第一篇：新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)《推理與證明》知識歸納總結(jié)

《推理與證明》知識歸納總結(jié)

第一部分合情推理

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

了解合情推理的含義（易混點）

理解歸納推理和類比推理的含義，并能運用它進(jìn)行簡單的推理（重點、難點）了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用（難點）

一、知識歸納：

合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：

歸納推理:

1.歸納推理:由某類事物的對象具有某些特征，推出該類事物的具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.2.歸納推理的一般步驟:

第一步，通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);

第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）.思考探究:

1.歸納推理的結(jié)論一定正確嗎?

2.統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理?

題型1用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律

.對于任意正實數(shù)a,b

?成立的一個條件可以是____.點撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22，故a?b?222、蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂

巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂

巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖

有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以

f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=_____;f(n)=___________.【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關(guān)系式

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?

1總結(jié)：處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系

類比推理

1.類比推理:由兩類對象具有某些類似特征和其中對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.2.類比推理的一般步驟:

第一步：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

第二步：用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想.思考探究:

1.類比推理的結(jié)論能作為定理應(yīng)用嗎?

2.(1)圓有切線，切線與圓只交于一點，切點到圓心的距離等于半徑.由此結(jié)論如何類比到球體?

(2)平面內(nèi)不共線的三點確定一個圓.由此結(jié)論如何類比得到空間的結(jié)論?

題型2用類比推理猜想新的命題

[例]已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的______.【解題思路】從方法的類比入手

[解析]原問題的解法為等面積法，即S?

等體積法，V?1，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是3111ah?3?ar?r?h，類比問題的解法應(yīng)為2231111Sh?4?Sr?r?h即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高 334

4總結(jié)：（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比

（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等

合情推理

1.定義:歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.簡言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的過程:

→

→

思考探究:

1.歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系?

1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。

2）類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。第二部分演繹推理

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

理解演繹推理的含義（重點）

掌握演繹推理的模式，會利用三段論進(jìn)行簡單推理（重點、難點）

合情推理與演繹推理之間的區(qū)別與聯(lián)系

一、知識歸納：

演繹推理的含義:

1.演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出的結(jié)論.演繹推理又叫推理.2.演繹推理的特點是由的推理.思考探究:

演繹推理的結(jié)論一定正確嗎?

演繹推理的模式

1.演繹推理的模式采用“三段論”:

(1)大前提——已知的(M是P);

(2)小前提——所研究的(S是M);

(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷(S是P).2.從集合的角度看演繹推理:

(1)大前提:x∈M且x具有性質(zhì)P;

(2)小前提：y∈S且S?M

(3)結(jié)論：y具有性質(zhì)P.演繹推理與合情推理

合情推理與演繹推理的關(guān)系:

(1)從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.第三部分直接證明與間接證明

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

2、了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點。

知識歸納：

三種證明方法:

綜合法、分析法、反證法

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證

結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

反證法：它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個命題的一般步驟：

(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

(2)根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止

(3)斷言假設(shè)不成立

(4)肯定原命題的結(jié)論成立

用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。

重難點：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題

考點1綜合法

在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

[解析]??ABC為銳角三角形，?A?B??

2?A??

2?B，?y?sinx在(0,)上是增函數(shù)，?sinA?sin(?B)?cosB 22

同理可得sinB?cosC，sinC?cosA ??

?sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

考點2分析法

已知a?b?0,求證a?b?a?b

[解析]要證a??a?b，只需證(a?)2?(a?b)2

即a?b?2ab?a?b，只需證b?ab，即證b?a

顯然b?a成立，因此a??a?b成立

總結(jié)：注意分析法的“格式”是“要證---只需證---”，而不是“因為---所以---” 考點3反證法已知f(x)?a?xx?2(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根 x?1

x0?2 x0?1【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾[解析]假設(shè)x0是f(x)?0的負(fù)數(shù)根，則x0?0且x0??1且ax0??

