第一篇：用空間向量處理立體幾何的問題

【專題】用空間向量處理立體幾何的問題

一、用向量處理角的問題

例1在直三棱柱ABO?A1B1O1中，OO1?4，OA?4，OB?3，?AOB?90?，P是側(cè)棱

BB1上的一點(diǎn)，D為A1B1的中點(diǎn)，若OP?BD，求OP與底面AOB所成角的正切值。

B

1A1 P

B

A

?平面OAB，?OOB例2如圖，三棱柱OAB?O1A1B1，平面OBBO?60?，?AOB?90?，111

且OB?OO1?

2，OA? 求：（1）二面角O1?AB?O的余弦值；（2）異面直線A與AO1所成角的余弦值。1B

B1

A

例3如圖，已知ABCD是連長為4的正方形，E、F分別是AD、AB的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離。

D

E

AB

AB?4，AD?3，AA1?2，M、N分別為DC、BB1例4在長方體ABCD?A1BC11D1，的中點(diǎn)，求異面直線MN與A1B的距離。

三、用向量處理平行問題 例5如圖，已知四邊形ABCD，ABEF為兩個正方形，MN分別在其對角線BF、AC上，且FM=AN。

求證：MN//平面EBC。

E

F

M

B A

D

C

例6 在正方體ABCD?A1BC11D1中，求證：平面A1BD//平面CB1D1。

EFBD的中點(diǎn)，例7在正方體ABCD?A求證： A1F?平面BDE。1BC11D1中，、分別是CC1、例8如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC為直角的等腰三角形，AC?2，E為B1C的中點(diǎn)。BB1?2，D為AC11的中點(diǎn)，（1）求直線BE與DC所成的角；

（2）在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF?平面B1DF，若存在，求出AF的長；若不存在，請說明理由；

（3）若F為AA1的中點(diǎn)，求C到平面B1DF的距離。

C

1A1

A

C

五、高考題回顧

1.(2003年全國高考題)如圖在直三棱柱ABC?A1B1C1,底面是等腰直角三角形,?ACB?900,側(cè)棱AA1?2,D,E分別是CC1與A1B的中點(diǎn),點(diǎn)E在平面ABD上的射影是?ABD的重心G.(?)求A1B與平面ABD所成角的余弦值;(??)求點(diǎn)A1到平面AED的距離.A2.(2004年高考題)如圖,直三棱柱ABC?A1B1C1中,?ACB?900,AA1?1,側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交點(diǎn)為D,B1C1的中點(diǎn)為M.(?)求證CD?平面BDM;

(??)求面B1BD與面CBD所成二面角的余弦值.B

六、方法小結(jié)

1、求點(diǎn)到平面的距離

?

如圖，已知點(diǎn)P（x0，y0，z0），A（x1，y1，z1），平面?一個法向量n。

B

A

1C1

?????????????????????n?AP???由n?AP?|n|?|AP|cos?，其中???n,AP?，可知|AP|cos??

|n|

????

而|AP|cos?的絕對值就是點(diǎn)P到平面?的距離。

2、求異面直線的距離、夾角

?????????a?b|EF?n|?d?；cos?a,b??

|n||a|?|b|

3、求二面角

??????????

如圖:二面角??l??,平面?的法向量為n1,平面?的法向量為n2,若?n1,n2???,則二面角??l??為?或???.4、用空間向量證明“平行”，包括線面平行和面面平行。

