第一篇：立體幾何中的最值問題

立體幾何中的最值問題

上猶中學(xué)數(shù)學(xué)教研組劉道生

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)科考試大綱指出，通過考試，讓學(xué)生提高多種能力，其中空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力.要在立體幾何學(xué)習(xí)中形成。立體幾何主要研究空間中點、線、面之間的位置關(guān)系，查遍近幾年全國各省市的高考題中，與空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問題常常在高考試題中出現(xiàn)，并且成增長趨勢。下面舉例說明解決這類問題的常用方法。

策略

一、公理與定義法

例

1、在正四棱錐S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，S

底面邊長為2，點P、Q分別在線段BD、SC上移動，則P、Q兩點的最短距離為（）B

A.55 B.255 C.2D.1【解析】如圖1，由于點P、Q分別在線段BD、SC上移動，先讓點P在BD上固定，Q在SC上移動，當(dāng)OQ最小時，PQ最小。過O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，OQ?

P在BD上運動，且當(dāng)P運動到點O時，PQ最小，2。又

5等于OQ的長為2，也就是異面直線BD和SC的 5

公垂線段的長。故選B。

策略二建立函數(shù)法

例2正?ABC的邊長為a，沿BC的平行線PQ折疊，使平面A?PQ?平面BCQP，求四棱錐的棱A?B取得最小值時，四棱錐A??BCQP的體積。

分析：棱A?B的長是由A?點到PQ的距離變化而變化，因此我們可建立棱A?B與點A?到PQ的距離的一個函數(shù)關(guān)系式，從而求出棱A?B的最小值，進(jìn)而求出體積。

【解析】如圖所示，取PQ中點o，顯然AO?PQ，即A?O?PQ

?

由平面A?PQ?平面BCQP，則A?O?平面BCQP，如圖建立直角坐標(biāo)系O?xyz，設(shè)

?3?

1?，得 A?O?x，因正?ABC的邊長為a，易知A??0,0,x?,O?0,0,0?,B?a?x,?a,0?2?2?????3?11

???A?A???0,0,?x???a?x,?a,0???a?x,?a,?x?? 2222????

3??1?2??5

2????a????x?2?2x2?ax?a2?2?x???a?xa??a?2??2???4?8???

即當(dāng)x?

3a時，A?Bmin?a 4

423?11?3133a??2??SBCPQ?A?O???a?a???a? ???33?44?2??464

?VA??BCPQ

評注：對于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后不變的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系；同時還

要仔細(xì)觀察翻折前后圖形的性質(zhì)。很多情況下，我們都是把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值。策略三；解不等式法

例3求半徑為R的球內(nèi)接正三棱錐體積的最大值。

分析:要使球內(nèi)接正三棱錐的體積最大,則需正三棱錐的邊或高最大,而高過球心,則可尋球高與半徑之間的關(guān)系。

【解析】如右圖所示，設(shè)正三棱錐高O1A=h,底面邊長為a由正三棱錐性質(zhì)可知O1B

又知OA=OB=R則在Rt?ABC中，2a)?R2?(h?R)2? a2?3h(2R?h)

3?hh???2R?h1hh??R3 2V=2h(2R?h)?

(2R?

h)??2233????

(當(dāng)且僅當(dāng)

h4

?2R?h，即h?R時，取等號)?正三棱錐體積最大值為

策略四；變量分析法

例4 如圖已知在?ABC中，?C?90，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，當(dāng)AP=AB=2，?AEF??，當(dāng)?變化時，求三棱錐P-AEF體積的最大值。

分析：?的變化是由ＡＣ與ＢＣ的變化引起的，要求三棱錐P-AEF的體積，則需找到三棱錐P-AEF的底面積和高，高為定值時，底面積最大，則體積最大。

【解析】∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC∴ PA⊥BC

又∵BC⊥AC，PA

?AC?

