第一篇：數(shù)列極限例題
三、數(shù)列的極限
(?1)n?1}當(dāng)n??時的變化趨勢.觀察數(shù)列{1?n問題:
當(dāng)n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:
(?1)n?1當(dāng)n無限增大時, xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定
11? nn1111, 由?, 只要n?100時, 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時, 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時, 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時, 有xn?1??成立.?定義
如果對于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對于n?N時的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為
limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：
??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時, 恒有xn?a??.n??其中記號?:每一個或任給的;?:至少有一個或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:
a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x
當(dāng)n?N時, 所有的點xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(至多只有N個)落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證
注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要
11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當(dāng)n?N時, 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n
重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對任給的??0,給出限制0???1；
n?(?1)n?1?1??”的詳細推理
（2）邏輯“取 N?[], 則當(dāng)n?N時, 就有
n?1見下，以后不再重復(fù)說明或解釋，對函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴(yán)格寫法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當(dāng)n?N時一定成立n?N?1?1?，即得
1??成nn?(?1)n?1111?1?
?n????是成立
n?(?1)n?11?1???.xn?1=
nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時, 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證
任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;
n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當(dāng)n?N時, 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n
說明：當(dāng)作公式利用：limq??
n??1, q?1,??不存在，q??1.?
第二篇：第一講 數(shù)列的極限典型例題
第一講
數(shù)列的極限
一、內(nèi)容提要
1.數(shù)列極限的定義
limxn?a????0,n???N??,?n?N，有xn?a??.注1 ?的雙重性.一方面,正數(shù)?具有絕對的任意性,這樣才能有
?xn?無限趨近于a?xn?a??(n?N)
另一方面,正數(shù)?又具有相對的固定性,從而使不等式xn?a??.還表明數(shù)列?xn?無限趨近于a的漸近過程的不同程度,進而能估算?xn?趨近于a的近似程度.注2 若limxn存在，則對于每一個正數(shù)?，總存在一正整數(shù)N與之對應(yīng)，但這種N不是n??唯一的，若N滿足定義中的要求，則取N?1,N?2,?，作為定義中的新的一個N也必須滿足極限定義中的要求，故若存在一個N則必存在無窮多個正整數(shù)可作為定義中的N． 注3 xn?a(n??)的幾何意義是：對a的預(yù)先給定的任意??鄰域U(a,?)，在?xn?中至多除去有限項，其余的無窮多項將全部進入U(a,?)． 注4 limxn?a???0?0,n???N??,?n0?N，有xn?a??0.02.子列的定義
在數(shù)列?xn?中，保持原來次序自左往右任意選取無窮多個項所得的數(shù)列稱為?xn?的子列，記為?xnk?，其中nk表示xn在原數(shù)列中的項數(shù)，k表示它在子列中的項數(shù)．
k注1 對每一個k，有nk?k．
注2 對任意兩個正整數(shù)h,k，如果h?k，則nh?nk．反之，若nh?nk，則h?k． 注3 limxn?a????0,n??k?K??,?k?K，有xn?a??.k注4 limxn?a??xn?的任一子列?xnn??k?收斂于a.3.數(shù)列有界
對數(shù)列?xn?，若?M?0，使得對?n?N，有xn?M，則稱數(shù)列?xn?為有界數(shù)列． 4.無窮大量
對數(shù)列?xn?，如果?G?0，?N??,作limxn??．
n???n?N，有xn?G，則稱?xn?為無窮大量，記 1 注1 ?只是一個記號，不是確切的數(shù)．當(dāng)?xn?為無窮大量時，數(shù)列?xn?是發(fā)散的，即limxnn??不存在．
注2 若limxn??，則?xn?無界，反之不真．
n??注3 設(shè)?xn?與?yn?為同號無窮大量，則?xn?yn?為無窮大量． 注4 設(shè)?xn?為無窮大量，?yn?有界，則?xn?yn?為無窮大量．
注5 設(shè)?xn?為無窮大量，對數(shù)列?yn?，若???0，有yn??，?N??,使得對?n?N，則?xnyn?為無窮大量．特別的，若yn?a?0，則?xnyn?為無窮大量． 5.無窮小量
若limxn?0，則稱?xn?為無窮小量．
n??注1 若limxn?0，?yn?有界，則limxnyn?0．
n??n??注2 若limxn??，則limn??1xnn??il若m?0；
n??xn?0，且?N??,使得對?n?N，xn?0，則lim1xnn????．
6.收斂數(shù)列的性質(zhì)
（1）若?xn?收斂，則?xn?必有界，反之不真．（2）若?xn?收斂，則極限必唯一．
（3）若limxn?a，limyn?b，且a?b，則?N??，使得當(dāng)n?N時，有xn?yn．
n??n??注
這條性質(zhì)稱為“保號性”，在理論分析論證中應(yīng)用極普遍．
（4）若limxn?a，limyn?b，且?N??，使得當(dāng)n?N時，有xn?yn，則a?b．
n??n??注
這條性質(zhì)在一些參考書中稱為“保不等號（式）性”．
（5）若數(shù)列?xn?、?yn?皆收斂，則它們和、差、積、商所構(gòu)成的數(shù)列?xn?yn?，?xn?yn?，?xnyn?，??xn?yn?0）也收斂，且有 ?（limn???yn?n??yn，xn?lim
lim?xn?yn??limn??n??xn?yn?limxn?limyn，limn??n??n?? 2
lim7.迫斂性（夾逼定理）
xnyn?limxnn??n??limynn??（limyn?0）．
n??若?N??，使得當(dāng)n?N時，有yn?xn?zn，且limyn?limzn?a，則limxn?a．
n??n??n??8.單調(diào)有界定理
單調(diào)遞增有上界數(shù)列?xn?必收斂，單調(diào)遞減有下界數(shù)列?xn?必收斂． 9.Cauchy收斂準(zhǔn)則
數(shù)列?xn?收斂的充要條件是：???0,?N??,?n,m?N，有xn?xm??．
注 Cauchy收斂準(zhǔn)則是判斷數(shù)列斂散性的重要理論依據(jù)．盡管沒有提供計算極限的方法，但它的長處也在于此――在論證極限問題時不需要事先知道極限值． 10.Bolzano Weierstrass定理 有界數(shù)列必有收斂子列．
1??11.lim?1???e?2.7182818284n??n??n?
