)面B1BCC所成的為30°則二面角C1—BD1—B1的大小為______

4、從點(diǎn)P出發(fā)引三條射線PA、PB、PC每?jī)蓷l的夾角都是60°則二面角B-PA-C的余弦值是______

5、二面角α-l-β的平面角為120°A、B

∈lACαBDβAC⊥lBD⊥l若AB=AC=BD=1則CD的長(zhǎng)______

6、ABCD為菱形∠DAB60°PD⊥面ABCD且PDAD則面PAB與面

PCD所成的銳二面角的大小為______。

7、空間三條射線CA、CP、CB

∠PCA=∠PCB=600ACB=900 ∠求

第三篇：二面角大小求法歸類總結(jié)分析

二面角大小的幾種求法

二面角大小的求法中知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉(zhuǎn)化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內(nèi)角大小，在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等重要知識(shí)。求二面角大小的關(guān)鍵是，根據(jù)不同問題給出的幾何背景，恰在此時(shí)當(dāng)選擇方法，作出二面角的平面角，有時(shí)亦可直接運(yùn)用射影面積公式求出二面角的大小。

I.尋找有棱二面角的平面角的方法

（定義法、三垂線法、垂面法、射影面積法)

一、定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法。

P

B

α

C

A

E

F

D

例

空間三條射線CA、CP、CB，∠PCA=∠PCB=60o，∠ACB=90o，求二面角B-PC-A的大小。

解：過PC上的點(diǎn)D分別作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，連EF.∴∠EDF為二面角B-PC-A的平面角，設(shè)CD=a，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a，DE=DF=，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=

1.在三棱錐P-ABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。

A

B

C

N

M

P

Q

P

O

B

A

2.如圖，已知二面角α-а-β等于120°，PA⊥α，A∈α，PB⊥β，B∈β，求∠APB的大小。

3.在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

二、三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角。

例

在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

解：如圖，PA⊥平面BD，過A作AH⊥BC于H，連結(jié)PH，則PH⊥BC

又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角。

在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=；

在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=，則∠PHA=arctan2.5.在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

C

B

MB

A

P

N

K

6.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，∠ACB=900，M是PB的中點(diǎn)。(1)求證：BC⊥PC，(2)平面MAC與平面ABC所成的二面角的正切。

7.ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是AB中點(diǎn)M，二面角P—AC—B的大小為45°。求（1）二面角P—BC—A的大??；（2）二面角C—PB—A的大小。

C

D

P

M

B

A

8.如圖，已知△ABC中，AB⊥BC，S為平面ABC外的一點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AM⊥SB于M，AN⊥SC于N,(1)求證平面SAB⊥平面SBC

(2)求證∠ANM是二面角A－SC－B的平面角.A

B

C

M

N

S

9.第8題的變式：如上圖，已知△ABC中，AB⊥BC，S為平面ABC外的一點(diǎn)，SA⊥平面ABC，∠ACB＝600，SA＝AC＝a，(1)求證平面SAB⊥平面SBC

(2)求二面角A－SC－BC的正弦值.A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

E

O

10.如圖,ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，側(cè)棱AA1長(zhǎng)為1，底面為正方體且邊長(zhǎng)為2，E是棱BC的中點(diǎn)，求面C1DE與面CDE所成二面角的正切值。

圖4

B1

A

A1

B

L

E

F

11.如圖4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，點(diǎn)A在直線l上的射影為A1，點(diǎn)B在l的射影為B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：二面角A1－AB－B1的大小。

三、垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。

例

在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。

解：（垂面法）如圖，PA⊥平面BD　BD⊥AC

BD⊥BC　過BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH

∠BHD為二面角B-PC-D的平面角。

因PB=a,BC=a,PC=a,　PB·BC=S△PBC=PC·BH則BH==DH，又BD=在△BHD中由余弦定理，得：

cos∠BHD＝，又0＜∠BHD＜π，則

∠BHD=，二面角B-PC-D的大小是。

P

l

C

B

A

12.空間的點(diǎn)P到二面角的面、及棱l的距離分別為4、3、，求二面角的大小.13．如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度數(shù)。