∴ BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，∴ BC⊥AF，又∵ AF⊥PC，PC?BC?C∴AF?平面PBC平面PBC，∴AF⊥EF ∴ EF是AE在平面PBC上的射影，∵AE⊥PB，∴EF⊥PB∴ PE⊥平面AEF

在三棱錐P-AEF中，∵AP=AB=2，AE⊥PB，∴PE?2，AE?2，AF?2sin?，1112

sin2? EF?2cos?，VP?AEF?S?AEF?PE???2sin??2cos??2?

3326

∵0???

?，∴0?2???，0?sin2??1∴ 當(dāng)??

?

時，VP?AEF取得最大值為

。6

策略五：展開體圖法

例5.如圖3-1，四面體A-BCD的各面都是銳角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分別截棱AB、BC、CD、DA于點P、Q、R、S，A

C

則四邊形PQRS的周長的最小值是（）

A.2a

B.2b

C.2c

D.a+b+c

D

圖

5【解析】如圖3-2，將四面體的側(cè)面展開成平面圖形。由于四面體各

側(cè)面均為銳角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A與A’、D與D’在四面體中是同一點，且AD//BC//A'D'，AB//CD'，A、C、A’共線，D、B、D’共線，AA'?DD'?2BD。又四邊形PQRS在展開圖中變?yōu)檎劬€S’PQRS，S’與S在四面體中是同

一點。因而當(dāng)P、Q、R在S’S上時，′

′

S'P?PQ?QR?RS最小，也就是四邊形

SPQRS周長最小。又S'A?SA'，所以最小值L?SS'?DD'?2BD?2b。故選B。策略六 布列方程法

例

6、棱長為2cm的正方形體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒，然后再放入一個鐵球，使它淹沒水中，要 使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應(yīng) 該為多大？

【解析】：過正方形對角線的截面圖如圖所示，AC1?2，AO?

3AS?AO?OS??1設(shè)小球的半徑r，tan?C1AC?

2在?AO1D中，AO1?r，∴AS?AO1?O1S∴?1?3r?r，解得r?2?3（cm）為所求。

策略

七、極限思想法

【解析】三棱錐P-ABC中，若棱PA=x,其余棱長均為1，探討x是否有最值；2若正三棱錐底面棱長棱長均為1，探討其側(cè)棱否有最值。

解析：如圖第1題：當(dāng)P-ABC為三棱錐時，x的最小極限是 P、A重合，取值為0，若?PBC繞BC順時針旋轉(zhuǎn)，PA變大，最大極限是P,A,B,C共面時，PA為菱形ABPC

第2題：若P在底面的射影為O,易知PO越小，側(cè)棱越小。故P、O重合時，側(cè)棱取最小極

PO無窮大時，側(cè)棱也無窮大?？芍獌深}所問均無最值。策略

八、向量運算法

例8.在棱長為1的正方體ABCD-EFGH中，P是AF上的動點，則GP+PB的最小值為_______。

【解析】以A為坐標(biāo)原點，分別以AB、AD、AE所在直線為x，y，z軸，建立如圖4所示

?，0，x)，的空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），G（1，1，1）。根據(jù)題意設(shè)P（x，0，x），則BP?(x?1?

GP?(x?1，?1，x?1)，那么

GP?PB?2x2?4x?3?2x2?2x?

12??2

2??211??????????x????0??

?2?(x?1)2??0??2?2??2????????

?2?1??1??2

???x????0??可以看成x軸正半軸上一點式子(x?1)??0?（x，??2?2??2???

0，0）到xAy平面上兩點?1?

??2??11?2，0?、?，的距離之和，其最小值為。所以0???2??22?

2GP+PB的最小值為2??

