第一篇：公務(wù)員數(shù)列歸納整理總結(jié)

數(shù)列歸納整理總結(jié)

1、帶有負數(shù)的數(shù)列；

2、帶有零的數(shù)列 ；

3、帶有分數(shù)的數(shù)列；

4、帶有相同數(shù)字的數(shù)列 ；

5、帶有“1”的數(shù)列；

6、數(shù)列中帶有“忽然變大的數(shù)字”的數(shù)列

一、帶有負數(shù)的數(shù)列1、08 A-27，-7，1，3，5，13，（）

2、10A-1/3，1，5，17，53，（）

3、11A-1，2，1，8，19，（）

4、12A-26，-6，2，4，6，（）

5、11B2，3，0，-7，-18，（）

6、11B-30，-4，()，24，122，340

二、帶有相同數(shù)字的數(shù)列；

1、12A1，1，2，8，64，()

2、12A8，4，8，10，,14，（）

3、12A1/3，1，1，13/17，()，12/654、11A2，4，4，8，16，（）

5、10A6，8，8，0，-32，()

6、09A1，1，3，5，11，()

7、09B7，8，8，10，11，()

8、10B1/2，1/2，5/8，7/9，11/10，（）

三、帶有分數(shù)的數(shù)列1、12A1/3，1，1，13/17，（），21/652、09A100，10，12 1/2，16 2/3，25，（）

3、09A1/3，4/7，7/11，2/3，13/19，（）4、09A2，11/3，28/5，53/7，86/7，（）

5、11A2/3，1/3，5/12，53/480，()

6、10A-1/3，1，5，17，53，（）

7、10A21/32，1，25/24，17/18，43/54，（）8、0

四、數(shù)列中帶有“忽然變大的數(shù)字”的數(shù)列

第二篇：數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)

知識框架

??數(shù)列的分類?數(shù)列??的概念?數(shù)列的通項公式?函數(shù)角度理解?數(shù)列的遞推關(guān)系??????等差數(shù)列的定義an?an?1?d(n?2)???等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?????等差數(shù)列?nn(n?1)??等差數(shù)列的求和公式S?(a?a)?na?d?n1n1??22????等差數(shù)列的性質(zhì)an?am?ap?aq(m?n?p?q)?????兩個基?an?等比數(shù)列的定義?q(n?2)???本數(shù)列an?1???n?1???等比數(shù)列的通項公式an?a1q????a1?anqa1(1?qn)??等比數(shù)列?數(shù)列??(q?1)??等比數(shù)列的求和公式Sn??1?q1?q?????na(q?1)??1?????等比數(shù)列的性質(zhì)aa?aa(m?n?p?q)nmpq?????公式法??分組求和????錯位相減求和??數(shù)列?裂項求和 ?求和??倒序相加求和????累加累積??歸納猜想證明????分期付款?數(shù)列的應(yīng)用???其他?掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學思想法的應(yīng)用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問題。

一、典型題的技巧解法

1、求通項公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項。

對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。

(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan（d，q為常數(shù)）例

1、已知{an}滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。

例

1、解 ∵an+1-an=2為常數(shù) ∴{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列

∴an=1+2（n-1）即an=2n-1 例

2、已知{an}滿足an?1?1an，而a1?2，求an=？ 2

（2）遞推式為an+1=an+f（n）

例

3、已知{an}中a1?11，an?1?an?，求an.224n?11111?(?)

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1解： 由已知可知an?1?an?令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）個等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

114n?3an?a1?(1?)?

22n?14n?2★ 說明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1個等式累加而求an。

(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）

例

4、{an}中，a1?1，對于n＞1（n∈N）有an?3an?1?2，求an.解法一： 由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）因此數(shù)列{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列，其首項為a2-a1=（3×1+2）-1=4 n-1n-1 n-1∴an+1-an=4·3 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3即 an=2·3-1

2n-2解法二： 上法得{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·3，…，an-an-1=4·3，把n-1個等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

(4)遞推式為an+1=p an+q n（p，q為常數(shù)）

bn?1?bn?b221n1n(bn?bn?1)由上題的解法，得：bn?3?2()n ∴an?n?3()?2()33232n

(5)遞推式為an?2?pan?1?qan

思路：設(shè)an?2?pan?1?qan,可以變形為：an?2??an?1??(an?1??an)，想

于是{an+1-αan}是公比為β的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。

求an。

(6)遞推式為Sn與an的關(guān)系式

關(guān)系；（2）試用n表示an。

∴Sn?1?Sn?(an?an?1)?(∴an?1?an?an?1?n+1n+

1n

12n?1n

∴an?1)

