第一篇：2014年陜西地區(qū)五?！皠?chuàng)新杯”數(shù)學(xué)建模校際聯(lián)賽-C題

2014年陜西地區(qū)五?！皠?chuàng)新杯”數(shù)學(xué)建模校際聯(lián)賽試題

C題：智能推薦問題研究

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們逐漸走入了信息過載的時代。面對大量的信息，我們都顯得有些無所適從。作為信息需求者，從大量信息中找到自己感興趣的信息往往是一件非常困難的事情；而對于信息提供者，讓自己的信息脫穎而出，受到大家的關(guān)注，也是一件非常困難的事情。推薦系統(tǒng)就是解決這一矛盾的重要工具。推薦系統(tǒng)通過建立用戶和信息產(chǎn)品之間的關(guān)系，利用已有的選擇過程或相似性關(guān)系，一方面挖掘用戶潛在感興趣的信息，另一方面讓信息能夠展現(xiàn)在對它感興趣的用戶面前。一個完整的推薦系統(tǒng)通常包含收集用戶信息的行為記錄模塊，分析用戶喜好的模型分析模塊和推薦算法模塊。

我們身邊最熟悉的例子要數(shù)電子商務(wù)網(wǎng)站的推薦系統(tǒng)，幾乎每個大型電子商務(wù)網(wǎng)站都把個性化推薦作為重要的營銷手段之一。更有文獻(xiàn)表明早期Amazon（亞馬遜）的35%銷售增量都來自它的推薦系統(tǒng)。除了商品，音樂、電影等也是常見的推薦對象。

請依據(jù)附件所給Movie Lens數(shù)據(jù)集，解決下述問題。

問題1：建立分析用戶喜好的數(shù)學(xué)模型，并對編號為108，133，228，232，336，338，545，613，696，777的用戶喜好進(jìn)行分析。

問題2：建立電影推薦的數(shù)學(xué)模型，并給問題1中所列用戶各推薦5部電影（同等條件下電影編號最小者優(yōu)先）。

問題3：對于新用戶（僅有用戶注冊信息），設(shè)計(jì)一個推薦系統(tǒng)。

（說明：編程語言用C語言，Matlab均可，源程序要給出算法流程圖和偽代碼，源代碼需給出相應(yīng)的注釋）

第二篇：2014深圳杯數(shù)學(xué)建模C題 思想攻略

2014深圳杯數(shù)學(xué)建模C題 思想攻略 ?

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? 瀏覽：1844 | 更新：2014-05-07 17:19 | 標(biāo)簽： 數(shù)學(xué)

2014年“深圳杯”數(shù)學(xué)建模夏令營C題 垃圾焚燒廠的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償問題“垃圾圍城”是世界性難題，在今天的中國顯得尤為突出。2012年全國城市生活垃圾清運(yùn)量達(dá)到1.71億噸，比2010年增長了1300萬噸。數(shù)據(jù)顯示，目前全國三分之二以上的城市面臨“垃圾圍城”問題，垃圾堆放累計(jì)侵占土地75萬畝。因此，垃圾焚燒正逐步成為中國垃圾處理的主要手段之一。城市垃圾經(jīng)過分類處理，剔除可回收垃圾和有害垃圾后將剩余垃圾在焚燒爐中焚燒處理，既可避免垃圾填埋侵占大量的土地，又可利用垃圾焚燒產(chǎn)生的能量進(jìn)行發(fā)電等獲得可觀的經(jīng)濟(jì)效益。然而，由于政府監(jiān)管不力、投資者目光短淺等多方面的原因，致使前些年各地建設(shè)的垃圾焚燒電廠在運(yùn)營中出現(xiàn)了環(huán)境污染問題，給垃圾焚燒技術(shù)在我國的推廣造成了很大阻力，許多城市的新建垃圾焚燒廠選址都出現(xiàn)因居民反對而難以落地的局面。

事實(shí)上垃圾焚燒廠對環(huán)境的污染風(fēng)險與建設(shè)投資規(guī)模、運(yùn)行監(jiān)管力度有直接關(guān)系。小型垃圾焚燒廠由于沒有規(guī)模效應(yīng)，在污染治理方面的投入也會受到影響，致使其污染物排放比較嚴(yán)重，難以達(dá)到國家新的排放標(biāo)準(zhǔn)，對環(huán)境的危害較大。尤其是目前建廠選址尤為困難，所以國內(nèi)各大城市目前均傾向于采用新型大型焚燒爐的焚燒廠取代分散的小型焚燒爐的舉措。然而大型焚燒廠又存在需要考慮垃圾運(yùn)輸成本與道路建設(shè)成本等問題，因此對于不同城市來說，究竟該把大型焚燒