12.幾個重要不等式
(1)a?b?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.(2)算術(shù)－幾何－調(diào)和平均不等式：
? 對?a1,a2,?,an?R, 記 2 M(ai)? a1?a2???annn? 1nia?ni?1,(算術(shù)平均值)G(ai)?n??na1a2?an??a??i??,(幾何平均值)
?i?1?
H(ai)?n1a1?1a2???1an?11nn?i?11ai?nn?ai?11i.(調(diào)和平均值)有均值不等式:
H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時成立.（3）Bernoulli 不等式:
(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)對?x?0, 由二項展開式(1?x)?1?nx??nnn(n?1)2!x2?n(n?1)(n?2)3!x3???xn，(1?x)?1?nx,(n?1)
（４）Cauchy－Schwarz 不等式: ?ak,bk(k?1,2,?,n),有
?n??n?
??akbk????akbk???k?1??k?1?22n2kn2k?a?bk?1k?1
（５）?n?N，13.O.Stolz公式 1n?1?ln(1?1n)?1n
二、典型例題 1．用“??N”“G?N”證明數(shù)列的極限．（必須掌握）例１ 用定義證明下列各式：（１）lim3n?5n?13n?n?622n???1；
（２）設(shè)xn?0，limxn?a，則limn??n??xn?a；（97，北大，10分）
（３）limlnnn?n???0(??0)
證明：（１）???0，欲使不等式
3n?5n?13n?n?6622?1?6n?53n?n?662?6n3n?n2?6nn2?6n??
成立，只須n?，于是，???0，取N?[]?1，當(dāng)n?N時，有
??3n?5n?13n?n?62
22?1?6n??
即
limn??3n?5n?13n?n?62?1．
（２）由limxn?a，xn?0，知???0,n???N??,xn?aa?n?N，有xn?a?a?，則
xn?a?xn?axn?a???
于是，???0,?N??,?n?N，有
xn?a?xn?aa??，即
lim（３）已知n?lnn，因為
20?lnnn??n??xn?a．
??lnnn?2??????2?ln?n??1????????2n????2??2???n??1????????2?n4
????2[n2]n???4??nn2??4?，?n2
2所以，???0，欲使不等式
lnnn??0?lnnn??4??n2?4????成立，只須n???．
????2???4??
于是，???0，取N??????1，當(dāng)n?N時，有
????????
lnnn??0?lnnn??4???，?n2?0． 即
lim
lnnn?n??評注１ 本例中，我們均將xn?a做了適當(dāng)?shù)淖冃危沟脁n?a?g(n)??，從而從解不等式g(n)??中求出定義中的N．將xn?a放大時要注意兩點：①g(n)應(yīng)滿足當(dāng)n??時，g(n)?0．這是因為要使g(n)??，g(n)必須能夠任意??；②不等式g(n)??容易求解．
評注２ 用定義證明xn?a(n??)，對???0，只要找到一個自然數(shù)N(?)，使得當(dāng)n?N(?)時，有xn?a??即可．關(guān)鍵證明N(?)??的存在性．
評注３ 在第二小題中，用到了數(shù)列極限定義的等價命題，即：（１）???0,（２）???0,?N??,?N??,?n?N，有xn?a?M?（M為任一正常數(shù)）.?n?N，有xn?a??k(k?N).例２ 用定義證明下列各式：（１）limn??nn?1；（92，南開，10分）
kn（２）limn??na?0(a?1,k?N)
nn證明：（１）（方法一）由于n?1（n?1），可令n?1??（??0），則
n??n?nn?(1??)n?1?n??n2n(n?1)2??????2nn(n?1)22?（n?2）
當(dāng)n?2時，n?1?，有
n2
n? n(n?1)2??24??2n24(nn?1)
2即
0?nn?1?2nn．
???0，欲使不等式n?1?nn?1?2n???成立，只須n?4?2．
于是，???0，取N?max??2??1,2?，當(dāng)n?N時，有
?????n??4?n?1?2n??，即
limn??nn?1．
（方法二）因為 1?nn?(n?n?2個?????1n?1?1???1)n?n?n?1???1n?2n?n?2n?1?2n，所以
nn?1?2n，???0，欲使不等式
nn?1?nn?1?2n??成立，只須n?4?2．
于是，???0，取N??2??1，當(dāng)n?N時，有
???n?4?n?1?2n??，即
limn??nn?1．
（２）當(dāng)k?1時，由于a?1，可記a?1??（??0），則
an?(1??)n?1?n??n(n?1)2??????2nn(n?1)22?（n?2）
當(dāng)n?2時，n?1?
