第一篇：2函數(shù)極限的性質(zhì)解讀

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1）；

2）；

3）；

4）；

5）；

6）。

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4）種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)。

至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若極限 證

設(shè)與、都是

當(dāng)

存在，則此極限是唯一的。

時的極限，則對任給的，分別存在正數(shù)，使得當(dāng)

時有

（1）

當(dāng) 時有

（2）

取，則當(dāng)時，（1）式與(2)式同時成立，故有

由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。定理3.3（局部有界性）若極限 內(nèi)有界。

存在，則在某空心鄰域證

設(shè)。取，則存在，使得對一切。

有

這就證明了在內(nèi)有界。

定理3.4（局部保號性）若（或），存在，使得對一切

有

（或），則對任何正數(shù)

（或證 設(shè)有，這就證得結(jié)論。對于，對任何，取，則存在）。，使得對一切的情形可類似地證明。

定理3.5（保不等式性）設(shè) 內(nèi)有，則

與都存在，且在某鄰域。

（3）

證 設(shè)，使得當(dāng)，時，則對任給的，分別存在正數(shù)與

（4）

當(dāng)

時有

（5）

令，則當(dāng)

時，不等式

與（4）,（5）式同時成立，于是 有式成立。，從而

。由的任意性得，即（3）定理3.6（迫斂性）設(shè)==，且在某內(nèi)有

（6）

則。

證 按假設(shè)，對任給的時

（7），分別存在正數(shù)

與，使得當(dāng)當(dāng)時有

（8）

令，則當(dāng)

時，不等式（6）、（7）、（8）式同時成立，故有，由此得，所以。定理3.7（四則運算法則）若極限數(shù)，當(dāng)

與

都存在，則函 時極限也存在，且

1）=

2）=

又若，則當(dāng)時極限也存在，且有

3）

這個定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給讀者作為練習(xí)。利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)計算較復(fù)雜的函數(shù)極限。

例1求。

解 由第一章§3習(xí)題13，當(dāng) 時有，而，故由迫斂性得

。另一方面，當(dāng)時有，故由迫斂性又可得。

綜上，我們求得。

例2 求。

解

由

及§1例4所得的

并按四則運算法則有

=

例3 求

解 當(dāng) 時有。故所求極限等于。

例4

證明

證

任給（不妨設(shè)），為使

（9）

即，利用對數(shù)函數(shù)

（當(dāng)

時）的嚴(yán)格增性，只要

于是，令成立，從而證得結(jié)論。，則當(dāng)時，就有（9）式

第二篇：函數(shù)極限的性質(zhì)

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

§2 函數(shù)極限的性質(zhì)

Ⅰ.教學(xué)目的與要求

1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關(guān)命題.2.掌握函數(shù)極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數(shù)極限.Ⅱ.教學(xué)重點與難點:

重點: 函數(shù)極限的性質(zhì).難點: 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.Ⅲ.講授內(nèi)容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?

x???x???x???f?x?；

6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證

設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數(shù)

?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時有

f?x?????，(1)

當(dāng)0?x?x0??2時有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內(nèi)有界．

x?x0

證

設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有

x?x0

f?x????1?f?x????1 這就證明了f在U0?x0;??內(nèi)有界．

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數(shù)r??（或

x?x0r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證

設(shè)??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結(jié)論．對于??0的情形可類似地證明．

注

在以后應(yīng)用局部保號性時，常取r?A．

2x?x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內(nèi)

x?x0??有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?

（３）

x?x0x?x0

證

設(shè)

limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0得當(dāng)0?x?x0??1時有

????f?x?，當(dāng)0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內(nèi)有

x?x0x?x0????

f?x??則limh?x???．

x?x0h?x??g?x?

證

按假設(shè)，對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng) 0?x?x0??1時有，§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

????f?x?

(7)

當(dāng)0?x?x0??2時有

g?x?????

(8)

令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有

????f?x??h?x??g?x????? 由此得h?x?????，所以limh?x???

x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù)

x?x0x?x0f?g,f?g當(dāng)x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?；

x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?；

x?x0 又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時極限存在，且有

x?x03）limx?x0f?x??g?x?x?x0limf?x?limg?x?．

x?x0

這個定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．

利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計算較復(fù)雜的函數(shù)極限．

例 1求limx??x?0?x?解

當(dāng)x?0時有

1?x?x???1，?x??1?

?1??1?x?1?故由迫斂性得：

xlim

而limx??=1

?0?x?0??x?另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：

lim x???1 ?

x?0

?x??x?綜上，我們求得lim x???1

x?0?x?

?1??1??1??1?§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

例 2求lim?xtanx?1?x??

4解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosxsixn?sin?

limx???442?limcoxs，?2x?4并按四則運算法則有

limsinx?xtanx?1?=limx?

limx?x?