?2?2。2

[規(guī)律小結(jié)]

建立函數(shù)法是一種常用的最值方法，很多情況下，我們都是把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值。解題途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點法；二次數(shù)的配方法、公試法； 有界函數(shù)界值法（如三角函數(shù)等）及高階函數(shù)的拐點導(dǎo)數(shù)法等。

公理與定義法通常以公理與定義作依據(jù)，直接推理問題的最大值與最小值，一般的公理與定理有：兩點之間以線段為最短，分居在兩異面直線上的兩點的連線段中，以它們的公垂線段為短。球面上任意兩點間的連線中以過這兩點與球心的平面所得圓的劣弧長為最短等。如果直接建立函數(shù)關(guān)系求之比較困難，而運用兩異面直線公垂線段最短則是解決問題的捷徑。

解不等式法是解最值問題的常用方法、在立體幾何中同樣可利用不等式的性質(zhì)和一些變

a2?b

2?ab量的特殊不等關(guān)系求解：如

ab?

a?b

最小角定理所建立的不等關(guān)系2

等等。

展開體圖法是求立體幾何最值的一種特殊方法，也是一種常用的方法，它可將幾何題表面展開，也可將幾何體內(nèi)部的某些滿足條件的部分面展開成平面，這樣能使求解問題，變得十分直觀，由難化易。

變量分析法是我們要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在幾何體中的點、線、面，哪些在動，哪些不動，要分析透徹，明白它們之間的相互關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成求某些線段或角等一些量的求解最值總題的方法。

除了上述5種常用方法外，還有一些使用并不普遍的特殊方法，可以讓我們達(dá)到求解最值問題的目的，這就是：布列方程法、極限思想法、向量計算法等等其各法的特點與普遍性，大家可以通過前述實例感受其精彩內(nèi)涵與真理所在。

在解題時，通常應(yīng)注意分析題目中所有的條件，首先應(yīng)該在充分理解題意的基礎(chǔ)上，分析是否能用公理與定義直接解決題中問題；如果不能，再看是否可將問題條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，若能寫出確定的表意函數(shù)，則可用建立函數(shù)法求解；再不能，則要考慮其中是否存在不等關(guān)系，看是否能運用解等不式法求解；還不行則應(yīng)考慮是否可將其體圖展開成平面，這樣依次從本文所標(biāo)定的方法順序思考，必能找到解題的途徑。

第二篇：立體幾何問題1

16.（遼寧理12）。已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=，?ASC??BSC?30?，則棱錐S—ABC的體積為

（A）3

【答案】C

（B）23（C）（D）1

第三篇：立體幾何證明問題

證明問題

例1.如圖，E、F分別是長方體邊形

.-的棱A、C的中點，求證：四邊形是平行四

例2.如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過點A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD與E、F、G.求證：AE⊥SB.例3.如圖，長方體∠求證：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分別為棱、、BC上的點，PQ//AB，連結(jié)，例4.已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內(nèi)，P、Q分別是對角線AE、BD上的點，且AP=DQ，如圖所示.求證：PQ//平面

CBE.例5.如圖直角三角形ABC平面外一點S，且SA=SB=SC，且點D為斜邊AC的中點.（1）求證：SD⊥平面ABC.（2）若AB=AC，求證BD⊥平面

SAC.例6.如圖，在正方體

-中，M、N、E、F分別是棱、、、的中點.求證：平面AMN//平面

EFDB.例7.如圖（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E為AB的中點，將ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求證：平面ADE⊥平面

BCDE.

第四篇：基于電子白板下的立體幾何最值問題教學(xué)探究

基于電子白板下的立體幾何最值問題教學(xué)探究

摘要：立體幾何最值問題的求解是歷年來高考的重要考點，并不只是單純地考查學(xué)生對知識的掌握，更考查學(xué)生的空間想象能力、圖形轉(zhuǎn)化能力。如何突破這一重難點呢？交互式電子白板的運用能夠?qū)⒘Ⅲw幾何教學(xué)帶入三維空間，更利于學(xué)生空間想象力與數(shù)學(xué)思維力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：電子白板；立體幾何；最值問題；三維空間

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）25-0184-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.25.120