廠的建設(shè)規(guī)?？刂圃谑裁此?，這是一個值得研究的課題。在垃圾焚燒廠運(yùn)行監(jiān)管方面，目前主要是在垃圾焚燒廠內(nèi)進(jìn)行測量監(jiān)控，缺少從周邊環(huán)境視角出發(fā)的外圍動態(tài)監(jiān)控，因而難以形成為民眾所信服的全方位垃圾焚燒廠環(huán)境監(jiān)控體系。深圳市某地點(diǎn)計(jì)劃建立一個中型的垃圾焚燒廠，計(jì)劃處理垃圾量1950噸/天（設(shè)置三臺可處理垃圾650噸/天的焚燒爐，排煙口高度80米，每天24小時運(yùn)轉(zhuǎn)）。從構(gòu)建環(huán)境動態(tài)監(jiān)控體系、并根據(jù)潛在污染風(fēng)險對周圍居民進(jìn)行合理經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償?shù)男枨蟪霭l(fā)，有關(guān)部門希望能綜合考慮垃圾焚燒廠對周圍帶來環(huán)境污染以及其他危害的多種因素（例如，焚燒爐的污染物排放量、居住點(diǎn)離開垃圾焚燒廠的距離、風(fēng)力和風(fēng)向及降雨等氣象條件、地形地貌以及建筑物的遮擋程度等等），在進(jìn)行科學(xué)定量分析的基礎(chǔ)上，確立一套可行的垃圾焚燒廠環(huán)境影響動態(tài)監(jiān)控評估方法，并針對潛在環(huán)境風(fēng)險制定出合理的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償方案。

請你在收集相關(guān)資料的基礎(chǔ)上考慮以下問題：

(1)假定焚燒爐的排放符合國家新的污染物排放標(biāo)準(zhǔn)（參見附件1），根據(jù)垃圾焚燒廠周邊環(huán)境設(shè)計(jì)一種環(huán)境指標(biāo)監(jiān)測方法，實(shí)現(xiàn)對垃圾焚燒廠煙氣排放及相關(guān)環(huán)境影響狀況的動態(tài)監(jiān)控。以你設(shè)計(jì)的環(huán)境動態(tài)監(jiān)控體系實(shí)際監(jiān)控結(jié)果為依據(jù)，設(shè)計(jì)合理的周圍居民風(fēng)險承擔(dān)經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償方案。

(2)由于各種因素焚燒爐的除塵裝置（如袋式除塵器）損壞或出現(xiàn)其他故障導(dǎo)致污染物的排放增加，致使相關(guān)各項(xiàng)指標(biāo)將嚴(yán)重超標(biāo)（如：煙塵濃度、二氧化硫、氮氧化物、一氧化碳、二惡英類及重金屬等排放超標(biāo)，附件2給出了一臺可處理垃圾350噸/天的焚燒爐正常運(yùn)作時的在線排放監(jiān)測記錄）。請?jiān)诳紤]故障發(fā)生

概率的情況下修正你設(shè)計(jì)的監(jiān)測方法和補(bǔ)償方案。附件1．污染物排放新標(biāo)準(zhǔn) 顆粒物20 mg/m3（日均），30 mg/m3（時均）HCL50 mg/m3（日均），60 mg/m3（時均）SO280 mg/m3（日均），100 mg/m3（時均）NOx250 mg/m3（日均），350 mg/m3（時均）汞0.1 mg/m3 鉛1.0 mg/m3 二惡英0.1 ngTEQ/m3

附件2．可處理垃圾350噸/天的焚燒爐正常運(yùn)行在線監(jiān)測數(shù)據(jù)

附件3．生活垃圾焚燒污染控制標(biāo)準(zhǔn)附件4．焚燒廠選址處的風(fēng)向、風(fēng)速資料（一年）（焚燒廠地點(diǎn)為Google地圖經(jīng)緯度22.686033，114.097586）附件4中風(fēng)向按照焚燒廠地點(diǎn)為中心分為八個方向來風(fēng)給出：東、東南、南、西南、西、西北、北、東北，風(fēng)速為十分鐘平均風(fēng)速，單位為 米/秒。一年內(nèi)每天的雨量（若下雨）、氣溫（最高、最低）可參考深圳市氣象局網(wǎng)站資料：http:///article/QiHouYeWu/附件5．垃圾焚燒發(fā)電介紹資料