?0?ax0?1?0??1x0?2?1，解得?x0?2，這與x0?0矛盾，2x0?1

故方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根

總結(jié)：否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多

第四部分?jǐn)?shù)學(xué)歸納法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。

2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題

3．能通過“歸納-猜想-證明”處理問題。

知識歸納：

數(shù)學(xué)歸納法的定義：

一般地,當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:

(1)證明當(dāng)n=n0時命題成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k（

第二篇：高中數(shù)學(xué)推理與證明測試題

高中數(shù)學(xué)推理與證明測試題

山東淄博五中孫愛梅

一 選擇題（5×12=60分）

1.如下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應(yīng)是什

么顏色的（）

A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大

2．“所有9的倍數(shù)（M）都是3的倍數(shù)（P），某奇數(shù)（S）是9的倍數(shù)（M），故某奇數(shù)（S）

是3的倍數(shù)（P）.”上述推理是（）

A．小前提錯B．結(jié)論錯C．正確的D．大前提錯

3．F（n）是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，若F（k）（k∈N＋）真，則F（k＋1）真，現(xiàn)已知F

（7）不真，則有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不

真；⑥F（5）真.其中真命題是（）

A．③⑤B．①②C．④⑥D(zhuǎn)．③④

4.下面敘述正確的是（）

A．綜合法、分析法是直接證明的方法B．綜合法是直接證法、分析法是間接證法

C．綜合法、分析法所用語氣都是肯定的 D．綜合法、分析法所用語氣都是假定的5．類比平面正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

① 各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；

② 各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；

③ 各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等。

A．①B．①②C．①②③D．③

6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對x∈R，有ax

2＋bx＋c＞0”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．不充分不必要條件

17．（04·全國Ⅳ，理12）設(shè)f（x）（x∈R）為奇函數(shù)，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f2

（2），f（5）＝（）

5A．0B．1C．D．5 2

111118．設(shè)S（n）＝ ＋ ＋ ＋＋?＋，則（）nn＋1n＋2n＋3n11A．S（n）共有n項，當(dāng)n＝2時，S（2＋

311

1B．S（n）共有n＋1項，當(dāng)n＝2時，S（2）＝＋ ＋

234111

C．S（n）共有n2－n項，當(dāng)n＝2時，S（2 ＋＋

234111

D．S（n）共有n2－n＋1項，當(dāng)n＝2時，S（2 ＋＋

4x

9．在R上定義運算⊙：x⊙y＝，若關(guān)于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集

2－y是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2

10．已知f（x）為偶函數(shù)，且f（2＋x）＝f（2－x），當(dāng)－2≤x≤0時，f（x）＝2，若n∈N，an＝f（n），則a2006＝（）

A．2006B．4C．D．－4

11．函數(shù)f（x）在［－1，1］上滿足f（－x）＝－f（x）是減函數(shù)，α、β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，且α≠β，則下列不等式中正確的是（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B． f（cosα）＞f（sinβ）C．f（cosα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）

12．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎”。四位歌手的話只有兩名是對的，則獎的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁

二 填空題（4×4=16分）13．“開心辭典”中有這樣的問題：給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的第幾個數(shù)，現(xiàn)給1131

5出一組數(shù)：,-，-，它的第8個數(shù)可以是。

228

43214．在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC邊上的射影，則AB2=BDBC.拓展到空間,在四面體A—BCD中，DA⊥面ABC，點O是A在面BCD內(nèi)的射影，且O在面BCD內(nèi)，類比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面積之間關(guān)系為。

15．（05·天津）在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.16．（05黃岡市一模題）當(dāng)a0，a1，a2成等差數(shù)時，有a0－2a1＋a2＝0，當(dāng)a0，a1，a2，a3成等差數(shù)列時，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，當(dāng)a0，a1，a2，a3，a4成等差數(shù)列時，有a0－4a

