第一篇：利用函數(shù)極限定義證明11
習(xí)題2-2
1.利用函數(shù)極限定義證明:
(3).limxsinx?01x?0;
x|?1，則當(dāng) 0?|x|?? 時, 有 證明: 對于任意給定的正數(shù) ??0, 取 ???, 因為 |sin
x1x1xxsin?|x|sin?|x|??，所以limxsinx?0?0.2．利用無窮大量定義證明：
（1）lim1?x
4x????；
1?x
4證明：對于任意給定的正數(shù) G?0, 取 M?4G?1, 則當(dāng) |x|?M 時, 有 |
所以 lim1?x
4??.|?G，x??
5．證明：若limf(x)?A，則lim|f(x)|?|A|.x?x0x?x0證明：對于任意給定的正數(shù) ??0, 由于limf(x)?A，存在??0，使得當(dāng)
x?x0
0?|x?x0|??時, 都有|f(x)?A|??，而
????|f(x)?A|?|f|?|A|?|f?A|??，即||f(x)|?|A||??，所以lim|f(x)|?|A|.x?x0
第二篇：函數(shù)極限的定義證明
習(xí)題1?3
1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1)lim(3x?1)?8;x?3
(2)lim(5x?2)?12;x?2
x2?4??4;(3)limx??2x?2
1?4x3
(4)lim?2.x??2x?12
1證明(1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3
1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33
1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5
1證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25
(3)分析
|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2
x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2
(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當(dāng)0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:
(1)lim1?x3
2x3
sinxx???1;2(2)limx???x?0.證明(1)分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.證明 因為?? ?0, ?X?(2)分析
sinxx?0?
12?, 當(dāng)|x|?X時, 有1x
1?x32x311?x31???, 所以lim?.x??2x322
1x
??, 即x?
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
證明 因為???0, ?X?
?2, 當(dāng)x?X時, 有
xsinxx
?0??, 只須
?
.?0??, 所以lim
x???
?0.3.當(dāng)x?2時,y?x2?4.問?等于多少, 使當(dāng)|x?2|
解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設(shè)|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取??0.0002, 則當(dāng)0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0.001.5
x2?1x?
34.當(dāng)x??時, y?
x2?1x2?3
?1, 問X等于多少, 使當(dāng)|x|>X時, |y?1|<0.01?
解 要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397, X?.0.01
5.證明函數(shù)f(x)?|x| 當(dāng)x?0時極限為零.x|x|
6.求f(x)?, ?(x)?當(dāng)x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?0時的極限是否存在.xx
證明 因為
x
limf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?x
limf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??
x?0
x?0
所以極限limf(x)存在.x?0
因為
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
|x|?x
?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
lim?(x)?lim?(x),??
x?0
x?0
所以極限lim?(x)不存在.x?0
7.證明: 若x???及x???時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.x??
證明 因為limf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,x???
x???
?X1?0, 使當(dāng)x??X1時, 有|f(x)?A|??;?X2?0, 使當(dāng)x?X2時, 有|f(x)?A|??.取X?max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|?X時, 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.x??