0?nann2，于是有
nn(n?1)2?4n?2?．
?2
???0，欲使不等式
nan?0 ?nan?4n?2??成立，只須n?4??2．
對???0，取N?max??2??1,2?，當(dāng)n?N時，有
??????
nan??4???0 ?nan?4n?2??．
1當(dāng)k?1時，ak?1（a?1），而
nakn??n??1kn??(a)??． ???n1k則由以上證明知???0,?N??,?n?N，有0???，即
n(ak)
0?naknkn??，k故
limn??na?0．
評注１ 在本例中，???0，要從不等式xn?a??中解得N非常困難．根據(jù)xn的特征，利用二項式定理展開較容易．要注意，在這兩個小題中，一個?是變量，一個?是定值．
評注２ 從第一小題的方法二可看出算術(shù)－幾何平均不等式的妙處． 評注３ 第二小題的證明用了從特殊到一般的證法． 例 用定義證明：limann??n!（山東大學(xué)）?0（a?0）證明：當(dāng)0?a?1時，結(jié)論顯然成立．
aaaaaaa?0?????????????成立，當(dāng)a?1時，欲使
?a??a??1?a?!nn!12nan?a??a?a??1?只須n?．于是???0，取N????1，當(dāng)n?N時，有 ?a?!???a?!??a?a??1ann!?0?a?a??a?!?an??
a即
lim?0．
n??n!n例 設(shè)??1，用“??N”語言，證明：lim[(n?1)?n]?0．
n????證明：當(dāng)??0時，結(jié)論恒成立． 當(dāng)0???1時，???0，欲使(n?1)??n??0?n[(1??1n)??1]?n(1??1n?1)?1n1????
只須n??111???1．于是???0，取N??1???1???????1，當(dāng)n?N時，有 ??1n1??(n?1)?n?0???
即
lim[(n?1)?n]?0．
n????2.迫斂性（夾逼定理）
n項和問題可用夾逼定理、定積分、級數(shù)來做，通項有遞增或遞減趨勢時考慮夾逼定理．
yn?xn?zn，yn?b，zn?c?{xn}有界，但不能說明xn有極限．使用夾逼定理時，要求yn,zn趨于同一個數(shù)．
an例
求證：limn??n!． ?0（a為常數(shù)）分析：ann!?aaaaaa?????????，因a為固定常數(shù)，必存在正整數(shù)m，使123mm?1nam?1m?a?m?1，因此，自開始，am?1?1，am?2?1，?,an?1，且n??時，an?0．
證明：對于固定的a，必存在正整數(shù)m，使a?m?1，當(dāng)n?m?1時，有
an0?mn!?a1?a2?a3???aman?am?1???an?amm!?an，由于liman??m!?an?0，由夾逼定理得limn??n!?0，即
limn??ann!?0．
評注 當(dāng)極限不易直接求出時，可將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，使放大、縮小所得的新變量易于求極限，且二者極限值相同，直接由夾逼定理得出結(jié)果．
例 若{an}是正數(shù)數(shù)列，且lima1?2a2???nannn???0，則
limn??n?na1???an?0．
證明：由n?1a1???2a2?????nan??a1?2a2???nann，知
nn!?na1?a2???an?a1?2a2???nann1n
即 na1?a2???an?a1?2a2???nann1n?．
n!于是，0?nna1?a2???an?a1?2a2???nann?，而由已知
n!lima1?2a2???nannn???0及l(fā)im1nn??n!?0
故
limn??a1?2a2???nann?1nn!?0
由夾逼定理得
limn??n?na1???an?0．
評注1 極限四則運算性質(zhì)普遍被應(yīng)用，值得注意的是這些性質(zhì)成立的條件，即參加運算各變量的極限存在，且在商的運算中，分母極限不為0． 評注2 對一些基本結(jié)果能夠熟練和靈活應(yīng)用．例如：（1）limqn??n?0（q?1）
（2）lim1nnan???0（a?0）
（3）limn??na?1（a?0）
（4）limnn??n?1
（5）liman??n!?0（a?0）
（6）lim1nn??n!?0
例 證明：若limxn?a（a有限或??），則
n??limx1?x2???xnnn???a（a有限或??）．
證明：（１）設(shè)a為有限，因為limxn?a，則???0,n???N1??,有xn?a??n?N1，?2.9 于是x1?x2???xnn?a??x1?a???x2?a?????xn?a?n
?x1?a?x2?a???xN1?anAn?n?N1n?xN1?1?a???xn?an
???An??2．
其中A?x1?a?x2?a???xN?a為非負(fù)數(shù)．
1因為limn??An?0，故對上述的??0,?N2??,?n?N2，有
An??2．
取N?max{N1,N2}當(dāng)n?N時，有
x1?x2???xnn?a??2??2??
即
limx1?x2???xnnn???a．
?n?N1，有xn?2G，（２）設(shè)a???，因為limxn???，則?G?0,n???N1??,且x1?x2???xN?0．于是 x1?x2???xnn?
x1?x2???xN1nxN1?1???xnn?
xN1?1???xnn
??2G(n?N1)n?2G?2N1nG
取N?2N1，當(dāng)n?N時，2N1nG?G，于是
x1?x2???xnn?2G?G?G．
即
limx1?x2???xnnn?????
（３）a???時證法與（２）類似．
評注１ 這一結(jié)論也稱Cauchy第一定理，是一個有用的結(jié)果，應(yīng)用它可計算一些極限，例如：
1?12???n1n?0（已知limn（１）lim1nn??n???0）；
（２）lim1?2?33???nnn???1（已知limnn??n?1）．
評注２ 此結(jié)論是充分的，而非必要的，但若條件加強為“{xn}為單調(diào)數(shù)列”，則由x1?x2???xnnlimn???a可推出limxn?a．
n??評注３ 證明一個變量能夠任意小，將它放大后，分成有限項，然后證明它的每一項都能任意小，這種“拆分方法”是證明某些極限問題的一個常用方法，例如：
若0???1，liman?a（a為有限數(shù)），證明：
n??lim(an??an?1??an?2????a0)?n??2n分析：令xn?an??an?1??an?2????a0，則
2na1??．
(1??)xn?an??(an?1?an)??(an?2?an?1)????(a0?a1)??2nn?1a0．
2n只須證
?(an?1?an)??(an?2?an?1)????(a0?a1)?0（n??）
由于liman?a，故?N??,n???n?N，有an?an?1??．于是
2n?(an?1?an)??(an?2?an?1)????(a0?a1)
??an?1?an??an?2?an?1????2Nan?N?1?an?N??N?1an?N?an?N?1????a0?a1nn再利用lim??0（0???1）即得．
n??例 求下列各式的極限：（１）lim(n??1n?n?12?2n?n?22???nn?n?n2)
（２）limnn??1?12???1n
（３）limn1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n2n??