A

B

C

S

D

II.尋找無棱二面角的平面角的方法

（射影面積法、平移或延長(zhǎng)(展)線(面)法)

四、射影面積法：利用面積射影公式S射＝S原cos,其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角。

例

在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。

解：（面積法）如圖，同時(shí)，BC⊥平面BPA于B，故△PBA是△PCD在平面PBA上的射影

設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為θ，則cosθ=

θ=45°

A

H

M

D1

C1

B1

A1

B

C

D

14.如圖，設(shè)M為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，求平面BMD1與底面ABCD所成的二面角的大小。

15.如圖，α與β所成的角為600，于C，于B，AC＝3，BD＝4，CD＝2，求A、B兩點(diǎn)間的距離。

A

l

D

C

α

β

A

l

B

C

α

β

E

B

D

五、平移或延長(zhǎng)（展）線（面）法：對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。

例

在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。（補(bǔ)形化為定義法）

解：（補(bǔ)形化為定義法）如圖，將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形得正方體ABCD-PQMN，則PQ⊥PA、PD，于是∠APD是兩面所成二面角的平面角。

在Rt△PAD中，PA=AD，則∠APD=45°。

即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45°

16.在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。

六、向量法

解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。

例（2009天津卷理）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A

平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD。,(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；

(II)

證明平面AMD平面CDE；

(III)求二面角A-CD-E的余弦值。

解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得

（I）

所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明：，（III）

又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為

18.（2008湖北）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?(I)

求證：；

(II)

若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.分析：由已知條件可知：平面ABB1

A1⊥平面BCC1

B1⊥平面ABC于是很容易想到以B

點(diǎn)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并將相關(guān)線段寫成用坐標(biāo)表示的向量，先求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。

（答案：，且）

由此可見，二面角的類型和求法可用框圖展現(xiàn)如下：

分析：所求二面角與底面ABC所在的位置無關(guān)，故不妨利用定義求解。

略解：在二面角的棱PB上任取一點(diǎn)Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，則由定義可得MQN即為二面角的平面角。設(shè)PM=a,則在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；又由PQNPQM得PN=a,故在正三角形PMN中MN=a,在三角形MQN中由余弦定理得cosMQN=，即二面角的余弦值為。

因?yàn)锳B=AD=a。

過B作BH⊥PC于H，連結(jié)DH

DH⊥PC　故∠BHD為二面角B-PC-D的平面角。

因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=S△PBC=PC·BH，則BH==DH又BD=。在△BHD中由余弦定理，得：

cos∠BHD＝，又0＜∠BHD＜π

則∠BHD=，二面角B-PC-D的大小是。

[基礎(chǔ)練習(xí)]

1．二面角是指（）

A

兩個(gè)平面相交所組成的圖形

B

一個(gè)平面繞這個(gè)平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)所組成的圖形

C

從一個(gè)平面內(nèi)的一條直線出發(fā)的一個(gè)半平面與這個(gè)平面所組成的圖形

D

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

2．平面α與平面β、γ都相交，則這三個(gè)平面可能有（）

A

1條或2條交線

B

2條或3條交線

C

僅2條交線

D

1條或2條或3條交線

3．在300的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，若它到另一個(gè)面的距離是10，則它到棱的距離是（）

A

B

C

D

4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC在平面α內(nèi)，斜邊BC在棱l上，若AB與面β所成的角為600，則AC與平面β所成的角為（）

