極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略及探究

所謂極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于,兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往.如下圖所示.極值點(diǎn)沒(méi)有偏移

此類(lèi)問(wèn)題在近幾年高考及各種?？迹鳛闊狳c(diǎn)以壓軸題的形式給出，很多學(xué)生對(duì)待此類(lèi)問(wèn)題經(jīng)常是束手無(wú)策。而且此類(lèi)問(wèn)題變化多樣，有些題型是不含參數(shù)的，而更多的題型又是含有參數(shù)的。不含參數(shù)的如何解決？含參數(shù)的又該如何解決，參數(shù)如何來(lái)處理？是否有更方便的方法來(lái)解決？其實(shí)，處理的手段有很多，方法也就有很多，我們先來(lái)看看此類(lèi)問(wèn)題的基本特征，再?gòu)膸讉€(gè)典型問(wèn)題來(lái)逐一探索！

【問(wèn)題特征】

【處理策略】

一、不含參數(shù)的問(wèn)題.例1.（2010天津理）已知函數(shù)，如果，且，證明：

【解析】法一：，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，時(shí)，函

數(shù)在處取得極大值，且,如圖所示.由，不妨設(shè)，則必有，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，也即對(duì)恒成立.由，則，所以，即，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，所以，即證

法二：欲證，即證，由法一知，故，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故只需證，又因?yàn)?，故也即證，構(gòu)造函數(shù)，則等價(jià)于證明對(duì)恒成立.由，則在上單調(diào)遞增，所以，即已證明對(duì)恒成立，故原不等式亦成立.法三：由，得，化簡(jiǎn)得…?，不妨設(shè)，由法一知，.令，則，代入?式，得，反解出，則，故要證：，即證：，又因?yàn)椋葍r(jià)于證明：…?，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，從而也在上單調(diào)遞增，即證?式成立，也即原不等式成立.法四：由法三中?式，兩邊同時(shí)取以為底的對(duì)數(shù)，得，也即，從而，令，則欲證：，等價(jià)于證明：…?，構(gòu)造，則，又令，則，由于對(duì)恒成立，故，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故在上單調(diào)遞增，由洛比塔法則知：，即證，即證?式成立，也即原不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】以上四種方法均是為了實(shí)現(xiàn)將雙變?cè)牟坏仁睫D(zhuǎn)化為單變?cè)坏仁?，方法一、二利用?gòu)造新的函數(shù)來(lái)達(dá)到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變?cè)?，將兩個(gè)舊的變?cè)紦Q成新變?cè)獊?lái)表示，從而達(dá)到消元的目的.二、含參數(shù)的問(wèn)題.例2.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.【解析】思路1：函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程的兩個(gè)實(shí)根，從而這一問(wèn)題與例1完全等價(jià)，例1的四種方法全都可以用；

思路2：也可以利用參數(shù)這個(gè)媒介去構(gòu)造出新的函數(shù).解答如下：

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，由得：，要證明，只要證明，由得：，即，即證：，不妨設(shè)，記，則，因此只要證明：，再次換元令，即證

構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，得在遞增，所以，因此原不等式獲證.【點(diǎn)評(píng)】含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，在原有的兩個(gè)變?cè)幕A(chǔ)上，又多了一個(gè)參數(shù)，故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù)。

例3.已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，試證明：

【解析】法一：消參轉(zhuǎn)化成無(wú)參數(shù)問(wèn)題：，是方程的兩根，也是方

程的兩根，則是，設(shè)，則，從而，此問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例1，下略.法二：利用參數(shù)作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)：

不妨設(shè)，∵，∴，∴，欲證明，即證.∵，∴即證，∴原命題等價(jià)于證明，即證：，令，構(gòu)造，此問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例2中思路二的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：

設(shè)，則，反解出：，故，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.例4.設(shè)函數(shù)，其圖像與軸交于兩點(diǎn)，且.證明：.【解析】由，易知：的取值范圍為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.法一：利用通法構(gòu)造新函數(shù)，略；

法二：將舊變?cè)D(zhuǎn)換成新變?cè)?/p>

∵兩式相減得：，記，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，故,而，所以，又∵是上的遞增函數(shù)，且，∴.容易想到，但卻是錯(cuò)解的過(guò)程：

欲證：，即要證：，亦要證，也即證：，很自然會(huì)想到：對(duì)兩式相乘得：，即證：.考慮用基本不等式，也即只要證：.由于.當(dāng)取將得到，從而.而二元一次不等式對(duì)任意不恒成立，故此法錯(cuò)誤.【迷惑】此題為什么兩式相減能奏效，而變式相乘卻失敗？?jī)墒较鄿p的思想基礎(chǔ)是什么？其他題是否也可以效仿這兩式相減的思路?

