第一篇：10專題十?dāng)?shù)列極限與函數(shù)極限

2012年高考復(fù)習(xí)資料—第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)題

華中師大一附中孟昭奎

專題十?dāng)?shù)列極限與函數(shù)極限

一、選擇題

(1?x)m?a?b，則a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n?0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(?n??1

4A．1 111????)的值為（）4?64?6?84?6?8???2n1111B．C．418D．11 24

?x3?2x?a2(x?1)?3．若函數(shù)f(x)??15a在點(diǎn)x=1處連續(xù)，則實(shí)數(shù)a=（）(x?1)??3x?

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命題：①發(fā)果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x?1，那么f(x)=0；③如x??x

?x2?2x?x,x?0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)??，那么limf(x)=0，其中真x??2x?0x?2?x?1,x?0?

命題是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2?bx3cx3?bx?ccx?a1?，則lim5．設(shè)abc≠0，lim的值等于（）?，limx??ax?bx??bx3?cx2?a3x??bx2?c4

419 A．4B．C．D． 944

an?1?abn?126．設(shè)正數(shù)a, b滿足lim(x+ax-b)=4，則lim等于（）n??ax?2?2b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展開(kāi)成關(guān)于x的多項(xiàng)式，其各項(xiàng)系數(shù)和為an，則lim等于（）

A．2an?1n??a?1n14B．12C．1D．2

二、填空題

8．已知數(shù)列的通項(xiàng)an=-5n+2，其前n項(xiàng)和為Sn，則lim

9．lim(x?2Sn=________． n??n241?)=________． x2?4x?

2專題十?dāng)?shù)列極限與函數(shù)極限

2012年高考復(fù)習(xí)資料—第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)題

華中師大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在數(shù)列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

an?bn

為常數(shù)，則limn的值為_(kāi)_________． n??a?bn

?e?x?1,(x?0)11．關(guān)于函數(shù)f(x)??(a是常數(shù)且a>0)．下列表述正確的是_________．（將你?2ax,(x?0)

認(rèn)為正確的答案的序號(hào)都填上）

①它的最小值是0

②它在每一點(diǎn)處都連續(xù)

③它在每一點(diǎn)處都可導(dǎo)

④它在R上是增函數(shù)

⑤它具有反函數(shù)

12．如圖所示，如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有_______條．這些直線中共有f(n)對(duì)異面直線，則f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用數(shù)字或n的解析式表示）

三、解答題

?1??x(x?0),?13．已知f(x)?? x?a?bx(x?0).?

（1）求f(-x)；（2）求常數(shù)a的值，使f(x)在區(qū)間(-∞, +∞)內(nèi)處處連續(xù)．

14．已知{an}, {bn}都是公差不為0的等差數(shù)列，且limana?a2???an?2，求lim1的值． n??bn??nbn2n

15．已知數(shù)列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}中b1=2, bn+1=3bn?4, n=1, 2, 3, …．

專題十?dāng)?shù)列極限與函數(shù)極限

第二篇：數(shù)列極限和函數(shù)極限（最終版）

數(shù)列極限和函數(shù)極限

極限概念是數(shù)學(xué)分析中最重要的概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等都要用極限來(lái)定義，而且由極限出發(fā)產(chǎn)生的極限方法，是數(shù)學(xué)分析的最基本的方法.更好的理解極限思想，掌握極限理論，應(yīng)用極限方法是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵.本文將主要闡述極限的概念、性質(zhì)、判別方法等問(wèn)題.1.極限定義

1．1 數(shù)列極限定義

設(shè)有數(shù)列?an?與常數(shù)A，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)?（不論它有多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，不等式an?A?? 都成立，那么就稱常數(shù)A是數(shù)列?an?的極限，或者稱數(shù)列?an?收斂于A，記作liman?A.n??