思想攻略：

模型準(zhǔn)備

模型假設(shè)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化、圖論、微分方程、計(jì)算方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、層次分析法、模糊數(shù)學(xué)

模型建立

模型求解

模型分析

模型檢驗(yàn)

模型應(yīng)用與推廣

大家有啥想法，增加評論，一起探討！

第三篇：2014校數(shù)學(xué)建模題目B題

B 題

二胎政策的影響 我國是一個人口大國，計(jì)劃生育政策實(shí)施以來，對控制我國人口過快增長和有效緩解人口對資源環(huán)境的壓力功不可沒。然而隨著社會經(jīng)濟(jì)的進(jìn)一步發(fā)展，我國人口面臨新的問題：一方面，人口紅利消失、臨近超低生育率水平、人口老齡化、出生性別比失調(diào)等等，要求我們需要放開計(jì)劃生育的約束；另一方面，過快增長的人口對于住房、教育、環(huán)境資源等又來來更多的壓力。2011月15日，《中共中央關(guān)于全面深化改革開放若干重大問題的決定》終于出臺了?！稕Q定》中關(guān)于逐步放開二胎的政策引起了人們的熱議。目前，根據(jù)《決定》中的政策，許多省份已經(jīng)逐漸放開了計(jì)劃生育的約束，開始實(shí)行“單獨(dú)二胎”政策，即夫妻雙方有一方為獨(dú)生子女，就允許生第二胎。

試請建立數(shù)學(xué)模型，解決以下問題：

1、查閱相關(guān)數(shù)據(jù)（可在國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站 查詢相關(guān)數(shù)據(jù)），建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測2060年我國人口數(shù)及人口結(jié)構(gòu)、以及老齡化程度。

2、江蘇省單獨(dú)二胎政策于2014年3月28日起正式施行。查閱相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)江蘇的實(shí)際情況，建立合理的評價體系，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型闡明“單獨(dú)二胎”對江蘇（人口、經(jīng)濟(jì)、住宅、教育等）的影響。

3、評估我國有沒有必要完全放開二胎政策的必要？如果有必要完全放開二胎政策，請預(yù)測何時放開二胎政策比較合適。

第四篇：2014高教社杯數(shù)學(xué)建模A題解法

摘要

本文針對嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略的實(shí)際問題，以理論力學(xué)（萬有引力、開普勒定律、萬能守恒定律等）和衛(wèi)星力學(xué)知識為理論基礎(chǔ)，結(jié)合微分方程和微元法，借助MATLAB軟件解決了題目所要求解的問題。

針對問題（1），在合理的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用物理理論知識、解析幾何知識和微元法，分析并求解出近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，即139.1097。再運(yùn)用能量守恒定律和相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算出速度v1（近月點(diǎn)的速度）=1750.78m/s,v2（遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度）=1669.77m/s，最后利用曲線的切線方程，代入點(diǎn)（近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)）的坐標(biāo)求值，計(jì)算出方向余弦即為相應(yīng)的速度方向。針對問題（2）

關(guān)鍵詞：模糊評判，聚類分析，流體交通量，排隊(duì)論，多元非線性回歸

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機(jī)能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)，在給定主減速發(fā)動機(jī)的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m（見附件1）。嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6個階段（見附2），要求滿足每個階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。

（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。（3）對于你們設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

2.1問題（1）的分析 首先根據(jù)問題的假設(shè)、題目中所提供的數(shù)據(jù)及圖片分析，可以知道嫦娥三號繞月球的軌道是由圓形軌道變?yōu)闄E圓形軌道，借助開普勒定律、能量守恒定律求解出近月點(diǎn)的速度。

為了確定近月點(diǎn)和元月點(diǎn)的精確位置及相應(yīng)的速度方向，我們建立以赤道（月球的赤道）平面為xoy平面、月心為原點(diǎn)、月心與零度經(jīng)線和零度緯線交線的交點(diǎn)的連線為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系和赤道（月球的赤道）平面為xoy平面，為極軸（月球的極軸）為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，x軸與極坐標(biāo)系的軸相重合。

首先根據(jù)著陸點(diǎn)的經(jīng)度、緯度及月球的半徑求解出著陸點(diǎn)和近月點(diǎn)（帶參數(shù)?)的空間直角坐標(biāo)。其次利用兩點(diǎn)間的距離公式，并借助MATLAB軟件求解出近月點(diǎn)與著陸點(diǎn)最短距離。從而計(jì)算出?（近月點(diǎn)的經(jīng)度）=。

