第一篇：一道典型的函數(shù)極值點(diǎn)討論與不等式問題

一道典型的函數(shù)極值點(diǎn)討論與不等式問題

已知函數(shù)f(x)?ex?2x2?3x.（1）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上極值點(diǎn)情形及個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)x?1時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)?ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：（1）f?(x)?ex?4x?3，f??(x)?ex?4?0，所以f?(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒?(0)??2?0，f?(1)?e?1?0，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，f?(x)在[0,1]內(nèi)只有唯一的零點(diǎn)x0，且當(dāng)x?(0,x0)時(shí)，f?(x)?0，當(dāng)x?(x0,1)時(shí)，f?(x)?0，所以f(x)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)。

ex

?2x?3，（2）f(x)?ax可以轉(zhuǎn)化為a?x

exex(x?1)?2x?3,x?1，則g?(x)??2?0恒成立，令g(x)?xx2

所以g(x)在[1,??)上單調(diào)遞增，所以g(x)min

ex。?g(1)?e?1.若a??2x?3恒成立，則a?e?1（最值原理）x

第二篇：一道典型的抽象函數(shù)與抽象不等式問題

一道典型的抽象函數(shù)問題

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??2,2)，函數(shù)g(x)?f(x?1)?f(3?2x).（1）求函數(shù)g(x)的定義域；

（2）若f(x)為奇函數(shù)，并且在定義域上單調(diào)遞減，求不等式g(x)?0的解集。

??2?x?1?21515解：（1）由?得?x?，?g(x)的定義域?yàn)?,).222??2?3?2x?22

（2）若f(x)為奇函數(shù)，則g(x)?f(x?1)?f(3?2x)?f(x?1)?f(2x?3)，?g(x)?0?f(x?1)?f(2x?3)，又f(x)在定義域上單調(diào)遞減，151?x?1?2x?3，解得x?2.又g(x)的定義域?yàn)?,).?不等式g(x)?0的解集為(,2].222

第三篇：函數(shù)和不等式思想在極值點(diǎn)偏移問題中的應(yīng)用

函數(shù)和不等式思想在極值點(diǎn)偏移問題中的應(yīng)用

一、教材分析

1．教材的內(nèi)容

選修

1-1

第三章，本節(jié)屬于專題復(fù)習(xí)課.2.教材所處的地位和作用

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的里程碑，它的發(fā)展應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期，它為研究變量與函數(shù)提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之一，它有及其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。在選修模塊中，學(xué)生將通過大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)的含義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)思想及其內(nèi)涵；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探索函數(shù)的單調(diào)，極值等性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的作用，體會(huì)微積分的產(chǎn)生對(duì)人類文化發(fā)展的價(jià)值。

3.學(xué)情分析

①通過《數(shù)學(xué)必修》中函數(shù)，幾何與代數(shù)，數(shù)學(xué)建模等內(nèi)容的學(xué)習(xí)以及在《數(shù)學(xué)選修

1-1》中第二，三章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了函數(shù)的基本知識(shí)和運(yùn)算能力，這為本節(jié)我們討論極值點(diǎn)偏移問題提供了很好的前提與基礎(chǔ)。

②學(xué)生具體研究學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)必修中函數(shù)單調(diào)性的尋找，證明和應(yīng)用及不等式的相關(guān)結(jié)論，具備了一定的探究能力。基于此，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生思考，如何運(yùn)用函數(shù)和不等式來解決高考試題中極值點(diǎn)偏移的問題，能否給出一般性的解決方法和步驟，如果能夠得到這類問題較為簡單的解題通法，這個(gè)常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)壓軸題

題位置上的難點(diǎn)將不會(huì)再對(duì)我們?cè)斐商y的阻礙，甚至?xí)蔀椴糠滞瑢W(xué)新的得分點(diǎn)。

③教學(xué)對(duì)象是高三年級(jí)理科生，由于學(xué)生年齡和能力及題目本身思維要求高，過程繁，計(jì)算難度大等原因，學(xué)生的思維盡管活躍，敏捷，但卻缺乏冷靜深刻的數(shù)學(xué)思維和解難題的能力，因此所做的探索過于片面，結(jié)論不夠嚴(yán)謹(jǐn).4.教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)構(gòu)造法，對(duì)數(shù)平均不等式和極值點(diǎn)偏移的判定定理

難點(diǎn)：函數(shù)構(gòu)造法的結(jié)題步驟，構(gòu)造函數(shù)的選取，對(duì)數(shù)平均不等式的放縮和極值點(diǎn)偏移的判定定理的使用

二、教學(xué)目標(biāo)分析

1．知識(shí)與技能

1.能運(yùn)用函數(shù)和不等式解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值點(diǎn)偏移的問題

2.掌握函數(shù)和不等式解決這類題的一般步驟

3.極值點(diǎn)偏移的判定定理的使用

2、過程與方法

1.通過利用幾何畫板展現(xiàn)極值點(diǎn)偏移的過程，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)感受極值點(diǎn)偏移的本

質(zhì)原因，激發(fā)學(xué)生探究解決問題的激情，和培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察事物變化過程，總結(jié)變化規(guī)律的習(xí)慣。同時(shí)在此處先不給出極值點(diǎn)偏移的判定定理，而是先用函數(shù)構(gòu)造法和對(duì)數(shù)平均不等式這兩種之前已經(jīng)介紹過的方法來求解例一。重在感受極值偏移的現(xiàn)象，和復(fù)習(xí)歸納已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)方法。