立體幾何中最值問題處于立體三維空間中，并不是可以直接運用公式與定理所能直接解決的，而是需要學(xué)生具備一定的空間想象能力以及運用運動變化觀點的能力，掌握轉(zhuǎn)化這一基本的數(shù)學(xué)思想，剝絲抽繭，層層深入地展開分析方能解決。這樣的題型更能體現(xiàn)新課改下倡導(dǎo)的學(xué)生思維能力、想象能力的培養(yǎng)，是教學(xué)的重點與難點，更是各種考試的重要考點。這需要教師在思想上正確認(rèn)識，在行動上加強(qiáng)探討，以引導(dǎo)學(xué)生深入本質(zhì)地掌握。使學(xué)生真正學(xué)會，會學(xué)，有效突破這一重難點。運用交互式電子白板可以改變以往單純孤立、機(jī)械的知識點講解，能夠深入事物的本質(zhì)，將教學(xué)帶入三維空間之中，這樣的教學(xué)更能彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的不足，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，掌握基本的數(shù)學(xué)思想?，F(xiàn)結(jié)合具體的教學(xué)實踐對如何運用電子白板來展開立體幾何中最值問題的教學(xué)展開論述。

一、立體呈現(xiàn)，增強(qiáng)學(xué)生空間想象能力

交互式電子白板不再是機(jī)械的語言講解與靜止的圖形分析，而是將教學(xué)帶入三維空間之中，這樣可以有效彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的立體感、空間不強(qiáng)的弊端，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，這正是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵，也是最值問題求解的關(guān)鍵。運用電子白板不再是靜止的模型或是單純的講解，而是將教學(xué)帶入立體空間，以增強(qiáng)學(xué)生空間立體感，提高學(xué)生圖形轉(zhuǎn)化能力。

例1.已知四邊形ABCD、ABEF都是邊長為1的正方形，且這兩個平面相互垂直，點M是平面ABCD對角線AC上的動點，點N是平面ABEF對角線BF上的動點，如果CM=BN=a（0∠a∠），請解決下列幾個問題：（1）求MN的長度；（2）當(dāng)a為何值時，MN的長度最?。?；3）當(dāng)MN的長度最小時，面MNA與面MNB所成的二面角的大小。

這道題目涉及多個知識點，這三個小問題也是漸進(jìn)的關(guān)系，第二個問題求最小值是解決此題的關(guān)鍵，第一個問題是解決第二個問題的前提，第三個問題則是在第二個問題基礎(chǔ)上的延伸。乍一看題目，許多學(xué)生望題生畏，不知從何下手。為了便于學(xué)生的理解，進(jìn)而讓學(xué)生由這一道題解決這一類題，我們就要靈活運用電子白板的特殊功能，在白板上繪制立體圖形，并通過旋轉(zhuǎn)、放大等，將學(xué)生帶入三維空間，然后在教師的步步啟發(fā)下引導(dǎo)學(xué)生畫出輔助線，從而將圖形立體而動態(tài)地存在于學(xué)生的頭腦之中，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力，進(jìn)而使學(xué)生運用相關(guān)的知識來展開解題。這樣整個思維過程都是在電子白板所創(chuàng)設(shè)的立體、動態(tài)而直觀的三維空間中展開，更能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與圖形轉(zhuǎn)化水平，為學(xué)生更好地掌握最值問題，更好地學(xué)習(xí)立體幾何打下堅實的基礎(chǔ)。

二、師生互動，構(gòu)建有生命活力的課堂

新課改的核心理念就是實現(xiàn)以學(xué)生為中心，構(gòu)建生本課堂，引導(dǎo)學(xué)生展開主動探究，在探究中促進(jìn)學(xué)生知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀的全面發(fā)展。這正是對以教師為中心的傳統(tǒng)灌輸式教學(xué)的根本性挑戰(zhàn)。電子白板具有很強(qiáng)的交互性，我們正可以利用此特點來與學(xué)生展開積極的互動，帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)科學(xué)探究的殿堂。

例2.圓柱底面半徑為10cm，高度30cm，求解下列問題：（1）從底面圓周上一點繞側(cè)面一周又回到原點的最短長度；（2）從底面圓周上一點繞側(cè)面到達(dá)與底面相對的另一底面的點的最短距離；（3）從底面圓周上一點線側(cè)面一周到達(dá)上底面，再繞一周又回到原點的最短距離。