8.根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性.設(shè)f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當(dāng)0<|x?x0|
|f(x)?A|
|f(x)?A|0,??1>0, 使當(dāng)x0??1 | f(x)?A| 證明 設(shè)f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當(dāng)|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|? 這就是說存在X?0及M?0? 使當(dāng)|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|? 144163369.doc 用定義證明函數(shù)極限方法總結(jié): 用定義來證明函數(shù)極限式limf(x)?c，方法與用定義證明數(shù)列極限式類似，只是細節(jié)x?a 不同。 方法1：從不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分條件)x?a?h(?)，從而得??h(?)。 方法2：將f(x)?c放大成?x?a，解?x?a??，得x?a?h(?)，從而得???? ??h(?)。 部分放大法：當(dāng)f(x)?c不易放大時，限定0?x?a??1，得f(x)?c???x?a?，解??x?a???，得：x?a?h(?)，取??min??1,h(?)?。 用定義來證明函數(shù)極限式limf(x)?c，方法： x?? 方法1：從不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分條件)x?h(?)，從而得A?h(?)。 方法2：將f(x)?c放大成?x?a，解?x?a??，得x?h(?)，從而得???? A?h(?)。 部分放大法：當(dāng)f(x)?c不易放大時，限定x?A1，得f(x)?c??x?a，解????x?a???，得：x?h(?)，取A?max?A1,h(?)?。 平行地，可以寫出證明其它四種形式的極限的方法。 例1 證明：lim(2x?3)?7。x?2 證明：???0，要使： (2x?3)?7?2x?2??，只要 2x?2??，即0?x?2? 取???2，? 2，即可。 x2?12?。例2 證明：lim2x?12x?x?13 x?1x2?12x?12分析：因為，放大時，只有限制????22x?x?132x?1332x?1 0?x??1，即0?x?2，才容易放大。 證明：???0，限制0?x??1，即0?x?2，要使； x?1x?1x?1x?1x2?12x?12 ??，只要???????? 32x2?x?132x?1332x?132x?13 即0?x??3?，取??min(1,3?)，即可。 例3 證明：?（a?1）。 x?a 證明：???0，限制0?x?a? 1?a1?a ?1，要使：，所以x? 22? ? ? ??，只要 ?1?a?,?，即可。?，取??min???，即0?x?a? ??22 ?? ?x3,x?1 例4 設(shè)f(x)??，證明:limf(x)?1。 x?1 ?2,x?1 證明：當(dāng)x?1時，f(x)?1?x?1?x?1x?x?1 限制0?x??1，則x?x?1?1?2，?x?x?1?7。???0，要使： f(x)?1?x?1x2?x?1?7x?1??，只要7x???，即x?1? ? 7，取 ??? ??min??，當(dāng)0?x?1??時，有： ?7? f(x)???，?limf(x)?1 x?1 說明：這里限制自變量x的變化范圍0?x??1，必須按自變量x的變化趨勢來設(shè)計，x?a時，只能限制x在a點的某鄰域內(nèi)，不能隨便限制！ 錯解：設(shè)x?1，則x?x?1?3，要使： f(x)?1?x?1x2?x?1?3x?1??，只要0?x?1? ?，取??min?1,?，????3? 當(dāng)0?x?1??時，有：f(x)?1??。?limf(x)?1。 x?1 例5 證明:lim ?1。 x?12x?1 2x?11 證明：考察，?2x?1?2?x?1??1?1?2x?1 ?1? 2x?12x?1 限制0?x?1? 111，則2x?1?1?2x?1?1??。???0，要使： 422 2x??1 ???4x?1??，只要4x???，即x?1?，42x?12x?1 ?1?? ?44? ?1??，2x?1 取??min?,?，當(dāng)0?x???時，有：?lim x?1 ?1。 2x?1 1，則4 說明：在以上放大f(x)?A（即縮小2x?1）的過程中，先限制0?x?1?得：2x?1? 11。其實任取一個小于的正數(shù)?1，先限制0?x?1??1，則22 0?x?1?或0?x??1，則不2x??1?x1?1??12m?（如果是限制?0 例6 證明:lim 能達到以上目的）。 x ?2。 x?24x?7 證明：考察 7x?271x，?僅在x?的鄰域內(nèi)無界，所以，限制?2? 44x?74x?74x?7 171 0?x?2?（此鄰域不包含x?點），則4x?7?4?x?2??1?1?4x?2?。 842 ???0，要使： 7x?27x?2?x 只要14x?2??，即x?2?，?2???14x?2??，144x?74x?71?4x?2 取??min?,x?1??，當(dāng)時，有：?2??，0?x?2??? 4x?7?814? x ?2。 x?24x?7 x?0 ?lim x 例7 用定義證明極限式：lima?1，（a?1） 證明：???0（不妨??1），要使： ax?1???1???ax?1???loga?1????x?loga?1???（由對數(shù)函數(shù) 。于是，取??min??loga?1???, loga?1?????0，f(x)?logax是單調(diào)增函數(shù)） xx 當(dāng)0?x?0??時，有：a?1??。故lima?1。證畢 x?0 例8 設(shè)f(x)?0，limf(x)? A，證明：lim x?x0 x?x0 ? n?2為正整數(shù)。 證明：（用定義證明）因為，f(x)?0，由極限保不等式性知，A?0；當(dāng)A?0時，???0，由limf(x)?A，知：???0，當(dāng)0?x?x0??時，有：f(x)?A? ? x?x0 ? ?? f(x)?A n?1 ? ?? ?n?2 n?2 ? n?1 ? f(x)?A n?1 ? ? n?1，故：lim x?x0 ? im(f)x0?當(dāng)A?0時：???0，由l x?x，知： ???0，當(dāng)0?x?x0??時，有： f(x)?? ? ?0?lim x?x0 ?0。證畢 函數(shù)極限證明 記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮; 下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。 