2n?22n?111?an?n 221?1上式兩邊同乘以2得2an+1=2an+2則{2an}是公差為2的等差數(shù)列。

n∴2an= 2+（n-1）·2=2n

2．數(shù)列求和問題的方法（1）、應(yīng)用公式法

等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n

2【例8】 求數(shù)列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n項的和。

1解 本題實際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項中，共有1+2+…+n=n(n?1)個奇數(shù)，212∴最后一個奇數(shù)為：1+[n(n+1)-1]×2=n+n-1 2因此所求數(shù)列的前n項的和為

（2）、分解轉(zhuǎn)化法

對通項進行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。

2222222【例9】求和S=1·（n-1）+ 2·（n-2）+3·（n-3）+…+n（n-n）

解 S=n（1+2+3+…+n）-（1+2+3+…+n）2333

3（3）、倒序相加法

適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。

例

10、求和：Sn?3Cn?6Cn???3nCn 例

10、解 Sn?0?Cn?3Cn?6Cn???3nCn

∴ Sn=3n·2 n-1 12n012n4

（4）、錯位相減法

如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯位相減求和．

例

11、求數(shù)列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n項的和．

解 設(shè)Sn=1+3+5x+…+(2n-1)x． ①

(2)x=0時，Sn=1．

23n(3)當x≠0且x≠1時，在式①兩邊同乘以x得 xSn=x+3x+5x+…+(2n-1)x，②

23n-1n①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x+2x+…+2x-(2n-1)x．

2n-

1(5)裂項法：

把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然后前后相消。常見裂項方法：

例12、求和1111???? 1?53?75?9(2n?1)(2n?3)

注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負項一樣多。

在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數(shù)學思想在解決數(shù)列問題時的應(yīng)用。

二、常用數(shù)學思想方法 1．函數(shù)思想

運用數(shù)列中的通項公式的特點把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。

【例13】 等差數(shù)列{an}的首項a1＞0，前n項的和為Sn，若Sl=Sk（l≠k）問n為何值時Sn最大？

此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)?！遖1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函數(shù)的圖像開口向下 ∵ f（l）=f（k）

2．方程思想

【例14】設(shè)等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q。分析 本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識及推理能力。

解 ∵依題意可知q≠1。

∵如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此應(yīng)推出a1=0與等比數(shù)列不符?！遯≠1

整理得 q（2q-q-1）=0 ∵q≠0 363

此題還可以作如下思考：

33336S6=S3+qS3=（1+q）S3。S9=S3+qS6=S3（1+q+q），33663∴由S3+S6=2S9可得2+q=2（1+q+q），2q+q=0

3．換元思想

【例15】 已知a，b，c是不為1的正數(shù)，x，y，z∈R+，且

求證：a，b，c順次成等比數(shù)列。

xyz 證明 依題意令a=b=c=k ∴x=1ogak，y=logbk，z=logck

∴b=ac ∴a，b，c成等比數(shù)列（a，b，c均不為0）2 6

第三篇：數(shù)列知識點總結(jié)

數(shù)列知識總結(jié)

一、基本概念

1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．

?數(shù)列的項、數(shù)列的項數(shù)?

?

?表示數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系的公式??通項公式：不是所有的數(shù)列都有通項公式??? ?

??符號控制器：如（?1）n、（?1）n+1

??遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系的公式．

?有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．

?

?無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．數(shù)列分類???

遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列． ?遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列．??常數(shù)列：各項相等的數(shù)列．??擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列．

二、等差數(shù)列：從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．a(chǎn)n?an?1?d,n?2且n?Z，或an?1?an?d,n?1且n?Z

?

??

an?a1??n?1?d?am??n?m?d?kn?b1、若等差數(shù)列?a?

a?a1an?amn?的首項是a1，公差是d，則有?d?n ?

n?1?

n?m ???

n?an?a1d?1??

等差中項：三個數(shù)a，G，b組成的等差數(shù)列，則稱G為a與b的等差中項?2G=a?b

?

