第一篇：57均值不等式與不等式的實際應用

學案五十七：均值不等式與不等式的實際應用

命題：閆桂女劉麗娟審核：張建新2010.1【考綱要求】

1、了解均值不等式的證明過程

2、會用均值不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}

【課前自主預習】

一、自主梳理，構建網絡

1、重要不等式：如果a,b都是實數，那么a?b?________

2、均值不等式：如果a>0,b>0，那么22a?b?________

2a?ba2?b22ab3、已知a,b都是正數，則ab,的大小順序是，22a?b

________________

靈活變式：a2?b

2ab2；(a?b)2

a?b222 ；

a?b2ab_____()2a?b2a2?b2

()22；(a?b)2_____4ab；

ba??__(ab?0)；_______?2(a2?b2)ab4、利用兩個定理求最值問題

（1）x>0,y>0,xy=P(定值)那么當x=y時，x+y有最__值2p

s

2（2）x>0,y>0,x+y=S(定值)那么當x=y時，xy有最__值

4應用此結論要注意三個條件：一正，二定、三相等 技巧：配湊、裂項、轉化、分離常數等

二、自我檢測，查找問題

1．下列命題中正確的是（）

1x2?3 A 函數y?x?的最小值為2B 函數y?的最小值為2 2xx?

2C函數y?2?3x?

4(x?0)的最大值為2?4 x

1D 函數y?x?2x?21的最小值為-1 x2?2x?

3ab2．若實數a,b滿足a+b=2,則3?3的最小值是__________

3．若正實數a,b滿足a+b=1，則a?b的最小值是_______ 22

1(a?2),則M的取值范圍是________ a?2

11n??

5、a?b?c,n?M且，求n的最大值.a?bb?ca?c4．若M=a?

【課堂思維展示】

一、典例剖析，總結規(guī)律

題型一： 例1．（1）已知正數x,y滿足3x+4y=12,求lgx?lgy的最大值及此時x,y的值。

（2）已知正數x,y滿足x+2y=1,求11?的最小值。xy

（3）已知正數x,y滿足2x+8y-xy=0, 求x+y的最小值

變式：（1）正數x,y滿足19??1，求x+y的最小值 xy

（2）若正數a,b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍

題型二：例

2、（1）已知x?

51，求函數y?4x?2?的最大值 44x?

510?7x?x

2（2）已知x??1，求函數y?的最小值 x?

1題型三：證明不等式

例3．已知a,b,c?R，求證a?b?c?ab?bc?ca

變式：設a,b,c為正數，a+b+c=1,求證：

題型四：用不等式解決實際問題

例

4、西北西康羊皮手套公司準備投入適當的廣告費，對生產的羊皮手套進

行促銷。在1年內，據測算年銷售量S（萬雙）與廣告費x（萬元）之間的函數關系為S=3-222111???9 abc1(x?0)，已知羊皮手套的固定投入為3萬x

元，每生產1萬雙羊皮手套仍需再投入16萬元。（年銷售收入=年生產成本的150%+年廣告費的50%）（1）試將羊皮手套的年利潤L（萬元）表示成為年廣告費x（萬元）的函數。（2）當年廣告費投入為多少萬元時，此公司的年利潤最大，最大利潤為多少？（年利潤=年銷售收入-年成本-年廣告費）

二、當堂檢測，診斷反饋

1．若a>b>1,P=lgalgb,Q=1a?b(lga?lgb),R=lg,則（）2

2AR

y2

?1，則x?y2的最大值是______

2、設正數x,y滿足x?2

23．設M?(111?1)(?1)(?1)，且a+b+c=1(其中a>0,b>0,c>0),則M的取值范abc

xy圍是_____________4．點P（x,y）在經過A(3,0),B(1,1)兩點的直線上，那么2?4的最小值是

___________

5．函數y?loga(x?3)?1?a?0,a?1?的圖像恒過定點A，若點A在直線mx?ny?1?0上，其中mn?0,則12?的最小值是__________ mn