A

300

B

450

C

600

D

1200

A

B

C

D

5．如圖，射線BD、BA、BC兩兩互相垂直，AB=BC=1，BD=，則弧度數(shù)為的二面角是（）

A.D-AC-B

B.A-CD-B

C.A-BC-D

D.A-BD-C

6．△ABC在平面α的射影是△A1B1C1，如果△ABC所在平面和平面α成θ角，有（）

A.S△A1B1C1=S△ABC·sinθ

B.S△A1B1C1=

S△ABC·cosθ

C.S△ABC

=S△A1B1C1·sinθ

D.S△ABC

=S△A1B1C1·cosθ

A

B

M

N

P

l

7．如圖，若P為二面角M-l-N的面N內(nèi)一點(diǎn)，PB⊥l，B為垂足，A為l上一點(diǎn)，且∠PAB=α，PA與平面M所成角為β，二面角M-l-N的大小為γ，則有（）

A　sinα=sinβsinγ

B　sinβ=sinαsinγ

C

sinγ=sinαsinβ

D

以上都不對(duì)

8．在600的二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，則CD=。

9．已知△ABC和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，ABα，且平面ABC與α所成角為300，則點(diǎn)C到平面α的距離為。

10．正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面A1BCD1所成的二面角（銳角）為。

11．已知菱形的一個(gè)內(nèi)角是600，邊長(zhǎng)為a，沿菱形較短的對(duì)角線折成大小為600的二面角，則菱形中含600角的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為。

α

A

B

C1

C

12．如圖，△ABC在平面α內(nèi)的射影為△ABC1，若∠ABC1=θ，BC1=a，且平面ABC與平面α所成的角為ψ，求點(diǎn)C到平面α的距離

13．在二面角α-AB-β的一個(gè)平面α內(nèi)，有一直線AC，它與棱AB成450角，AC與平面β成300角，求二面角α-AB-β的度數(shù)。

[深化練習(xí)]

14．若二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離分別為a和，到棱的距離為2a，則此二面角的度數(shù)是。

15．把等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角，若∠BAC=600，則此二面角的度數(shù)是。

A

F

E

B

D

C

16．如圖，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直線BD與平面ABEF所成角的正弦值。

A

B

C

D

A1

D1

C1

B1

17．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1與面ABCD所成角的大?。唬?）二面角C1—BD—C的正切值。

練習(xí)參考答案:

1—7

DDBA

ABB

8.7cm

9.10.11.12.13.450

14.700或1650

15.900

16.正弦值為

17.(1)900

(2)正切值為

第四篇：二面角大小的求法歸類分析

二面角大小的求法歸類分析

一、定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性 二、三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角

三、、垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直

四、射影法：利用面積射影公式S射＝S原cosθ,其中θ為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角二面角

第五篇：《二面角的一種求法》的說課稿

一、教材簡(jiǎn)析:

1．地位與作用:

本節(jié)是高二數(shù)學(xué)下冊(cè)第九章《直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體》中相關(guān)§96二面角的求解問題。是在立體幾何知識(shí)學(xué)習(xí)完畢，學(xué)生已具有了一定的空間想象能力，掌握了一定的立體幾何的研究方法的基礎(chǔ)之上，對(duì)二面角求解方法進(jìn)行的一個(gè)補(bǔ)充。二面角的求解是立體幾何部分的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)內(nèi)容為學(xué)生提供一個(gè)新的視角。

2．教學(xué)內(nèi)容及目標(biāo)

教學(xué)內(nèi)容:

將異面直線兩點(diǎn)間距離公式變形應(yīng)用于求二面角，變形所得公式就是本節(jié)所學(xué)主要內(nèi)容，暫且稱這個(gè)公式為二面角余弦公式。

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：異面直線兩點(diǎn)間距離公式在求二面角中的應(yīng)用；

能力目標(biāo)：

（1）.推廣引申不但能加深對(duì)原題的理解，而且對(duì)于擴(kuò)大解題效果，提高解題能力，培養(yǎng)發(fā)散思維，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，都有不可忽視的積極作用。

（2）.通過轉(zhuǎn)化問題探究公式條件的過程，培養(yǎng)學(xué)生探索問題的精神，提高學(xué)生化歸的意識(shí)和轉(zhuǎn)化的能力。

情感目標(biāo)：通過問題的轉(zhuǎn)化過程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)萬物都處于聯(lián)系之中，我們要用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題。