??2n性質(zhì)：??若{a?p?q?2an?ap?aqn}是等差數(shù)列，則?

??m?n?p?q?a?

m?an?ap?aq

?若{an}是等差數(shù)列，則am、am?k、am?2k、am?3k、構(gòu)成公差公差kd的等差數(shù)列??

若{an}、{bn}是等差數(shù)列,則{?an+?}、{?an+?bn}是等差數(shù)列

2、等差數(shù)列的前n項和的公式： Sn?a1?an?n?nn?

2?na?1?

1?2

d?pn2?qn等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：

???S偶?S奇?nd

?若項數(shù)為2n?n??*

?，則S?2n?n?an?an?1?，?S奇an（1）?

???

?S?偶an?1

?

?S奇?S偶?an??若項數(shù)為2n?1?n??*?，則S1?a?2n?1??2n?n，S奇?nanS偶??n?1?an，?S奇n??

???S偶n?1

?Sm，S2m?Sm,S3m?S2m（2）?成等差數(shù)列??S

?{n

n

是等差數(shù)列若等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和為Sn,Tn?1

n，則

anS2b?

nT2n?1

（3）等差數(shù)列的求和最值問題：（二次函數(shù)的配方法；通項公式求臨界項法）

①若??a1?0

?ak?0?d?0，則Sn有最大值，當n=k時取到的最大值k滿足??ak?1

?0

②若??a1?0，則?ak?0?d?0Sn有最小值，當n=k時取到的最大值k滿足?

?ak?1

?0

三、等比數(shù)列：從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．

1、通項公式及其性質(zhì)

?a?1n?a1qn?an?mmq若等比數(shù)列?a，公比是q，則?

n?的首項是a1?n?1ann?man．

??

q?a,q?1a

m??a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a與b的等比中項?G2?ab

性質(zhì)：若??{a是等比數(shù)列，則??2n?p?q?a2

n?ap?aq

?n}?

?m?n?p?q?am?an?ap?aq??

?ak

m、am?k、am?2k、am?3k、成公比q的等比數(shù)列

2、前n項和及其性質(zhì)

?na1?q?1?,(S?

q?1)n???

a1?1?qn?． ?

1?q?a1?anq1?q?a1?a1

qn

1?q??a11?qqn?a11?q??Aqn?A,?q?1??Sn?

n?m?Sn?q?Sm

?Sn、S2n?Sn、S3性質(zhì)?

n?S2n成等比數(shù)列?S． ?若項數(shù)為2n，則偶

?

S?q

奇??Sm，S2m?Sm,S3m?S2m成等比數(shù)列

四、(1)a??S1

?n?1?n與Sn的關(guān)系：an??

??Sn

?S;（檢驗a1是否滿足an?Sn?Sn?1）n?1?n?2??

?1?2?3??n?n(n?1)?

2(2)??12?22?32??n2

?n(n?1)(n?2)

?

6?2?333n?1?2?3??n3?(n?1)24

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第四篇：數(shù)列知識點總結(jié)

必修⑤ 第二章 數(shù)列知識總結(jié)

一、等

?1．等差數(shù)列定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項；數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集N(或它的有限子集{1,2,?,n}的函數(shù)當

自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值.它的圖像是一群孤立的點.它具有如下特征：

an?1?an?d, 或an?2?an?1?an?1?an(n?N?)

注意：

（1）證明數(shù)列{an} 是等差數(shù)列的五種基本方法（③④⑤大多用在客觀題上）：

①利用定義：證明an?1?an?d（常數(shù)）

②利用中項性質(zhì)：證明2an?an?1?an?2(n?N?)

③通項公式法：an?pn?q（p、q為常數(shù)）?{an}為等差數(shù)列

④前n項和公式法：Sn?An2?Bn（A、B為常數(shù)）?{an}為等差數(shù)列

（2）證明數(shù)列?an?不是等差數(shù)列的常用方法：找反例.(如驗證前三項不成等差數(shù)列).（3）若an?1?an?n,a1?a,n?N?，則{an}不是等差數(shù)列,求an可用累加法

an?(an?a??n1)?(a?n1?a?n2)?