最后利用衛(wèi)星的軌跡是以月心為其中一個焦點(diǎn)，以近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為長軸的橢圓，從而求解出衛(wèi)星的軌跡方程，再運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用的知識，求解出在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的方向?qū)?shù)，進(jìn)而求解近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)方向余即為近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度的方向。2.2問題（2）的分析

首先在根據(jù)題意，將嫦娥三號軟著陸問題，分為6個階段依次為主減速、快速調(diào)整、粗避障、精避障、緩慢下降、自由下降，我們先將6個階段分為4個階段，依次為第一階段（主減速和快速調(diào)整）、第二階段（粗避障）

第三階段(精避障),第四階段（緩慢下降和自由下降）。其次在第一階段

粗避障階段，嫦娥三號懸停在月球表面約2400米上方，對星下月表進(jìn)行二維和三維成像，利用遺傳算法的思想，從圖像中先隨機(jī)選取部分點(diǎn)，能直接從三維圖像中得知該點(diǎn)的海拔高度，再分別掃描這些點(diǎn)附近的地貌，找出一些地勢平坦的區(qū)域，我們用區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)與中心點(diǎn)海拔的均方差作為地勢判斷依據(jù)之一，保留這些坐標(biāo)，并進(jìn)行重新組合，并改變某些坐標(biāo)以便能獲得其他新區(qū)域的坐標(biāo)，再次搜索地勢平坦的區(qū)域，重復(fù)進(jìn)行多次搜索，直到?jīng)]有出現(xiàn)崎嶇地勢的時候，我們將此時地勢最平坦的地方作為全局最優(yōu)降落地點(diǎn)

三、模型假設(shè)

1、不考慮空間飛行器上各點(diǎn)因燃料消耗而產(chǎn)生的位移；

2、在對衛(wèi)星和空間飛行器進(jìn)行軌道估計(jì)時，認(rèn)為作用于其上的所有外力都通過其質(zhì)心；

3、衛(wèi)星和空間飛行器的運(yùn)動是在真空中進(jìn)行的；

4、衛(wèi)星只受重力影響，空間飛行器除自身推力外只受重力影響；

5、衛(wèi)星的觀測圖片及數(shù)據(jù)精準(zhǔn)；

6、四、變量與符號說明

C0 一條車道的基本通行能力 連續(xù)車流的車頭間距 n 條車道的基本通行能力 排隊(duì)長度 車流量

橫斷面通行能力系數(shù)車流量 持續(xù)時間 L C y x1 x2 x3

五、模型建立與求解

5.1 問題(1)的分析、模型建立與求解 5.1.1建模準(zhǔn)備（1）開普勒定律

開普勒第一定律開普勒第一定律開普勒第一定律，也稱橢圓定律：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點(diǎn)中。開普勒第二定律開普勒定律開普勒第二定律，也稱面積定律：在相等時間內(nèi)，太陽和運(yùn)動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。這一定律實(shí)際揭示了行星繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量守恒。用公式表示為開普勒定律開普勒第

三定律開普勒定律開普勒第三定律，也稱調(diào)和定律：各個行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。由這一定律不難導(dǎo)出：行星與太陽之間的引力與半徑的平方成反比。這是牛頓的萬有引力定

a3律的一個重要基礎(chǔ)。用公式表示為2?K開普勒定律 T 這里，是行星公轉(zhuǎn)軌道半長軸，是行星公轉(zhuǎn)周期，是常數(shù)。（2）萬有引力

萬有引力：任意兩個質(zhì)點(diǎn)有通過連心線方向上的力相互吸引。該引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比與它們距離的平方成反比，與兩物體的化學(xué)組成和其間介質(zhì)種類無關(guān)。即： M1M2，r2 ?11 其中M1，M2為兩物體的質(zhì)量，G?6.67?10Nm.2kg.2（牛頓每平方米二次方千F?G 克）

5.1.2 模型的建立

根據(jù)以上的分析，建立以月球赤道平面為xOy平面,月心為原點(diǎn)O、Ox為月心與零度經(jīng)線和零度緯線交線的交點(diǎn)的連線，Oz為極軸（月球的極軸），Oy與Ox和Oz滿足右手標(biāo)架，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖5-1所示）。圖5-1 衛(wèi)星繞月軌跡及軟著陸軌跡

由于著陸點(diǎn)在球面上且近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)是由月球的經(jīng)度、緯度及高度唯一確定，在此為了便于計(jì)算 將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)，并代數(shù)題中相關(guān)數(shù)據(jù)，反解出經(jīng)度?。極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo) ?x?rsin?cos??即：?y?rsin?sin? ?z?rcos??（5.1.1）

x'?rsin(90-?）cos(-?)?'?y?rsin(90-?）cos(-?)（5.1.2）?z'?rcos(90-?）?