3．教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)

重點(diǎn)：二面角余弦公式條件的發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的確定；

難點(diǎn)：二面角余弦公式條件的發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的確定；

二、學(xué)情分析：

1．起點(diǎn)能力分析

立體幾何知識(shí)學(xué)習(xí)完畢，學(xué)生已具有了一定的空間想象能力，掌握了一定的立體幾何的研究方法，并成為本節(jié)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。

2．一般特點(diǎn)分析

高二學(xué)生觀察力已具有一定的目的性、精細(xì)性、持久性，有意識(shí)記占主導(dǎo)地位、意義識(shí)記以占重要地位，同時(shí)概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和運(yùn)用邏輯法則的能力，但由于認(rèn)知水平的不同，學(xué)生掌握和運(yùn)用邏輯法則的能力存在不平衡性。

三、教法分析：

本節(jié)采用啟導(dǎo)法，以質(zhì)疑啟發(fā)、直觀啟發(fā)為主，通過一系列帶有啟發(fā)性、思考性的問題，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生思考，教師適時(shí)演示，利用多媒體的直觀性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，化靜為動(dòng)，使學(xué)生始終處于主動(dòng)探索問題的積極狀態(tài)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

四、學(xué)法指導(dǎo)：

根據(jù)學(xué)法指導(dǎo)自主性和差異性原則，讓學(xué)生在“觀察——發(fā)現(xiàn)——推理——應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程中，自主參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，使學(xué)生掌握知識(shí)，發(fā)展思維能力。

五、教學(xué)程序

1．教學(xué)思路

設(shè)疑導(dǎo)入→構(gòu)建條件→形成公式→公式應(yīng)用→教學(xué)反思。

2．教學(xué)環(huán)節(jié)安排

（一）．情境設(shè)置：

習(xí)題1：教科書80頁題10

設(shè)計(jì)意圖：由此題與學(xué)生共同回顧二面角的定義及其求解方法，并且根據(jù)題設(shè)條件，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)該二面角的求解由異面直線AC、DB的位置關(guān)系來確定，提出為什么異面直線可以確定二面角，異面直線怎樣確定二面角呢？引出問題二，從而進(jìn)入第二環(huán)節(jié)——探索研究。

（二）、探索研究：

問題二：

問1：什么是異面直線的公垂線？?jī)僧惷嬷本€有多少條公垂線？

問2：設(shè)異面直線a、b公垂線為l，則a、b、l三條直線可以確定多少個(gè)平面？

問3：這兩相交平面可以構(gòu)成兩對(duì)二面角，這兩對(duì)二面角大小有什么關(guān)系？（設(shè)計(jì)意圖：到此完成由異面直線構(gòu)造二面角）

問4：從四個(gè)二面角任選一個(gè)二面角，該二面角的大小與異面直線位置有什么關(guān)系？

通過問題的層層深入，讓學(xué)生自己觀察、思考得出異面直線的位置可以確定二面角的大小的結(jié)論。再通過教具的演示讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段AM、BN、AB、MN任意一個(gè)的改變都會(huì)影響異面直線的位置，說明這四條線段可以共同確定二面角，從而發(fā)現(xiàn)公式的結(jié)構(gòu)，突破難點(diǎn)；