2.結(jié)合例一的解題過程，重點(diǎn)回顧討論解題的方法和步驟，展示這兩種方法的易錯(cuò)點(diǎn)和難點(diǎn)的突破口，樹立學(xué)生解難題的信心規(guī)范學(xué)生的解題過程。然后把時(shí)間向前推移六年到例

2（2010

天津）讓學(xué)生自主模仿例一的解法嘗試來解例二，通過例一的復(fù)習(xí)學(xué)生較容易使用其中的一種或兩種方法得到題目的答案讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)以致用的成就感，同時(shí)也通過兩題的比對(duì)了解到高考題目的變遷歷史體會(huì)該知識(shí)點(diǎn)在高考中的地位清楚今后的復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)方向。

3.展示學(xué)生例二的解題過程并加以點(diǎn)評(píng)后提出更高的要求——有沒有更好的方法，結(jié)合一開始的三張圖片讓學(xué)生再次重新審視極值點(diǎn)偏移的原因回歸到數(shù)學(xué)本質(zhì)上來，不用很精準(zhǔn)只需要說出自己的直觀感受即可，通過這一過程讓學(xué)生鍛煉自己的數(shù)學(xué)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算分析等核心素養(yǎng)，同時(shí)也為后面介紹極值點(diǎn)偏移的判定定理做好鋪墊，比較分析函數(shù)構(gòu)造法和對(duì)數(shù)平均不等式的特點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到具體問題具體分析，方法的選擇要靈活有針對(duì)性，不能盲目模仿和生搬硬套，通過一題多解，和同法異題的求解加深解題方法的理解和應(yīng)用能力的提高，由具體問題的多角度的思維得出不同方法的求解過程培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和數(shù)學(xué)歸納的能力，數(shù)學(xué)抽象能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過經(jīng)歷對(duì)例一和例二高考真題的探索和解決，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．引導(dǎo)學(xué)生樹立科學(xué)的世界觀，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)。

三、教學(xué)方法與手段分析

1.教學(xué)方法

結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，在教法上，我采用“探究發(fā)現(xiàn)”模式的教學(xué)方法，整個(gè)教學(xué)過程以學(xué)生為主體，學(xué)生自主學(xué)習(xí)為中心的思想，同時(shí)運(yùn)用多媒體課件教學(xué)等技術(shù)手段，同一題目不同方法的比對(duì)，相同方法不同題目的求解讓學(xué)生由淺入深，循序漸進(jìn)的參與這堂課的每個(gè)過程，自然而然的完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

2.學(xué)法

觀察分析→自主探究→

合作交流

→初步運(yùn)用

→歸納小結(jié)

3.教學(xué)手段

利用計(jì)算機(jī)和實(shí)物投影等輔助教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)的主動(dòng)性與積極性.四、教學(xué)過程分析

教學(xué)是一個(gè)教師的“導(dǎo)”，學(xué)生的“學(xué)”以及教學(xué)過程中的“悟”構(gòu)成的和諧整體.教師的“導(dǎo)”也就是教師啟發(fā)、誘導(dǎo)、激勵(lì)、評(píng)價(jià)等為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建支架，把學(xué)習(xí)的任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生，學(xué)生就是接受任務(wù)，探究問題、完成任務(wù).如果在教學(xué)過程中把“教與學(xué)”完美的結(jié)合也就是以“問題”為核心，通過對(duì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用過程的演繹、解釋和探究來組織和推動(dòng)教學(xué).Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

圖

x

=

m

=

x1

+

x2

極值點(diǎn)無偏移

圖

x

m

=

x1

+

x2

極值點(diǎn)左偏

0

圖

x0

2

0

m

=

x1

+

x2

目的：①本例通過給出三張典型的凹函數(shù)圖像，讓學(xué)生從圖像特征上去直觀感受函數(shù)圖像極值點(diǎn)發(fā)生偏移的原因，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)上來通過圖像讓學(xué)生直觀感受而非繁瑣的計(jì)算來思考解決問題，有助于開拓學(xué)生視野回歸數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，降低了學(xué)生對(duì)于該問題的為難情緒。

②通過學(xué)生觀察后教師自然而然的給出極值點(diǎn)偏移的定義，并順帶給出極值點(diǎn)偏移的數(shù)學(xué)解釋逐步讓學(xué)生由感性認(rèn)知上升到理論認(rèn)知，當(dāng)然老師在此可以對(duì)學(xué)生提出進(jìn)一步要求，可不可以給出一般性的判定定理？這里我們只先提出問題，做下伏筆，但并不馬上去求解，避免由于問題過難而挫傷學(xué)生的積極性，同時(shí)也為本節(jié)課最后的問題做好了鋪墊。

Ⅱ.探究問題

例一（2016

全國卷一）已知函數(shù)

f

(x)=

(x

2)ex

+

a(x

-1)2

有兩個(gè)零點(diǎn)。

（I）求

a的取值范圍；（略）

（II）設(shè)

x1,x2

是

f

(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：

x1

+

x2

目的：①發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，先自己探求結(jié)果，檢查學(xué)生前一階段的復(fù)習(xí)成果和對(duì)于問題一的思考和聯(lián)系；

②讓學(xué)生對(duì)于零點(diǎn)偏移求解過程更加熟練，思路更加清晰；并為下一步對(duì)數(shù)平均不等式和極值點(diǎn)偏移的判定定理做好鋪墊；

