第一篇：高數(shù)復(fù)習(xí)筆記之極限與函數(shù)

1，隱含的分段函數(shù)與建立函數(shù)關(guān)系

2，如何判斷微積分的有界性

3，極限定義做了解，性質(zhì)：唯一性、保號性、四則運(yùn)算，若一個(gè)極限存在另一個(gè)不存在則相加減的極限必不存在、乘除的極限可能存在也可能不存在；若兩個(gè)極限都不存在那么加減乘除的極限可能存在也可能不存在。舉反例：（參考書籍：數(shù)學(xué)分析中的反例）；相除時(shí)，分母為0分子不為0則極限為無窮大，若分子分母全為0，極限怎么算？

4，極限的復(fù)合運(yùn)算：若此函數(shù)連續(xù)則函數(shù)符號跟極限符號可以調(diào)換位置。

極限存在準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限；夾逼定理

兩類重要極限：書上找

5：無窮大量與無窮小量（即把任何函數(shù)的極限為A的問題轉(zhuǎn)化為極限為零的問題）

無窮小量的比較（視頻001 2第16分鐘）：高階l=0（兩個(gè)趨近于0的速度前者比后者快）、同階l不=0（兩者趨近于0的速度一樣快）、等價(jià)l=1（五個(gè)等價(jià)無窮小的特例：把指數(shù)、三角、對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求解簡單的冪函數(shù)）

無窮大量：即極限不存在的情況無界變量：在一個(gè)絕對值范圍內(nèi)要多大有多大的值 注意:無窮大量一定是無界變量，但無界變量不一定是無窮大量（視頻25分講述）6,四類未定式（洛必塔法則解決）

第二篇：高數(shù)復(fù)習(xí)方案(函數(shù)和極限)

計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)09級學(xué)生工作委員會—學(xué)習(xí)部

函數(shù)與極限

1.集合：具有某種特性定性質(zhì)的事物的總體成為集合組成集合的事物叫做元素設(shè)元素為a集合為M那么a?M

?交集，?子集，?屬于，?不屬于 ?包含于，?并集，?空集

2.設(shè)X，y是兩個(gè)變量，D是數(shù)集，按照一定的對應(yīng)關(guān)系，總有唯一的y和x相對應(yīng)，則說

y是x的函數(shù)，記做y=f（x），y是因變量，x是自變量。（簡單一點(diǎn)說：x在一個(gè)對應(yīng)法則的機(jī)器攪和攪和就出來一個(gè)y）

F（D）為值域x?D是定義域

函數(shù)的三要素：定義域 值域 對應(yīng)法則

注意： 強(qiáng)烈建議只要寫函數(shù)就寫定義域

eg：求下列函數(shù)的自然定義域

(1)y?arcsin(2)y?tan

(3)y?（x?3）（x+1）

3.函數(shù)的特性

（1）單調(diào)性：增函數(shù)和 減函數(shù)

如果對于arctan1 xI 上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)

x1?x2時(shí)，恒有f（x1）?f（x2）成立，則稱在I上f（x）是增函數(shù)，反之則是減函數(shù)注意：增減性在解間斷點(diǎn)時(shí)候有重要性（下文解釋）

eg：設(shè)f（x）為定義在（-a，a）內(nèi)的奇函數(shù)，若f（x）在（o，a）上單點(diǎn)增加，證明f（x）在（-a，0）上也單點(diǎn)增加

（2）有界性： ?x?D,? M?0,f(x)?M,則稱f（x）為有界函數(shù)

f(x)?M,? x?D,? M?0,則函數(shù)在D上面有界

注意：上界大于等上界下界小于等于最小值千萬不要搞錯了

（3）奇偶性：奇函數(shù)特性

注意：奇偶性的定義與一定是對稱的不對稱就沒有這個(gè)性質(zhì)而言

（4）周期性：正弦余弦就是明顯的特點(diǎn)f（x+T）=f（x）

注意：如果一個(gè)函數(shù)關(guān)于兩個(gè)直線對稱，那么兩個(gè)直線之間的距離是函

數(shù)周期大小的一半。

4.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)：反函數(shù)的定義域和值域和原函數(shù)相反但是奇和