距離公式：

d?（5.1.3）其中：?為緯度；?為經(jīng)度；r為嫦娥三號距月心的距離；d為嫦娥三號距著陸點(diǎn)的距離；根據(jù)能量守恒、開普勒第二定律（面積定律），建立以下模型 即： r1v1?r2v2?

?（5.1.4）?1122mv1?mgh?mv2?mgH??22 則近月點(diǎn)的速度，近月點(diǎn)的速度：

??v1?? ?（5.1.5）?v??2?

其中：m為衛(wèi)星的質(zhì)量，h1為海拔高度，h近月點(diǎn)距月球表面的距離； r1?h?r0?h1，r2?H?r0?h1，r0月球半徑，H遠(yuǎn)月點(diǎn)距月球表面的距離，g月球重力加速度，v1近月點(diǎn)的速度，v2近月點(diǎn)的速度。5.1.3模型的求解

5.1.3.1近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置

根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)以上分析，可知： ??0,h?15000m,r0?1737013m,h1??2641m 將以上數(shù)據(jù)代入（5.1.1）式可得，著陸點(diǎn)及近月點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)分別為：

?x0?r0sin(90??)cos?????r0sin(90?19.51)cos??44.12????y0?r0sin(90??)sin?????r0sin(90?19.51)sin??44.12?（5.1.6）?z?rcos(90??)?r0cos(90?19.51)??00 ?x'?rsin(90-?）cos(-?)=(r0?h)cos??'?y?rsin(90-?）sin(-?)=-(r0?h)sin? ?z'?rcos(90-?）=0?

（5.1.7）再將（5.1.6）式和（5.1.7）式代入（5.1.3）式可得關(guān)于?與d（近月點(diǎn)和著陸點(diǎn)距離）的函數(shù)，？利用Mathematica 5.0編程求解可得：??-139.107 5.1.3.2近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度大小及方向

近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度方向，即為相應(yīng)速度在x軸與y軸方向上的投影（如圖5-2所示）

圖5-2近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度方向示意圖 由圖易知：

5.2 模型二的建立 5.2.1模型準(zhǔn)備 5.2.1.1系統(tǒng)模型

1、著陸器的動力下降段一般從15km左右的軌道高度開始，下降到月球表面的時間比較短，在幾百秒范圍內(nèi)，所以可以不考慮月球引力攝動。月球自轉(zhuǎn)速度比較小，也可忽略。因此，可以利用二體模型描述系統(tǒng)的運(yùn)動。建立圖5-2所示的著陸坐標(biāo)系，并假設(shè)著陸軌道在縱向平面內(nèi)，令月心為坐標(biāo)原點(diǎn)，Oy指向動力下降段的開始制動點(diǎn)，Ox 指向著陸器的開始運(yùn)動方向。則著陸器的質(zhì)心動力學(xué)方程可描述如下: ?r?v?v?(F/m)sin???/r2?r?2?????? ????[(F/m)cos??2v?]/r ⑴ ???m??F/ISP 式中:r,?,?和m分別為著陸器的月心距、極角、角速度和質(zhì)量；v為著陸器沿r 方向上的速度；F為制動發(fā)動機(jī)的推力(固定的常值或0）；ISP為其比

?為月球引力常數(shù)；?為發(fā)動機(jī)推力與當(dāng)?shù)厮骄€的夾角即推力方向角。沖；

圖5-3 月球軟著陸坐標(biāo)系

動力下降的初始條件由霍曼變軌后的橢圓軌道近月點(diǎn)確定，終端條件為著陸器在月面實(shí)現(xiàn)軟著陸。令初始時刻t0?0，終端時刻tf不定，則相應(yīng)的

初始條件為 r0 終端約束為

rf?rL,vf?0,?f?0 ⑶ ?rL?h0,v0?0,?0??o ⑵

式中:rL為月球半徑；h0為初始軌道高度；?o為軌道角速度。月球軟著陸的最優(yōu)軌道設(shè)計(jì)就是要在滿足上述初始條件和終端約束的前提下，調(diào)整推力大小和方向9使得著陸器實(shí)現(xiàn)燃料最優(yōu)軟著陸，即要求以下性能指標(biāo)達(dá)最大。J??mdt 0tf 5.2.1.2模型歸一化