n?m?0

n??m

第二篇：《立體幾何VS空間向量》教學(xué)反思

我這節(jié)公開課的題目是《立體幾何VS空間向量》選題背景是必修2學(xué)過立體幾何而選修21又學(xué)到空間向量在立體幾何中的應(yīng)用。學(xué)生有先入為主的觀念，總想用舊方法卻解體忽視新方法的應(yīng)用，沒有掌握兩種方法的特征及適用體型導(dǎo)致做題不順利。針對此種情況，我特意選了這節(jié)內(nèi)容來講。整節(jié)課，我是這樣設(shè)計(jì)的。本著以學(xué)生為主，教師為輔的這一原則，把學(xué)生分成兩組。利用學(xué)生的求知欲和好勝心強(qiáng)的這一特點(diǎn)，采取競賽方式通過具體例題來歸納。分析概括兩種方法的異同及適用體型。最終讓學(xué)生在知識上有所掌握。在能力和意識上有所收獲。那么這節(jié)課我最滿意的有以下幾個地方(1)學(xué)生的參與這節(jié)課的主講不是我，是學(xué)生我要做的是設(shè)置問題和激發(fā)興趣。至于整個分析過程和解決過程都是由學(xué)生來完成的。這節(jié)課二班學(xué)生積極參與，注意力集中。課堂氣氛活躍學(xué)生興趣濃厚，求知欲強(qiáng)，參與面大，在課堂中能夠進(jìn)行有效的合作與平等的交流。(2)學(xué)生的創(chuàng)新這一點(diǎn)是我這節(jié)課的意外收獲。在求一點(diǎn)坐標(biāo)時，我用的是投影而該班周英杰同學(xué)卻利用的是共線，方法簡潔，給人以耳目一新的感覺。另外該班的徐漢宇同學(xué)在兩道中都提出了不同的做法。有其獨(dú)特的見解?？梢妼W(xué)生真的是思考了，我也從中獲益不少。真的是給學(xué)生以展示的舞臺。他回報(bào)你以驚喜。(3)學(xué)生的置疑林森同學(xué)能直截了當(dāng)?shù)闹赋龊诎迳系腻e誤而且是一個我沒發(fā)現(xiàn)的錯誤這一點(diǎn)是我沒想到的.這說明了學(xué)生的注意力高度集中.善于觀察也說明了我們的課堂比較民主,學(xué)生敢于置疑.這種大膽質(zhì)疑的精神值得表揚(yáng).我不滿意的地方有以下幾點(diǎn)(1)題量的安排 5道題雖然代表不同的類型.但從效果上看顯得很匆忙.每道題思考和總結(jié)的時間不是很長,我覺得要是改成4道題.時間就會充裕效果就會更好些.(2)課件的制作 立體幾何著重強(qiáng)調(diào)的是空間想象力,如果能從多個角度觀察圖形學(xué)生會有不同發(fā)現(xiàn).比如徐漢宇同學(xué)的不同做法.需要對圖形旋轉(zhuǎn).如果讓他上黑板做圖時間又不夠.我想不妨讓他畫好圖后用投影儀投到大屏幕上,效果會更好.(3)總結(jié)時間短 這節(jié)課的主題是兩種方法的比較和不同方法的適用題型,后來的小結(jié)時間不夠.這和我設(shè)置的容量大.有直接關(guān)系.沒有突出主題.我想不如直接刪掉一道題.空出時間讓學(xué)生自己談?wù)勑牡皿w會.自己找找解題規(guī)律應(yīng)該會更好.以上就是我對這節(jié)課的反思.其實(shí)我最想說的是我的心路歷程.每次上公開課都能發(fā)現(xiàn)新問題.正是這些問題使我變得成熟,完善,我很珍惜每一次上公開課的機(jī)會.它使我理智的看待自己的教學(xué)活動中熟悉的習(xí)慣性的行為.使自己的教育教學(xué)理念和教學(xué)能力與時俱進(jìn).

第三篇：空間向量方法解立體幾何教案

空間向量方法解立體幾何

【空間向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且M分

數(shù)x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實(shí)

分析;結(jié)合圖形，從向量

用、、出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都表示出來，即可求出x、y、z的值。

如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則

點(diǎn)評：選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項(xiàng)基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量。再對照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現(xiàn)形式。空間向量基本定理恰好說明，用空間三個不共面的向量組可以表示出空間任意一個向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的。

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F。

（1）證明：PA//平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

點(diǎn)評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線；

③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：

①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；

②證明這兩個平面的法向量是共線向量．

（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；

②證明直線與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直．（6）證明面面垂直的方法：

①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直． 【用空間向量求空間角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分別是

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中點(diǎn)，求：

點(diǎn)評：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

求得，即。

（2）直線與平面所成的角主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角。

【用空間向量求距離】

例4.長方體ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線

本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點(diǎn)?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)，利用n與平面內(nèi)的兩個向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。

（2）線面角的求法：設(shè)n是平面

向量，則直線與平面的一個法向量，AB是平面的斜線l的一個方向

所成角為?則sin??

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角面直線，則二面角的大小為。的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異

②設(shè)分別是二面角的兩個平面的法向量，則

就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。

（4）異面直線間距離的求法：向量，又C、D分別是

是兩條異面直線，n是。的公垂線段AB的方向

上的任意兩點(diǎn)，則

（5）點(diǎn)面距離的求法：設(shè)n是平面平面的距離為。的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。

練習(xí)：

?????1????2????