偶函數(shù)的反函數(shù)奇偶性質(zhì)不變。復(fù)合函數(shù)的定于與要明確，增減為減增增 減減為增

5.數(shù)列的極限：如果給定的數(shù)列{}，當(dāng)變量n趨近于無窮大時(shí)，數(shù)列

趨近于一個(gè)常數(shù)a，則稱a是數(shù)列的極限當(dāng)然如果a不存在，說明這個(gè)函數(shù)是發(fā)散的注意：課本P34 例題5 有證明函數(shù)極限，這個(gè)很重要

Eg

：證明：當(dāng)x0?0時(shí)，limx?x0?6.極限的性質(zhì)：（1）唯一性，如果這個(gè)a存在，那么一定是唯一的假設(shè)不存在，那么不就和定義說函數(shù)是發(fā)散的嗎

（2）有界性：若limf（x）?a存在，則函數(shù)f（x）有界x??

（3）保號性：若limxn?a（a?0或a?0），則?N，當(dāng)n?N時(shí)，xn?（0?0），n??

反之，若xn?（0?0），則limxn?（0?0）n??

7.n??數(shù)列的存在準(zhǔn)則：（1）夾逼準(zhǔn)則（2）單調(diào)有界函數(shù)必有界 eg：證明limn?（8.（1）（2）111??.......?)=1n2??n2?2?n2?n?我主要講講極限的一些重要求的方法： 1xsinx）?eli?（有興趣可以證明）1 x??x?0xx7個(gè)重要的等價(jià)無窮小且都x?0（1?兩個(gè)重要極限lim

（1?x?1?（1）1

n1x（2）tanx?x（3）arctanx?x n

1-cosx?（4）arcsinx?x（5）

（3）

（4）12（1?x）?x x（6）ex?1?x（7）ln2兩個(gè)準(zhǔn)則：夾逼 還有單調(diào)有界

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小 有界函數(shù)與無窮小的乘積也是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小利用極限的四則運(yùn)算和指數(shù)預(yù)算 利用泰勒公式 洛比達(dá)法則 利用導(dǎo)數(shù)極限求極限 函數(shù)的性質(zhì)求因?yàn)閿?shù)列是特殊的函數(shù)

注意：這里就有一些小方法了，有換元等價(jià)代換拆項(xiàng)求和三角的和差化積 數(shù)列求和的公式…

（10）間斷點(diǎn)和連續(xù)性

間斷點(diǎn)：除去不成立的點(diǎn)，一般都是間斷點(diǎn)

連續(xù)性：區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，就是在該區(qū)間連續(xù)，一定是不間斷的注意：可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有界

第一類間斷點(diǎn)：可去和跳躍間斷點(diǎn)

eg：y?x（x?1）且x=1 y=0.5?可去間斷點(diǎn)

第二類間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn)

y=tanxx=?1為無窮間斷點(diǎn)y=sinx=0為振蕩間斷點(diǎn) 2x

（11）漸近線：當(dāng)變量無窮大時(shí)利用函數(shù)求極限一般都有a值（水平漸近線）

還有一些點(diǎn)怎么看這些點(diǎn)呢，一般都是間斷點(diǎn)的地方有漸近（鉛直漸近線）0這點(diǎn)很重要

還有一個(gè)斜漸近線說明圖像到達(dá)一個(gè)點(diǎn)變化的斜率很小這樣的話 一般是圖像上面有部分是直線

eg求e的漸近線

?

x?o?1x?cos)x課后練習(xí)求下列極限（1）limx（2）lim(sinx??2x1x

?3x)（3）lim(1x?02sin(x)

（4）x?0（5）x?03x?4x1)x（6）lim(x?02

第三篇：高數(shù)課件-函數(shù)極限和連續(xù)

一、函數(shù)極限和連續(xù)自測題

1,是非題

（1）無界變量不一定是無窮大量

（）（2）若limf(x)?a，則f(x)在x0處必有定義

（）

x?x012x（3）極限lim2sinx?limx?0

（）

x???x???33x2，選擇題

（1）當(dāng)x?0時(shí)，無窮小量1?x?1?x是x的（）A．等價(jià)無窮小

B.同階但不等價(jià)

C.高階無窮小

D.低價(jià)無窮小

?x?1?1x?0?（2）設(shè)函數(shù)f(x)??，則x?0是f(x)的（）x?0x?0?A.可去間斷點(diǎn) B.無窮間斷點(diǎn)

C 連續(xù)點(diǎn)

D 跳躍間斷點(diǎn)

?exx?0（3）設(shè)函數(shù)f(x)??，要使f(x)在x0處連續(xù)，則a?