讀作“當(dāng)趨n于無(wú)窮大時(shí)，an的極限等于A或an趨于A”.數(shù)列極限存在，稱數(shù)列?an? 為收斂數(shù)列，否則稱為發(fā)散數(shù)列.關(guān)于數(shù)列極限的??N定義，著重注意以下幾點(diǎn)：

（1）?的任意性: 定義中正數(shù)的?作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng)an與定數(shù)的a接近程度越?小，表示接近的越好.而正數(shù)可?以任意的小,說(shuō)明an與可a以接近到任何程度，然而，盡管?有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)的被確定下來(lái)，以便依靠它來(lái)求出N.（2）N的相應(yīng)性: 一般說(shuō)，N隨的?變小而變大，由此常把N寫(xiě)作N???，來(lái)強(qiáng)調(diào)N是依賴與的?，但這并不意味著N是由?所唯一決定的，重要的是N的存在性，而不在于它值得大小.另外,定義中n?N的也可以改寫(xiě)成n?N.（3）幾何意義:對(duì)于任何一個(gè)以A為中心，?為半徑的開(kāi)區(qū)間?A??,A???，總可以在數(shù)列?an?中找到某一項(xiàng)aN，使得其后的所有項(xiàng)都位于這個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，而在該區(qū)間之外，最多只有?an?的有限項(xiàng)（N項(xiàng)）.數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取自然數(shù)時(shí),便得到相應(yīng)的一系列函數(shù)值,其解析表達(dá)式為an?f?n?;我們把數(shù)列中的n用x來(lái)替換后就得到了一個(gè)函數(shù)f?x?,數(shù)列和函數(shù)的區(qū)別在于數(shù)列中的點(diǎn)是離散的,而函數(shù)是連續(xù)的,那么類似的我們也有函數(shù)極限的定義.1．2 函數(shù)極限定義

1.2.1x???時(shí)函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù)f?x?為?a,???上的函數(shù)，A為定數(shù)，若對(duì)任給的??0，總存在著正數(shù)M??a?，使得當(dāng)x?M時(shí)有f?x??A??，則稱函數(shù)f?x?當(dāng)

x趨于??時(shí)以A為極限，記作limf?x??A.x???

即有l(wèi)imf?x??A????0,?M?0,?x?M,有f?x??A??.x???

對(duì)應(yīng)的,我們也有l(wèi)imf?x??A,limf?x??A的相應(yīng)的?

x??

x???

M語(yǔ)言成立.對(duì)于函數(shù)極限的?M定義著重注意以下幾點(diǎn):

（1）在定義中正數(shù)M的作用與數(shù)列極限定義中的N類似,表明x充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實(shí)數(shù)x,而不僅僅是正整數(shù)n.（2）當(dāng)x???時(shí),函數(shù)f?x?以A為極限意味著: A的任意小鄰域內(nèi)必含有f?x?在??的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值.（3）幾何意義是:對(duì)任給??0的,在坐標(biāo)平面上,平行于x軸的兩條直線y?A??與

y?A??,圍成以直線y?A為中心線,寬2?為的帶形區(qū)域；定義中的“當(dāng)x?M時(shí),有f?x??A??”表示:在直線x?M的右方,曲線y?f?x?全部落在這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi).1.2.2x?x0時(shí)函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù)f?x? 在點(diǎn)x0的某一去心鄰域U

?

?x;??內(nèi)有

'0

'定義，A為定數(shù)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)?（無(wú)論它多么小），總存在正數(shù)???，使

??

得當(dāng)0?x?x0??時(shí)，有f?x??A??，則常數(shù)A為函數(shù)f?x?在x?x0時(shí)的極限，記作limf?x??A.x?x0

即limf?x??A????0,???0,?x:x0???x?x0??,有f?x??A??.x?x0

對(duì)應(yīng)的,我們也有l(wèi)im?f?x??A,lim?f?x??A的相應(yīng)的?

x?x0

x?x0

?語(yǔ)言成立.對(duì)于函數(shù)極限的?

?定義著重注意以下幾點(diǎn):

N定義中的N,它依賴于?,但也不是由?所唯

（1）定義中的正數(shù)?,相當(dāng)于數(shù)列極限?