6．設正數x,y滿足log2(x?y?3)?log2x?log2y，則x+y范圍是

三、能力提高

1、關于x的方程4?a?2?a?1?0有實數解，求實數a的取值范圍。

2、汽車行駛中，由于慣性作用，剎車后還要向前滑行一段距離才能停住，我們把這段距離叫做“剎車距離”。在某公路上，“剎車距離”s米與汽車車速v米/秒之間有經驗公式：s?xx325v?v。為保證安全行駛，要求在這條408

公路上行駛著的兩車之間保持的“安全距離”為“剎車距離”再加25米，現假設行駛在這條公路上的汽車的平均車身長為5米，每輛車均以相同的速度v行駛，并且每兩輛車之間的間隔均是“安全距離”。（1）試寫出經過觀測點A的每兩輛車之間的時間間隔t與速度v的函數關系式；（2）問v為多少時，經過觀測點A的車流量（即單位時間通過的汽車數量）最大？

第二篇：均值不等式及其應用

教師寄語：一切的方法都要落實到動手實踐中

高三一輪復習數學學案

均值不等式及其應用

一．考綱要求及重難點

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題.重難點：1.主要考查應用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現，難度為中低檔題，若出現證明題難度也不會太大.二．考點梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當且僅當_________時取等號.（3）其中_________稱為正數a,b的算術平均值，_________稱為正數a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設正實數x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓練1.若x??1，求函數f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數學）設a + b = 2, b>0, 則當a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓練

2、已知a,b,c都是實數，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實際應用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸到第幾年年底,該車運輸累計收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)

變式訓練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成。

（1）現有可圍36米長鋼筋網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網總長最?。?/p>

五、當堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數列，x,c,d,y成等比數列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產品的年銷售量為100萬只,每只產品的銷售價為10元,每只產品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數,n?N),若產品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

第三篇：均值不等式應用

均值不等式應用

一．均值不等式

22a?b1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?a?b時取“=”）22

22.(1)若a,b?R*，則a?b?(2)若a,b?R*，則a?b?2ab（當且僅當a?b時取“=”）2

a?b?(當且僅當a?b時取“=”(3)若a,b?R*，則ab??）???2?2

3.若x?0，則x?

取“=”）1）;若x?0，則x?1??2(當且僅當x??1時?2(當且僅當x?1時取“=”xx

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當且僅當a?b時取“=”）

xxx

ab4.若ab?0，則??2(當且僅當a?b時取“=”）ba

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當且僅當a?b時取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當且僅當a?b時取“=”）)?22

注：（1）3.已知x,y?R,x+y=s,xy=p.6．及值定理：

①若p為定值，那么當且僅當時，s=x+y有；

②若s為定值，那么當且僅當時，p=xy有。

（備注）：求最值的條件“一正，二定，三取等”

應用一：求最值

解題技巧：技巧一：湊項

例1：已知x??5，求函數y?4x?2?1的最大值。44x?

51不是常數，所以對4x?2要進行拆、4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調整”符號，又(4x?2)?

湊項，∵x?511??,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當且僅當5?4x?1，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax?1。5?4x

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數

例1.當

時，求y?x(8?2x)的最大值。

1解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩

個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數即可。

當，即x＝2時取等號當x＝2時，y?x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。

變式：設0?x?3，求函數y?4x(3?2x)的最大值。

32x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???? 222??

3?當且僅當2x?3?2x,即x?3???0,?時等號成立。

4?2?

技巧三： 分離

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?1

解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當,即

時,y?5?9（當且僅當x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??

5ttt

當,即t=

時,y?5?9（當t=2即x＝1時取“＝”號）。評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?等式來求最值。

技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數f(x)?x?調性。

例：求函數y?

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不g(x)

a的單x

2的值域。

2?t(t?

2)，則y?

?1

?t?(t?2)

t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調性。因為y?t?在區(qū)間?1,???單調遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調遞增函數，故y?所以，所求函數的值域為?,???。

練習．求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.t1t

1t5。

2?5?2??

