第一篇：2013高考試題——數(shù)列大題

2013年高考試題分類(lèi)匯編——數(shù)列

x2x3xn

2013安徽(20)(13分)設(shè)函數(shù)fn(x)??1?x?2?2?...?2(x?R,n?N?),證明:

23n

2(1)對(duì)每個(gè)n∈N+,存在唯一的xn?[,1],滿(mǎn)足fn(xn)?0;

3(2)對(duì)于任意p∈N+,由(1)中xn構(gòu)成數(shù)列{xn}滿(mǎn)足0?xn?xn?p?2013北京（20）（本小題共13分）

.n

已知?an?是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an?1,an?2的最小值記為Bn，dn?An?Bn．

（Ⅰ）若?an?為2,1,4,3,2,1,4,3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對(duì)任意n?N*，an?4?an），寫(xiě)出d1,d2,d3,d4的值;

（Ⅱ）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn??d?n?1,2,3?的充分必要條件為?an?是公差為d的等差數(shù)列;

（Ⅲ）證明：若a1?2，dn?1?n?1,2,3,?，則?an?的項(xiàng)只能是1或者2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1.2正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和{an}滿(mǎn)足：sn?(n2?n?1)sn?(n2?n)?0

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）令bn?都有Tn?

n?1*

n?N，數(shù)列的前項(xiàng)和為。證明：對(duì)于任意的，Tnnn22

(n?2)a6

42013全國(guó)大綱17．（本小題滿(mǎn)分10分）

等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比數(shù)列，求?an?的通項(xiàng)

式.2013四川16．(本小題滿(mǎn)分12分)在等差數(shù)列{an}中，a2?a1?8，且a4為a2和a3的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和． 2013天津(19)(本小題滿(mǎn)分14分)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列, 其前n項(xiàng)和為Sn(n?N*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)設(shè)Tn?Sn?1(n?N*), 求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.Sn

322013陜西17.(本小題滿(mǎn)分12分)

設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(Ⅰ)導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;

(Ⅱ)設(shè)q≠1, 證明數(shù)列{an?1}不是等比數(shù)列.2013湖北

18、已知等比數(shù)列?an?滿(mǎn)足：a2?a3?10，a1a2a3?125。（I）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（II）是否存在正整數(shù)m，使得11??a1a2?1?1？若存在，求m的最小值；am

若不存在，說(shuō)明理由。

2013江蘇19．（本小題滿(mǎn)分16分）

設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d?0)，Sn是其前n項(xiàng)和．記bn?nSn，2n?c

n?N*，其中c為實(shí)數(shù)．

（1）若c?0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk?n2Sk（k,n?N*）；

（2）若{bn}是等差數(shù)列，證明：c?0．

2013浙江18．（本小題滿(mǎn)分14分）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列

（Ⅰ）求d，an；

（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．

第二篇：2013高考試題分類(lèi)——數(shù)列

（2013上海卷）23．（3 分+6分+9分）給定常數(shù)c?0，定義函數(shù)，數(shù)列a1,a2,a3,?滿(mǎn)足an?1?f(an),n?N* f(x)?2|x?c?4?|x|?c

（1）若a1??c?2，求a2及a3；（2）求證：對(duì)任意n?N,an?1?an?c，；

（3）是否存在a1，使得a1,a2,?an,?成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1，若不

存在，說(shuō)明理由.（2013四川卷）16．(本小題滿(mǎn)分12分)在等差數(shù)列{an}中，a2?a1?8，且a4為a2和a3的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和．

(2013上海春季卷)27．（本題滿(mǎn)分8分）

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn??n?n，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn?22an*，求lim（b1?b2???bn）。n??

(2013上海春季卷)30．（本題滿(mǎn)分13分）本題共有2個(gè)小題，第一小題滿(mǎn)分4分，第二小題滿(mǎn)分9分。

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)Pn在x軸上，其橫坐標(biāo)為xn，且{xn}

?是首項(xiàng)為

1、公比為2的等比數(shù)列，記?PnAPn?1??n，n?N。

（1）若?3?arctan1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)； 3，求?n的最大值及相應(yīng)n的值。（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)

為(0

（2013北京卷）20.(本小題共13分)

已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an?1，an?2,…的最小值記為Bn，dn=An－Bn。

(I)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意n∈N*，an?4?an)，寫(xiě)出d1，d2，d3，d4的值；