一確定的,一般來(lái)說(shuō), ?愈小, ?也相應(yīng)地要小一些,而且把?取得更小些也無(wú)妨.（2）定義中只要求函數(shù)在的某一空心鄰域內(nèi)有定義,而一般不考慮在點(diǎn)處的函數(shù)值是否有意義,這是因?yàn)?對(duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0過(guò)程中函數(shù)值的變化趨勢(shì).（3）定義中的不等式0?x?x0??等價(jià)于x?U??x0;??，而不等式f?x??A??等價(jià)于f?x??U?A;??.于是，?

?定義又可寫(xiě)成：

任給??0,存在??0,使得一切x?U??x0;??有f?x??U?A;??.或更簡(jiǎn)單的表為:

?

任給??0,存在??0,使得fU?x0;???U?A;??.??

（4）幾何意義是：將極限定義中的四段話用幾何語(yǔ)言表述為

對(duì)任給??0的,在坐標(biāo)平面上畫(huà)一條以直線y?A為中心線,寬2?為的橫帶,則必存在以直線x?x0為中心線、寬為2?的數(shù)帶，使函數(shù)y?f?x?的圖像在該數(shù)帶中的部分全部落在橫帶內(nèi)，但點(diǎn)x,f?x0?可能例外（或無(wú)意義）.??

2.極限性質(zhì)

2．1數(shù)列極限的性質(zhì)

收斂數(shù)列有如下性質(zhì)：

（1）極限唯一性:若數(shù)列?an?收斂,則它只有一個(gè)極限.（2）若數(shù)列?an?收斂，則?an?為有界數(shù)列.（3）若數(shù)列?an?有極限，則其任一子列?an?也有極限.''

（4）保號(hào)性，即若liman?a?0??0?，則對(duì)任何a??0,a?a??a,0?,存在正整數(shù)N1，n??

??

n>N1時(shí),an?a'?an?a'?.（5）保不等式性:即若?an?與?bn?均為收斂數(shù)列, 若存在正整數(shù)N1，使得當(dāng)n>N1時(shí)有

an

n??

（6）數(shù)列極限的基本公式（四則運(yùn)算）設(shè)limxn,limyn存在,則

n??

n??

lim?xn?yn??limxn?limyn

n??n??

n??

n??

lim?xn?yn??limxn?limyn

n??

n??

xn

xnlimn??lim?limyn?0n??ylimynn??n

??

n??

limxn?limyn?xn?yn?

n??

n??

2．2函數(shù)極限性質(zhì)

（1）極限唯一性；若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的.x?x0

（2）局部有界性

若limf?x?存在，則f?x?在x0的某空心鄰域U??x?內(nèi)是有界的，當(dāng)x0趨于無(wú)窮大時(shí)，x?x0

亦成立.（3）局部保號(hào)性

若limf?x??A?0??0?，則對(duì)任何正數(shù)r?A???A?,存在U??x0?使得對(duì)一切

x?x0

x?U??x0?有f?x??r?0?f?x??r?0?，當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，亦成立.（4）保不等式性

若limf?x??A，limg?x??B，且在某鄰域U

x?x0

x?x0

?

?x;??內(nèi)有f?x??g?x?，則

'0

x?x0

limf?x??limg?x?.x?x0

（5）函數(shù)極限的基本公式（四則運(yùn)算）

設(shè)limf?x?,limg?x?存在,則

x?a

x?a

lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?

x?ax?a

x?a

x?a

lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?

x?a

x?a

f?x?f?x?limx?alim?limg?x??0x?agxlimgxx?a

??

x?a

通過(guò)以上對(duì)數(shù)列極限與函數(shù)極限的介紹,可以知道數(shù)列極限與函數(shù)極限的本質(zhì)相同,性質(zhì)一致.3.極限的判別法

3.1 數(shù)列極限的判別法

（1）單調(diào)有界定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.證明:不妨設(shè)?an?為有上界的遞增數(shù)列.由確界原理,數(shù)列?an?有上確界,記

a?sup?an?.下面證明a就是?an?的極限.事實(shí)上,任給??0,按上確界的定義,存在數(shù)列

?an?中某一項(xiàng)aN,使得a???aN.又由?an?的遞增性，當(dāng)n?N時(shí)有

a???aN?an。

另一方面，由于a是?an?的一個(gè)上界，故對(duì)一切an都有an?a?a?? 所以當(dāng)n?N時(shí)有

a???an?a??