11x2?3x?1

y?2sinx?,x?(0,?)y?2x?,x?3,(x?0)??(3)（1）y?（2）

sinxx?3x

2．已知0?x?

1，求函數y3．0?x?

.；，求函數y

3.條件求最值

ab

1.若實數滿足a?b?2，則3?3的最小值是.解： 3和3都是正數，3?3≥23a?3b?3a?b?6

a

b

a

b

ababab

當3?3時等號成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即當a?b?1時，3?3的最小值

是6．

變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x?0,y?0，且

??1，求x?y的最小值。xy

19?19???1，?x?y?????

x?y???12xyxy??

錯解： ∵x?0,y?0，且．．

故 ?x?y?min?12。

錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x?y?x?

y，在1?9?x

y

成立條件是

?即y?9x,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題xy

時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。

?19?y9x19

正解：∵x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當且僅當

19y9x?時，上式等號成立，又??1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。

xyxy

x

y

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

?

(2)若a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y最小值

xy

y 2

技巧

七、已知x，y為正實數，且x＋ ＝1，求x1＋y的最大值.a 2＋b

2分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。

11＋y中y前面的系數為，x1＋y＝x

1＋y2·＝2 x2＋22

下面將x，1y ＋分別看成兩個因式： 22

x＋x＋ ≤

222

技巧

八、取平方

2y 21

2＋)x＋ ＋ 2222

3＝ ＝即1＋y＝2 ·x

4＋ ≤ 2245、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函數W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b

2解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，≤，本題很簡單

3x ＋2y≤2

3x）2＋（2y）2 ＝2

3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2·(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W

≤20 ＝5

變式: 求函數y?

1?x?5)的最大值。

解析：注意到2x?

1與5?2x的和為定值。

y2?

2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

又y?0，所以0?y?當且僅當2

x?1=5?2x，即x?

時取等號。故ymax? 2

評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

應用二：利用均值不等式證明不等式

1． 已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a?b?c?ab?bc?ca

2正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

?1??1??1?

3、已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求證：???1???1???1??8

?a??b??c?

?

解：?a、b、c?R，a?b?c?1。

?1?1?1?a?b?c?

1?1

1?1

aaabc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1時取等號。?1??1??1?。當且僅當a?b?c??1?1?1?8??????3?a??b??c?

應用三：均值不等式與恒成立問題

例：已知x?0,y?0且1?9?1，求使不等式x?y?m恒成立的實數m的取值范圍。

x

y

條件：m≤(x+y)的最小值，m????,16?

應用四：均值定理在比較大小中的應用： 例：若a?b?1,P?

lga?lgb,Q?

1a?b(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關系是22

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?a?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

22Q?

第四篇：均值不等式的應用

均值不等式的應用

教學目標：

1.掌握平均不等式的基礎上進而掌握極值定理

2.運用基本不等式和極值定理熟練地處理一些極值與最值問題 教學重點：應用 教學難點：應用

教學方法：講練結合 教

具：多媒體 教學過程

一、復習引入：

1.算術平均數與幾何平均數定義，平均不等式 2.算術平均數與幾何平均數之間的關系----并推廣：調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數 3.極值定理：積定和最??；和定積最大

注：①極值定理成立的條件：一正二定三相等 ②應用時應該注意的問題： 4.練習：

3①若x?0,求y?1?2x?的最大值.xx2?2x?2②?4?x?1,求的最值.2x?2y2?2?1,求x1?y2的最大值.③x?R,且x?21④ y?x(2?3x)⑤y?1?4x?

5?4x

二、新授：

1.基本應用：

掌握用重要不等式求最值的方法，重視運用過程中的三個條件：正數、相等、常數

4例1.求函數y?x?的值域.x(??,?4]或[4,??)