2．通項公式及其變式 ⑤{an}成等比數(shù)列且an?0?{lgan}為等差數(shù)列 ?(a?a,n 2.21)?a1≥

an?a1?(n?1)d?dn?(a1?d)

變式：①an?am?(n?m)d②a1?a(n?1)dn?

a?aa?a ③d?nm④d?nm（聯(lián)想點列(n,an)所在直線的斜率）n?mn?m

3．前n項和公式及其變式

n(a1?an)?na1?n(n?1)d； 2

2變式: ①Sn?ann?n(n?1)d 聯(lián)想:?an?是以an為首項, ?d為公差的等差數(shù)列.2②Sn?n?(a1?)n S?S?③n?(n?1)?a1聯(lián)想：?n? 是以a1為首項,為公差的等差數(shù)列 2??

Sa?ana1?a2???an④n?1聯(lián)想：算術(shù)平均數(shù) ?Sn?

4．等差中項

若 a, b, c成等差數(shù)列，則b 稱a與c的等差中項，且b?．

5．重要性質(zhì)(等差數(shù)列?an?中)

?（1）對稱性質(zhì)：若m+n=p+q(m.、n、p、q?N), 則am?an?ap?aq；

特別地：當m+n=2p時am?an?2ap;

(2）若d為{an}的公差，則其子數(shù)列ak,ak?m,ak?2m,?,也成等差數(shù)列，且公差為md；（3）片段和性質(zhì)：Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,?也成等差數(shù)列，且公差為md；（4）若?an?,?bn?都是等差數(shù)列,則?kan?,?kan?p?,?kan?pbn?都為等差數(shù)列；

S奇a

?n；S2n?n(an?an?1);S偶an?

1S*

若項數(shù)為2n-1(n?N)則S奇?S偶?an；奇?；S2n?1?(2n?1)an.S偶n?1

（5）若項數(shù)為2n(n)則S偶?S奇?nd；

評注:有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項和”－“奇數(shù)項和”＝總項數(shù)的一半與其公差的積；若總項數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項和”－“偶數(shù)項和”＝此數(shù)列的中項.6．常用結(jié)論、技巧，減少運算量（注意對稱設(shè)元，整體消參，設(shè)而不求）（1）設(shè)元技巧：如三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a?d,a,a?d；

四個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a?3d,a?d,a?d,a?3d.（2）在等差數(shù)列中，求Sn最值：

方法一：建立Sn的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為n的二次函數(shù)求； 方法二：若a1?0,d?0時,Sn有最大值，這時可由不等式組?

?an≥0

來確定n；

?an?1≤0

?an≤0

若a1?0,d?0時,Sn有最小值，這時可由不等式組?來確定n.a≥0?n?

1（3）基本量計算：等差數(shù)列中有五量(a1,n,d,an,Sn)、三式（一個通項公式，兩個求和公式），一般可以“知三求二”通過列方程（組）求關(guān)鍵量a1和d，問題可迎刃而解.（4）幾個重要結(jié)論

①ap?q,aq?p(p?q)?ap?q?0 ②Sp?q,Sq?p(p?q)?Sp?q??(p?q)③Sp?Sq(p?q)?Sp?q?0 ④Sm?n?Sm?Sn?mnd

二、等比數(shù)列

１．定義與特征：

定義：______________________________________________.它具有如下特征：

an?1aa

?q(q為不為零常數(shù))或者n?2?n?1（n?N*）nn?1nan?

1?q(q為不為零常數(shù))an

注：（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法：

①利用定義：

②利用等比中項：an?1?an?an?

2③通項公式法: an?cqn(c?0)④前n項和法:Sn?kqn?k

a

(k?0)

（2）證明數(shù)列?an?不是等比數(shù)列的常用方法：找特例.2．通項公式：an?a1qn?1；

變式：an?amqn?m； q

3．前n項和公式：

n?m

⑤{an}成等差數(shù)列?{cn}為等比數(shù)列

?

an?

（n>m;m、n?N）m

a1(1?qn)a1?anq

sn?；?(q?1)

（1）注意：運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時分類討論.Sn1?qn

（2）當公比q?1時，?

m1?qm

4．等比中項

若a，G , b成等比數(shù)列，則G為a, b的等比中項，即G??ab,ab?0.5．性質(zhì)

在等比數(shù)列?an?中，有

（1）若m+n=p+q，m ,n, p ,q?N, 則aman?apaq；

當m+n=2p時，aman?ap；

?