(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列；(III)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，則{an}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1.（2013湖北卷）18．已知等比數(shù)列?an?滿(mǎn)足：a2?a3?10，a1a2a3?125。（I）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（II）是否存在正整數(shù)m，使得

?????1？若存在，求m的最小值；若不存在，a1a2am

說(shuō)明理由。

（2013廣東卷）19．（本小題滿(mǎn)分14分）

設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1?1,(Ⅰ)求a2的值；

(Ⅱ)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；(Ⅲ)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有

（2013大綱卷）17．（本小題滿(mǎn)分10分）等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a2，2Sn12

?an?1?n2?n?,n?N*.n33

1117

?????.a1a2an4

且S1,S2,S4成等比數(shù)列，求?an?的通項(xiàng)式。

18．（2013浙江卷）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1?10，且a1,2a2?2,5a3成等

比數(shù)列。

（1）求d,an；（2）若d?0，求|a1|?|a2|?|a3|???|an|.（2013天津卷）19．(本小題滿(mǎn)分14分)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列, 其前n2

項(xiàng)和為Sn(n?N*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)Tn?Sn?

(n?N*), 求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.Sn

（2013陜西卷）17.(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(Ⅰ)導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;

(Ⅱ)設(shè)q≠1, 證明數(shù)列{an?1}不是等

比數(shù)列.（2013山東卷）20．（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，且S4?4S2，a2n?2an?1.（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列?bn?前n項(xiàng)和為T(mén)n，且 Tn?

求數(shù)列?cn?的前n項(xiàng)和Rn。

（2013江西卷）17.（本小題滿(mǎn)分12分）正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和{an}滿(mǎn)足：

2sn?(n2?n?1)sn?n(2?n?)0

an?1

.令cn?b2n(n?N*).??（?為常數(shù)）n

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）令bn?

（2013江蘇卷）19．本小題滿(mǎn)分16分。設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d?0)，n?15*

T，數(shù)列的前項(xiàng)和為。證明：對(duì)于任意的，都有 n?NT?nnnn

(n?2)2a264

Sn是其前n項(xiàng)和。記bn?

nSn*，其中c為實(shí)數(shù)。n?N2

n?c

（1）若c?0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk?nSk（k,n?N）；（2）若{bn}是等差數(shù)列，證明：c?0。（2013江蘇卷）23．本小題滿(mǎn)分10分。

k個(gè)

?????????

1k-1

1，-2，-2,3,，3-,，3-，4-，4-，?4，設(shè)數(shù)列?an?：（-4）1k-k，?，（-）1k，即當(dāng)

*

（k?1）k（kk?1）k?1

k?N??時(shí)，an?（-1）k，記Sn?a1?a2??an?n?N??，?n??22

?

對(duì)于l?N，定義集合Pl?nSn是an的整數(shù)倍，n?N，且1?n?l

?

?

?

（1）求集合P11中元素的個(gè)數(shù)；（2）求集合P2000中元素的個(gè)數(shù)。

(2013上海春季卷)11．若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23，前9項(xiàng)和為57，則數(shù)列的前n項(xiàng)和

Sn=。

（2013安徽卷）14．如圖，互不-相同的點(diǎn)A1,A2?,Xn,?和B1,B2?,Bn,?分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn?1An?1的面積均相等。設(shè)OAn?an.若

a1?1,a2?2,則數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式是_________。

（2013北京卷）10.若等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2＋a4=20，a3＋a5=40，則公比q；前n項(xiàng)和Sn（2013福建卷）9．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?...?am(n?1)?m,cn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?...?am(n?1)?m(m,n?N*),則以下結(jié)論一定正確的是（）

A．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qB．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為qC．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為q

m2m

2m

D．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為q

mm

（2013大綱卷）6．已知數(shù)列?an?滿(mǎn)足3an?1?an?0,a2??，則?an?的前10項(xiàng)和等于 3

?10

?10

?61?3（A）

?

?10

3?1?3?3?1+3?（B?1?3?（C）（D）?

?10

a1?1，Sn為其前n項(xiàng)和，（2013重慶卷）12．已知?an?是等差數(shù)列，公差d?0，若a1,a2,a5

成等比數(shù)列，則S8?_____

（2013課標(biāo)卷Ⅱ）3．等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3?a2?10a1，a5?9，則a1?

（A）

（B）?3

（C）

（D）?9

（2013課標(biāo)卷Ⅰ）14.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝

an?，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是33

an=______.