?2n?n?22解：（１）1?2???nn?n?n?1n?n?12???nn?n?n2?1?2???nn?n?12
n(n?1)∵lim12，?22n??n??n?n?n2n?n?nn(n?1)1?2???n12lim?lim，?2n??n??n2?n?1n?n?12由夾逼定理，1?2???n?lim∴l(xiāng)im(n??1n?n?1n2?2n?n?22???nn?n?nn2)?12
（２）1?∵limn??n1?12???1n?n1?1???1?n
n?1，由夾逼定理，∴l(xiāng)imnn??1?112???1n?1．
（３）∵1n2n?352n?111?3?5???(2n?1)132n?1????????????1，242n?22n2?4?6???2n242n∴2?nn?n1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?1．
∵lim12?nn??nn?1，由夾逼定理，∴l(xiāng)imn1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n2n?12nn???1．
評注 的極限是１，用此法體現(xiàn)了“１”的好處，可以放前，也可放后．若極限不是１，則不能用此法，例如：
xn?2?3???(n?1)3?5???(2n?1)，求limxn．
n??解：∵xn?0，?xn?單調(diào)遞減，?xn?單調(diào)遞減有下界，故其極限存在． 令limxn?a，∵xn?1?xn?n??n?2∴l(xiāng)imxn?1?limxnlimn??n??2n?3n?2
12a，n??2n?3，a?∴a?0，xn?0． 即
limn?? 12 lim(1?n??11?2???11?2???n)（中科院）
評注 拆項：分母是兩項的積，1n(n?1)?1n?1n?1
nn?1n?1?1n?11n?插項：分子、分母相差一個常數(shù)時總可以插項．３單調(diào)有界必有極限 常用方法：①xn?1?xn；②
xn?1xn??1?
；③歸納法；④導(dǎo)數(shù)法．
xn?1?f(xn)
f?(x)?0
f(x)單調(diào)遞增
x2?xf(x2)?f(x1)
x3?x2 x2?x1
f(x2)?f(x1)
x3?x2
f?(x)?0
f(x)單調(diào)遞減
x2?x1
f(x2)?f(x1)
x3?x2
x2?x1
f(x2)?f(x1)
x3?x2不解決決問題．
命題：xn?1?f(xn)，若f(x)單調(diào)遞增，且x2?x1（x2?x1），則?xn?單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）．
例
求下列數(shù)列極限：
（1）設(shè)A?0，x1?0，xn?1?12(xn?Axn（98，華中科大，10分）)；（2）設(shè)x1?0，xn?1?3?3xn3?xn；（04，武大）
（3）設(shè)x0?a，x1?b，xn?12xn?1?xn?22Axn12（n?2,3,?）．（2000,浙大）
解：（1）首先注意xn?1?另一方面，因為
(xn?)??2xn?Axn?A，所以?xn?為有下界數(shù)列．
xn?1?xn?12(xn?Axn)?xn?12xn(A?xn)?0．
1?A（或
xn?1xn?12(1?Ax2n)??A?22?1）
故?xn?為單調(diào)遞減數(shù)列．因而limxn存在，且記為a．
n??
由極限的四則運算，在xn?1?12Aa)．并注意到xn?12(xn?Axn)兩端同時取極限n??，得a?(a?A?0，解得a?3(1?xn)3?xnA．
（2）注意到0?xn?1?另一方面，由
3?3xn3?xn??3，于是?xn?為有界數(shù)列．
xn?1?xn?3?3xn3?xn?xn?3?xn23?xn?3?3xn?1??3???3?x?n?1???3?3xn?13?3?xn?12?2(3?xn?1)(3?xn?1)(4?2xn?1)2
?3?xn?1(3?xn?1)(2?xn?1)22
3?xn?1知xn?1?xnxn?xn?1?(3?xn?1)(2?xn?1)3?xn?13?xn?12?12?xn?1?0．
即xn?1?xn與xn?xn?1保持同號，因此?xn?為單調(diào)數(shù)列，所以limxn存在（記為a）．
n??