解法一：對(duì)稱構(gòu)造函數(shù)法由（1）知a

3

0

①

x1

x2

②構(gòu)造函數(shù)

F

(x)

=

f

(x)

f

(2

x)，(x

1)

T

F

＇

(x)

=

f

＇

(x)

f

＇

(2

x)

=

(x

-1)(ex

+

2a)

+

(1-

x)(e2-x

+

2a)

=

(x

-1)(ex

e2-x)

x

1時(shí)

x

0

T

x

x

T

e2-

x

ex

0

＼

F

＇

(x)

0

T

F

(x)在(-

￥，1)上

-

③代入

x1

得

F

(x1)<

F

(1)=

0

T

f

(x2)

=

f

(x1)

f

(2

x1)

又Q

y

=

f

(x)在(1，+

￥)上

-

x2

?

(1,+

￥),2

x1

?

(1,+

￥)

＼

x2

x1

即

x1

+

x2

提問

1：學(xué)生解法一由哪些主要步驟，哪些步驟是你覺得難得地方，我們是如何解決這些困難的？

結(jié)合學(xué)生的回答對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)處理極值點(diǎn)偏移問題的基本步驟歸納如下：

＇

①求導(dǎo)獲得

f

(x)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合判斷零點(diǎn)

x1,x2

和極值點(diǎn)

x0的范圍

②構(gòu)造輔助函數(shù)

F

(x)

=

性

f

(x)

f

(2x0

x)，判斷函數(shù)

F

(x)的符號(hào)，確定函數(shù)

F

(x)的單調(diào)

③結(jié)合F

(x0)

=

0

限定

x的范圍判定

F

(x)的符號(hào)得到不等式

④將

x1

(或x2)

代入上述不等式，利用

f

(x1)

=

f

(x2)

替換

f

(x1)

⑤結(jié)合①求得

f

(x)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為

x1,x2的不等式，證明結(jié)束。提問

2；可不可以把流程繼續(xù)簡化？

其中主要的三步流程簡化為“求導(dǎo)→構(gòu)造→代入”。構(gòu)造是難點(diǎn)，求導(dǎo)是關(guān)鍵，常用構(gòu)

造要記清。

提問

3：還有其他解法嗎？提醒學(xué)生從不等式構(gòu)造上思考

學(xué)生有困難，則先回顧基本不等式內(nèi)容，讓學(xué)生從熟悉的，簡單的問題入手

調(diào)和平均數(shù)￡

幾何平均數(shù)￡

算術(shù)平均數(shù)￡

￡

平方平均數(shù)

A(a,b)

=

a

+

b,L(a,b)

=

a

b

ln

a

ln

b

,G(a,b)

=

ab,(a,b

0)

T

A

￡

L

￡

G

解法二：對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）

f

(x)

=

f

(x)

=

0

?

(x

2)ex1

+

a(x

-1)2

=

(x

2)ex2

+

a(x

-1)2

=

0

ì?a(x

-1)2

=

(2

x)ex1

T

í

??a(x

-1)2

=

(2

x)ex2，兩式相減得a(x

+

x

-

2)(x

-

x)

=

(2

x)ex1

(2

x)ex2

ìx1

+

x2

3

0

（反證）假設(shè)

x

+

x

3

T

?x

x

0

T

(2

x)ex

(2

x)ex

￡

0

í

?

?a

3

0

T

(2

x)ex1

￡

(2

x)ex2

（左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)）

T

ln(2

x1)

+

x1

￡

ln(2

x2)

+

x2

T

ln(2

x1)

ln(2

x2)

￡

x2

x1

T

（x2

x1

3

T

(2

x1)

(2

x2)

3

（*）

ln

x1)-

ln(2

x2)

ln(2

x1)-

ln(2

x2)

由對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）得

(2

x1)

(2

x2)

<

(2

x1)

+

(2

x2)

=

x1

+

x2

￡

ln(2

x1)-

ln(2

x2)

顯然與（*）相矛盾，假設(shè)不成立，原命題成立。

解題流程：實(shí)際問題→（數(shù)學(xué)抽象）數(shù)學(xué)模型→數(shù)學(xué)解→（解釋與檢驗(yàn)）實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．

提問

4：這類問題最早出現(xiàn)在那一年高考題中，當(dāng)時(shí)的高中生如何解決這類問題，我們是否能在當(dāng)年的高考題中取得滿分？激發(fā)學(xué)生的動(dòng)力積極性，檢查學(xué)生的掌握情況。給出本節(jié)的例二

例二（2010

天津卷）已知函數(shù)

f

(x)=

xe-x

(x

?

R)

（I）求函數(shù)

f

(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（II）已知函數(shù)

y

=

g

(x)的圖像與函數(shù)

y

=

時(shí)，f

(x)

g(x);

f

(x)的圖像關(guān)于直線

x

=

對(duì)稱，證明：當(dāng)

x

（III）如果

x1

1

x2，且

f

(x1)

=

f

(x2)，證明

x1

+

x2

2。

解法一：對(duì)稱構(gòu)造函數(shù)法（1）（2）略

①由（1）知

x1

x2

②構(gòu)造函數(shù)

F

(x)

=

f

(x)

f

(2

x)，(x

1)

T

F

＇

(x)

=

f

＇

(x)

f

＇

(2

x)

=

e-x

(1-

x)

+

e-(2-x)

[1-

(2

x)]

=

e-x

(1-

x)

+

e-(2-x)

(x

-1)

=

(x

-1)(e-2+x

e-x)

其中

x

0

ü

T

F

＇

(x)

0

t

x

T

ex-2

e-1

e-

x

y

T

F

(x)在（-

￥,1）上

-

③代入

x1

得

F

(x1)<

F

(1)=

0

T

f

(x2)

=

f

(x1)

f

(2

x1)

又Q

y

=

f

(x)在(1，+

￥)上

ˉ

x2

?