1012

＋6a2－4a3＋a4＝0，由此歸納：當(dāng)a0，a1，a2，?，an成等差數(shù)列時有Cna0－Cna1＋Cna2－?＋Cnnan＝0.如果a0，a1，a2，?，an成等差數(shù)列，類比上述方法歸納出的等式為＿＿＿。三 解答題（74分）已知△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，求證：18．若a、b、c均為實數(shù)，且a＝x2－2x＋

*

x

.11

3+=（12分）a+bb+ca+b+c

πππ

b＝y(tǒng)2－2y＋c＝z2－2z＋，求證：a、b、236

c中至少有一個大于0.（12分）

19．?dāng)?shù)列｛an｝的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1n＋

2n（n＝1，2，3，?）.n

Sn

證明：⑴數(shù)列｛Sn＋1＝4an.（12分）

n

20．用分析法證明：若a＞0，則

a22≥a＋－2.(12分)

aa

121．設(shè)事件A發(fā)生的概率為P，若在A發(fā)生的條件下B發(fā)生概率為P′，則由A產(chǎn)生B的概率為P·P′.根據(jù)這一事實解答下題.一種擲硬幣走跳棋的游戲：棋盤上有第0、1、2、?、100，共101站，一枚棋子開始在第0站（即P0＝1），由棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次.若硬幣出現(xiàn)正面則棋子向前跳動一站，出現(xiàn)反面則向前跳動兩站.直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失?。r，游戲結(jié)束.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率相同，設(shè)棋子跳到第到第n站時的概率為Pn.（1）求P1，P2，P3；

（2）設(shè)an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求證：數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列(12分)

ACAE22．(14分)在ΔABC中（如圖1），若CE是∠ACB ＝.其證明過程：

BCBE作EG⊥AC于點G，EH⊥BC于點H，CF⊥AB于點F

∵CE是∠ACB的平分線，∴EG＝EH.又∵

ACAC·EGSΔAEC

＝，BCBC·EHSΔBEC

AEAE·CFSΔAEC＝＝，BEBE·CFSΔBEC∴

ACAE＝.BCBE

（Ⅰ）把上面結(jié)論推廣到空間中：在四面體A－BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，類比三角形中的結(jié)論，你得到的相應(yīng)空間的結(jié)論是＿＿＿＿＿＿

（Ⅱ）證明你所得到的結(jié)論.B HC

圖

1A

A G

B

圖

2h11C

答案：

一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D ９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ １２ C

πππ分析：因為銳角三角形，所以α+β＞，所以0＜-α＜β＜，222

π

sin（-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函數(shù)f（x）在［－1，1］上滿足是減函數(shù)

所以f（cosα）＞f（sinβ）。12分析：先猜測甲、乙對，則丙丁錯，甲、乙可看出乙獲獎則丁不錯，所以丙丁中必有一個是對的，設(shè)丙對，則甲對，乙錯，丁錯.∴答案為C.1.二 13-14（S△ABC）2= S△BOC S△BDC15.3

3216a

00n

C

·a

1－C

1n

·a2 n·?·an（－1）nn＝1.2C

C

n

［解析］解此題的關(guān)鍵是對類比的理解.通過對所給等差數(shù)列性質(zhì)的理解，類比去探求等比數(shù)列相應(yīng)的性質(zhì).實際上，等差數(shù)列與等比數(shù)列類比的裨是運算級別的類比，即等差數(shù)列中的“加、減、乘、除”與等比數(shù)列中的“乘、除、乘方、開方”相對應(yīng).三 解答題