由極限的四則運算，在xn?1?3?3xn3?xn兩端同時取極限n??，得a?3?3a3?a．并注意到0?xn?3，解得a?（3）由于xn?1?xn?3．
xn?xn?12?xn??xn?xn?12???x2?x1(?2)n?1?x1?x0(?2)1n?b?a(?2)n, n?1n?1又xn??m?0(xm?1?xm)?x0?xn?(b?a)?1m1?(??a?(b?a)1?(?m?0(?2)21)n?a,)2 14
1?(?1所以
limxn?(b?a)limn??n??1?(?21)n?a?)2(b?a)3?a?2b?a3．
2評注１ 求遞歸數(shù)列的極限，主要利用單調(diào)有界必有極限的原理，用歸納法或已知的一些基本結(jié)果說明數(shù)列的單調(diào)、有界性．在說明遞歸數(shù)列單調(diào)性時，可用函數(shù)的單調(diào)性．下面給出一個重要的結(jié)論：設(shè)xn?1?f(xn)（n?1,2,?）xn?I，若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，且x2?x1（或x2?x1），則數(shù)列?xn?單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）．
評注2 第三小題的方法較為典型，根據(jù)所給的xn?1,xn,xn?1之間的關(guān)系，得到xn?1?xn與xn?xn?1的等式，再利用錯位相減的思想，將數(shù)列通項xn寫成級數(shù)的表達式．
例 設(shè)a1,b1為任意正數(shù)，且a1?b1，設(shè)an?則?an?，?bn?收斂，且極限相同． 證明：由an?2an?1bn?1an?1?bn?1?2an?1bn?12an?1bn?12an?1bn?1an?1?bn?1，bn?，an?1bn?1（n?2,3,?）
?an?1bn?1?bn，知
bn?an?1bn?1?bn?1bn?1?bn?1．
則0?bn?b1，即?bn?為單調(diào)有界數(shù)列．
又0?an?bn?b1，且 an?an?1?2an?1bn?1an?1?bn?1?an?1?2an?1bn?1?an?1?an?1bn?1an?1?bn?12?an?1(bn?1?an?1)an?1?bn?1?0，所以?an?亦為單調(diào)有界數(shù)列．
由單調(diào)有界必有極限定理，liman與limbn存在，且分別記為a與b．在n??n??an?2an?1bn?1an?1?bn?1與bn?an?1bn?1兩端同時取極限n??，得a?2aba?b與b?ab．
考慮到a1,b1為任意正數(shù)且0?a1?an?bn?b1． 即得a?b?0． 例（1）設(shè)x1?2，xn?1?2?1xn，求limxn；
n?? 15（2）設(shè)x1?0，x2?2，且3xn?1?xn?2xn?1?0（n?2,3,?），求limxn．
n??解：（1）假設(shè)limxn存在且等于a，由極限的四則運算，在xn?1?2?n??1xn兩端同時取極限n??，得a?2?1a，即a?1?2．
2．又xn?2，故a?1?下面只須驗證數(shù)列?xn?a?趨于零（n??）．由于
xn?a?1??1?1?1????2????a??2??x?a?????x1?a，n??xn??a?xna4?4??n0?xn?1n?1?而lim??x1?a?0，由夾逼定理得limxn?a?1?n??n???4?2．
（2）由3xn?1?xn?2xn?1?0，知
3xn?1?2xn?3xn?2xn?1?3xn?1?2xn?2???3x2?2x1?6，則
xn?1??23xn?2．
65假設(shè)limxn存在且等于a，由極限的四則運算，得a?n??．
下面只須驗證數(shù)列?xn??6523n?1?6?．由于 ?趨于零（n??）
5?n?1xn???xn?12?6??2??2????xn?1????????3?5?5?3?66???2??x1?????5???3?n?1?65．
?2?顯然lim??n???3??65?0，由夾逼定理得limxn?n??65．
評注１ 兩例題中均采用了“先求出結(jié)果后驗證”的方法，當(dāng)我們不能直接用單調(diào)有界必有極限定理時，可以先假設(shè)limxn?a，由遞歸方程求出a，然后設(shè)法證明數(shù)列?xn?a?趨于
n??零．
評注２ 對數(shù)列?xn?，若滿足xn?a?kxn?1?a（n?2,3,?），其中0?k?1，則必有l(wèi)imxn?a．這一結(jié)論在驗證極限存在或求解遞歸數(shù)列的極限時非常有用．
n??評注３ 本例的第二小題還可用Cauchy收斂原理驗證它們極限的存在性．
設(shè)a1>0，an?1＝an＋
證
（1）要證lim21an，證明limn??an2n＝1（04，上海交大）
an2an2n2n??＝1，只要證lim2n??2n?1，即只要證liman?1?ann??(2n?2)?2n1an?1，即證lim(an?1?an)?2
2n??（2）因an?1＝an＋a2n?12n，故an?1?an?1an?0，an?1an?1?1a2n
?a?(an?1?an)(an?1?an)?1a2nan?1?anan?1?1a2n?1?2?1a2n因此只要證limn???0，即只要證liman??n??
（3）由an?1?an?1an?0知，{an}單調(diào)增加，假如{an}有上界，則{an}1an必有極限a，由an?1＝an＋
知，a＝a＋，因此?0，矛盾.aa11這表明{an}單調(diào)增加、沒有上界，因此liman??.（證完）
n??