例2.已知x?2y?1,x、y?R?，求x2y的最大值.11x?x?4y31x?2y32)??(2?)?分析：x2y??x?x?4y?（443432721當x=4y即x?,y?時取等號.36例3.設a,b,x,y?R，且有a2+b2=3,x2+y2=6,求ax+by的最大值.分析：運用柯西不等式 2．變形運用：

對于某些復雜的函數式，需適當變形后，再運用重要不等式求最值.?23例4.求y?sinxcos2x(x?(0,))函數的最大值.29ab例5.已知a,b,x,y?R?且??1，求x?y的最小值.xy分析：此題若能靈活變形，運用重要不等式求最值，則能起到事半功倍的效果.解法一：用判別式法----轉換為一個未知數利用判別式 解法二：換元法----令x?acsc2?,y?bsec2? 解法三：轉換為一個字母利用基本不等式求解

ab解法四：利用x?y=(x?y)?(?)

xy11變形：已知a,b,x,y?R?，且x?2y?1,求u??的最小值.xy3.綜合運用：

例6.已知直角三角形的內切圓半徑為1，求此三角形面積的最小值.解：略.例7.將一塊邊長為a的正方形鐵皮，剪去四個角（四個全等的正方形），作成一個 無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？

解：設剪去的小正方形的邊長為x

a則其容積為V?x(a?2x)2,(0?x?)

2114x?(a?2x)?(a?2x)32a3V??4x?(a?2x)?(a?2x)?[]?

44327aa2a3當且僅當4x?a?2x即x?時取“=”即剪去的小邊長為時，容積為

6627

三、練習：

66?3x2的最小值，y?2?3x的最小值.xx2.已知a,b滿足ab?a?b?3,求ab的范圍.1.x?0時求y?3.已知x,y滿足xy?x?y?1，求x?y的最小值.4.已知a2?b2?10，求a+b的范圍.5.已知x?0,y?0,z?0，求(1?x2)(1?y2)(1?z2)?8xyz的解.四、小結：

五、作業(yè)：

1.若0?x?1, 求y?x4(1?x2)的最大值

2．制作一個容積為16?m3的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和高各取多少時，用料最??？（不計加工時的損耗及接縫用料）(R?2m,h?4m)

六、板書設計：

第五篇：均值不等式公式總結及應用

均值不等式應用

a2?b21.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?

2a?b**2.(1)若a,b?R，則?ab(2)若a,b?R，則a?b?2ab 222（當且僅當a（當且僅當a?b時取“=”）?b時取“=”）

a?b?(當且僅當a?b時取“=”(3)若a,b?R，則ab??）???2?*2

3.若x?0，則x?1?2(當且僅當x?1時取“=”）x

1若x?0，則x???2(當且僅當x??1時取“=”）x

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當且僅當a?b時取“=”）xxx

ab）??2(當且僅當a?b時取“=”ba4.若ab?0，則

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當且僅當a?b時取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當且僅當a?b時取“=”）)?22

『ps.(1)當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所

謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用』 應用一：求最值

例1：求下列函數的值域

（1）y＝3x 2＋

12x1（2）y＝x＋2x

解：(1)y＝3x 2＋≥22x 2113x 2· 2＝2x

1x·＝2； x6∴值域為[6，+∞）1(2)當x＞0時，y＝x＋≥2x

11當x＜0時，y＝x＋= －（－ x－）≤－2xx

∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）

1x·=－2 x

解題技巧

技巧一：湊項

例已知x?

54，求函數y?4x?

2?

1的最大值。4x?5

解：因4x?5?0，所以首先要“調整”符號，又(4x?2)?

不是常數，所以對4x?2要進行拆、湊項，4x?

5511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當且僅當5?4x

?，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax?1。

5?4x

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數 例1.當解析：由

時，求知，y?x(8?2x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但

其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數即可。

當，即x＝2時取等號當x＝2時，y?

x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設0

?x?，求函數y?4x(3?2x)的最大值。

232x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??? 222??

當且僅當2x技巧三： 分離

?3?2x,即x?

3?3?

??0,?時等號成立。4?2?