（）?a?xx?0A.2

B 1

C 0

D ?1

3n2?5n?1?

（）（4）lim2n??6n?3n?2A 151

B ?

C ?

D ? 2321?xsinx?0??x(5)設(shè)f(x)??，則在x?0處f(x)

（）

?1sinx?1x?0??xA 有定義

B 有極限

C 連續(xù)

D左連續(xù)

3(6)x?1是函數(shù)y?x?1的（）x?1A 可去間斷點(diǎn)

B 無窮間斷點(diǎn)

C 連續(xù)

D跳躍間斷點(diǎn)

3.求下列極限

（1）limx??x?sinxsin(?2x)x?2?3

（2）lim

（3）lim

x?0x?12xln(1?2x)x?1e?2x?1（4）lim

（5）limn[ln(1?n)?lnn]

（6）lim(sinn?1?sinn)

n??n??x?0x2x?3x?2(sinx3)tanx2lim()(7)lim

(8)

（9）limx(x?1?x)x??2x?1x?01?cosx2x??cosx?cosaarctanxex?ex0（10）lim

(11)lim

（12）lim

x?ax??x?x0x?xx?ax0x2?32x2?1sin(x?1))（13）lim

（14）lim(2

x??x?1x?1x?24，求滿足下列條件的a,b的值

1x2?x?a?b

（2）lim(3x?ax2?x?1)?（1）limx???x?26x?2?tanaxx?0ax?b??2

(4)已知f(x)??x（3）lim且limf(x)存在

x?0x?1x?2?x?2x?0?x??1??2?2（5）已知f(x)??x?ax?b?1?x?1在(??,??)內(nèi)連續(xù)

?2x?1??sin2x?e2ax?1x?0?(6)函數(shù)f(x)??在x?0點(diǎn)連續(xù) x?ax?0?5．求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判斷其類型

?x?1x?11?cosxx2?1（1）y?2

（2）y??

（3）f(x)?

sinxx?3x?2?3?xx?1?1x?0x?（4）f(x)??ex?1

（5）y?

tanx??ln(1?x)?1?x?026.已知x??1時(shí)，x?ax?5x?1是同階無窮小，求a

7.證明方程x?4x?2?0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)根 8.當(dāng)x?0時(shí)，e?ln(1?x)?1與x是同階無窮小，求n 9.設(shè)函數(shù)f(x)?a,(a?0,a?1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)?f(n)]

n??n2

第四篇：高數(shù)8多元函數(shù)的極限與連續(xù)

二元函數(shù)的極限

二元極限存在常用夾逼準(zhǔn)則證明

例1 lim(3x?2y)?14

x?2y?1211??xsin?ysin，xy?0，例2 函數(shù)f(x,y)??在原點(diǎn)（0,0）的極限是0.yx

xy?0.?0?二元極限不存在常取路徑

x2y例3

證明：函數(shù)f(x，y)?4在原點(diǎn)（0，0)不存在極限.((x，y)?（0，0））4x?y與一元函數(shù)極限類似，二元函數(shù)極限也有局部有限性、極限保序性、四則運(yùn)算、柯西收斂準(zhǔn)則等.證明方法與一元函數(shù)極限證法相同，從略.上述二元函數(shù)極限limf(x，y)是兩個(gè)自變量x與y分別獨(dú)立以任意方式無限趨近于x?x0y?y0x0與y0.這是個(gè)二重極限.二元函數(shù)還有一種極限：

累次極限

定義

若當(dāng)x?a時(shí)（y看做常數(shù)），函數(shù)f(x，y)存在極限，設(shè)當(dāng)y?b時(shí)，?(y)也存在極限，設(shè)

lim?(y)?limlimf(x，y)?B，y?by?bx?a則稱B是函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P(a，b)的累次極限.同樣，可定義另一個(gè)不同次序的累次極限，即

limlimf(x，y)?C.x?ay?b那么二重極限與累次極限之間有什么關(guān)系呢？一般來說，它們之間沒有蘊(yùn)含關(guān)系.例如： 1)兩個(gè)累次極限都存在，且相等，但是二重極限可能不存在.如上述例3.2)二重極限存在，但是兩個(gè)累次極限可能都不存在.如上述的例2.多重極限與累次極限之間的關(guān)系