(1,+

￥),2

x1

?

(1,+

￥)

＼

x2

x1

即

x1

+

x2

解法二：對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）

f

(x)

=

f

(x)

T

x

e-x1

=

x

e-x2

（左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)）

T

ln

x1

x1

=

ln

x2

x2

T

x1

x2

=

ln

x1

ln

x2

T

x1

x2

ln

x1

ln

x2

=

（*）

由對(duì)數(shù)平均不等式（ALG）得

T

x1

+

x2

x1

x2

ln

x1

ln

x2

=

x1

+

x2

提問

5：顯然這個(gè)問題對(duì)于現(xiàn)在的我們不是什么難題了，但作為新時(shí)代的我們能不能用給簡潔的方法給出這兩題的一般性解法，通法的探討顯然是我們要思考的問題。那么學(xué)生對(duì)于這個(gè)新的挑戰(zhàn)自然就會(huì)萌生極大地興趣，這時(shí)再回顧我們一開始觀察三張直觀圖時(shí)提出的問題，解法三的出現(xiàn)也就是必需的了。即本節(jié)課的最后一個(gè)知識(shí)點(diǎn)——極值點(diǎn)偏移的判定定理。

III.按圖索驥，回歸本質(zhì)

極值點(diǎn)偏移判定定理：在給定區(qū)間

D

上函數(shù)

y

=

f

(x)

可導(dǎo)

f

(x1)

=

f

(x2),(x1

x2)，若

x0

為

(x,x)

上的唯一極小值點(diǎn)，f

＇＇＇

(x)

0，則極小值點(diǎn)右偏?

x1

+

x2

x；

0

f

＇＇＇

(x)

0，則極小值點(diǎn)左偏?

x1

+

x2

x。

0

對(duì)于該定理作為高中生我們只需要了解，不需要完整嚴(yán)格的證明，（后附有泰勒展開的完整證明過程，可以開拓一部分自學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生的視野）

那么我們?cè)趺磥砝斫庠撆卸ǘɡ砟?？我們又如何運(yùn)用它來解決高中相關(guān)的數(shù)學(xué)問題呢？對(duì)此我們分兩部分來討論。

第一部分：我們主要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義與

n

階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算來了解該定理的由來。首先

通過讓學(xué)生再次觀察一開始我們已展示的圖一，二，三不，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)

y

=

f

(x)的圖

像偏移的原因，即

y

=

f

(x)的圖像在u(x0,?)

內(nèi)增減速度的不同而發(fā)生的。接著再進(jìn)一步

引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)生的不同我們?nèi)绾稳ビ脭?shù)學(xué)的語言來描述刻畫它，提醒學(xué)生從導(dǎo)數(shù)的幾

何意義來思考，以圖

為例和學(xué)生一起做探討：

y

=

f

(x)的圖像的斜率一直在增加，但

增加的速度在變慢，（數(shù)學(xué)直觀想象），如何用數(shù)學(xué)語言來表述這一變化？（數(shù)學(xué)抽象）

→

f

＇

(x)

0,f

＇

(x)

增加T

f

＇＇

(x)

0（速度變慢）T

f

＇＇

(x)的絕對(duì)值變小

T

y

=

f

＇＇＇

(x)

0。

完成圖二的探討后可讓學(xué)生模仿獨(dú)立的完成圖

3的探索：

f

＇

(x)

0,f

＇

(x)

增加T

f

＇＇

(x)

0

（速度變快）

T

f

＇＇

(x)的絕對(duì)值變大

T

y

=

f

＇＇＇

(x)

0。

以上結(jié)論可簡單記憶口訣（“小大小”，“小小大”），同時(shí)若

x0

是極大值點(diǎn)的話，結(jié)論相反，口訣為（“大大大”，“大小小”）

IV.給出定理，嘗試新解

第二部分：運(yùn)用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解

極值點(diǎn)偏移判定定理

解法三：

f

(x)=

(x

2)ex

+

a(x

-1)2

T

f

＇

(x)

=

(x

-1)(ex

+

2a)

T

f

＇＇

(x)

=

(x

-1)ex

+

ex

+

2a

T

f

＇＇＇

(x)

=

ex

(x

+1)

分兩段區(qū)間討論

①若

x

?

(-￥,1]，f

(2)

=

a

0

結(jié)合圖像可知

x1

￡

x2

a，則

x1

+

x2

②若

x

?

(-1,+

￥)，f

＇＇＇

(x)

0，x

=

是極小值，符合“小大小”

T

x

+

x2

綜上的x1

+

x2

例二新解

解法三：

f

(x)

=

xe-x

T



f

＇

(x)

=

e-x

xe-x

T



f

＇＇

(x)

=

e-x

(x

2)

T

f

＇＇＇

(x)

=

e-x

(3

x)

分兩段區(qū)間討論

①若

x

?[3,+

￥)，可知

x1

+

x2

max{x1,x2}

3

2，則

x1

+

x2

②若

x

?

