專(zhuān)題19

最值問(wèn)題

閱讀與思考

在實(shí)際生活與生產(chǎn)中，人們總想節(jié)省時(shí)間或費(fèi)用，而取得最好的效果或最高效益，反映在數(shù)學(xué)問(wèn)題上，就是求某個(gè)量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)之為最值問(wèn)題，在現(xiàn)階段，解這類(lèi)問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)與基本方法有：

1、通過(guò)枚舉選取.2、利用完全平方式性質(zhì).3、運(yùn)用不等式（組）逼近求解.4、借用幾何中的不等量性質(zhì)、定理等.解答這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)方面，一方面要說(shuō)明不可能比某個(gè)值更大（或更?。硪环矫嬉e例說(shuō)明可以達(dá)到這個(gè)值，前者需要詳細(xì)說(shuō)明，后者需要構(gòu)造一個(gè)合適的例子.例題與求解

【例1】

若c為正整數(shù)，且，，則（）（）（）（）的最小值是

.（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：條件中關(guān)于C的信息量最多，應(yīng)突出C的作用，把a(bǔ)，b，d及待求式用c的代數(shù)式表示.【例2】

已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最小值是（）

A.B.0

C.1

D.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

解題思路：對(duì)進(jìn)行變形，利用完全平方公式的性質(zhì)進(jìn)行解題.【例3】

如果正整數(shù)滿(mǎn)足=，求的最大值.解題思路：不妨設(shè)，由題中條件可知=1.結(jié)合題意進(jìn)行分析.【例4】

已知都為非負(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，記，求的最大值與最小值.（四川省競(jìng)賽試題）

解題思路：解題的關(guān)鍵是用含一個(gè)字母的代數(shù)式表示.【例5】

某工程車(chē)從倉(cāng)庫(kù)上水泥電線(xiàn)桿運(yùn)送到離倉(cāng)庫(kù)恰為1000米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊向前每隔100米栽立電線(xiàn)桿一根，已知工程車(chē)每次之多只能運(yùn)送電線(xiàn)桿4根，要求完成運(yùn)送18根的任務(wù)，并返回倉(cāng)庫(kù)，若工程車(chē)每行駛1千米耗油m升（在這里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關(guān)，其他因素不計(jì)）.每升汽油n元，求完成此項(xiàng)任務(wù)最低的耗油費(fèi)用.（湖北省競(jìng)賽試題）

解題思路：要使耗油費(fèi)用最低，應(yīng)當(dāng)使運(yùn)送次數(shù)盡可能少，最少需運(yùn)送5次，而5次又有不同運(yùn)送方法，求出每種運(yùn)送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費(fèi)用.【例6】

直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為5和12，斜邊長(zhǎng)為13，P是三角形內(nèi)或邊界上的一點(diǎn)，P到三邊的距離分別為，，求++的最大值和最小值，并求當(dāng)++取最大值和最小值時(shí)，P點(diǎn)的位置.（“創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：連接P點(diǎn)與三角形各頂點(diǎn)，利用三角形的面積公式來(lái)解.能力訓(xùn)練

A

級(jí)

1.社a，b，c滿(mǎn)足，那么代數(shù)式的最大值是

.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

2.在滿(mǎn)足的條件下，能達(dá)到的最大值是

.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

3.已知銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，則的最大值是

.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

4.已知有理數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范圍是

.（數(shù)學(xué)夏令營(yíng)競(jìng)賽試題）

5.在式子中，代入不同的x值，得到對(duì)應(yīng)的值，在這些對(duì)應(yīng)的值中，最小的值是（）.A.1

B.2

C.3

D.4

6.若a，b，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿(mǎn)足，，那么的最大值是（）.A.-1

B.-5

C.0

D.1

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

7.已知?jiǎng)t代數(shù)式的最小值是（）.A.75

B.80

C.100

D.105

(江蘇省競(jìng)賽試題)

8.已知，均為非負(fù)數(shù)，且滿(mǎn)足=30，又設(shè)，則M的最小值與最大值分別為（）.A.110，120

B.120，130

C.130，140

D.140，150

9.已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，記.求的最大值和最小值

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

10.某童裝廠現(xiàn)有甲種布料38米，乙鐘布料26米，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布料生產(chǎn)L，M兩種型號(hào)的童裝共50套，已知做一套L型號(hào)的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號(hào)的童裝需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利30元，試問(wèn)該廠生產(chǎn)的這批童裝，當(dāng)L型號(hào)的童裝為多少套是，能使該廠獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

（江西省無(wú)錫市中考試題）