第一篇：函數(shù)與導數(shù)綜合問題

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函數(shù)與導數(shù)綜合問題

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來源：《數(shù)學金刊·高考版》2013年第06期

深化導數(shù)在函數(shù)、不等式、解析幾何等問題中的綜合應用，加強導數(shù)的應用意識.本考點試題的命制往往融函數(shù)、導數(shù)、不等式、方程等知識于一體，通過演繹證明、運算推理等理性思維，解決單調(diào)性、極值、最值、切線、方程的根、參數(shù)的取值范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏.解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想.

第二篇：高中數(shù)學構造函數(shù)解決導數(shù)問題專題復習

高中數(shù)學構造函數(shù)解決導數(shù)問題專題復習

【知識框架】

【考點分類】

考點一、直接作差構造函數(shù)證明；

兩個函數(shù)，一個變量，直接構造函數(shù)求最值；

【例1-1】（14順義一模理18）已知函數(shù)（）

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

【例1-2】（13海淀二模文18）已知函數(shù).（Ⅰ）當時，若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）若，都有，求實數(shù)的取值范圍.【練1-1】（14西城一模文18）已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；

（Ⅱ）如果對于任意，都有，求的取值范圍．

【練1-2】已知函數(shù)是常數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的圖象在點處的切線的方程；

（Ⅱ）證明函數(shù)的圖象在直線的下方；

（Ⅲ）討論函數(shù)零點的個數(shù)．

【練1-3】已知曲線.(Ⅰ)若曲線C在點處的切線為，求實數(shù)和的值；

(Ⅱ)對任意實數(shù)，曲線總在直線:的上方，求實數(shù)的取值范圍.【練1-4】已知函數(shù)，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方；

【練1-5】.已知函數(shù)；

（1）當時，求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖像恒在直線下方，求的取值范圍。

【練1-6】已知函數(shù)；

（1）求的極小值；

（2）如果直線與函數(shù)的圖像無交點，求的取值范圍；

答案：

考點二、從條件特征入手構造函數(shù)證明

【例2-1】若函數(shù)

在上可導且滿足不等式，恒成立，且常數(shù)，滿足，求證：。

【例2-2】設是上的可導函數(shù)，分別為的導函數(shù)，且滿足，則當時，有（）

A.B.C.D.【練2-1】設是上的可導函數(shù)，，求不等式的解集。

【練2-2】已知定義在的函數(shù)滿足，且，若，求關于的不等式的解集。

【練2-3】已知定義域為的奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，若，則下列關于的大小關系正確的是（）D

A.B.C.D.【練2-4】已知函數(shù)為定義在上的可導函數(shù)，且對于任意恒成立，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）C

A.B.C.D.【練2-5】

設是上的可導函數(shù)，且，求的值。

【練2-6】函數(shù)為定義在上的可導函數(shù)，導函數(shù)為，且，下面的不等式在內(nèi)恒成立的是（）

A.B.C.D.【練2-7】已知函數(shù)為定義在上的可導函數(shù)，導函數(shù)為，當時，且，若存在，使，求的值。

（二）關系式為“減”型

（1），構造；

（2），構造；

（3），構造；

（注意對的符號進行討論）

考點三、變形構造函數(shù)

【例3-1】證明：對任意的正整數(shù)，不等式都成立。

【例3-2】已知函數(shù)；

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）若對于任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

【練3-1】設為曲線在點處的切線。

（1）求的方程；

（2）證明：除切點之外，曲線在直線的下方；

【練3-2】已知函數(shù)；

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）當時，求證：；

【練3-3】已知函數(shù)，其中；

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的值；

【練3-4】，（1）討論的單調(diào)情況；

（2）設，對．求證：．

【練3-5】已知函數(shù)；

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，設斜率為的直線與函數(shù)相交于兩點，求證：

考點四、消參構造函數(shù)

【例4-1】已知函數(shù)和的圖像有公共點，且在點處的切線相同；

（1）若點的坐標為，求的值；

（2）已知，求切點的坐標。

【例4-2】（2009全國卷2理22）設函數(shù)有兩個極值點，且

（Ⅰ）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：

第三篇：構造函數(shù)解導數(shù)

合理構造函數(shù)解導數(shù)問題

構造函數(shù)是解導數(shù)問題的基本方法，但是有時簡單的構造函數(shù)對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構造函數(shù)就是問題的關鍵。

例1：已知函數(shù)f?x??ln?ax?1??x3?x2?ax.(1)若2為y?f?x?的極值點，求實數(shù)a的值； 3(2)若y?f?x?在?1,???上增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若a??1時，方程f?1?x???1?x??3b有實根，求實數(shù)b的取值范圍。x

變量分離直接構造函數(shù) 抓住問題的實質(zhì)，化簡函數(shù)

1、已知f?x?是二次函數(shù)，不等式f?x??0的解集是?0,5?，且f?x?在區(qū)間??1,4?上的最大值12.（1）求f?x?的解析式；

（2）是否存在自然數(shù)m，使得方程f?x??37?0在區(qū)間?m,m?1?內(nèi)有且只有兩個不等的x實數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由。