(-

￥,3)，f

＇＇＇

(x)

0，x

=

是極大值，符合“大大大”

T

x



+

x2

綜上知

x1

+

x2

至此我們回頭再看例一和例二的三個(gè)解法，不知不覺中對(duì)于一開始極值點(diǎn)偏移的問題有

了更新的認(rèn)知。

VI.課堂練習(xí)

鞏固雙基

練習(xí)

1（2011

遼寧卷）已知函數(shù)

f

(x)

=

ln

x

ax2

+

(2

a)x。

（I）討論函數(shù)

f

(x)的單調(diào)性；

（II）設(shè)a

0，證明：當(dāng)0

x

時(shí)，f

（1

+

x)

f

（1

x);

a

a

a

（III）若函數(shù)

y

=

f

(x0)

0。

f

(x)的圖像與

x

軸交于

A,B

兩點(diǎn)，線段

AB

中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

x0，證明

練習(xí)

2（2014

天津卷）設(shè)

f

(x)

=

x

aex

(a

?

R),x

?

R

已知函數(shù)

y

=

且

x1

x2

（1）求

a的取值范圍

（2）證明

x2

隨著

a的減小而增大

x1

（3）證明

x1

+

x2

隨著

a的減小而增大

f

(x)

有兩個(gè)零點(diǎn)

x1,x2，練習(xí)

已知函數(shù)

f

(x)

=

a

ln

x,a

?

R.若函數(shù)

f

(x)

有兩個(gè)零點(diǎn)

x,x。

x

求證：

x1

+

x2

練習(xí)

已知函數(shù)

f

(x)

=

ex

ax

有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

x,x，其極值點(diǎn)為

x

0

（I）求

a的取值范圍

（II）求證：

x1

+

x2

2x0

（III）求證：

x1

+

x2

（IV）求證：

x1

x2

目的：①通過學(xué)生的主體參與，使學(xué)生深切體會(huì)到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的再次深化.②練習(xí)分層，有利于不同層次的學(xué)生培養(yǎng)。

VII.課堂小結(jié)

學(xué)生點(diǎn)評(píng)，老師引導(dǎo):

①由圖像直觀到方法求解,由繁瑣到簡潔，由為結(jié)題而解題到回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，一再的追問和嘗試思考有利于學(xué)生的知識(shí)遷移和能力提高；

②用三種方法解題的運(yùn)用：函數(shù)構(gòu)造法，對(duì)數(shù)平均不等式和極值點(diǎn)偏移的判定定理。對(duì)三種解法的對(duì)比的再認(rèn)識(shí)．特別是方法的選擇上要能盡可能適合題目適合自己；

③在理解方法的基礎(chǔ)上,及時(shí)進(jìn)行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習(xí).通過總結(jié)、辨析和反思，強(qiáng)化解法的靈活性，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，有助于學(xué)生形成知識(shí)模塊，優(yōu)化知識(shí)體系.體現(xiàn)知識(shí)目標(biāo)。

五、教學(xué)評(píng)價(jià)

結(jié)果因過程而精彩,現(xiàn)象因方法而生動(dòng).無論是情境創(chuàng)設(shè),還是探究設(shè)計(jì),都必須以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、訓(xùn)練為主線,設(shè)法從龐雜的知識(shí)中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系,挖掘書本背后的數(shù)學(xué)思想,建構(gòu)基于學(xué)生發(fā)展的知識(shí)體系,教學(xué)生學(xué)會(huì)思考,讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動(dòng)。因此，本課例在具體問題的數(shù)學(xué)模型的建立和數(shù)學(xué)工具的選擇上舍得花大量時(shí)間，便是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)探究與創(chuàng)新，它就像一縷溫暖的陽光，不一定能喚醒萬物，卻能催開人世間最絢麗的花朵。

通過三種解題方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了極值點(diǎn)偏移的解決方法；從圖像直觀到理論總結(jié)和方法嘗試，數(shù)學(xué)的解題方法拉近了知識(shí)之間的聯(lián)系；由特殊到一般問題的推導(dǎo)不再讓學(xué)生為解題而解題，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的魅力．學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會(huì)到解題過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時(shí)通過精講一題，發(fā)散一串的變式教學(xué)，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)，又形成了技能．在此基礎(chǔ)上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)．

第四篇：構(gòu)造函數(shù)處理不等式問題

構(gòu)造函數(shù)處理不等式問題

函數(shù)與方程，不等式等聯(lián)系比較緊密，如果從方程，不等式等問題中所提供的信息得知其本質(zhì)與函數(shù)有關(guān)，該題就可考慮運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法求解。構(gòu)造函數(shù)，直接把握問題中的整體性運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來解題，是一種制造性的思維活動(dòng)。因此要求同學(xué)們多分析數(shù)學(xué)題中的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及內(nèi)在聯(lián)系，能合理準(zhǔn)確地構(gòu)建相關(guān)函數(shù)模型。

一、構(gòu)造函數(shù)解不等式

1、解不等式

810解不等式 ??x3?5x?0 3(x?1)x?