這樣就證得, liman?a.n??

同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且極限即為它的下確界.(2)數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則:

數(shù)列?an?收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)?，存在著這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)m,n>N時(shí)，有xn?xm??.(3)數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則

如果收斂數(shù)列?an?，?bn?都以為a極限，數(shù)列?cn?滿足下列條件： 存在正數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)有

an?cn?bn

則數(shù)列?cn?收斂,且 limcn?a.n??

3.2函數(shù)極限的判別法：（1）函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則:

設(shè)limf?x??limg?x??A且在某U

x?x0

x?x0

?

?x;??內(nèi)有

'0

f?x??h?x??g?x?

則limh?x??A.x?x0

（2）函數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則：

x?x0

limf?x?存在的充要條件是:任給, ??0，存在正數(shù)????'?,使得對(duì)任何

x',x“?U??x0;??，有 f?x'??f?x”???.

第三篇：D1.2-1.3數(shù)列的極限函數(shù)的極限

高等數(shù)學(xué)(1)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)題參考答案—2班級(jí)姓名學(xué)號(hào)

第二節(jié)數(shù)列的極限

一、單項(xiàng)選擇題

1.數(shù)列極限limyn?A的幾何意義是n??

A．在點(diǎn)A的某一鄰域內(nèi)部含有{yn}中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)

B.在點(diǎn)A的某一鄰域外部含有{yn}中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)

C.在點(diǎn)A的任何一個(gè)鄰域外部含有{yn}中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)

D.在點(diǎn)A的任何一個(gè)鄰域外部至多含有{yn}中的有限多個(gè)點(diǎn)

2.limyn?A的等價(jià)定義是n??

A.對(duì)于任意??0及K?0，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，yn?A?K?

B.對(duì)于某個(gè)充分小的??0，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，yn?A??

C.對(duì)于任意正整數(shù)N，總存在??0，使得當(dāng)n?N時(shí)，yn?A??

D.對(duì)于某個(gè)正整數(shù)N，總存在??0，使得當(dāng)n?N時(shí)，yn?A??

3.“對(duì)任意給定的??(0,1)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，恒有xn?a??”是數(shù)列?xn?收斂于a的C條件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 ﹡

二、利用數(shù)列極限的定義證明:lim

證明： 對(duì)???0，要使1?cosn?0.n??n21?cosn1?cosn2?0????，只需n?.?nnn

1?cosn1?cosn?2????0,取N???，?0.則當(dāng)n?N時(shí)，就有所以lim?0??成立，n??n?n??

3高等數(shù)學(xué)(1)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)題參考答案—2班級(jí)姓名學(xué)號(hào)

第三節(jié)函數(shù)的極限

一、單項(xiàng)選擇題

1.極限limf(x)?A定義中?與?的關(guān)系為x?x0

A.先給定?，后唯一確定?B.先給定?后確定?,但?的值不唯一

C.先確定?，后確定?D.?與?無(wú)關(guān)

2.若函數(shù)f(x)在某點(diǎn)x0極限存在，則A.f(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值必存在且等于該點(diǎn)極限值

B.f(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值必存在,但不一定等于該點(diǎn)極限值

C.f(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值可以不存在D.若f(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值存在，必等于該點(diǎn)極限值