解決此類最值問題的要點就在于將立體幾何問題轉(zhuǎn)換成平面幾何問題，即平面內(nèi)兩點之間線段最短。以往以教師的講解為中心，由教師直接告訴學(xué)生解題要點，學(xué)生只能是被動地學(xué)習(xí)，機(jī)械地記憶，往往是聽懂了一道題，但題目稍有變化就不知從何下手。根本原因就在于學(xué)生主體地位與獨立思考的缺失，這些知識只是強(qiáng)行外加的，并未經(jīng)過自身獨立思考深入事物本質(zhì)的真正理解。為了讓學(xué)生更加深刻地理解與掌握，教師就要善于運用電子白板強(qiáng)大的交互功能創(chuàng)設(shè)互動平臺，與學(xué)生一起展開積極的探究活動。首先我讓學(xué)生走上講臺，利用電子白板的動態(tài)功能將以上三種情況中繩子繞行的軌跡用不同顏色的線標(biāo)注出來，進(jìn)而幫助學(xué)生理清題意。教師可以通過旋轉(zhuǎn)、放大等讓學(xué)生在立體圖形中直觀認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生展開充分的交流與討論，進(jìn)而使學(xué)生認(rèn)識到要將立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何。此時教師將圓柱的側(cè)面展開。讓學(xué)生認(rèn)真觀察在立體幾何圖形中那幾個軌跡在平面圖形中分別對應(yīng)著什么。這樣，通過電子白板直觀而動態(tài)的演示，引導(dǎo)認(rèn)真觀察與獨立思考，從而令學(xué)生自主地認(rèn)識到題目（1）中的最小值即為底面周長，題目（2）中的最小值即圓柱的側(cè)面展開圖中的對角線；題目（3）中的最小值即為側(cè)面展開圖的對角線的兩倍。由此，學(xué)生所獲得的就不再是現(xiàn)成的結(jié)論，機(jī)械的記憶定理，而是在自身獨立思考與積極探究基礎(chǔ)上透過表象直達(dá)本質(zhì)的規(guī)律性認(rèn)知，理解更深刻，運用起來自然也會更靈活。即使題目再變化，學(xué)生依舊可以透過現(xiàn)象運用規(guī)律性認(rèn)知來解決問題，真正達(dá)到了觸類旁通的效果。

總之，電子白板有著豐富的信息資源庫，為教師教學(xué)提供方便。教師在講解這一知識點時，可以靈活地從資源庫中來調(diào)取相關(guān)的題目，如截取歷年的高考題以及練習(xí)冊上的題目。同時，教師也可以將自己講解問題的過程保存下來，上傳到資料庫，實現(xiàn)資源的共建共享。這樣更能促進(jìn)教師利用電子白板來展開富有活力與針對性的教學(xué)。將交互式電子白板運用于立體幾何最值問題的教學(xué)中改變了以往單維的教學(xué)模式，將學(xué)生帶入三維空間中，這樣更能增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力與圖形變換能力，更有效地突出重難點，從而使學(xué)生更加深刻而靈活地掌握這一類問題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張運中.探究拓展習(xí)題構(gòu)建高效課堂――小議立體幾何中的最值問題[J].中學(xué)教學(xué)參考，2013（14）：24-24.[2] 王懷學(xué).十種策略求解立體幾何的最值問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012年（3）：40-44.[3] 鄭丹，魏兆祥.立體幾何的最值問題的求解策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014（3）.[4] 王曉燕.基于電子白板的高中立體幾何圖形教學(xué)研究[J].山東師范大學(xué)，2014.

第五篇：立體幾何線面平行問題

線線問題及線面平行問題

一、知識點 1 1）相交——有且只有一個公共點；（2）平行——在同一平面內(nèi)，沒有公共點；（3）異面——不在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//c?a//c．

3.等角定理：4.等角定理的推論:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法

6．異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，b

a

1AA

推理模式：A??,B??,l??,B?l?AB與l

7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過空間任一點O作直線a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小與點O的選擇無關(guān)，把a(bǔ)?,b?所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）．為了簡便，點O(0,?