４ 利用序列的Cauchy收斂準(zhǔn)則 例（1）設(shè)x1?x2（0?x?1），xn?x2?xn?122，求limxn；
n??（2）設(shè)x1?y1?1，xn?1?xn?2yn，yn?1?xn?yn，求limx2122xnyn2n??；
14解：（1）由x1?（0?x?1），得x1?x2．假設(shè)xk?12212，則xk?．有
xk?1??xk212?x?xk?12
由歸納法可得
xn?于是
xn?p?xn?x2xn?p?122．
?2?xxn?1?? ????22??? 17
?xn?p?1?xn?1xn?p?1?xn?1212n?1?12xn?p?1?xn?1
???xp?1?x1?12n?1． ?0（n??）
x2xn?122由Cauchy收斂準(zhǔn)則知：limxn存在并記為a，由極限的四則運算，在xn?n???兩端同時取極限n??，得a2?2a?x?0． 注意到xn?（2）設(shè)an?12，故limxn?a??1?1?x．
n??xnyn，顯然an?1.xn?2ynxn?yn11?an由于an?1?xn?1yn?1??1?,則
an?1?an?11?an?11?an?1
?an?an?1?1?an??1?an?1??14an?an?1???14n?1a2?a1.于是an?p?an?an?p?an?p?1?an?p?1?an?p?2???an?1?an
?an?p?an?p?1?an?p?1?an?p?2???an?1?an
1?1
????41n?p?2???p11?4a?a ??a?a?2211n?1n?1144?1?4
?14n?1?13a2?a1?0(n??).由Cauchy收斂準(zhǔn)則知：limxn存在并記為a.n??由極限的四則運算，在an?1?1?xnyn11?an2兩端同時取極限n??，得a?2．
注意到an?1，故limn???liman?n??2．
評注1 Cauchy收斂準(zhǔn)則之所以重要就在于它不需要借助數(shù)列以外的任何數(shù),只須根據(jù)數(shù)列各項之間的相互關(guān)系就能判斷該數(shù)列的斂散性.本例兩小題都運用了Cauchy收斂準(zhǔn)則,但細 18 節(jié)上稍有不同.其實第一小題可用第二小題的方法,只是在第一小題中數(shù)列?xn?有界,因此有xp?1?x1?xp?1?x1?1.保證了定義中的N僅與?有關(guān).評注2 “對?p?N有l(wèi)im?xn?p?xn??0”這種說法與Cauchy收斂準(zhǔn)則并不一致．這里
n??要求對每個固定的p，可找到既與?又與p的關(guān)的Ｎ，當(dāng)n?N，有xn?p?xn??．而Cauchy收斂準(zhǔn)則要求所找到的Ｎ只能與任意的?有關(guān)．
５ 利用Stolz定理計算數(shù)列極限
例 求下列極限
?13?23???n3n?? ?（1）lim?3n???4?n??
lim（2）假設(shè)liman?a,證明：n??a1?2a2?...?nann2n???a2（00，大連理工，10）（04，上海交大）
證明：Stolz公式 lima1?2a2?...?nann2n???lim(a1?2a2?...?nan?(n?1)an?1)?(a1?2a2?...?nan)(n?1)?n22n???lim(n?1)an?12n?11?1232
n???a21n n?1n???lnn（3）limn??2????n（4）lim
n??（5）limna2n（a?1）
n??６ 關(guān)于否定命題的證明（書上一些典型例題需背）
limxn?a
n???xn?發(fā)散
例
證明：xn?1?12?13???1nan?1an發(fā)散．
例 設(shè)an?0（n?1,2,?），且liman?0，若存在極限limn??n??（北大，?l，則l?1．20）
７ 雜例(1)lim11?2?12?3???1n(n?1)
n??
(2)（04，武大）lim(n??1a?2a2?...?nan),(a?1)1n 1?()1naa??lim()?n2n??1a?1a(a?1)1?a
22n(3)lim(1?x)(1?x)?(1?x)(x?1);n??
2(4)設(shè)a1?3,an?1?an?an（n?1,2,?），求：
?111l?lim?????n???1?a1?a21?an1???． ??
第三篇：數(shù)列經(jīng)典例題
11．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3??7,a4?a6??6,則當(dāng)Sn取最小值時，n
等于_________．
20．(本小題滿分14分)
22已知數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求證：?i?1nai?2(1an?1?1)．
S13等于2．等差數(shù)列
()
A．168 ?an?中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4,記Sn?a1?a2?????an,則B．156 C．152 D．78
21．(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?1?1． an
(1)寫出這個數(shù)列的前5項；
(2)求這個數(shù)列的一個通項公式．
9．在等比數(shù)列?an?中，a2?4,a5?
20．(本小題滿分14分)1，則公比q＝___________． 2
已知數(shù)列{an}為公差大于0的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足S4?16，a2a3?15．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn?1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn； an?an?1
(3)對于大于1的自然數(shù)n，求證：(1?
20．(本小題滿分14分)1112n?1)(1?)?(1?)?a2a3an2
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn?1?an(n?N)，各項為正數(shù)的數(shù)列{bn}中，對于一切n?N，有**?k?1n1k?k?1?nb1?bn?1，且b1?1,b2?2,b3?3．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求證：Tn?2．
3．已知?an?為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a2?a3?2a1,且a4與2a7的等差中項為,則S5?()4
A．35
20．(本小題滿分14分)
B．33
C．31
D．29
2n
已知數(shù)列?an?滿足a1?3，且an?an?1?2(n?N,n?2),記數(shù)列bn?，Sn
anan?1
n?1
*
為數(shù)列?bn?的前n項和．(1)求a2，b1的值；(2)求數(shù)列?an?的通項公式；(3)求證：Sn?
1． 3
20．(本小題滿分14分)
設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn?kn2?n,n?N*，其中k是常數(shù)．(1)用k表示a1及an，并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)若對于任意的m?N*,am,a2m,a4m成等比數(shù)列，求數(shù)列{
an的前n項和Tn． 2n
*
4．已知數(shù)列?an?為等差數(shù)列，且a2?a7?a12?24，Sn為數(shù)列?an?的前n項和，n?N，則S13的值為 A．100 B．99 21．(本小題滿分14分)
C．104
D．102
*y?log1x的圖象上．
已知點P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,P(an,bn)(n?N)都在函數(shù)
(1)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{an}的前《項和是Sn?1?2，過點Pn,Pn?1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍二角 形面積為cn，求最小的實數(shù)t使cn?t對n?N恒成立；
(3)若數(shù)列{bn}為山(2)中{an}得到的數(shù)列，在bk與bk?1之間插入3k?1(k?N*)個3，得一新數(shù)列{dn}，問是杏存在這樣的正整數(shù)w，使數(shù)列{dn}的前m項的和Sm?2008，*
?n
如果存在，求出m的值，如果不存在，請說明理由
9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S1?1?an(n?N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)
設(shè)bn?,cn?
log1an
記Tn?c1?c2??cn,證明:Tn?1.19．(本小題滿分14分)在數(shù)列{an}中，已知a1?1,.an?an?1?an?2?