第三篇：高考數(shù)列試題及答案

數(shù)列試題

1．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9=2a5，a2=1，則a1=（）A.2．已知

為等差數(shù)列，B。1C.3D.7，則等于（）212B.。C.222D.2A.-1

3．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項(xiàng), S8?32,則S10等于（）

A.18B.24C。60D.90

4．設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，已知a2?3，a6?11，則S7等于（）

A．13B．35C。49D． 63

5．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3 =6，a1=4，則公差d等于（）

A．1B

６.已知?an?為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,則公差d＝

（A）－2（B）。－

5C。-2D 3 311（C）（D）2 22

７.設(shè)等比數(shù)列{ an}的前n 項(xiàng)和為Sn，若

S6S

=3，則9 = S3S6

（A）2（B）。

（C）（D）3 33

８．等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列。若a1=1，則s4=（A）7（B）8（ｃ）。15（4）16

９．等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知am?1?am?1?am?0，S2m?1?38,則m?

（A）38（B）20（C）。10（D）9

本題注意：因?yàn)?an?是等差數(shù)列，所以，am?1?am?1?2am

１０.（本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)?an?是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，滿(mǎn)足

a22?a32?a42?a52,S7?7。求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；

１１。已知等差數(shù)列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0求{an}前n項(xiàng)和sn.n?1

１２。已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn??an?()?2（n為正整數(shù)），令bn?2nan，12

求證數(shù)列?bn?是等差數(shù)列，并求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

１３。.設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an?5Sn?1成立，記

bn?

4?an

(n?N*)。1?an

（I）求數(shù)列?an?與數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和為Rn，是否存在正整數(shù)k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

１４ 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2

（I）設(shè)bn?an?1?2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列（II）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

１５ 等比數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為sn，已知S1,S3,S2成等差數(shù)列（1）求{an}的公比q；（2）求a1－a3＝3，求sn

1’a2?2,an＋2＝１６。已知數(shù)列?an}滿(mǎn)足，a1＝

an?an?1,n?N*.2

(Ⅱ)求?an}的通項(xiàng)公式。

???令bn?an?1?an，證明：{bn}是等比數(shù)列；

１７。已知a1?1,a2?4,an?2?4an?1?an,bn?

an?1,n?N?． an

（Ⅰ）求b1,b2,b3的值；（Ⅱ）設(shè)cn?bnbn?1,Sn為數(shù)列?cn?的前n項(xiàng)和，求證：Sn?17n

答案：１２在Sn??an?()

n?1

?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?1

?2，?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()n?1，2

當(dāng)n?2時(shí)，Sn?1??an?1?()

n?2

?2an?an?1?()n?1,即2nan?2n?1an?1?1.?bn?2nan,?bn?bn?1?1,即當(dāng)n?2時(shí)，bn?bn?1?1.又b1?2a1?1,?數(shù)列bn?是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.?

n.n21

１３（I）當(dāng)n?1時(shí)，a1?5S1?1,?a1??

于是bn?1?(n?1)?1?n?2an,?an?

n

又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1

?an?1?an?5an?1,即

11an?11

??∴數(shù)列?an?是首項(xiàng)為a1??，公比為q??的等比數(shù)

44an4

1n

4?(?)1n列，∴an?(?)，bn?(n?N*)

1?(?)n

14?(?)n

5?4?（II）不存在正整數(shù)k，使得Rn?4k成立。證明由（I）知bn?n

n(?4)?11?(?)4

552015?16k?40

?b2k?1?b2k?8???8?k?k?8?k?8.k

(?4)2k?1?1(?4)2k?116?116?4(16?1)(16?4)

∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n?2m(m?N)

?

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n?2m?1(m?N)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有Rn?4k

?

∴不存在正整數(shù)k，使得Rn?4k成立。

１４解由a1?1,及Sn?1?4an?2，有a1?a2?a4,1?2a2?3a1?2?5,?b???1a22a13

由Sn?1?4an?2，．．．①則當(dāng)n?2時(shí)，有Sn?4an?1?2．．．．．② ②－①得an?1?4an?4an?1,?an?1?2an?2(an?2an?1)

又?bn?an?1?2an，?bn?2bn?1?{bn}是首項(xiàng)b1?3，公比為２的等比數(shù)列．（II）由（I）可得bn?an?1?2an?3?2n?1，??數(shù)列{

an?1an3

?n? n?1

224

an13

}是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列．

242n

a1331??(n?1?n??n，an?(3n?1)?2n?2n22444

１５解：（Ⅰ）依題意有a1?(a1?a1q)?2(a1?a1q?a1q2)