變式練習：設函數(shù)f?x??x?6x?5,x?R，求已知當x??1,???時，f?x??k?x?1?恒

3成立，求實數(shù)k的取值范圍。

抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問題

例： 已知函數(shù)f?x??n?lnx的圖像在點P(m,f?m?)處的切線方程為y?x, 設g?x??mx?n?2lnx.x（1）求證：當x?1時，g?x??0恒成立；（2）試討論關于x的方程mx?n?g?x??x3?2ex2?tx根的個數(shù)。x第 1 頁

共 1 頁 一次函數(shù)，二次函數(shù)，指對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，簡單的分式根式函數(shù)，絕對值函數(shù)的圖象力求清晰準確，一些綜合性的問題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化明確化。

復合函數(shù)問題一定要堅持定義域優(yōu)先的原則，抓住函數(shù)的復合過程能夠逐層分解。例：已知函數(shù)f?x???單調(diào)遞增。

（1）求實數(shù)a的值.（2）若關于x的方程f2x?m有3個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.（3）若函數(shù)y?log2?f?x??p?的圖像與坐標軸無交點，求實數(shù)p的取值范圍。復合函數(shù)尤其是兩次復合，一定要好好掌握，構造兩種函數(shù)逐層分解研究，化繁為簡，導數(shù)仍然是主要工具。

1423x?x?ax2?2x?2在區(qū)間??1,1?上單調(diào)遞減，在區(qū)間?1,2?上43??

導數(shù)—構造函數(shù)

一：常規(guī)的構造函數(shù)

例一.若sin3??cos3??cos??sin?,0???2?，則角?的取值范圍是（）(A)[0,?4]

(B)[??5?,?]

(C)[,]

4(D)[?3?4,2)

x?y?xy變式、已知3?3?5?5成立，則下列正確的是（）

A.x?y?0

B.x?y?0

C.x?y?0

D.x?y?0

2變式.f?(x)為f(x)的導函數(shù)，若對x?R，2f(x)?xf?(x)?x恒成立，則下列命題可能錯誤的是()A．f(0)?0 B．f(1)?4f(2)C．f(?1)?4f(?2)D．4f(?2)?f(1)

二：構造一次函數(shù)

例

二、對于滿足|a|?2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范圍.第 2 頁

共 2 頁 三：變形構造函數(shù) 例三．已知函數(shù)f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：若a?5，則對任意x1,x2?(0,??)，x1?x2，有

例

四、已知函數(shù)f(x)?(a?1)lnx?ax2?1.（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設a??2，證明：對任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.四：消參構造函數(shù)

例

五、設函數(shù)f?x??x?aln?1?x?有兩個極值點x1，x2，且x1?x2．

2f(x1)?f(x2)??1．

x1?x2（I）求a的取值范圍，并討論f?x?的單調(diào)性；（II）證明：f?x2??

五：消元構造函數(shù)

例

六、已知函數(shù)f?x??lnx，g?x??ex．

（Ⅰ）若函數(shù)??x??f?x??1?2ln2． 4x?1，求函數(shù)??x?的單調(diào)區(qū)間； x?1（Ⅱ）設直線l為函數(shù)的圖象上一點A?x0,f?x0??處的切線．證明：在區(qū)間?1,???上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y?g?x?相切．

第 3 頁

共 3 頁 六：二元合一構造函數(shù)

12ax?bx(a?0)且導數(shù)f'(1)?0 2（1）試用含有a的式子表示b，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函數(shù)圖象上存在點M(x0,y0)（其中x0?(x1,x2)）使得點M處的切線l//AB，則稱AB存在“跟隨切線”。

x?x2特別地，當x0?1時，又稱AB存在“中值跟隨切線”。試問：在函數(shù)f(x)上是否存在2兩點A、B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由。例

七、已知函數(shù)f(x)?lnx?

七：構造函數(shù)解不等式

例

八、設函數(shù)f(x)＝?x3?2mx2?m2x?1?m(其中m >-2)的圖像在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行；

（Ⅰ）求m的值與該切線方程；

（Ⅱ）若對任意的x1,x2??0,1?,f?x1??f?x2??M恒成立，則求M的最小值；（Ⅲ）若a?0, b?0, c?0且a+b+c=1，試證明：

例

九、設函數(shù)f(x)?lnx?px?1

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)?lnx?px?1的極值點

（Ⅱ）當p?0時，若對任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍。

abc9???

1?a21?b21?c210ln22ln32ln42lnn22n2?n?1（Ⅲ）證明：2?2?2?????2?(n?N,n?2)

234n2(n?1)

例

十、證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?

第 4 頁

共 4 頁

1n11?3都成立.2nn1、移項法構造函數(shù)

【例1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1?