不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1; 那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當(dāng)x>N2時，0<=f2(x)同理，存在Ni，當(dāng)x>Ni時，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm}; 那么當(dāng)x>N,有 (a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n) 定義證明二重極限 就是說當(dāng)點(x,y)落在以(x0,y0)點附近的一個小圈圈內(nèi)的時候，f(x,y)與A的差的絕對值會灰?；页５慕咏?。那么就說f(x,y)在(x0,y0)點的極限為A 關(guān)于二重極限的定義，各類數(shù)學(xué)教材中有各種不同的表述，歸納起來主要有以下三種：定義1設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義(點可以除外)，如果對于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)，使得對于所論鄰域內(nèi)適合不等式的一切點p(X，y)所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末，常數(shù)A就稱為函數(shù)當(dāng)時的極限.定義2設(shè)函數(shù)的定義域為是平面上一點，函數(shù)在點兒的任一鄰域中除見外，總有異于凡的屬于D的點，若對于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)a，使得對D內(nèi)適合不等式0<戶幾卜8的一切點p，有不等式V(p)一周<。成立，則稱A為函數(shù)人p)當(dāng)p～p。時的極限.定義3設(shè)函數(shù)X一人工，”的定義域為D，點產(chǎn)人工。，人)是D的聚點，如果對于任意給定的正數(shù)。，總存在正數(shù)8，使得對于適合不等式的一切點p(X，…ED，都有成立，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的極限.以上三種定義的差異主要在于對函數(shù)的前提假設(shè)不盡相同.定義1要求人X，…在點p入x。，汕)的某去心鄰域內(nèi)有定義，而定義2允許人工，y)在點p。(X。，入)的任一去心鄰域內(nèi)都有使人X，y)無定義的點，相應(yīng)地，定義I要求見的去心鄰域內(nèi)的點p都適合/(p)一A卜 利用極限存在準則證明： (1)當(dāng)x趨近于正無窮時，(Inx/x^2)的極限為0; (2)證明數(shù)列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。 1)用夾逼準則: x大于1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0 且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0 故(Inx/x^2)的極限為0 2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂: 分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a x0>√a時,Xn-X(n-1)=/2<0,單調(diào)遞減 且Xn=/2>√a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.設(shè)數(shù)列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.對原始兩邊求極限得A=/2.解得A=√a 同理可求x0<√a時,極限亦為√a 綜上,數(shù)列極限存在,且為√ (一)時函數(shù)的極限： 以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.) 幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證…… (二)時函數(shù)的極限： 由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由= 為使需有為使需有于是,倘限制,就有 例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限: 1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有 =§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時) 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。 教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。 教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。 教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。 教學(xué)方法：講練結(jié)合。 一、組織教學(xué)： 我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課： (一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保號性: 4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)): Th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有) 註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性: 6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”) (二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限： (注意前四個極限中極限就是函數(shù)值) 這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和) 例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4 例5例6例7第三篇：用定義證明函數(shù)極限方法總結(jié)
第四篇：函數(shù)極限證明
第五篇：定義證明二重極限
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