???an??b,???,??也成等比數(shù)列； nn

?n??n?

m

（3）若q為{an}的公比，則其子序列ak,ak?m,ak?2m,?也成等比數(shù)列,公比為q；

()

（4）片段和:Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,?也成等比數(shù)列，且公比為qm.（2）若{an},{bn}成等比數(shù)列, 則{|an|}?kan?,an

???a

6．常用結(jié)論、技巧：

（1）①Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm ②S3n?Sn?qnS2n?S2n?q2nSn（2）前n項和公式，一定要分q=1或q?1兩種情況．(3)設(shè)元技巧：三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為,a,aq；

四個數(shù)成等比數(shù)列，不能設(shè)為3，aq,aq，只有當q>0時才可以．

qq

(4)等比數(shù)列?an?的單調(diào)性

①當a1?0,q?1或 a1<0,0?q?1時，等比數(shù)列?an?為遞增數(shù)列； ②當a1?0,0?q?1或 a1<0,q?1時，等比數(shù)列?an?為遞減數(shù)列； ③當q?1時，等比數(shù)列?an?為常數(shù)列;

④當q?0時，等比數(shù)列?an?為擺動數(shù)列.(5)有限項等比數(shù)列中，設(shè)“偶數(shù)項和”為S偶，“奇數(shù)項和”為S奇

①若總項數(shù)為偶數(shù)2n，則S偶?qS奇； ②若總項數(shù)為奇數(shù)2n?1，S奇?a1?qS偶.三、數(shù)列求和的方法：

１．公式法

(1)等差數(shù)列{an}的前n項和公式（三種形式）;

(2)等比數(shù)列{an}的前n項和公式（三種形式）;(3)幾個重要公式

①1?3?5???(2n?1)?(n?1)

2②12?22?32???n2?n(n?1)(n?2)

n2(n?1)2333

3③1?2?3???n?

２．倒序相加法:在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前n和公式的推導方法）． 如: 在和n?1之間插入n個正數(shù)，使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列，求所插入的n個數(shù)之積． 3．錯位相減法：適用于?bn?cn?的數(shù)列；其中?bn?成等差數(shù)列,?Cn?成等比數(shù)列.n

記Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn；則qSn?b1c2???bn?1cn?bncn?1.（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導方法之一）

4．裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：

??②?(?)③?[?] ④an?Sn?Sn?1(n≥2)

5.分組求和：適用于cn?an?bn，而?an?、?bn?的和易求得.四、求一般數(shù)列通項公式的類型及方法：

①

1．應(yīng)用公式（等差、等比數(shù)列）；

??S1(n?1)2．已知Sn求an可用an??,是否分段,需要驗證.S?S(n≥2)?n?1?n

(數(shù)列的通項、數(shù)列的項數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項與數(shù)列的前n項和公式的關(guān)系)

3．累加法：適用于差后等差或差后等比的數(shù)列；

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1；

如：①已知數(shù)列?an?滿足an?1?an?2n,a1?3,求an；

②已知數(shù)列?an?滿足an?1?an?2n,a1?3,求an.4．累積法：適用于分式給出的遞推式，累積后可以消去中間項，aaa

an?n?n?1???2?a1,n≥2.n?1n?

21如：① 已知數(shù)列?an?滿足

an?1?,a1=1,求an； nan

② 已知數(shù)列?an?滿足n?1?2,a1=1,求an.n

5．構(gòu)造特殊數(shù)列法：

（1）利用遞推關(guān)系寫出數(shù)列的前幾項，根據(jù)前幾項的特點觀察、歸納猜想出an的表達式，然后用數(shù)學歸納法證明.（2）將遞推關(guān)系式進行變形,然后運用累加、累積、迭代、換元轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列（等差、等比數(shù)列）；

如：已知數(shù)列?an?滿足an?1?3an?2,a1?1,求an；

五、數(shù)列的應(yīng)用(三個模型)

已知數(shù)列?an?滿足an?an?1?2n?1,a1?1,求an.凡涉及到利息、產(chǎn)量、降價、繁殖增長率以及分期付款等問題時都可以用數(shù)列解決.(1)復利公式:按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利

和y?a(1?r)

（2）單利公式:利息按單利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和

x

y?a(1?xr)

（3）產(chǎn)值模型:原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間x的總產(chǎn)值y?N(1?p)

x

第五篇：數(shù)列專題

數(shù)列專題

朱立軍

1、設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；

(2)設(shè)數(shù)列 ??