?4?4x??4limcosx

x?

1=?lim?x?4???1 44例 3求lim?3??1?3?．

x??1x?1x?1??解 當(dāng)x?1?0時有

?x?1??x?2??x?

213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1??1????1??1lim例4

證明lima?1?a?1? xx?0

證

任給??0(不妨設(shè)??1)，為使

x

a?1??

（9）

即1???a?1??，利用對數(shù)函數(shù)loga

loga?1????x?loga?1??? 于是，令

x（當(dāng)a?1時）的嚴(yán)格增性，只要

??min?loga?1???,?loga?1????，則當(dāng)0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．

Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對定理的應(yīng)用作總結(jié).Ⅴ 課外作業(yè): P51 2、3、5、7、8、9.

第三篇：函數(shù)極限的性質(zhì)

§3.2 函數(shù)極限的性質(zhì)

§2函數(shù)極限的性質(zhì)

Ⅰ.教學(xué)目的與要求

1.理解掌握函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關(guān)命題.2.掌握函數(shù)極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數(shù)極限.Ⅱ.教學(xué)重點與難點:

重點: 函數(shù)極限的性質(zhì).難點: 函數(shù)極限的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用.Ⅲ.講授內(nèi)容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì)，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質(zhì)．至于其他類型極限的性質(zhì)及其證明，只要相應(yīng)地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數(shù)

?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時有

f?x?????，(1)當(dāng)0?x?x0??2時有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內(nèi)有界． x?x0

證設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在U0?x0;??內(nèi)有界．

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數(shù)r??（或x?x0

r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設(shè)??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結(jié)論．對于??0的情形可類似地證明．

注在以后應(yīng)用局部保號性時，常取r?A．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內(nèi)x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設(shè)limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使x?x0x?x0

得當(dāng)0?x?x0??1時有

????f?x?，當(dāng)0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設(shè)limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內(nèi)有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設(shè)，對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得當(dāng)0?x?x0??1時有，2????f?x?(7)當(dāng)0?x?x0??2時有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當(dāng)0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數(shù) x?x0x?x0

f?g,f?g當(dāng)x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當(dāng)x?x0時極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理，留給學(xué)生作為練習(xí)．

利用函數(shù)極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數(shù)極限出發(fā)，計算較復(fù)雜的函數(shù)極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當(dāng)x?0時有

1?x?x???1，?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當(dāng)x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x??1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs，?2x?4

并按四則運算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1

4例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當(dāng)x?1?0時有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0(不妨設(shè)??1)，為使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對數(shù)函數(shù)loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（當(dāng)a?1時）的嚴(yán)格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????，則當(dāng)0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結(jié)論．

Ⅳ 小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生理解掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，并利用其討論相關(guān)命題.指導(dǎo)學(xué)生對定理的應(yīng)用作總結(jié).Ⅴ 課外作業(yè): P51 2、3、5、7、8、9.

第四篇：函數(shù)極限的性質(zhì)證明

函數(shù)極限的性質(zhì)證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，設(shè)x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質(zhì)就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第五篇：函數(shù)極限

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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第三章 函數(shù)極限

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和，并能熟練運用；

4.理解無窮小（大）量及其階的概念，會利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)重（難）點：

本章的重點是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計算；難點是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。

教學(xué)時數(shù)：16學(xué)時

§ 1 函數(shù)極限概念（3學(xué)時）

教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。

教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運用???語言正確表述函數(shù)不以某實數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的概念。

教學(xué)難點：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等

二、講授新課：

（一）時函數(shù)的極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證(類似有

（三）單側(cè)極限:

1．定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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我們引進(jìn)了六種極限:.以下以極限，為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th 4 若使，證 設(shè)

和都有 =

(現(xiàn)證對 都存在, 且存在點 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運算性質(zhì):(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和（）§ 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時）

教學(xué)目的：理解并運用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會其實質(zhì)以及證明的基本思路。教學(xué)重點：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。教學(xué)難點：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運用。

教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運用。本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：

Th 1 設(shè)函數(shù)在,對任何在點

且的某空心鄰域

內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為

單調(diào)趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.7 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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教學(xué)難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說明應(yīng)用，練習(xí)。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對

有

例6

特別當(dāng) 等.例7

例8

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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三． 等價無窮小：

Th 2(等價關(guān)系的傳遞性).等價無窮小在極限計算中的應(yīng)用: Th 3(等價無窮小替換法則)

幾組常用等價無窮小:（見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質(zhì):

性質(zhì)1 同號無窮大的和是無窮大.性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質(zhì)3 與無界量的關(guān)系.無窮大的階、等價關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無窮小討論, 有平行的結(jié)果.3.無窮小與無窮大的關(guān)系:

無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大

習(xí)題 課（2學(xué)時）

一、理論概述：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例7.求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32