1.若等邊?ABC的邊長

為，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM?CB?CA，則

????????MA?MB?_________

2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，2），B(1，-3，1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________。3.（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II)證明平面AMD?平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本題滿分15分）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC?16，PA?PC?10．

（I）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG//平面BOE；

（II）證明：在?ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM?平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離．

5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當(dāng)PD?且E為PB的中點(diǎn)時，求AE與

平面PDB所成的角的大小.

第四篇：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)DC=a。

（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG。依題意得。

∵底面ABCD是正方形?！郍是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，∴則而，∴PA//平面EDB。

（2）依題意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為又，故，所以PB⊥平面EFD。，則

從而所以

由條件EF⊥PB知，即，解得

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小為60°。

點(diǎn)評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；②證明這兩個平面的法向量是共線向量．（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；②證明直線與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直．

（6）證明面面垂直的方法：①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直．【用空間向量求空間角】例.正方形ABCD—

中，E、F分別是，的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨設(shè)正方體棱長為2，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F(xiàn)（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值為。

（2）∵

∴

∴，過C作CM⊥AE于M，則二面角C—AE—F的大小等于，∵M(jìn)在AE上，∴設(shè)則，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小為點(diǎn)評：（1）兩條異面直線所成的角（2）直線與平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角。【用空間向量求距離】例.長方體ABCD—求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。解析：（1）方法一：

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系B—xyz，則A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點(diǎn)，故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

方法二：，∴

故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距離為（3）設(shè)

是平面的某一法向量，則，∵因此可取，由于

∴，那么點(diǎn)M到平面的距離為，故M到平面的距離為。

點(diǎn)評：本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點(diǎn)?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法，供大家參考。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)聯(lián)立后取其一組解。，利用n與平面內(nèi)的兩個向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，（2）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線l的方向向量，則直線l與平面所成角的正弦值為。

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

②設(shè)或其補(bǔ)角。

分別是二面角的兩個平面的法向量，則就是二面角的平面角

（4）異面直線間距離的求法：

是兩條異面直線，n是的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是

上的任意

兩點(diǎn)，則。

（5）點(diǎn)面距離的求法：設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到平面的距離為。

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。

第五篇：2015年高考空間向量和立體幾何空間幾何體知識匯總

1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

2.空間向量的運(yùn)算：OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

??????????運(yùn)算律：⑴加法交換律：a?b?b?a⑵加法結(jié)合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶數(shù)乘分配律：?(a?b)??a??b

3.共線向量

（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量

????或平行向量，a平行于b，記作a//b。

????????（2）共線向量定理：空間任意兩個向量a、b（b≠0），a//b存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb。

4.共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。

（2）①共面向量定理：如果兩個向量,不共線，則向量與向量,共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、y使.P?xa?yb

②空間任一點(diǎn)、B、C，則OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)是．．．O．和不共線三點(diǎn)．．．．．．A．．．．．

PABC四點(diǎn)共面的充要條件.注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.5.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使p?xa?yb?zc。

若三向量a,b,c不共面，我們把{a,b,c}叫做空間的一個基底，a,b,c叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。

推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC。

6.空間向量的直角坐標(biāo)系：

（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，對空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使???，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)。

（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫單位正交基底，用{,i,jk}表示。

（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：

①若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，則a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)，a?b?a1b1?a2b2?a3b3，a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0。

a1a2a

3??，b1b2b3

②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)。③定比分點(diǎn)公式：若

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，AP??PB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為

（x1??x2y1??y2z1??z

2，)1??1??1??。

推導(dǎo)：設(shè)P（x,y,z）則

(x?x1,y?y1,z?z1)??(x2?x,y2?y,z2?z),顯然，當(dāng)P為AB

P（中點(diǎn)時，④

x1?x2y1?y2z1?z2，)222。

?ABC中，A（x,y1,z1）,B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，三角形重心P坐標(biāo)為

P（x1?x2?x3y1?y2?y3z1?z2?z3，）

333

⑤ΔABC的五心：

??內(nèi)心P

：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。外心P

（單位向量）

??垂心P：高的交點(diǎn)：?????（移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）

1AP?(?)

3重心P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）

中心：正三角形的所有心的合一。（4）模長公式：若a?