317(分析法)要證+=

a+bb+ca+b+c

a+b+ca+b+c需證:+ =3

a+bb+c

即證:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)即證:c2+a2=ac+b

2因為△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB 即b= c+a-ca 所以c+a=ac+b

3因此 + =

a+bb+ca+b+c(反證法).證明：設(shè)a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ

而a＋b＋c＝（x2－2y）＋（y2－2z＋z2－2x＋

236

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一個大于0.19(綜合法)．證明：⑴由an＋1

2222222

n＋2

n，而an＋1＝Sn＋1－Sn得 n

Sn＋

1n＋12（n＋1）n＋1Sn∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1Sn＝2，∴數(shù)列｛｝為等比數(shù)列.nnSnn

n

SnSn＋1Sn－14an（n－1）⑵由⑴知｛2，∴＝4·，∴Sn＋1＝4an.nn＋1n－1n－1n＋120(分析法).證明：要證

a2＋2－≥a＋2，只需證

aa

a22＋2≥a＋aa

∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（a2＋22）2≥（a＋）2，aa

只需證a2＋24＋

4a

a2＋2≥a2＋22＋2（a＋，aaa

a2＋2≥（a＋，只需證a2＋2≥（a2＋2＋2），a2aa2aa

即證a2＋2≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立.111131131

521.（1）解:P0＝1，∴P1＝, P2× ＋＝，P3＝ ×＋× ＝.2222422428

（2）證明:棋子跳到第n站，必是從第n－1站或第n－2站跳來的（2≤n≤100），所以Pn

Pn－1Pn－2

∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋Pn－1 Pn－2=（Pn－1－Pn－2），22211

∴an=－an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0.22

故｛an｝是公比為－，首項為－的等比數(shù)列（1≤n≤100）.2222．結(jié)論:

SΔACDSΔAECSΔACDSΔAEDAESΔACD＝ 或 ＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

證明：設(shè)點E是平面ACD、平面BCD的距離分別為h1，h2，則由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.又∵

SΔACDh1SΔACDVA－CDE

＝ SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

VA－CDEAESΔAEDVC－AED ＝ ＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDESΔACDAE∴ ＝SΔBCDBE

A G

B

C

2圖2 A hB HC

圖1

第三篇：高中數(shù)學(xué)推理與證明練習(xí)題

克拉瑪依市啟航教育培訓(xùn)中心0990-6888887

高中數(shù)學(xué)推理與證明練習(xí)題

一.選擇題

1．分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的（）

Ａ．充分條件 Ｂ．必要條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．等價條件

2．下面敘述正確的是（）

A．綜合法、分析法是直接證明的方法 B．綜合法是直接證法、分析法是間接證法

C．綜合法、分析法所用語氣都是肯定的 D．綜合法、分析法所用語氣都是假定

3．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是（）

Ａ．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)

Ｂ．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)

Ｃ．假設(shè)a，b，c至多有一個是偶數(shù)

Ｄ．假設(shè)a，b，c至多有兩個是偶數(shù)

4．在△ABC中，sinAsinC?cosAcosC，則△ABC一定是（）

Ａ．銳角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．鈍角三角形 Ｄ．不確定

5．在證明命題“對于任意角?，cos4??sin4??cos2?”的過程：“cos4??sin4??(cos2??sin2?)(cos2??sin2?)?cos2??sin2??cos2?”中應(yīng)用了 Ａ．分析法 Ｂ．綜合法 Ｃ．分析法和綜合法綜合使用 Ｄ．間接證法

二.證明題

6．設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證

12a?12b?12c?1a?b?1b?c?1c?a

克拉瑪依市啟航教育培訓(xùn)中心0990-6888887

7．已知：sin230??sin290??sin2150

sin2???323

25?sin?265?sin125?2?

通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并給出的證明

8．?ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：1

a?b?1

b?c?3

a?b?c

第四篇：【高中數(shù)學(xué)】推理與證明

【高中數(shù)學(xué)】推理與證明

歸納推理

把從個別事實中推演出一般性結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）歸納推理的一般步驟：

(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；

(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）；

(3)證明（視題目要求，可有可無）。

類比推理

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.類比推理的一般步驟：

(1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；(2)用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；

(3)檢驗猜想。

合情推理

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理?！昂虾跚槔怼钡耐评?2.演繹推理

從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理。簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。