28．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線a,b 垂直，記作a?b．

9．求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；

（210．兩條異面直線的公垂線、距離：和兩條異面直線都垂直相交．．．．

異面直線的的定義要注意“相交

11．異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離．

12．直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共a點）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直

?線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進(jìn)行兩次分

類．它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為a??，a???A，a//?． a?13．線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．推理模式：l??,m??,l//m?l//?．

14.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這

相交，那么這條直線和交線平行．推理模式：l//?,l??,????m?l//m．

?lm個平面?

二、基本題型

1．判斷題（對的打“√”，錯的打“×”）

（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（）

（2）兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（）（3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對異面的對角線所成的角為60o（）（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直（）

2．右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中

C

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60o角； ④DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.4．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P，A?a，D?a，B?b，E?c求證：BD和AE證明：假設(shè)__ 共面于?，則點A、E、B、D都在平面__?A?a，D?a，∴__?γ.?P?a，∴P?__.?P?b，B?b，P?c，E?c∴__??，__??，這與____矛 ∴BD、E,F,G,H分別是空間四邊形四條邊AB,BC,CD,DA的中點，（1）求證四邊形EFGH是

2）若AC⊥BD時，求證：EFGH為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

?HF

；（4）

若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四邊形EFGH的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.6 間四邊形ABCD中，AD?BC?2，E,F分別是AB,CD的中點，EF?AD,BC7.在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.8．在長方體ABCD?A?B?C?D中，已知AB=a，BC=b，AA?=c(a＞b)，求異面直線D?B與AC

9．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別

是AB、PC1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA? 求異面

直線PA與MN10．如圖,正方形ABCD與ABEF不在同一平面內(nèi),M、N分別在AC、BF上，且AM?FN求證：MN//平面CBE

參考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.證明：(1)∵ABCD是空間四邊形,∴A點不在平面BCD上,而C?平面BCD, ∴AC過平面BCD外一點A與平面BCD內(nèi)一點C, 又∵BD?平面BCD,且C?BD.∴AC與BD是異面直線.(2)解如圖,∵E,F分別為AB,BC的中點,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.又∵F,G分別為BC,CD的中點,∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中點E,AC中點F,連EF,則EF即為所求.4.答案：假設(shè)BD、AE共面于?，則點A、E、B、D都在平面 ? ∵A?a，D?a，∴ a ??.∵P?a，P? ?.∵P?b，B?b，P?c，E?c.∴ b ??，c ??，這與a、b、c∴BD、AE5.證明（1）：連結(jié)AC,BD，∵E,F是?ABC的邊AB,BC上的中點，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四邊形EFGH證明（2）：由（1）四邊形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EF?EH，∴EFGH為矩形.解（3）：由（1）四邊形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF?

2AC?3,EH?

BD?

1∴由平行四邊形的對角線的性質(zhì) EG?HF?2(EF

?EH)?20.B

D解（4）：由（1）四邊形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF?

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，AC?3,EH?

BD?

2∴四邊形EFGH的面積 S?EF?EHsin30

?3.解（5）：分別取AC與BD的中點M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MN?AC,MN?BD，∴MN是AC與BD的公垂線段 且MN?

MB

?NB

?2∴AC與BD間的距離為2.6.解：取BD中點G，連結(jié)EG,FG,EF，∵E,F分別是AB,CD的中點，∴EG//AD,FG//BC,且EG?

2AD?1,FG?

BC?1，∴異面直線AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角，EG?FG?EF

2EG?FG

在?EGF中，cos?EGF???

?，G

F

D

∴?EGF?120，異面直線AD,BC所成的角為60．

7.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中點,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD1成角90.8.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中點,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD成角90o.9.略證（1）取PD的中點H，連接AH，?NH//DC,NH?

12DC

o

o

?

C

?NH//AM,NH?AM?AMNH為平行四邊形 ?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD

解(2): 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以?ONM就是異面直線PA與MN所成的角，由

MN?BC?

4，PA?OM=2，ON=

所以?ONM?300，即異面直線PA與MN成30010.略證：作MT//AB,NH//AB分別交BC、BE于T、H點

AM?FN??CMT≌BNH?MT?NH

從而有MNHT為平行四邊形?MN//TH?MN//CBE

E