1分析；本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運(yùn)算較煩。但注意8102323到且題中出現(xiàn)??()?5()x?5x , 啟示我們構(gòu)造函數(shù)3x?1x?1x?1(x?1)

f(x)=x3+5x去投石問路。解：將原不等式化為（f(232)?5()?x3?5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變?yōu)閤?1x?122)?f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上為增函數(shù)∴原不等式等價(jià)于?x，解x?1x?1之得：－1＜x＜2或x＜－2。

2解含參不等式中參數(shù)范圍問題

例3已知不等式11112??????????loga(a?1)?對(duì)大于1的一切自然數(shù)n?1n?22n12

3n恒成立，試確定參數(shù)a的取值范圍。解：設(shè)f(n)?

∵f(n+1)-f(n)111?????????，n?1n?22n1111????0,∴f(n)是關(guān)于n 的增函2n?12n?2n?1(2n?1)(2n?2)

數(shù)。又n≥2∴f(n)≥f(2)=

恒成立,必須有

∴1＜a＜712∴f(n)?loga(a?1)?對(duì)大于1的一切自然數(shù)n121237121?loga(a?1)?∴l(xiāng)oga(a?1)??1，而a＞1，∴a-1＜12123a1?51?∴a的取值范圍為（1，）。2

2二、構(gòu)造函數(shù)證明不等式。

1。移項(xiàng)作差，構(gòu)造一元函數(shù)

【例】當(dāng)x?(1,??)時(shí)，122x?lnx?x3 2

3【解】設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?

231

2x?x?lnx，32

1(x?1)(2x2?x?1)

則F?(x)?2x?x?=

xx(x?1)(2x2?x?1)

當(dāng)x?1時(shí)，F(xiàn)?(x)=

x

從而F(x)在(1,??)上為增函數(shù)，∴F(x)?F(1)?故在區(qū)間(1,??)上，?0 6

122x?lnx?x3 23

【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左

式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)F(x)?f(x)?g(x)做一做，深刻體會(huì)其中的思想方法。2。二元不等式，定主元化為一元函數(shù)（全國）已知函數(shù)g?x??xlnx

設(shè)0?a?b,證明 ：0?g(a)?g(b)?2g（a?b)?(b?a)ln2.2

分析：對(duì)于本題絕大部分的學(xué)生都會(huì)望而生畏.學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對(duì)所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的.證明如下： 證明：對(duì)g(x)?xlnx求導(dǎo),則g(x)?lnx?1.在g(a)?g(b)?2g（'

a?b)中以b為主變?cè)獦?gòu)造函數(shù), 2

a?x'a?xa?x

.)]?lnx?ln),則F'(x)?g'(x)?2[g（222

設(shè)F(x)?g(a)?g(x)?2g（'

當(dāng)0?x?a時(shí)，F(xiàn)(x)?0,因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)x?a時(shí),F(x)?0,因此F(x)在(a,??)上為增函數(shù).從而當(dāng)x?a時(shí), F(x)有極小值F(a).因?yàn)镕(a)?0,b?a,所以F(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(又設(shè)G(x)?F(x)?(x?a)ln2.則G'(x)?lnx?ln

''

a?b)?0.2

a?x

?ln2?lnx?ln(a?x).2

當(dāng)x?0時(shí),G(x)?0.因此G(x)在(0,??)上為減函數(shù).因?yàn)镚(a)?0,b?a,所以G(b)?0,即g(a)?g(b)?2g(3。冪指數(shù)函數(shù)不等式，對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)

a?b)?(b?a)ln2 2

例：證明當(dāng)x?0時(shí),(1?x)

1?

1x

?e

1?

x2

4。數(shù)列和型不等式，利用通項(xiàng)構(gòu)造函數(shù) 例：證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(n?1)?令h(x)?x3?f(x)?x3?x2?ln(x?1),?（k?

1n

?)都成立。k2k3

3x3?(x?1)2

?0在[0,??)上恒成立，則h'(x)?

x?1

所以h(x)在[0,??)上單調(diào)遞增，8分

則當(dāng)x?(0,??)時(shí)，恒有h(x)?h(0)?0.即當(dāng)x?(0,??)時(shí)，有x3?x2?ln(x?1)?0, 整理，得ln(x?1)?x2?x3.9分

對(duì)任意正整數(shù)n，取x?所以ln

1111

得ln(?1)?2?3，nnnn

10分

n?11111

?2?3，整理得ln(n?1)?lnn?2?3,nnnnn

1111

?,ln3?ln2??,2223121311

?, 23nn

則有l(wèi)n2?ln1?……

ln(n?1)?lnn?

所以(ln2?ln1)?(ln3?ln2)???[ln(n?1)?lnn]?（1111

?)?(?

12132223

???（11

?3)，2

nn

即ln(n?1)?

?(k

k?1

n

?).3k

作業(yè)：1設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(2)?2,當(dāng)x?0時(shí)，有f(x)?xf?(x)恒成立，則不等式f(x)?x的解集是（D）（A）（?2，0）∪（2，??）（C）（??，?2）∪（2，??）

（B）（?2，0）∪（0，2）（D）（??，?2）∪（0，2）

證明當(dāng)b?a?e,證明a?b

b

a3、（2007年，安徽卷）設(shè)a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx

求證：當(dāng)x?1時(shí)，恒有x?lnx?2alnx?1，（2007年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足

xf?(x)?f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有

（A）（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)4

（B）bf(a)≤af(b)

（D）bf(b)≤f(a)

5。已知a?0,x?1,求證: x?lnx?2alnx?1

n

6。已知n?N,求證:??lnn??

ii?1i?2i?2

*

n

第五篇：13多元函數(shù)的極值與連續(xù)