問5：令a∩l＝A，b∩l＝B，M∈a，N∈b且MA＝m，NB＝n，AB＝d，MN＝l，求二面角α―l―β。

通過問題5將異面直線的位置量化，由學(xué)生自己推導(dǎo)，得出二面角的余弦公式

設(shè)計(jì)意圖：通過問題5設(shè)出四條線段的長(zhǎng)，求二面角的大小，從做輔助線、確定二面角平面角，到在三角形中計(jì)算求值，最后整理解題過程，由學(xué)生自主解決，教師適時(shí)引導(dǎo)，多問學(xué)生為什么，糾正學(xué)生語言表達(dá)上的錯(cuò)誤，提示解題不符邏輯關(guān)系的地方，讓學(xué)生在相互補(bǔ)充，相互找不足的這一自我評(píng)價(jià)、自我調(diào)整過程中，完善推理過程，得出二面角的余弦公式。通過這一數(shù)學(xué)交流活動(dòng)，暴露學(xué)生的思維過程，提高學(xué)生語言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力，注重學(xué)生作為個(gè)體發(fā)展能力的同時(shí)，也注重培養(yǎng)學(xué)生協(xié)同合作共同探索、的精神。并且讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅重在學(xué)習(xí)一個(gè)結(jié)論，而是注重學(xué)習(xí)的過程，讓學(xué)生在自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論、自己推得公式中體驗(yàn)成功。

問題三：用問題二的方法求解習(xí)題一

設(shè)計(jì)意圖：鞏固公式的應(yīng)用，明確如何應(yīng)用公式；通過對(duì)比公式與習(xí)題一的條件，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本節(jié)所學(xué)求二面角的方法是對(duì)教科書習(xí)題一般化所得的結(jié)論，體會(huì)數(shù)學(xué)從“特殊”到“一般”，再?gòu)摹耙话恪钡健疤厥狻钡难芯窟^程。

問題四：將公式條件中二面角兩半平面的線段放到了以棱上線段為公共邊的三角形中，作為了兩三角形的高。

設(shè)計(jì)意圖：通過這一過程，進(jìn)一步深化所推公式中量的理解，其作用是半平面用三角形表示，更有利于在柱體或錐體中解決二面角的求解問題；

（三）、鞏固訓(xùn)練

習(xí)題

21．（改編自教科書80頁題11）把長(zhǎng)、寬分別為4、3的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使BD長(zhǎng)為7/5，求二面角B―AC―D。

2．（教科書80頁題11）把長(zhǎng)、寬分別為4、3的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折疊成直二面角，求頂點(diǎn)B與D之間的距離。

設(shè)計(jì)意圖：

題1是對(duì)問題四結(jié)論的簡(jiǎn)單應(yīng)用。此題題設(shè)是將平面圖形折成立體圖形，求形成的二面角的大小，鞏固平面圖形折疊過程中量的變化情況。

題2讓學(xué)生認(rèn)識(shí)：二面角余弦公式建立了四個(gè)線段、一個(gè)角五個(gè)量間的關(guān)系，知道其中任意四個(gè)，都可以求第五個(gè)量，加深對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，熟悉公式的變形應(yīng)用。

習(xí)題3：（選自2005年湖南高考題）已知四邊形ABCD是上、下底邊分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO′折成直二面角，求二面角O―AC―O′的大小。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生創(chuàng)設(shè)公式應(yīng)用條件，自主解決問題，同時(shí)再次鞏固立體空間中量的求解用平面解決的思想方法。

（四）．總結(jié)提煉：

1．說明本節(jié)所學(xué)求二面角方法的可行性；

2．說明本節(jié)所學(xué)求二面角方法的合理性；

3．本節(jié)所學(xué)求二面角的方法不是教科書中的定理、公式，因此不能作為已知結(jié)論在解答題中應(yīng)用。但學(xué)習(xí)重視結(jié)果，更注重學(xué)習(xí)的過程，這節(jié)課學(xué)習(xí)的意義，不是公式本身，而是用已知的知識(shí)探究出新的解決問題的方法的過程。

（五）：作業(yè)

習(xí)題

4、為必做題，習(xí)題5為選做題

設(shè)計(jì)意圖：布置作業(yè)有彈性，避免一刀切，將上述思維發(fā)散的過程延伸到課后，使學(xué)生活躍的思維得以發(fā)展，進(jìn)而形成思維習(xí)慣。

總之，在整個(gè)課堂教學(xué)中，努力挖掘蘊(yùn)含于知識(shí)生成過程中的數(shù)學(xué)思想方法，有機(jī)結(jié)合，有意滲透，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。