3.以下結(jié)論正確的是C.A.若limf(x)?A?0，則f(x)?0 x?x0

B.若limf(x)?A?0，則必存在??0，使當(dāng)x?x0??時(shí)，有f(x)?0 x?x0

C.若limf(x)?A?0，則必存在??0，使當(dāng)0?x?x0??時(shí)，有f(x)?x?x0A

2D.若在x0的某鄰域內(nèi)f(x)?g(x)，則limf(x)?limg(x)x?x0x?x0

4.極限limx?0x?x

A.1B.?1C.0D.不存在x2?x?6?5.﹡

二、利用函數(shù)極限的定義證明:limx?3x?3

x2?x?6證明： ???0，要使?5?x?3??，只需取???，則當(dāng)0?x?3??時(shí)，x?3

x2?x?6x2?x?6?5.就有?5?x?3??成立,所以limx?3x?3x?3

第四篇：函數(shù)極限

習(xí)題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設(shè)limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時(shí)反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時(shí)的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設(shè) limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對(duì)黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR(x)= 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時(shí),考慮單側(cè)極限).x?x0

習(xí)題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當(dāng)B≠0時(shí))g(x)B

4． 設(shè)

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0

x?0

7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)< g(x)，問(wèn)是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問(wèn)是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習(xí)題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準(zhǔn)則;

n???

(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對(duì)任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見(jiàn)定理3.11充分性的證明.5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習(xí)題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計(jì)算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習(xí)題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時(shí)為同階無(wú)窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時(shí)為同階無(wú)窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無(wú)上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時(shí)的無(wú)窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時(shí)的無(wú)窮大量。

9． 設(shè) f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習(xí)題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號(hào)性有矛盾嗎？

5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設(shè)f(x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無(wú)窮大數(shù)列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設(shè)liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第五篇：函數(shù)極限

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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第三章 函數(shù)極限

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個(gè)重要極限

和，并能熟練運(yùn)用；

4.理解無(wú)窮小（大）量及其階的概念，會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)重（難）點(diǎn)：

本章的重點(diǎn)是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計(jì)算；難點(diǎn)是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。

教學(xué)時(shí)數(shù)：16學(xué)時(shí)

§ 1 函數(shù)極限概念（3學(xué)時(shí)）

教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。

教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會(huì)應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運(yùn)用???語(yǔ)言正確表述函數(shù)不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等

二、講授新課：

（一）時(shí)函數(shù)的極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例4 驗(yàn)證

例5 驗(yàn)證

例6 驗(yàn)證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗(yàn)證

例8 驗(yàn)證(類似有

（三）單側(cè)極限:

1．定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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我們引進(jìn)了六種極限:.以下以極限，為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：

（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th 4 若使，證 設(shè)

和都有 =

(現(xiàn)證對(duì) 都存在, 且存在點(diǎn) 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說(shuō)明.”, 未必

四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過(guò)以下幾個(gè)極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補(bǔ)充題:已知

求和（）§ 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時(shí)）

教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用。本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個(gè)充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：

Th 1 設(shè)函數(shù)在,對(duì)任何在點(diǎn)

且的某空心鄰域

內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對(duì)單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為

單調(diào)趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.7 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限的證明及運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說(shuō)明應(yīng)用，練習(xí)。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對(duì)

有

例6

特別當(dāng) 等.例7

例8

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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三． 等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

Th 2(等價(jià)關(guān)系的傳遞性).等價(jià)無(wú)窮小在極限計(jì)算中的應(yīng)用: Th 3(等價(jià)無(wú)窮小替換法則)

幾組常用等價(jià)無(wú)窮小:（見(jiàn)[2]）

例3 時(shí), 無(wú)窮小

與

是否等價(jià)? 例4

四.無(wú)窮大量:

1.定義:

2.性質(zhì):

性質(zhì)1 同號(hào)無(wú)窮大的和是無(wú)窮大.性質(zhì)2 無(wú)窮大與無(wú)窮大的積是無(wú)窮大.性質(zhì)3 與無(wú)界量的關(guān)系.無(wú)窮大的階、等價(jià)關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無(wú)窮小討論, 有平行的結(jié)果.3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系:

無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小,非零無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大

習(xí)題 課（2學(xué)時(shí)）

一、理論概述：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例7.求

.注意 時(shí), 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說(shuō)明極限

解;

可見(jiàn)極限 不存在.--32