在軌道優(yōu)化過程中，由于各狀態(tài)變量的量級相差較大，尋優(yōu)過程中可能會導(dǎo)致有效位數(shù)的丟失。通過歸一化處理可以克服這一缺點(diǎn)[9]，提高。計(jì)算精度。令rref?r0,mtef?

m0，則?r/rref,?v/vref,vref?ISp?I7 2?F/Fref,Fref?mrefvref/rref,?m/mref,??t/tref ,?rref/vref,??。那么，著陸器的動力學(xué)方程可改為： ??v?22?(F/m)sin???/

?? ? ???????[(F/)cos??2]/????F/ISP相應(yīng)的初始條件和終端約束變

為：

?1,?0,?? 000/? f?r1/r0,vf?0,?f?0 性能指標(biāo)改寫為：

第4期朱建豐等:基于自適應(yīng)模擬退火遺傳算法的月球軟著陸軌道優(yōu)

化 道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多參數(shù)優(yōu)化問題,再利用SQP 方法求解。雖然避開了沒有明確物理意義的參數(shù) 猜測,但是SQP的本質(zhì)仍然會使該方法遇到病態(tài) 梯度、初始點(diǎn)敏感和局部收斂問題。曾國強(qiáng)[6]和徐 敏[7]分別用二進(jìn)制和浮點(diǎn)數(shù)GA對著陸軌道進(jìn)行 了優(yōu)化,避免了初值猜測,得到的結(jié)果也比較滿意。但是,鑒于GA局部搜索能力較差的缺點(diǎn),會使得 GA的優(yōu)化精度不夠或優(yōu)化效率不高。相對而言, 國外對月球軟著陸軌道的優(yōu)化問題研究比較少。

GA最早是由Holland教授提出的[8],它是 一種隨機(jī)優(yōu)化方法,具有不依賴問題模型、適用面 廣和魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn),并已應(yīng)用在航天器的軌道 優(yōu)化設(shè)計(jì)中[1]。然而,GA在實(shí)際應(yīng)用中存在收 斂速度慢和早熟等問題,不具備“爬山”的能力。模擬退火算法(SAA)最早是由Kirkpatrick等提 出的,它是一種啟發(fā)式隨機(jī)搜索算法,具有很強(qiáng)的 局部搜索能力和“爬山”能力,但是SAA產(chǎn)生的 新解不及GA豐富,對全局的了解甚少,尋優(yōu)過程 很慢。因此,可以將GA和SAA的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起 來,揚(yáng)長避短,構(gòu)成高效、魯棒的新算法。本文將GA

和

SAA

有機(jī)地結(jié)合,形成自適應(yīng)

模擬退火遺傳算法(ASAGA),并將其應(yīng)用到月 球1軟著

陸的最系

優(yōu)

軌統(tǒng)

道

設(shè)模計(jì)

中

。型

著陸器的動力下降段一般從15 km左右的軌 道高度開始,下降到月球表面的時間比較短,在幾 百秒范圍內(nèi),所以可以不考慮月球引力攝動。月 球自轉(zhuǎn)速度比較小,也可忽略。因此,可以利用二 體模型描述系統(tǒng)的運(yùn)動。建立圖1所示的著陸坐 標(biāo)系,并假設(shè)著陸軌道在縱向平面內(nèi),令月心O 為坐標(biāo)原點(diǎn),Oy指向動力下降段的開始制動點(diǎn), Ox指向著陸器的開始運(yùn)動方向。則著陸器的質(zhì) 心動力

學(xué)

方

程

可

描

述

如

下

:

?r= v

?v=(F /m)sinψ-μ /r2+ rω 2

?θ= ω

?ω =-[(F /m)cosψ+ 2vω] /r

?m=-F /ISP(1)式中:r,θ,ω和m分別為著陸器的月心距、極角、角速度和質(zhì)量;v為著陸器沿r方向上的速度;F 為制動發(fā)動機(jī)的推力(固定的常值或0);ISP為其 比沖;μ為月球引力常數(shù);ψ為發(fā)動機(jī)推力與當(dāng)?shù)?水圖平1線 的月

夾球

角軟即著推

力陸

方極

向坐

角標(biāo)