1??a? 的前n項和為T1

1n，求證：nan＋1?5≤Tn＜

42、設(shè)數(shù)列?a

2n?1n?滿足a1＋3a2＋3a3＋…＋3an

＝n

3，a∈N*.(1)求數(shù)列?an?的通項；(2)設(shè)bn

n＝

a，求數(shù)列?bn?的前n項和Sn。n3、在數(shù)列{a*

n}中，a1＝3，an＝－an-1－2n＋1(n≥2且n∈N).(1)求a2，a3的值；

(2)證明：數(shù)列{an＋n}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.4、已知數(shù)列{a項和S1211*

n}的前nn＝2n

2，數(shù)列{bn}滿足bn+2－2bn+1＋bn＝0(n∈N)，且b3＝11，前9

項和為153.(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；(2)設(shè)cn＝

3n

－

n

－，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，若對任意正整數(shù)n，Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．

5、已知點(1,2)是函數(shù)f(x)＝ax

(a＞0且a≠1)的圖象上一點，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝f(n)－1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若bn＝logaan+1，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.6、已知數(shù)列{aa*

n }中，1=2，對于任意的p,q∈N，都有ap?q?ap?aq.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)令b*

*

n＝ln an(n∈N)，是否存在k(k∈N)，使得bk、bk+

1、bk+2成等比數(shù)列？若存在，求出所

有符合條件的k的值，若不存在，請說明理由；(3)令cn＝

1aa，S{c*n

n為數(shù)列n}的前n項和，若對任意的n∈N，不等式tSn

1立，求實數(shù)t的取值范圍．

7、已知數(shù)列{a滿足：a2n

n}和{bn}1＝λ，an+1＝

3an＋n－4，bn＝(－1)(an－3n＋21)，其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù).(1)對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

(2)試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.數(shù)列專題答案

1．(1)解 由Sn＝nan－2n(n－1)得an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n，即an＋1－an＝4.∴數(shù)列{an}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，∴an＝4n－3.(2)證明 T11111

11n＝a＋…＋＋1

1a2a2a3anan＋11×55×99×13

－

＋

???1－***14n－3－14n＋1?

＝114?

1－4n＋11?＜4.又易知T111

n單調(diào)遞增，故Tn≥T1＝5，得5≤Tn

42．解析：(1)a

2an-1

n

1＋3a2＋33＋…＋3an＝3

①

a＋3a＋32aan?1n-1

11123＋…＋3n-2 n-1＝3 ②, ①-②得3an =3,所以an?3

n(n≥2).經(jīng)過驗證當n=1也成立,因此a1

n?3

n.(2)bna=n3n,利用錯位相減法可以得到S?(2n?1n＝

n)3n?1?3.n

443．(1)解：∵a*

1＝3，an＝－an－1－2n＋1(n≥2，n∈N)，∴a2＝－a1－4＋1＝－6，a3＝－a2－6＋1＝

1.(2)證明 ∵an＋n－an－1－2n＋＋n

aa

n－1＋－n－1＋n－1

＝－an－1－n＋1a＝－1，n－1＋n－1

∴數(shù)列{a＋1＝4，公比為－1的等比數(shù)列.∴an－1

n＋n}是首項為a1n＋n＝4·(－1)，即an＝4·(－1)n－1－n，∴{a1)n－1－n(n∈N*

n}的通項公式為an＝4·(－).n

(3)解 ∵{an－1

n}的通項公式為an＝4·(－1)

－n(n∈N*)，所以Sn＝∑ak＝

k＝1

n

n

n

n

∑[4·(－1)

k－1

－k] ＝∑[4·(－1)

k－1

]－∑k＝4×

1－－

－

＋

k＝1

k＝1

k＝1

1－－2

＝2[1－(－1)n

]－

(n2

＋n)＝－n＋n－4n

2(－1).4．解(1)因為S1211

n＝2＋2

n，當n≥2時，an＝Sn－Sn-1＝n＋5，當n＝1時a1＝S1＝6，滿足上式，所以an＝n＋5，又因為bn+2－2bn-1＋bn＝0，所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，由S＋b

79＝

153，b3＝11，故b7＝23，所以公差d＝23－11

7－33，所以bn＝b3＋(n－3)d＝3n＋2，(2)由(1)知c3

n＝

11?1n

－

n

－

－

＋

2?1?2n－12n＋1?，所以T1n＝c1＋c2＋…＋cn＝?1??11??12???1－3??＋??35??＋…＋??2n－112n＋1??????