由于 a1?0，故 2q2?q?0 又q?0，從而q?－

（（Ⅱ）由已知可得a1?a1?）?3故a1?4

1n

（41?（?））

81n從而Sn??1?（?））

1321?（?）

１６（1）證b1?a2?a1?1, 當(dāng)n?2時(shí)，bn?an?1?an?所以?bn?是以1為首項(xiàng)，?

an?1?an11

?an??(an?an?1)??bn?1, 222

為公比的等比數(shù)列。2

1n?1

（2）解由（1）知bn?an?1?an?(?),當(dāng)n?2時(shí)，an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?1?1?(?)???(?)

1212

n?2

11?(?)n?1

21521?1?[1?(?)n?2]??(?)n?1, ?1?

323321?(?)

5211?1

當(dāng)n?1時(shí)，?(?)?1?a1。

332521n?1*

所以an??(?)(n?N)。

332

.１７。解：（Ⅰ）?a2?4,a3?17,a4?72，所以b1?4.b2?（Ⅱ）由an?2?4an?1?an得

1772,b3? 417

an?2a1

?4?n即bn?1?4? an?1an?1bn

所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn?4于是c1?b1,b2?17,cn?bnbn?1?4bn?1?17所以Sn?c1?c2???cn?17n

(n≥2)

第四篇：2013高考試題分類(lèi)—數(shù)列

2013年高考試題分類(lèi)匯編——數(shù)列

2013遼寧（4）下面是關(guān)于公差d?0的等差數(shù)列?an?的四個(gè)命題：

p1:數(shù)列?an?是遞增數(shù)列；ap2:數(shù)列?nn ?是遞增數(shù)列；

?a?

p4:數(shù)列?an?3nd?是遞增數(shù)列； p3:數(shù)列?n?是遞增數(shù)列；

?n?

其中的真命題為

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 2013遼寧（14）已知等比數(shù)列?an?是遞增數(shù)列,Sn是?an?的前n項(xiàng)和.若a1，a3是方程

x2?5x?4?0的兩個(gè)根，則S6?

2013湖南15.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn?(?1)nan?（1）a3?（2）S1?S2???S100?

1?，則 n?Nn

22013安徽(8)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示, 在區(qū)間[a,b]上可找到n(n≥2)個(gè)不同的數(shù)x1,x2,…, xn ,使得

f(xn)f(x1)f(x2)

??...?,則nx1x2xn的取值范圍是

(A){3,4}(B){2,3,4}(C){3,4,5}(D){2,3} 2013安徽(20)(13分)設(shè)函數(shù)

x2x3xn

fn(x)??1?x?2?2?...?2(x?R,n?N?),證明:

23n

2(1)對(duì)每個(gè)n∈N+,存在唯一的xn?[,1],滿(mǎn)足fn(xn)?0;

3(2)對(duì)于任意p∈N+,由(1)中xn構(gòu)成數(shù)列{xn}滿(mǎn)足0?xn?xn?p?

1.n

2013安徽文（7）設(shè)Sn為等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，S8?4a3,a7??2，則a9=（A）?6（B）?4（C）?2（D）2

2013北京（10）若等比數(shù)列?an?滿(mǎn)足a2?a4?20，a3?a5?40，則公比q?；前n項(xiàng)和Sn?

．

2013北京（20）（本小題共13分）

已知?an?是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an?1,an?2?的最小值記為Bn，dn?An?Bn．

（Ⅰ）若?an?為2,1,4,3,2,1,4,3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對(duì)任意n?N*，寫(xiě)出d1,d2,d3,d4的值;an?4?an）

（Ⅱ）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn??d?n?1,2,3??的充分必要條件為?an?是公差為d的等差數(shù)列;

（Ⅲ）證明：若a1?2，dn?1?n?1,2,3,??，則?an?的項(xiàng)只能是1或者2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1.?(n2?n?1)sn?(n2?n)?0 正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和{an}滿(mǎn)足：sn

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）令bn?都有Tn?

n?

1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n。證明：對(duì)于任意的n?N*，22

(n?2)a6

42013全國(guó)大綱17．（本小題滿(mǎn)分10分）

等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比數(shù)列，求?an?的通項(xiàng)式.a2?a1?8，2013四川16．(本小題滿(mǎn)分12分)在等差數(shù)列{an}中，且a4為a2和a3的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和． 2013天津(19)(本小題滿(mǎn)分14分)

已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列, 其前n項(xiàng)和為Sn(n?N*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)Tn?Sn?