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn?log2,an,?a2?a1(n?N*,n?2)．
11??b3b4b4b5
?
?m對于任意的n?N*，且n?3恒成bnbn?1
立，求m的取值范圍．
17．(本小題滿分12分)
設(shè)
函
數(shù)
f(x)?loaxg（a為常數(shù)且a?0,a?1)，已知數(shù)列
f(x1),f(x2),?f(xn),?是公差為2的等差數(shù)列，且x1?a2．
(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項公式；(Ⅱ)當(dāng)a?
11時，求證：x1?x2???xn?． 23
20．(14分)已知數(shù)列?an?是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項和，且滿足
an2?S2n?1,n?N*．?dāng)?shù)列?bn?滿足bn?
和．,n?N*，Tn為數(shù)列?bn?的前n項
an?an?1
(1)求數(shù)列?an?的通項公式an和數(shù)列?bn?的前n項和Tn；
(2)若對任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，求實數(shù)?的取值范圍；(3)是否存在正整數(shù)m,n(1?m?n)，使得T
1,Tm,Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有
m,n的值；若不存在，請說明理由．
n
5．設(shè)?an?1?2
2?an?,n?N*，an＞0，令bn?lgan則數(shù)列?bn?為()A．公差為正數(shù)的等差數(shù)列 B．公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列
C．公比為正數(shù)的等比數(shù)列 D．公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列
19．(本題滿分14分)在數(shù)列?an?中，a1?1,a2?
1(n?1)an，且an?1?,(n?2)． 4n?an
(Ⅰ)求a3,a4，猜想an的表達式，并加以證明；(Ⅱ)
設(shè)bn?，求證：對任意的自然數(shù)n?N*，都
有
b1?b2??bn?
19．(本小題滿分14分)已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，a3?5，a5?9．?dāng)?shù)列?bn?的前n項和
為Sn，且Sn?
1?bn
n????． ?2
(1)求數(shù)列?an?和?bn?的通項公式；
(2)若cn?an?bn，求數(shù)列?cn?的前n項和?n． 13．設(shè)Sn是等差數(shù)列?an?的前n項和．若
S31
?，則S73
___________．
19．(本小題滿分14分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn?n2．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，且b1?1，b4?8．
(Ⅰ)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(Ⅱ)若數(shù)列{cn}滿足cn?abn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn，并證明Tn?1．
21．(本小題共14分)已知數(shù)列?an?中，a1?2，對于任意的p,q?N，有ap?q?ap?a q，?
(1)求數(shù)列?an?的通項公式；(2)數(shù)列?bn?滿足：an?
bb1bb
?22?33?44?2?12?12?12?1
?(?1)n?1
bn，2n?1
(n?N?)，求數(shù)列?bn?的通項公式；
(3)設(shè)Cn?3n??bn(n?N?)，是否存在實數(shù)?，當(dāng)n?N時，Cn?1?Cn恒成立，若存在，求實數(shù)?的取值范圍，若不存在，請說明理由．
?
第四篇：數(shù)列極限教案
數(shù)列的極限教案
授課人：###
一、教材分析
極限思想是高等數(shù)學(xué)的重要思想。極限概念是從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。
二、教學(xué)重點和難點
教學(xué)重點：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫。
教學(xué)難點：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫，簡單數(shù)列的極限進行證明。
三、教學(xué)目標(biāo)
1、通過學(xué)習(xí)數(shù)列以及數(shù)列極限的概念，明白極限的思想。
2、通過學(xué)習(xí)概念，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科知識的融會貫通，從哲學(xué)的量變到質(zhì)變的思想的角度來看待數(shù)列極限概念。
四、授課過程
1、概念引入
例子一：(割圓術(shù))劉徽的割圓術(shù)來計算圓的面積。
.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內(nèi)接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷
1接近圓的面積。
例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。
第一天的長度1第二天的剩余長度 第二天的剩余長度
第四天的剩余長度 8
.....第n天的剩余長度n?1.......2
隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長度越來越短，越來越接近0。
這里蘊含的就是極限的概念。
總結(jié)：極限是變量變化趨勢結(jié)果的預(yù)測。例一中，內(nèi)接正六n邊形的邊數(shù)不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數(shù)的不斷增加，木桿的剩余長度無限接近0.在介紹概念之前看幾個具體的數(shù)列：
111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?
???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??
（3）n2:1,4,9,16,......；
（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????
我們接下來討論一種數(shù)列?xn?，在它的變化過程中，當(dāng)n趨近于??時，xn不斷接近于某一個常數(shù)a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數(shù)列越來越接近0；（3）
（4）中的數(shù)列卻沒有這樣的特征。
此處“n趨近于??時”，“xn無限接近于數(shù)a”主要強調(diào)的是“一個過程”和一種“接近”程度。
可是只憑定性的描述和觀察很難做到準(zhǔn)確無誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學(xué)語言來刻畫數(shù)列的概念。本節(jié)課的重點就是將數(shù)列的這樣一個特征用數(shù)學(xué)語言刻畫出來，并引入數(shù)列極限的概念。
2、內(nèi)容講授
（定義板書）設(shè)?xn?是一個數(shù)列，a是實數(shù)。如果對于任意給定的數(shù)??0，總存在一個正整數(shù)N，當(dāng)n?N時，都有xn?a??，我們稱a是數(shù)列?x
n?的極限，或者說數(shù)列?xn?收斂且收斂于數(shù)a。
寫作：limxn?a或xn?a?n????。
n???