演繹推理的一般模式

(1)大前提----已知的一般原理；

(2)小前提----所研究的特殊情況；

(3)結(jié)論----據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.3.直接證明與間接證明

立。

要點：順推證法，由因?qū)Ч?/p>

成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.要點：逆推證法，執(zhí)果索因。

(3)：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立的證明方法，它是一種間接的證明方法。

第 1 頁

①（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②（推理）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止；③（歸謬）斷言假設(shè)不成立； ④（結(jié)論）肯定原命題的結(jié)論成立.反證法法證明一個命題的一般步驟：

4.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟：

(1)（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值n0(n0?N*)時命題成立；

(2)（歸納遞推）假設(shè)n?k(k?n0,k?N*)時命題成立，推證當(dāng)n?k?1時命題也成立.只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.1．下列推理是歸納推理的是()

A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則P點的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達(dá)式

x2y2222

2C．由圓x＋y＝r的面積πr，猜想出橢圓2＋2＝1的面積S＝πab

ab

D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇

111357

2．設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋?＋，經(jīng)計算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，觀察上述結(jié)果，可推測

23n222出一般結(jié)論()

2n＋

1A．f(2n)>

2n＋2

C．f(2n)≥

n＋2

B．f(n2)≥

2D．以上都不對

3．有一段演繹推理是這樣的：“若直線平行于平面，則該直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b∥平面α，直線a?平面α，則直線b∥直線a”，結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為()

A．大前提錯誤 h，則()

A．h>h1＋h2＋h3C．h

3B．h＝h1＋h2＋h3

D．h1，h2，h3與h的關(guān)系不定

B．小前提錯誤

C．推理形式錯誤

D．非以上錯誤

4．若點P是正四面體A－BCD的面BCD上一點，且P到另三個面的距離分別為h1，h2，h3，正四面體A－BCD的高為

5．下圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖

2、圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)逐個疊放下去，那么在第七個疊放的圖形中小正方體木塊數(shù)應(yīng)是()

A．25B．66C．9

1D．120

6．已知等差數(shù)列{an}中，a10＝0，則有等式a1＋a2＋?＋an＝a1＋a2＋?＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，那么等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式_成立。

第 2 頁

7．(2010·陜西)觀察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，?，根據(jù)上述規(guī)律，第四個等式為_.8．觀察下列等式：

①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝

43②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝

由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你是否能提出一個猜想？并證明你的猜想.111

9．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到

ADABAC怎樣的猜想，并說明理由.10．下面的(a)、(b)、(c)、(d)為四個平面圖．

(1)數(shù)一數(shù)，每個平面圖各有多少個頂點？多少條邊？分別圍成了多少個區(qū)域？將結(jié)果填入下表(按填好的例子做)

(2)觀察上表，推斷一個平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系？

(3)現(xiàn)已知某個平面圖有2008個頂點，且圍成了2008個區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個平面圖的邊數(shù).第 3 頁

311．用數(shù)學(xué)歸納法證明：n?5n能被6整除；

12．若a,b,c均為實數(shù)，且

求證：a，b，c中至少有一個大于0.13．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1?

14．觀察（1）tan10tan20?tan20tan60?tan60tan10?1;

（2）tan5tan10?tan10tan75?tan75tan5?1 由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論 并加以證明。，,1111?????n?n；2342?

1000000

000000

第 4 頁

1、下列表述正確的是（）

①歸納推理是由部分到整體的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③

B．②③④

C．②④⑤

D．①③⑤.②歸納推理是由一般到一般的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理；

2、下面使用類比推理正確的是（）

A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b” B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab

??（c≠0）” ccc

nnnn

（ab）?anbn” 類推出（D.““a?b）?a?b”

C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

(A)假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；(C)假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度；A.29

B.2543、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設(shè)正確的是（）

(B)假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；

(D)假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度。C.60

2D.200

401234、在十進(jìn)制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為（）

n＋

15、利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a＋…＋a

(A)

11?an?2=，(a≠1，n∈N)”時，在驗證n=1成立時，左邊應(yīng)該是（）1?a

(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a

3(B)1＋a6、某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n?k(k?N?)時命題成立，那么可推得當(dāng)n?k?1時命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n?7時該命題不成立，那么可推得（）

A．當(dāng)n=6時該命題不成立C．當(dāng)n=8時該命題不成立

n

B．當(dāng)n=6時該命題成立 D．當(dāng)n=8時該命題成立

7、當(dāng)n?1，2，3，4，5，6時，比較2和n的大小并猜想（）

n

2A.n?1時，2?n

n2

B.n?3時，2?n n2

D.n?5時，2?n

n2

C.n?4時，2?n

?x8、定義運算:x?y??