(n?N*), 求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.Sn

322013陜西14.觀察下列等式:12?112?22??3 12?22?32?6

12?22?32?42??10 …

照此規(guī)律, 第n個(gè)等式可為.2013陜西17.(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(Ⅰ)導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;

(Ⅱ)設(shè)q≠1, 證明數(shù)列{an?1}不是等比數(shù)列.2013全國(guó)課標(biāo)

7、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm?1＝－2，Sm＝0，Sm?1＝3，則m＝()

A、3B、4C、5D、6

2013全國(guó)課標(biāo)

12、設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1,2,3,… 若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝

cn＋anbn＋an

c＝n＋122，則()

A、{Sn}為遞減數(shù)列B、{Sn}為遞增數(shù)列

C、{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列D、{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

212013全國(guó)課標(biāo)14、若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝an?，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公

3式是an=______.2013湖北

14、古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)。如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為

n?n?1?1

21?n?n。記第n個(gè)k邊形數(shù)為222

N?n,k??k?3?，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：

三角形數(shù)N?n,3??

121

n?n 22

正方形數(shù)N?n,4??n2 五邊形數(shù)N?n,5??

321n?n 22

六邊形數(shù)N?n,6??2n2?n

……

可以推測(cè)N?n,k?的表達(dá)式，由此計(jì)算N?10,24??。2013湖北18、已知等比數(shù)列?an?滿(mǎn)足：a2?a3?10，a1a2a3?125。（I）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（II）是否存在正整數(shù)m，使得若不存在，說(shuō)明理由。

2013江蘇14．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5?

a1?a2???an?a1a2?an的，a6?a7?3，則滿(mǎn)足

2111?????1？若存在，求m的最小值；a1a2am

最大正整數(shù)n的值為．

2013江蘇19．（本小題滿(mǎn)分16分）

設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d?0)，Sn是其前n項(xiàng)和．記

bn?

nSn，n2?c

n?N*，其中c為實(shí)數(shù)．

（1）若c?0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk?n2Sk（k,n?N*）；（2）若{bn}是等差數(shù)列，證明：c?0．

2013浙江18．（本小題滿(mǎn)分14分）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數(shù)列（Ⅰ）求d，an；

（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|． 2013重慶（12）已知?an?是等差數(shù)列，a1?1，公差d?0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1、a2、a5稱(chēng)等比數(shù)列，則S8?．

2013全國(guó)課標(biāo)2（16）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15 =25，則nSn 的最小值為_(kāi)_______.

第五篇：數(shù)列幾道大題舉例

數(shù)列幾道大題舉例

1.已知數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?2a?1（a是常數(shù)，且a??1），an?2an?1?n2?4n?2（n?2），數(shù)列?bn?的首項(xiàng)b1?a，bn?an?n2（n?2）。

（1）證明：?bn?從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；

（3）當(dāng)a>0時(shí)，求數(shù)列?an?的最小項(xiàng)。（2）設(shè)Sn為數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和，且?Sn?是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；

分析：第（1）問(wèn)用定義證明，進(jìn)一步第（2）問(wèn)也可以求出，第（3）問(wèn)由a的不同而要分類(lèi)討論。

解：（1）∵bn?an?n

2∴bn?1?an?1?(n?1)2?2an?(n?1)2?4(n?1)?2?(n?1)2

?2an?2n2?2bn(n≥2)

由a1?2a?1得a2?4a，b2?a2?4?4a?4，∵a??1，∴ b2?0，即{bn}從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。

(4a?4)(2n?1?1)??3a?4?(2a?2)2n（2）Sn?a?2?

1Sn(2a?2)2n?3a?43a?4??2?當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1(2a?2)2n?1?3a?4(a?1)2n?1?3a?

4∵{Sn}是等比數(shù)列, ∴Sn(n≥2)是常數(shù)，Sn?1。

3（3）由（1）知當(dāng)n?2時(shí)，bn?(4a?4)2n?2?(a?1)2n，∴3a+4=0，即a??

?2a?1(n?1)所以an??，n2(a?1)2?n(n?2)?