＝1112?1－2n＋1?＝n2n＋1，又因為Tn＋1nn＋1－Tn＝2n＋32n＋1＝＋

＋

0，所以{T1n}單調(diào)遞增，故(Tn)min＝T13

而Tn＝

n2n＋1n2n121312n，Ta的最大值為1

nn∈[a，b]時3，b的最小值為12(b－a)＝111min236

5．解(1)把點(1,2)代入函數(shù)f(x)＝ax得a＝2，所以數(shù)列{an項和為Sn

n}的前n＝f(n)－1＝2－1.當n＝1時，ann－1n-1

1＝S1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2－2＝2，對n＝1時也適合．∴an-1

n＝2.(2)由a＝2，b＝log，所以an-1

naan+1得bn＝nnbn＝n·2.T01＋3·22＋…＋n·2n-1

n＝1·2＋2·2，①

2T12＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n

n＝1·2＋2·2②

由①－②得：－T0＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，所以T＝(n－1)2n

n＝2n＋1.6．解 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列和利用不等式知識解答恒成立問題等知識，考查運算求解

能力、推理論證能力，以及分類討論的數(shù)學思想．解答存在性問題的基本策略是先假設(shè)存在，然后結(jié)合已知條件展開證明．

(1)令p＝1，q＝n，則有an+1＝an＋a1，故an+1－an＝a1＝2，即數(shù)列{an}是以2為首項，2為公差的等

差數(shù)列，所以數(shù)列{a*

n}的通項公式為an＝2n(n∈N)．

(2)假設(shè)存在k(k∈N*)，使得b 2*

k、bk+

1、bk+2成等比數(shù)列，則bkbk＋2＝bk＋1(k∈N)．

因為bln a*

n＝n＝ln 2n(n∈N)，所以b＋

kbk+2＝ln 2k·ln 2(k＋2)< ??ln 2k＋

2＋

2?

2?2＝???

2??2＋?

＝

[ln 2(k＋1)]2＝b 2b2*

k＋1，這與bkbk+2＝k＋1矛盾．故不存在k(k∈N)，使得bk、bk+

1、bk＋2成等比數(shù)列．

(3)因為c111n＝a＝＝nan＋1＋41?n1n＋1??? ,所以S＝111n?111

14??1－2＋＋…＋nn＋1?＝

4???1－1n＋1???

＝n＋n為偶數(shù)時，若對任意的n∈N*，不等式tSn

n

t<＋＋n4???n＋9n＋10???，而4???n＋9n＋10???≥4???n·9?n＋10??＝64，當且僅當n＝9

n

n＝3時，等號成立，故t<64；

當n為奇數(shù)時，若對任意的n∈N*，不等式tSn

－＋n

＝4???n－9n8???，因為n－99nn的增大而增大，所以當n＝1時，n－n取得最小值－8，此時t需滿足t<－64.綜上知，實數(shù)t的取值范圍為(－∞，－64)。

7．(1)證明 假設(shè)存在一個實數(shù)λ，使{a2

n}是等比數(shù)列，則有a 2＝a1a3，即??2?3－3??2?＝λ??4?9－4?

??

?492－4λ＋9＝42

λ－4λ?9＝0，矛盾，所以{an}不是等比數(shù)列.(2)解 因為b＝(－1)n+1[an+1n＋1－3(n＋1)＋21] ＝(－1)??2

n＋1?3an－2n＋14???

＝－2n

23(－1)·(an－3n＋21)＝－3

n.又b*

1＝－(λ＋18)，所以當λ＝－18時，bn＝0(n∈N)，此時{bn}不是等比數(shù)列；

當λ≠－18時，b2bn＋12*

1＝－(λ＋18)≠0，由bn＋13n.可知bn≠0，所以b＝－(n∈N).故當λ≠

n3－18時，數(shù)列{b2

n}是以－(λ＋18)為首項，－3為公比的等比數(shù)列.