如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。
注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個正數(shù)，但是這個數(shù)在選取時是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。
（2）N的選取是與任意給定的?有關(guān)的。1?1?以數(shù)列??為例，欲若取??，則存在N?100，當(dāng)n?Nxn?a??； 100n??
若取??1，則存在N?1000，當(dāng)n?N時，xn?a??。1000
數(shù)列極限的??N語言：
limx
n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數(shù)列極限的幾何解釋：
3、例題講解
n?2??1??1。例題1用數(shù)列極限的定義證明limn??nn
n?2??1?證明：設(shè)xn?，因為 nn
n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn
???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?
?2?我們?nèi)????1，當(dāng)n?N時，???
n?2??1?22?????.nnNn
n?2??1?所以lim?1.n??nn
?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???
例題2 設(shè)xn?C（C為常數(shù)），證明limxn?C。n??
證明：任給的??0，對于一切正整數(shù)n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??
小結(jié)：用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業(yè)
第五篇：數(shù)列極限復(fù)習(xí)
數(shù)列極限復(fù)習(xí)題
姓名
2?4???2n1、lim=； n??1?3?9??(?3)n
an2?2n?1a2、若lim(2n?)?1，則=； n??bn?2b
1?an3、如果lim()?0，則實數(shù)a的取值范圍是；n??2a
n4、設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an?(1?4x)，若liman存在，則x的取值范圍是n??
___；
?a?5．已知無窮等比數(shù)列n的前n項和
窮等比數(shù)列各項的和是；
6、數(shù)列?an?滿足a1?Sn?1?a(n?N*)n3，且a是常數(shù)，則此無1，且對任意的正整數(shù)m,n都有am?n?am?an，則數(shù)列?an?的3所有項的和為；
7、無窮等比數(shù)列?an?的首項是某個自然數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：數(shù)，m為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項和為3，則a1?a2；
8、無窮等比數(shù)列?an?的各項和為2，則a1的取值范圍是
1的分m
??
9、無窮等比數(shù)列an中，為；
lim(a2?a3?...?an)
n??
=1，則a1的取值范圍
cosn??sinn??
10、計算： lim,??[0,]?
n??cosn??sinn?
222n?a2n111、若lim2n?1，則實數(shù)a的取值范圍是； ?2n?
12?a
23?n?2?n?(?1)n(3?n?2?n)
12、若數(shù)列{an}的通項公式是an=,n=1,2,?,則
lim(a1?a2???an)__________；
n??
1?
1?n?2012?n(n?1)?
13、若an??,Sn為數(shù)列?an?的前n項和,求limSn?____;
n??
?3?1n?2013n?1??
214、等差數(shù)列?an?，?bn?的前n項和分別為Sn,Tn且
an
? n??bn
Sn2n
?，則Tn3n?
1lim15、設(shè)數(shù)列?an?、?bn?都是公差不為0的等差數(shù)列，且lim
lim
b1?b2???b3n
na4n
an
?3，則bn16、已知數(shù)
列為等差數(shù)列，且，則
a117、設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且lim1?qn）?，則a1的取值范圍是
n??1?q
2__________；
18、已知等比數(shù)列{an}的首項a1?1，公比為q(q?0)，前n項和為Sn，若
lim
Sn?
1?1，則公比q的取值范圍是.；
n??Sn19、已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，滿足：對于所有n?N*，有4Sn?(an?1)2，n
?（）其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和．則limn??an
A．0B．1C．D．
220、下列命題正確的是 ?????????????????????????()
（A）liman?A, limbn?B則lim
n??
n??
anA
?(bn?0,n?N)
n??bBn
（B）若數(shù)列{an}、{bn}的極限都不存在，則{an?bn}的極限也不存在（C）若數(shù)列{an}、{an?bn}的極限都存在,則{bn}的極限也存在（D）設(shè)Sn?a1?a2???an，若數(shù)列{an}的極限存在,則數(shù)列{Sn}的極限也存在21、用記號“○+”表示求兩個實數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運算, 即a○+b=已知數(shù)列{xn}滿足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),則limxn等于（）
n???
a?b
.2A.2
3B.12
C.0D.122、連結(jié)?ABC的各邊中點得到一個新的?A1B1C1，又?A1B1C1的各邊中點得到一個新的?A2B2C2，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形，?A1B1C1，?A2B2C2，?A3B3C3，?, 這一系列三角形趨向于一個點M。已知
A?0,0?,B?3,0?,C?2,2?，則點M的坐標(biāo)是（）
52522Ａ、(,)Ｂ、(,1)Ｃ、(,1)Ｄ、(1,)
3333323、已知數(shù)列
lim
{an},{bn}
都是無窮等差數(shù)列，其中
a1?3,b1?2,b2是a2和a
3的等差中
an1111?lim(??...?)n??bn??2，求極限a1b1a2b2anbn的值； n項，且
24、設(shè)正數(shù)數(shù)列
lga?
lin?
1n??
?an?
為一等比數(shù)列，且a2?4,a4?16，求
lag????n2n
2al2ng；
bn?lgan，25、數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，其中c為正常數(shù)，數(shù)列?bn?a1?c，成等差數(shù)列且公差為lgc（1）求證?an?是等比數(shù)列；（2）?an?的前n項和為Sn，求lim26、已知f(x)?logax(a?o且a?1)，an
n??Sn
且2,f(a1),f(a2),f(a3),?,f(an),2n?1,?(n?N?)成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列?an?的通項公式；
（2）若數(shù)列?an?的前n項和為Sn，當(dāng)a?1時，求lim
Sn
n??an
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