所以數(shù)列?an?為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……

顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)。當(dāng)a?(0,)時(shí)，最小項(xiàng)為8a-1； 1

41時(shí)，最小項(xiàng)為4a或8a-1； 4

11當(dāng)a?(,)時(shí)，最小項(xiàng)為4a； 42

1當(dāng)a?時(shí)，最小項(xiàng)為4a或2a+1； 2

1當(dāng)a?(,??)時(shí)，最小項(xiàng)為2a+1。2當(dāng)a?

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。考點(diǎn)二：求數(shù)列的通項(xiàng)與求和

?2.已知數(shù)列?an?滿(mǎn)足a1?1,an?1?2an?1n?N ??

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列?bn?滿(mǎn)足4（Ⅲ）證明：

b1?1

4b2?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，證明：?bn?是等差數(shù)列；

1112??????n?N?? aa3an?13 2

分析：本例（1）通過(guò)把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三

項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問(wèn)關(guān)鍵在如何放縮。解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)故數(shù)列{an?1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。

?an?1?2n，an?2n?1

（2）?4

b1?1

4b2?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，?4

(b1?b2???bn?n)

?2nbn

2(b1?b2???bn)?2n?nbn①

2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②

②—①得2bn?1?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③

?(n?1)bn?1?2?nbn?2④

④—③得2nbn?1?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1 所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列

11111

?n?1?n?1?

an2?12?22an?111111111111

設(shè)S?，則S??????(????)??(S?)

a2a3an?1a22a2a3ana22an?1

21212S?????

a2an?13an?13

（3）?

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的不等式要用放縮來(lái)解決難度就較大了，而且不容易把握，對(duì)于這樣的題要多探索，多角度的思考問(wèn)題。

3.已知函數(shù)f(x)?x?ln?1?x?,數(shù)列?an?滿(mǎn)足0?a1?1,11

an?1?f?an?;數(shù)列?bn?滿(mǎn)足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證:

（Ⅰ）0?an?1?an?1;

an2

;（Ⅱ）an?1?2

（Ⅲ）若a1?,則當(dāng)n≥2時(shí),bn?an?n!.分析：第（1）問(wèn)是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問(wèn)可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問(wèn)進(jìn)行放縮。

解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0?an?1,n?N*.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即0?ak?1.則當(dāng)n=k+1時(shí),1x??0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).x?1x?1

又f(x)在?0,1?上連續(xù),所以f(0)

故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.即0?an?1對(duì)于一切正整數(shù)都成立.又由0?an?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,從而an?1?an.綜上可知0?an?1?an?1.x2x2

(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= ?ln(1?x)?x, 0

x2

由g?(x)??0,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).1?x

又g(x)在?0,1?上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.an2an2

因?yàn)??an?1,所以g?an??0,即?f?an?>0,從而an?1?.22

b11n?1

(Ⅲ)因?yàn)?b1?,bn?1?(n?1)bn,所以bn?0,n?1? ,bn222

bbb1

所以bn?n?n?1?2?b1?n?n!————① ,bn?1bn?2b12

an2aaaaaaaaa,知:n?1?n,所以n=2?3?n?12?n?1 , 由(Ⅱ)an?1?

22an2a1a1a2an?122, n≥2, 0?an?1?an?1.a1n2?a121a1a2an?1

所以 an???a1

由①② 兩式可知: bn?an?n!.因?yàn)閍1?

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。

考點(diǎn)四：數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系 4.已知函數(shù)f(x)=

5?2x，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列?an?滿(mǎn)足a1=l，an?1?f?an?．

16?8x

(1)寫(xiě)出a2、a3的值;(2)試比較an與的大小，并說(shuō)明理由；

4n

51n

(3)設(shè)數(shù)列?bn?滿(mǎn)足bn=－an，記Sn=?bi．證明：當(dāng)n≥2時(shí),Sn＜(2－1)．

44i?

1分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

5?2an7

3解：(1)an?1?，因?yàn)閍1?1,所以a2?,a3?.16?8an84（2）因?yàn)閍n?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.5

548(an?)an?

55?2an5?3?, an?1????

416?8an432(2?an)22?an因?yàn)??an?0,所以an?1?

與an?同號(hào)，44

515555???0，a2??0,a3??0,…，an??0,即an?.444444

531531

（3）當(dāng)n?2時(shí)，bn??an???(?an?1)???bn?1

422?an?1422?an?1

31???bn?1?2bn?1，22?4

所以bn?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b1?2n?3，13?n(1?2n)

111?1?

所以Sn?b1?b2???bn???????????(2n?1)

421?24?2?

因?yàn)閍1?

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。