。系

Fig.1 Polar coordinate system of lunar soft landing 動力下降的初始條件由霍曼變軌后的橢圓軌 道近月點(diǎn)確定,終端條件為著陸器在月面實(shí)現(xiàn)軟 著陸。令初始時刻t0= 0,終端時刻tf不定,則相 應(yīng)的初

始

條

件

為

r0= rL+ h0,v0= 0,ω0= ωo(2)

終端約束為 rf= rL,vf= 0,ωf= 0(3)式中:rL為月球半徑;h0為初始軌道高度;ωo為 軌道角速度。

月球軟著陸的最優(yōu)軌道設(shè)計(jì)就是要在滿足上 述初始條件和終端約束的前提下,調(diào)整推力大小 和方向,使得著陸器實(shí)現(xiàn)燃料最優(yōu)軟著陸,即要求 以下性

能

指

標(biāo)

達(dá)

最

大。

J=∫tf0?mdt(4)2 歸一化

在軌道優(yōu)化過程中,由于各狀態(tài)變量的量級 相差較大,尋優(yōu)過程中可能會導(dǎo)致有效位數(shù)的丟 失。通過歸一化處理可以克服這一缺點(diǎn)[9],提高

計(jì)算精度。令rref= r0,mref= m0,則–r= r /rref, v= v /vref,vref= μ /rref, ISP= ISPrref/μ, F= F /Fref, Fref= mrefv2ref/rref, m= m /mref, ω=ω r3ref/μ,–t= t / tref,tref= rref/vref,–θ=θ。那么,著陸器的動力學(xué)方

程可改寫為

–r= v

v=(F / m)sinψ-1 /–r2+–r ω 2

–θ= ω

ω=-[(F / m)cosψ+ 2 v ω] /–r

m=l);%步長dx x1 = x + dx;%下一個估計(jì)點(diǎn)

x1 =(x1 < l).*l +(l <= x1).*(x1 <= u).*x1 +(u < x1).*u;%將x1限定在區(qū)間[l,u]上 fx1 = feval(f,x1);df = fx1-fx;

if df < 0|rand < exp(-Ti*df/(abs(fx)+ eps)/TolFun)%如果fx1

end

if fx < fo xo = x;fo = fx1;

end end

%模擬退火法中的mu^（-1）定理 function x = Mu_Inv(y,mu)

x =(((1+mu).^abs(y)-1)/mu).*sign(y);

function [xo,fo] = genetic(f,x0,l,u,Np,Nb,Pc,Pm,eta,kmax)% 遺傳算法求f(x）最小值 s.t.l <= x <= u

%f為待求函數(shù),x0初值，l，u上下限，Np群體大小，Nb每一個變量的基因值（二進(jìn)制數(shù)）

%Pc交叉概率，Pm變異概率，eta學(xué)習(xí)率，kmax最大迭代次數(shù) N = length(x0);

%%%%%確定各變量缺省值 if nargin < 10

kmax = 100;%最大迭代次數(shù)缺省為100 end

if nargin < 9|eta > 1|eta <= 0

eta = 1;%學(xué)習(xí)率eta,(0 < eta < 1)end

if nargin < 8

Pm = 0.01;%變異概率缺省0.01 end

if nargin < 7

Pc = 0.5;%交叉概率缺省0.5 end

if nargin < 6

Nb = 8*ones(1,N);%每一變量的基因值（二進(jìn)制數(shù)）end

if nargin < 5

Np = 10;%群體大?。ㄈ旧w數(shù)）end

%%%%%生成初始群體 NNb = sum(Nb);

xo = x0(:)';l = l(:)';u = u(:)';fo = feval(f,xo);X(1,:)= xo;for n = 2:Np

X(n,:)= l + rand(size(x0)).*(ufX;%將函數(shù)值轉(zhuǎn)化為非負(fù)的適合度值 fXm = fX1(nb);

if fXm < eps %如果所有的染色體值相同，終止程序

return;

end

%%%%%復(fù)制下一代

for n = 1:Np

X(n,:)= X(n,:)+ eta*(fXmX(n,:));%復(fù)制準(zhǔn)則

end

P = gen_encode(X,Nb,l,u);%對下一代染色體編碼

%%%%%%隨機(jī)配對/交叉得新的染色體數(shù)組 is = shuffle([1:Np]);

for n = 1:2:Np1;