CH 13

多元函數(shù)的極值與連續(xù)

1，平面點(diǎn)集

鄰域：M0(x0,y0)?R2，稱{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)??,??0}為點(diǎn)M0的?鄰域，記作O(M0,?)。

點(diǎn)列的極限：設(shè){xn}是X軸上的一點(diǎn)列，{yn}是Y軸上的一個(gè)點(diǎn)列，則以xnyn為坐標(biāo)的點(diǎn){(xn,yn)}組成平面上的一個(gè)點(diǎn)列，記作{Mn}，又設(shè)M0是平面上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為M0(x0,y0)，若對(duì)M0的任何一個(gè)?鄰域O(M0,?)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，有Mn?O(M0,?)，就稱點(diǎn)列{Mn}收斂，并且收斂于M0，記作limMn?M0或則記為

n??22（n??）即(xn,yn)?(x0,y0)，（n??）。Mn?M0，上面點(diǎn)列極限的定義也可用不等式敘述：若對(duì)???0，總存在N，當(dāng)n?N時(shí)，有(x?x0)2?(y?y0)2??就稱{Mn}收斂于M0。

點(diǎn)列極限的性質(zhì)：

性質(zhì)1：(xn,yn)?(x0,y0)的充分必要條件是xn?x0，yn?y0，（n??）性質(zhì)2：若{Mn}收斂，則它只有一個(gè)極限，即極限是唯一的。

內(nèi)點(diǎn)：設(shè)M0?E，如果存在M0的一個(gè)鄰域O(M0,?)，使得O(M0,?)?E，則M0是E的內(nèi)點(diǎn)。

外點(diǎn)：設(shè)M1?E，如果存在M1的一個(gè)?鄰域O(M1,?)，使得O(M1,?)中沒有E的點(diǎn)，就稱M1是E的外點(diǎn)。

邊界點(diǎn)：設(shè)M1是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對(duì)M的任何鄰域O(M,?)，其中既含有E的點(diǎn)，又含有非E中的點(diǎn)，就稱M為E的邊界點(diǎn)，E的邊界點(diǎn)的全體叫做E的邊界。

開集：如果E的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，就稱E是開集。

聚點(diǎn)：設(shè)M0是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對(duì)M0的任何一個(gè)鄰域O(M0,?)，在這一鄰域內(nèi)至少含有E的一個(gè)（不等于M0）點(diǎn)，就稱M0是E的聚點(diǎn)。***閉集：若E的所有聚點(diǎn)都在E內(nèi)就稱E是閉集。

區(qū)域：設(shè)E是一個(gè)開集，并且E中任何兩點(diǎn)M1和M2之間都可以用有限條屬于E的直線段所組成的折線結(jié)起來，稱E是區(qū)域。

閉區(qū)域：一個(gè)區(qū)域加上它的邊界就是一個(gè)閉區(qū)域。平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理：

矩形套定理：設(shè){an?xn?bn,cn?yn?dn}是矩形an?xn?bn,cn?yn?dn，(n?1,2,...)所組成的矩形序列，其中每一個(gè)矩形都含在前一個(gè)矩形中，并且bn?an?0，那么有唯一的一點(diǎn)M0(x0,y0)，它位于每一個(gè)矩形中，亦即：

an?x0?bn,cn?y0?dn(n?1,2,...)

致密性原理（Weierstrass定理）：如果列{Mn(xn,yn)}有界（即存在常數(shù)a,b,c,d，使得a?xn?b,c?yn?d(n?1,2,...)），那么從其中必能選取收斂的子列。

有限覆蓋定理：若一開矩形集合{?}?{??x??,??y??}覆蓋有限閉區(qū)域，那么從{?}里，必可選出有限個(gè)開矩形，它們也能覆蓋這個(gè)區(qū)域。

收斂原理：平面點(diǎn)列{Mn}有極限的充分必要條件是：對(duì)任意給定的???0，總存在N，當(dāng)m,n?N時(shí)，有r(Mn,Mm)??。

2，多元函數(shù)的概念

二元函數(shù)的定義：設(shè)E是平面點(diǎn)集，f是一個(gè)規(guī)律。如果對(duì)E中的每一點(diǎn)(x,y)，通過規(guī)律f在R中存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)u和點(diǎn)(x,y)相對(duì)應(yīng)，就稱f是定義在E上的一個(gè)二元函數(shù)，它在(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)。即u?f(x,y)。與一元函數(shù)相仿。常采用下面的記號(hào)記這個(gè)函數(shù)：

f:E?R,(x,y)?u?f(x,y)

并稱E是f的定義域，通常為省略，也稱f(x,y)是一個(gè)二元函數(shù)。

3，二元函數(shù)的極限

二元函數(shù)的極限的定義：設(shè)二元函數(shù)f(M)?f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)附近有定義。（而在M0點(diǎn)是否有定義無關(guān)緊要）如果對(duì)???0，總存在??0，當(dāng)0?r(M,M0)??時(shí)恒有|f(M)?A|??，就稱A是二元函數(shù)f(M)在M0點(diǎn)的極限。記為：

M?M0limf(M)?A或f(M)?A，（M?M0）

上述定義可用點(diǎn)的坐標(biāo)描述，即：如果對(duì)???0，總存在??0，當(dāng)0?(x?x0)2?(y?y0)2??時(shí)，恒有|f(x,y)?A|??。就稱A是二元函數(shù)f(x,y)在M0(x0,y0)點(diǎn)的極限。