?y

(x?y)的是（）例如3?4?4,則下列等式不能成立．．．．

(x?y),B．(x?y)?z?x?(y?z)

D．c?(x?y)?(c?x)?(c?y)（其中c?0）

A．x?y?y?xC．(x?y)?x?y

第 5 頁

cos2Acos2B1

1???。a2b2a2b29、在△ABC中，證明：

10、設(shè)a,b,x,y?R，且a?b?1,x2?y2?1,試證：ax??1。

11、用反證法證明：如果x?

12、已知數(shù)列a1,a2,?,a30，其中a1,a2,?,a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；a10,a11,?,a20是公差為d的等差數(shù)列；a20,a21,?,a30是公差為d2的等差數(shù)列（d?0）.（1）若a20?40，求d；

（2）試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求a30的取值范圍；

（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30,a31,?,a40是公差為d3的等差數(shù)列，……，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

12，那么x?2x?1?0。2

第 6 頁

第五篇：知識歸納：推理與證明范文

推理與證明 【整體感知】：知識網(wǎng)絡(luò)

推

理

與

證

明

注意：理科要求數(shù)學(xué)歸納法，文科不要求.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

【熱點點擊】：合情推理、演繹推理和直接證明、間接證明涉及到幾種方法幾乎滲透到數(shù)學(xué)的方方面面，雖然沒有單獨考查，但是都是以其他知識為載體，考查綜合應(yīng)用.【本章考點】1.合情推理和演繹推理，2.綜合法、分析法和反證法3.數(shù)學(xué)歸納法(理科)。

【歸納】

1.歸納推理與類比推理統(tǒng)稱為合情推理．它們的特點是：歸納推理是由特殊到一般、由部分到整體的推理；而類比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推測、猜想未知，從而推理結(jié)論．但是結(jié)論的可靠性有待證明．合情推理的推理過程：從具體問題出發(fā)到觀察、分析、比較、聯(lián)想，再到歸納、/

2類比，最后到猜想。

2.演繹推理的特點是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式；推理模式：“三段論”，也可以從集合的角度理解。

3.和情推理與演繹推理的關(guān)系：

①和情推理是由特殊到一般的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理；

②它們又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性。

4.證明方法常用的有綜合法、分析法和反證法（理科還有數(shù)學(xué)歸納法）

在解決問題時，經(jīng)常把綜合法與分析法和起來使用；使用分析法尋找成立的條件，再用綜合法寫出證明過程．反證法可以解決條件較少，含有“至少”、“至多”、“不可能”等關(guān)鍵詞的命題或“存在性”、“唯一性”命題。反證法是一種間接證法.它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法.反證法證題的步驟大致分為三步：

（1）反設(shè)：作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè)；

（2）歸謬：由反設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛盾結(jié)果；

（3）作出結(jié)論：證明了反設(shè)不能成立，從而證明了所求證的結(jié)論成立.其中，導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵，通常有以下幾種途徑：與已知矛盾，與公理、定理矛盾，與假設(shè)矛盾，自相矛盾等.5.數(shù)學(xué)歸納法常用于證明一個與正整數(shù)ｎ有關(guān)的命題。第一步是推理的基礎(chǔ)，第二步是推理的依據(jù)，兩者缺一不可．特別地，在證明第二步時命題成立，一定要用上歸納假設(shè)時命題成立；另外在證明第二步時首先要有明確的目標(biāo)式，即確定證題方向。/ 2