X(n,m)= bin2dec(P(n,b1:b2))*(u(m)1)+ l(m);%解碼方程

end end

第五篇：2016高教杯數(shù)學(xué)建模·b題分析

【百納知識提供】B 題分析初稿，旨在交流，注意：這只是看了 3 篇文章，找到的思路，請大家多看文獻(xiàn)，思路會很多！我 們后續(xù)會整理更多的思路！

關(guān)鍵詞：

1.評價指標(biāo)體系，評價開放對周邊道路通行的效果。

2.車輛通行的數(shù)學(xué)模型，研究小區(qū)開放對周邊道路通行的影響。

3.小區(qū)開放產(chǎn)生的效果，可能會與小區(qū)結(jié)構(gòu)及周邊道路結(jié)構(gòu)、車流量有關(guān)。

請選取或構(gòu)建不同類型的小區(qū)，應(yīng)用你們建立的模型，定量比較各類型小區(qū)開放 前后對道路通行的影響。

4.根據(jù)你們的研究結(jié)果，從交通通行的角度，向城市規(guī)劃和交通管理部門 提出你們關(guān)于小區(qū)開放的合理化建議。相關(guān)資料整理：

1.評價指標(biāo)體系，評價開放對周邊道路通行的效果。

用層次分析 AHP 進(jìn)行了研究。

我們要做的可能是強(qiáng)調(diào)類似哪些指標(biāo)是針對開放對周邊道路通行的效果，不 屬于這類的指標(biāo)可以刪除。

2.車輛通行的數(shù)學(xué)模型，研究小區(qū)開放對周邊道路通行的影響。

是不是建模就是選取小區(qū)附件的某些范圍研究，這就是理論依據(jù)。

簡單的車輛模型，可以化個節(jié)點(diǎn)，圖，權(quán)重。分析流量

用其中的符號定義等，后面的應(yīng)急什么別管，太復(fù)雜。利用這里模型分析第 一個問題中指標(biāo)系統(tǒng)的指標(biāo)。

3.小區(qū)開放產(chǎn)生的效果，可能會與小區(qū)結(jié)構(gòu)及周邊道路結(jié)構(gòu)、車流量有關(guān)。

請選取或構(gòu)建不同類型的小區(qū)，應(yīng)用你們建立的模型，定量比較各類型小區(qū)開放 前后對道路通行的影響。小區(qū)結(jié)構(gòu)：

我們要定量分析幾類小區(qū)的開放效果，第 4 問寫建議時候，可能鴨血，那些小區(qū) 就不要開放了，那些很有必要，等等。

利用前兩個模型，對不同小區(qū)進(jìn)行計(jì)算。要考慮小區(qū)結(jié)構(gòu)及周邊道路結(jié)構(gòu)、車流 量等的影響。就是調(diào)參數(shù)，算結(jié)果。

4.根據(jù)你們的研究結(jié)果，從交通通行的角度，向城市規(guī)劃和交通管理部門 提出你們關(guān)于小區(qū)開放的合理化建議。

寫建議，寫建議時候注意文章說了兩種觀點(diǎn)，除了開放小區(qū)可能引發(fā)的安保 等問題外，議論的焦點(diǎn)之一是：開放小區(qū)能否達(dá)到優(yōu)化路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，提高道路通行 能力，改善交通狀況的目的，以及改善效果如何。一種觀點(diǎn)認(rèn)為封閉式小區(qū)破壞 了城市路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，堵塞了城市“毛細(xì)血管”，容易造成交通阻塞。小區(qū)開放后，路網(wǎng)密度提高，道路面積增加，通行能力自然會有提升。也有人認(rèn)為這與小區(qū)面 積、位置、外部及內(nèi)部道路狀況等諸多因素有關(guān)，不能一概而論。還有人認(rèn)為小 區(qū)開放后，雖然可通行道路增多了，相應(yīng)地，小區(qū)周邊主路上進(jìn)出小區(qū)的交叉路 口的車輛也會增多，也可能會影響主路的通行速度。

模型要做的是解答這些觀點(diǎn)，比如哪類小區(qū)結(jié)構(gòu)，哪類周邊道路結(jié)構(gòu)、車流 量等適合第一個觀點(diǎn)，那個是第二個，或者有新的觀點(diǎn)，等等。

可參考開放策略《基于城市道路網(wǎng)絡(luò)脆弱性的小區(qū)開放策略研究_詹斌》 其他：

大神可做更復(fù)雜的流量模型《城市混合交通流微觀仿真建模研究_鄺先驗(yàn)》 可參考，元胞自動機(jī)模型。