【解決】此題及很多類(lèi)似的問(wèn)題，都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景.拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿(mǎn)足如下條件：

（1）

函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；

（2）

函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.當(dāng)時(shí)，即得到羅爾中值定理.上述問(wèn)題即對(duì)應(yīng)于羅爾中值定理，設(shè)函數(shù)圖像與軸交于兩點(diǎn)，因此，∴，……

由于，顯然與，與已知

不是充要關(guān)系，轉(zhuǎn)化的過(guò)程中范圍發(fā)生了改變.例5.（11年，遼寧理）

已知函數(shù)

（I）討論的單調(diào)性；

（II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；

（III）若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.【解析】（I）易得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（II）法一：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性證明，方法上同，略；

法二：構(gòu)造以為主元的函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則，由，解得，當(dāng)時(shí)，而，所以，故當(dāng)時(shí)，.（III）由（I）知，只有當(dāng)時(shí)，且的最大值，函數(shù)才會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，故，由（II）得：，又由在上單調(diào)遞減，所以，于是，由（I）知，.【問(wèn)題的進(jìn)一步探究】

對(duì)數(shù)平均不等式的介紹與證明

兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：

對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：

（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）

取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.只證：當(dāng)時(shí)，.不失一般性，可設(shè).證明如下：

（I）先證：……?

不等式?

構(gòu)造函數(shù)，則.因?yàn)闀r(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式?成立；

（II）再證：……?

不等式?

構(gòu)造函數(shù)，則.因?yàn)闀r(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式?成立；

綜合（I）（II）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.前面例題用對(duì)數(shù)平均不等式解決

例1.（2010天津理）已知函數(shù)，如果，且，證明：

【解析】法五：由前述方法四，可得，利用對(duì)數(shù)平均不等式得：，即證：，秒證.說(shuō)明：由于例2，例3最終可等價(jià)轉(zhuǎn)化成例1的形式，故此處對(duì)數(shù)平均不等式的方法省略.例4.設(shè)函數(shù)，其圖像與軸交于兩點(diǎn)，且.證明：.【解析】法三：由前述方法可得：，等式兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得，化簡(jiǎn)得：，由對(duì)數(shù)平均不等式知：，即，故要證

∵

∴，而

∴顯然成立，故原問(wèn)題得證.例5.（11年，遼寧理）

已知函數(shù)

（I）討論的單調(diào)性；

（II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；

（III）若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.【解析】（I）（II）略，（III）由

故要證

.根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等，此不等式顯然成立，故原不等式得證.【挑戰(zhàn)今年高考?jí)狠S題】

（2016年新課標(biāo)I卷理數(shù)壓軸21題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).證明：.【解析】由，得，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則必須.法一：構(gòu)造部分對(duì)稱(chēng)函數(shù)

不妨設(shè)，由單調(diào)性知，所以，又∵在單調(diào)遞減，故要證：，等價(jià)于證明：，又∵，且

∴，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可證，此處略.法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)

由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，故可整理得：

設(shè)，則

那么，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：

設(shè)，則，故單調(diào)遞增，有．

因此，對(duì)于任意的，．

由可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有

令，則有

而，在上單調(diào)遞增，因此：

整理得：．

法三：參變分離再構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)

由法二，得，構(gòu)造，利用單調(diào)性可證，此處略.法四：構(gòu)造加強(qiáng)函數(shù)

【分析說(shuō)明】由于原函數(shù)的不對(duì)稱(chēng)，故希望構(gòu)造一個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的函數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，易證原不等式成立.【解答】由，故希望構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使得，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，從而構(gòu)造出（為任意常數(shù)），又因?yàn)槲覀兿Ｍ?，故取，從而達(dá)到目的.故，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，結(jié)合圖像可知：，所以，即原不等式得證.法五：利用“對(duì)數(shù)平均”不等式，由對(duì)數(shù)平均不等式得：，從而

等價(jià)于：

由，故，證畢.說(shuō)明：談?wù)勂渌椒ǖ乃悸放c困惑。