定理

若函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0）的二重極限與累次極限（首先y?0，其次x?0）都存在，則

?limlimf(x，y).limf(x，y）x?x0y?y0x?x0y?y0

二元函數(shù)的連續(xù)性

定理

若二元函數(shù)f(P)與g?P?在點(diǎn)P0連續(xù)，則函數(shù)f(P)?g(P)，f(P)g(P)，（g(P0)?0）都在點(diǎn)P0連續(xù)

f(P)

g(P)

定理

若二元函數(shù)u??(x，y)，v??(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù)，并且二元函數(shù)f(u，v)在點(diǎn)(u0，v0)???(x0，y0)，?(x0，y0)?連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)f??(x0，y0)，?(x0，y0)? 在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù).1.用極限定義證明下列極限：

1)lim(4x?3y)?19；

2）lim(x?y)sinx?2y?12x?0y?011sin?0； xyx2y2xy?03）lim2.(提示：應(yīng)用?1.）22x?0x?y2x?yy?02.證明：若f(x，y)?x?y，(x?y?0)，則 x?y??y?0x?0

lim?limf(x，y)??1

與

limlimf(x，y)??1.x?0??y?0??x4y43.設(shè)函數(shù)f(x，y)?4，證明：當(dāng)點(diǎn)(x，y)沿通過原點(diǎn)的任意直線(y?mx)趨23(x?y)于（0,0）時(shí)，函數(shù)f(x，y)存在極限，且極限相等.但是，此函數(shù)在原點(diǎn)不存在極限.（提示：在拋物線y?x上討論.)2x2?y22D?(x，y)y?x4.若將函數(shù)f(x，y)?2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點(diǎn)2x?y??（0，0）存在極限（關(guān)于D).5.求下列極限： 1）limx?ysinxy；

2）； limx?1x2?xy?y2x?0xy?2y?422x?0y?03）lim(x?y)In(x?y)；

（提示：設(shè)x?rcos?，y?rsin?）

4）limx?0y?0(1?4x2)(1?6y2)?12x2?3y2.

第五篇：高數(shù)競賽練習(xí)題答案(函數(shù)、極限、連續(xù))

函數(shù)、極限、連續(xù)

1.f(x),g(x)?C[a,b]，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又f(a)?g(a),f(b)?g(b),證明：(1)???(a,b),使f(?)?g(?)

(2)???(a,b),使f??(?)?g??(?)證明：設(shè)f(x),g(x)分別在x?c,x?d處取得最大值M，不妨設(shè)c?d(此時(shí)a?c?d?b)，作輔助函數(shù)F(x)?f(x)?g(x),往證???(a,b),使F??(?)?0

令F(x)?f(x)?g(x),則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)二階可導(dǎo)，且F(a)?F(b)?0，① 當(dāng)c?d，由于 F(c)?f(c)?g(c)?M?g(c)?0F(d)?f(d)?g(d)?f(d)?M?0由“閉.連.”零點(diǎn)定理，???[c,d]?(a,b),使f(?)?g(?)② 當(dāng)c?d，由于F(c)?f(c)?g(c)?f(c)?g(d)?M?M?0即???(a,b),使f(?)?g(?)

對F(x)分別在[a,?],[?,b]上用羅爾定理，??1?(a,?),?2?(?,b)，使

在[?1,?2]上對F(x)在用羅爾定理，F(xiàn)?(?1)?F?(?2)?0，???(?1,?2)?(a,b)，使F??(?)?0，???(a,b),使f??(?)?g??(?).2.設(shè)數(shù)列{xn}滿足0?x1??,xn?1?sinxn,n?1,2,?

xn存在，并求該極限(1)證明limn??

xn?1x1n(2)計(jì)算lim()n??xn

分析：(1)確定{xn}為單調(diào)減少有下界即可

1xn，用洛必達(dá)法則.(2)利用(1)確定的limn??

解：易得0?xn?1(n?2,3,?)，所以xn?1?sinxn?xn,n?(2,3,?)，即{xn}為

xn存在，并記為limxn?a,則a?[0,1]，單調(diào)減少有下界的數(shù)列，所以 lim n??n??