(a1,a2,a3)，則|a|?（5）夾角公式：cosa?b?

?，a?b

?

|a|?|b|（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則|AB|?或dA,B?

?，(7)法向量：若向量a所在直線垂直于平面?，則稱這個向量垂直于平面?，記作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.(8)向量的常用方法：

①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面?的法向量，AB是平面?的一

條射線，其中A??，則點(diǎn)B到平面?②.異面直線間的距離 d?

(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分

別是l1,l2上任一點(diǎn)，d為l1,l2間的距離).③.直線AB與平面所成角??arcsin

AB?m

(m為平面?的法向量).|AB||m|

④.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)1,n2分別是二面角??l??中平面?,?的法向量，則n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小（n1,n2方向相同，則為補(bǔ)角，n1,n2反方，則為其夾角）.二面角??l??的平面角??arccos

m?n

或

|m||n|

??arccos

m?n

（m，n為平面?，?的法向量）.|m||n|

⑤.證直線和平面平行定理：已知直線a?平面?，A,B?a,C,D??，且C、D、E三點(diǎn)不共線，則a∥?的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對?,?使AB?

?CD??CE..7.空間向量的數(shù)量積:若OA?a,OB?b，則?AOB叫做向量a與b的夾角，記作

?a,b?；且規(guī)定0??a,b???，|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的數(shù)量積，記作a?b.1．平面的基本性質(zhì)

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)．(2)公理

2(3)公理3：如果兩個平面(不重合的兩個平面)所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個公共點(diǎn)的直線．

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面． 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．

三個作用：(1)公理1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)．

(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點(diǎn)共線．

?平行

?共面直線??

?相交2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類 ??

?異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)

(2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)．

??π??[0?,180?])0，.（直線與直線所成角??[0,90]）②范圍：?（向量與向量所成角?23.a,b是夾在兩平行平面間的線段，若a?b，則a,b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.4．直線與平面的位置關(guān)系 5．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況． 6．平行公理：

7．等角定理：

8、異面直線的判定方法：

(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面． 9.兩異面直線的距離：公垂線段的長度.10.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.[注]：l1,l2是異面直線，則過l1,l2外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與l1,l2都平行平面有一個或沒有，但與l1,l2距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（L1或L2在這個做出的平面內(nèi)不能叫L1與L2平行的平面）11.直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這

條直線和這個平面平行.（“線線平行?線面平行”）

（2）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行?線線平行”）

（3）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個

P

平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個平面和一條直線垂直.? 若PA⊥?，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理）? 三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直?線面垂直”）

直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.12.平面平行與平面垂直.（1）平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（“線面平行?面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.（2）兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行?線線平行”）

（3）兩個平面垂直判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直判定二：如果一條直線與一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直?面面垂直”）

（4）兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.（5）兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：l?

?

?

O

A

m2?n2?d2?2mncos?（?為銳角取減，????為鈍角取加，綜上，都取減則必有???0,?）

13.棱柱.棱錐.球

（1）棱柱：有兩個面相互平行，其余各個側(cè)面都是平行四邊形

①{四棱柱}?{平行六面體}?{直平行六面體}?{長方體}?{正四棱柱}?{正方體}.{直四棱柱}?{平行六面體}={直平行六面體}.②.棱柱具有的性質(zhì)：棱柱所有的側(cè)棱都相等為平行四邊形；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形．．．．．．．．（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.．．．．．③.平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.．．．．．．．．．．．．．定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點(diǎn)的三條棱所成的角為?,?,?，則co2s??co2s??co2s??1.推論二：長方體一條對角線與同一個頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為?,?,?，則

co2s??co2s??co2s??2.（2）棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形.a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心.②正棱錐的側(cè)面積：S?

1Ch'（底面周長為C，斜高為h'）體積：V?2

3S底?h

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：S側(cè)?

S底cos?

（側(cè)面與底面成的二面角為?）

b.棱錐具有的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.（3）球：a.①球的表面積公式：S?4?R.②球的體積公式：V?

?R.3

b.①圓柱體積：V??rh②圓錐體積：V??r2h（r為半徑，h為高）

③錐體體積：V?

Sh（S為底面積，h為高）3

2326

a，a，S側(cè)?a，S底?

443

c.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時，設(shè)邊長為a，h?

得

26321322426

a?a?a?R??a?R?R?a/3?a?3?a.434344344

R

O