上述定義也可用鄰域來表達(dá)，若對(duì)A的任何?鄰域O(A,?)，總存在M0點(diǎn)的?鄰域O(M0,?)，當(dāng)M?O(M0,?)?{M0}時(shí)，恒有f(M)?O(A,?)，就稱A是二元函數(shù)f(M)在M0點(diǎn)的極限。

上述定義也可敘述為：若???0，總存在??0，使得當(dāng)|x?x0|??，|y?y0|??且(x,y)不與M0(x0,y0)重合，亦即(x?x0)2?(y?y0)2?0時(shí)，恒有：

|f(x,y)?A|??，就稱A是二元函數(shù)f(M)在M0點(diǎn)的極限。

上述的極限通常也稱為二重極限。而諸如若limlimf(x,y)存在或limlimf(x,y)存

y?y0x?x0x?x0y?y0在的極限稱為二次極限或累次極限。

4，二元函數(shù)的連續(xù)性及性質(zhì)

二元函數(shù)連續(xù)的定義：若f(M)?f(x,y)在M0(x0,y0)有定義，且滿足M?M0limf(M)?f(M0)，則稱f(M)在點(diǎn)M0(x0,y0)連續(xù)。

關(guān)于極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則，以及連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則，與一元函數(shù)的情況是完全相似的。

若對(duì)某一區(qū)域（或開或閉）上的任意一點(diǎn)M0(x0,y0)，當(dāng)M取此區(qū)域上任意的點(diǎn)列趨于M0(x0,y0)時(shí)，f(M)的極限恒為f(M0)，那么稱f(M)在此區(qū)域上連續(xù)。

有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：

性質(zhì)1：有界性定理：若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界；亦即存在正數(shù)M，使得在D上恒有|f(x,y)|?M。

性質(zhì)2 ：一致連續(xù)性定理：若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)；亦即對(duì)???0，總存在??0，使得D上任意兩點(diǎn)M'(x',y')，M''(x'',y'')，當(dāng)|x'?x''|??，|y'?y''|??時(shí)恒有：

|f(x',y')?f(x'',y'')|??。

性質(zhì)3：最大值最小值定理：若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。

性質(zhì)4：零點(diǎn)存在定理：若f(x,y)在區(qū)域D（不一定有界閉區(qū)域）內(nèi)連續(xù)，并且在D內(nèi)兩點(diǎn)M1(a1,b1)，N1(?1,?1)異號(hào)。即f(a1,b1)f(?1,?1)?0，那么用完全位于D內(nèi)的任意折線l連接M1和N1時(shí)，在l上必有一點(diǎn)M(x,y)，滿足f(x,y)?0。

5，二重極限與二次極限的關(guān)系

（1）兩個(gè)二次極限都不存在，而二重極限仍可能存在。（2）兩個(gè)二次極限存在而不相等，二重極限必不存在。（3）兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在。

例：證明有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的有界性定理，最大（小）值定理及一致連續(xù)性定理。（1）有界閉區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)必有界；（2）最大（?。┲刀ɡ?；（3）一致連續(xù)性定理。

證：（1）用反證法，設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，但無界。

?n,?Mn(xn,yn)?D，有|f(xn,yn)|?n，由致密性定理序列{Mn(xn,yn)}?D必有界，從其中必能選出收斂的子列{Mnk}?{Mn}，有l(wèi)imMnk?M(x,y)，由于D為有界

k??閉區(qū)域，故M?D。故f(x,y)在點(diǎn)M連續(xù)，limf(xnk,ynk)?f(M)?f(x,y)。但在k??構(gòu)造Mn(xn,yn)時(shí)已設(shè)

|f(xn,yn)|?n,|f(xnk,ynk)|?nkk??，故{f(xnk,ynk)}?{f(xn,yn)}發(fā)散到無窮大。這與limf(xnk,ynk)?f(M)?f(x,y)收斂矛盾。

（2）因f在D上有界，故設(shè)M?supf(p),m?inff(p)，可證必有一點(diǎn)Q?D，有

p?Dp?Df(Q)?M（同理可證?Q'?D,使f(Q')?m）。如若不然，?p?D均有M?f(p)?0。

考察D上的正值連續(xù)函數(shù)F(p)?1，由前面知F在D上有界，又因f不能在DM?f(p)上達(dá)到上確界M，故存在收斂的點(diǎn)列{pn}?D，使limf(pn)?M。于是

n??limF(pn)???，這與F在D上有界矛盾，故f在D上能取得最大值。

n??（3）（用反證法）設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，但非一致連續(xù)。則???0,???0，如??11,n?1,2,?有相應(yīng)的Pn,Qn?D:r(Pn,Qn)?但|f(Pn)?f(Qn)|??0成立。由nnk??于D為有界閉區(qū)域，故存在收斂的點(diǎn)列{Pnk}?{Pn}并設(shè)limPnk?P0。再在{Qn}中取出與{Pn}具有相同足標(biāo)的點(diǎn)列{Qnk}?{Qn}，由0?r(Pn,Qn)?1?0,k??，從而有 nklimQnk?limPnk?P0k??k??k??，最后由

f在P0連續(xù)，得lim|f(Pn)?f(Qn)|?|f(P0)?f(P0)|?0，這與|f(Pn)?f(Qn)|???0矛盾，所以f在D上一致連續(xù)。