對等式xn?1?sinxn?xn,兩邊令n??取極限，得a?sina,a?[0,1]，所以

a?0,即limxn?0.n??

lim((2)n

??

xn?1sinxn)?lim()

n??xnxn

2xn

2xn

令t?xn

?lim（t?0

sint)?et?0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t?0

t

ln(sin)ttsint

ln[1?(sin?1)]?1-1t2sint?t洛cost?11tt2

?lim?lim?lim?lim?lim?? t?0t?0t?0t?0t?03t2t2t2t33t26

xn?1xn?1

所以lim()?e.n??xn

3.已知f(x)在[0,1]連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且f(0)?0,f(1)?1，證明：(1)???(0,1),使f(?)?1??，(2)存在兩個(gè)不同點(diǎn)?,??(0,1),使f?(?)f?(?)?1

證：(1)令F(x)?f(x)?x?1，則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且

F(0)??1?0,F(1)?1?0，由“閉.連.”零點(diǎn)定理，???(0,1),使F(?)?0,即f(?)?1??

(2)f(x)在[0,?],[?,1]上都滿足拉格朗日中值定理，所以

???(0,?),??(?,1)，使

f(?)?f(0)?f?(?)(??0),f(1)?f(?)?f?(?)(1??)，即

f?(?)?f?(?)?

f(?)

?

?

1??

?

1?f(?)1?(1??)?

??1??1??1??

?f?(?)f?(?)?

1??

?

?

?

1??

?1

4.設(shè)方程xn?nx?1?0，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在唯一的正

?

實(shí)根xn，并證明當(dāng)??1時(shí)，級數(shù)?xn收斂.n?1?

證：令f(x)?xn?nx?1,則f(x)在(0,??)上連續(xù)，且

f(0)??1?0,f()?()n?0

nn

所以由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，所給方程在(0,)內(nèi)有根，又由f?(x)?n(xn?1?1)?0,即f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，所以所給方程(0,)內(nèi)只有唯一的根，在(，?)上無根，即所給方程存在唯一的正實(shí)根xn.?

?由上述知，對n?1,2,?，有0?xn?,有0?xn

?

1n

1n1n

1n

1n1，n?

此外，由??1知，級數(shù)?

收斂，所以由正項(xiàng)級數(shù)比較審斂法，知?

n?1n

?x?收斂.nn?1

?

5.求lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

x?0ln(1?x)

解：lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

=e

lim

lncosx，其中l(wèi)imln(1?x

x?0

lncosx)

?lim

x?0

ln[1?(cosx?1)]ln(1?x)

?lim

x?0

?x22x

??

(cosx)所以，limx?0

ln(1?x)

?e

?

6.f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)?0,f?(0)?0,若

af(h)?bf(2h)?f(0)在h?0時(shí)是比h高階的無窮小，試確定a,b的值.解1：（利用導(dǎo)數(shù)定義）

0?lim

af(h)?bf(2h)?f(0)af(h)?af(0)?af(0)?bf(2h)?bf(0)?bf(0)?f(0)

?lim

h?0h?0hhaf(h)?af(0)bf(2h)?bf(0)[(a?b)?1]f(0)[(a?b)?1]f(0)?lim?lim?lim?(a?b)f?(0)?limh?0h?0h?0h?0hhhh

?a?b?1

?由f(0)?0,f(0)?0,得?,即a?2,b??1

a?2b?0?

解2：按解1，只要假定f(x)在x?0處可導(dǎo)即可，但在題中“f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”的假定下，有以下解法：由lim

h?0

h?0

af(h)?bf(2h)?f(0)

?0得 limaf(h)?bf(2h)?f(0)=0

h?0h

即0?limaf(h)?bf(2h)?f(0)?(a?b?1)f(0)，由f(0)?0,得a?b?1（1）

af(h)?bf(2h)?f(0)洛

?limaf?(h)?2bf?(2h)?(a?2b)f?(0)且f?(0)?0,又由0?lim

h?0h?0h

所以 a?2b?0（2）

由（1）、（2）得a?2,b??1.?2?esinx?

?.7.求lim?4??x?0x??1?e?

解：

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所以 原式 = 1

8.求lim

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143

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x

解1：（泰勒公式）因

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1111

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??x2?o(x2)~?x2

所以

1?x2

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解2：（洛必達(dá)法則）

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?x??x?2洛必達(dá)lim?limx?0x?0x22x1?x??x1

?lim?lim x?0?x?x4x?0x

1?2x1?lim.??4x?0x(?x??x)4