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?

1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當,即

時,y?5?9（當且僅當x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt

當,即t=時,y?5?9（當t=2即x＝1時取“＝”號）。

評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。y?mg(x)?

例：求函數y?

2的值域。

t(t

?

2)，則y

?1

?t?(t?2)

t11

?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調性。

tt15

因為y?t?在區(qū)間?1,???單調遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調遞增函數，故y?。

t2

因t

所以，所求函數的值域為

?5?,???。??2?

練習．求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.11x2?3x?1,x?(0,?),x?3(3)y?2sinx?,(x?0)（2）y?2x?（1）y?

sinxx?3x

2．已知0?條件求最值 1.若實數滿足a

x?

1，求函數y.；3．0?x?，求函數y?

3.?b?2，則3a?3b的最小值是.a

分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3解： 當3

a

?3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，3a和3b都是正數，3a?3b≥23a?3b?3a?b?6

?3b時等號成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即當a?b?1時，3a?3b的最小值是6．

11變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換

多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x?0,y錯解：?．．

?0，且??1，求x?y的最小值。

xy

1919?x?0,y?0，且??1，?x?y?????

x?y???12故 ?x?y?min?12。?xyxy??

在1?9y?x?y，錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x?

?xy19

?xy

即

y?9x,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步

驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。

正解：?x?0,y

?19?y9x19

?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當且僅當

19y9x

?1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。?時，上式等號成立，又?xyxy

變式：（1）若

x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

y?R?且a?b

x

y

?1，求x

?y的最小值

已知x，y為正實數，且x 2y 2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

同時還應化簡1＋y 2 中y2前面的系數為

12，x1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2· ＝x·

＋

y 2

下面將x，12

＋

y 2

分別看成兩個因式：

x·

＋

y 2

x 2＋（12

≤

y 2

＋)222

x 2＋＝

y 21

＋222

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

＋

y 2≤ 2

4技巧八：

已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函數y＝的最小值.ab

分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。

－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

118

－2t 2＋34t－31

＝－2（t＋

16）＋34∵t＋

16≥2

30－2b

30－2b

ttt

t·

t

＝8

∴ ab≤18∴ y≥當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。ab∴ 30－ab≥22 ≤u≤3ab

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2令u＝

ab則u2＋22 u－30≤0，－5

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥

點評：①本題考查不等式

a?b

?（a,b?R?）的應用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式

2的范圍，關鍵是尋找到

ab?a?2b?30出發(fā)求得ab（a,b?R?）

a?b與ab之間的關系，由此想到不等式

a?b

?ab（a,b?R?），這樣將已知條件轉換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍.2

變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧

九、取平方

5、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函數W＝

3x ＋

2y 的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本題很簡單

3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

∴ W≤＝

3x ·

2y ＝10＋2

3x ·

2y ≤10＋（3x)2·（2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

變式

: 求函數y?

解析：注意到2x?

1與5?

2x的和為定值。

?x?)的最大值。

y2?2?4??4?(2x?1)?(5?

2x)?8

又

y?0，所以0?y??

時取等號。故ymax? 2

當且僅當2x?1=5?2x，即x

評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。

應用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知

a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

11?ab?c，?1???aaa1）正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c?R，且a?b?c

?

分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“

2”連乘，又可由此變形入手。

解：?a、b、c?R，a?b?

c

?

?1。?

11?ab?

c?1???aaa。同理

?1?b，1?1?

c

述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當且僅當時取等號。?1?1?1??8??????3abc?a??b??c?

應用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y

?0且??1，求使不等式x?y?m恒成立的實數m的取值范圍。

xy

19x?y9x?9y10y9x??1，???1.????1 xykxkykkxky

解：令x?y?k,x?0,y?0,?1?

?2?。?k?16，m????,16? kk

1a?b

(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關系是.22

應用四：均值定理在比較大小中的應用： 例：若a

?b?1,P?a?lgb,Q?

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

Q?

（lga?lgb)?lga?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。