2、作差法構造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?1?ln(x?1)?x x?112x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)2g(x)?23x的圖象的下方； 3111?1)?2?3 都成立.nnn

3、換元法構造函數(shù)證明

【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（4、從條件特征入手構造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

第 5 頁

共 5 頁

第四篇：導數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問題

導數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問題

典例：（2017全國卷3,21）已知函數(shù)f?x??x?1?alnx。（1）若f?x??0，求a的值；

（2）設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n?1???1??1??1? 1??1??m，求m的最小值。???2?n?2??2??2?分析：(1)由原函數(shù)與導函數(shù)的關系可得x=a是f?x?在x??0，+??的唯一最小值點，列方程解得a?1 ；

(2)利用題意結合(1)的結論對不等式進行放縮，求得?1???1??1??1?1??1??e，結合???2?n?2??2??2?1??1??1??1?1?1??2可知實數(shù)m 的最小值為3

???2??3??2??2??2?（1）f?x?的定義域為?0，+??.①若a?0，因為f??=-②若a?0，由f'x??1??2?1+aln2?0，所以不滿足題意； 2ax?a?知，當x??0,a?時，f'?x??0；當x??a，+??時，xx??1?所以f?x?在?0,a?單調(diào)遞減，在?a，故x=a是f?x?在?0，f'?x??0，+??單調(diào)遞增，+??的唯一最小值點.由于f?1??0，所以當且僅當a=1時，f?x??0.故a=1.練習1：已知函數(shù)f(x)?ln(?x)?ax?（1）求實數(shù)a的值；

1(a為常數(shù))，在x??1時取得極值.x（2）設g(x)?f(?x)?2x，求g(x)的最小值；

（3）若數(shù)列{an}滿足an?aan?1n?1?1(n?N且n?2),a1??1，數(shù)列{an}的前n和 2??1?nSn，求證：2?an?esnan(n?N,e是自然對數(shù)的底數(shù)).整理：在證明中要對證明的式子

2n??1?an?esnan進行簡單的處理為nln2?lnan?Sn? nn，否則直接另x?很唐突.n?1n?11?lnx.x練習2：已知函數(shù)f(x)?（1）若函數(shù)在區(qū)間?t,t???1??（其中t?0）上存在極值，求實數(shù)t的取值范圍； 2?a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍，并且判斷代數(shù)式x?1（2）如果當x?1時，不等式f(x)??(n?1)!?2與(n?1)?en?2(n?N*)的大小.分析：解：（Ⅰ）因為f(x)?1?lnxlnx，x?0，則f?(x)??2，xx當0?x?1時，f?(x)?0；當x?1時，f?(x)?0.所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；在(1,??)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在x?1處取得極大值.1??因為函數(shù)f(x)在區(qū)間?t,t??(其中t?0)上存在極值，2??

?t?1,1?所以?1 解得?t?1.2t??1,??2a(x?1)(1?lnx)(x?1)(1?lnx)（Ⅱ）不等式f(x)≥，,即為≥a, 記g(x)?x?1xx[(x?1)(1?lnx)]?x?(x?1)(1?lnx)x?lnx所以g?(x)?.?x2x2令h(x)?x?lnx，則h?(x)?1?

1，∵x≥1，∴h?(x)≥0，x∴h(x)在[1,??)上單調(diào)遞增，∴[h(x)m]in?h(?1)?1，從而0g?(x)?0，故g(x)在[1,??)上也單調(diào)遞增，所以[g(x)]min?g(1)?2, 所以a≤2；由上述知f(x)≥即lnx≥2恒成立，x?1x?122?1??1?，（此處采用了放縮法，是處理問題的關鍵）x?1x?1x2令x?n(n?1)，則ln[n(n?1)]?1?，n(n?1)∴ ln(1?2)?1?222，ln(2?3)?1?，ln(3?4)?1?，…，1?22?33?42ln[n(n?1)]?1?，n(n?1)

?111?疊加得ln[1?22?32?????n2(n?1)]?n?2???????? 1?22?3n(n?1)??1??222n?2?n?2?1???n?2.則1?2?3?????n(n?1)?e，?n?1?所以[(n?1)！]2?(n?1)?en?2(n?N?)．

第五篇：第二章與第三章：函數(shù)導數(shù)與導數(shù)的應用

第二章與第三章：函數(shù)導數(shù)與應用

1、求函數(shù)在一點的導數(shù)

例如：設函數(shù)f(x)?xcosx，則f'(0)?

2、討論函數(shù)y?x在定義域范圍內(nèi)的單調(diào)性

3、記住結論：

函數(shù)在某點不可導，函數(shù)所表示的曲線在相應點的切線不一定不存在4、求函數(shù)的全微分

例如：一直函數(shù)y?xlnx，求dy。

5、求隱函數(shù)的導數(shù)

例如：由方程x?2xy?y?0確定y?y(x)，求

6、記住導數(shù)定義，利用導數(shù)定義求極限。

7、求函數(shù)在某區(qū)間上的最值

例如：求f(x)?x在[?2,6]上的最大值和最小值。

8、利用單調(diào)性證明不等式

當x?0時，證明不等式2xarctanx?ln(1?x)

22262dy。dx