第一篇：淺談數(shù)列極限的求法

淺談數(shù)列極限的求法

龍門(mén)中小李海東

摘要：本文主要介紹了數(shù)列極限的幾種求法，并通過(guò)一個(gè)例題說(shuō)明利用函數(shù)極限的求法，幫助尋找數(shù)列極限的方法，幫助學(xué)生理解和掌握求極限的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限方（求）法說(shuō)明

引言：在初等代數(shù)，高等代數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)或多或少都涉及到數(shù)列極限的有關(guān)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)分析中數(shù)列極限是極其重要的章節(jié)，數(shù)列極限是學(xué)習(xí)函數(shù)極限的基礎(chǔ)和鋪墊，數(shù)列極限的求法和函數(shù)極限求法在某種程度上是彼此相似的，所以可以對(duì)照學(xué)習(xí)，也可以用一種求極限的方法，求出另外一種極限，給解答習(xí)題帶來(lái)一定的靈活性。方法也是比較靈活的。下面就數(shù)列極限的求法略作淺談，且舉例說(shuō)明。

一 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限

預(yù)備知識(shí)：若數(shù)列?an?收斂，則?an?為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，有 an?M.此方法的解題程序?yàn)椋?/p>

1、直接對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分析或用數(shù)學(xué)歸納驗(yàn)證數(shù)列?an?單調(diào)有界；

2、設(shè)?an?的極限存在，記為liman?A代入給定的表達(dá)式中，則該式變?yōu)锳的代數(shù)方n??

程，解之即得該數(shù)列的極限。

舉例說(shuō)明：

例：若序列?an?的項(xiàng)滿足a1?a(a?0)且an?11?a????an??,(n?1,2,?),試證2?an??

?an?有極限并求此極限。

解由a1?a

21?a?1?a12?a?2a1aa1???aa2????2??a???a2?a1?1??1?

用數(shù)學(xué)歸納法證明ak?a需注意

22?a?2aka1?a?1?ak?ak??????a.ak??????2?ak?2?ak?ak

又an?an?12?a1?a?an???a???0 n??2?an?2an

??an?為單調(diào)減函數(shù)且有下界。

令其極限為A 由 an?1?

1?a?

?an??有： 2?an???

1?a?

??a?n??2?an?

liman?1?

n??

即A?

1?a?

?A?? 2?A?

?A?a?A?

a(A?0)

n??

從而liman?

a.二 利用數(shù)列極限的定義求數(shù)列的極限

大家知道，數(shù)列極限的定義是這樣的：設(shè)?an?為數(shù)列，a為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，有an?a??，則稱數(shù)列收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列

an?an?的極限，記作：limn??

?a，當(dāng)數(shù)列不單調(diào)時(shí)，我們就用此定義來(lái)求極限，其步驟：

1、先根據(jù)數(shù)列極限的唯一性求出極限；

2、再去證明極限的存在性。舉例說(shuō)明：

例：設(shè)x1?2, xn?1?2?解1.令limxn?t

n??

(n?1)求:：limxn.n??xn

則limxn?1?lim??2?

n??

n??

??

xn

??? ?

即t?2??t?1?2?xn?2

?t?2? t?1?2(t?1?2舍去)

1t

2.證明其極限的存在性對(duì)???0xn?t?(2?)?(2?)xn?1t

xn?1?txn?2?t1xn?1?t???? tt?xn?1442

?

2?4n?1

??(當(dāng)n足夠大)

?

1xn?1

?

x1?44n?1

由極限的下定義可得：lim?xn?t??0

n??

?limxn?t?1?

n??

2.三 利用數(shù)列夾逼準(zhǔn)則求數(shù)列極限

回顧一下：設(shè)收斂數(shù)列?an??數(shù)列{cn}滿足：存在正數(shù)N0，當(dāng)n?N0，bn?都以a為極限，時(shí)，有：an?cn?bn.則數(shù)列{cn}收斂，且limcn?a.n??

此方法一般通過(guò)放大或縮小分母來(lái)找出兩邊數(shù)列的通項(xiàng)，從而達(dá)到求極限的目的。

舉例說(shuō)明：

?11?

例：求 lim?1??2?.n??

?nn?

?1??11??n?1?

解由?1????1??2???1?2?

n??n??nn??

??n?1?n?11???

?1??1???1?2????? ?(n?1)(n?1)?n?1n?1??????

n

n

n

n

nnn

?1?

顯然 lim?1???e

n??

?n?

nn?1

??1?1?1?????lim1??1?并且 lim?1???????e ??n??n??

?n?1??n?1?????n?1??

n

?11?

?lim?1??2??e.n??

?nn?

四 利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限

此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎(chǔ)上，對(duì)所求式子作適當(dāng)變形，從而達(dá)到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當(dāng)?shù)募记尚浴?/p>

舉例說(shuō)明：

n

n?1

?n?1?1

例：求 limsin.n??

nnn

n?1

?n?1?1

解limsin

n??

nnn

=lim?

?n?1?

?n??n??

n?1

sin?1

nsin?1n1n

=lim?1?

?n??

?1??n?

n?1

=lim?1?=e?1?1=e

?n??

?

1??1????1???n??n?1

n

n

sin

例：求極限lim?

?sinx?

?x?asina??

x?a

1x?a

.解lim?

?sinx?

?x?asina???

x?a

?

1x?a

=lim?1?

sinx?sina?

?sina?

1sinacosa

?x?acosasina

x?ax?a??2cossin??=lim?1??x?asina???????

x?a????2cosasin?

??=lim?1?x?a??sina????????

sina

cosa?(x?a)

???????

cosasina

sina

??cosa?(x?a)x?a????2cosasin?????=lim?1??x?a??sina???????????

ctga

=e

ctga

?sin

?

?x?ax?a?

~? 22?

五 利用數(shù)列極限與函數(shù)的極限等值關(guān)系來(lái)求極限

此方法把數(shù)列極限化成函數(shù)形式的極限，而后回代，從而求出數(shù)列極限的一種方法。

舉例說(shuō)明：

?a?b?c?

?.例：若 a,b,c?0,求lim???n???3??

解先考慮：

?1

?ax?bx?cx

ln?

3??

n

??

??xln??

x

?1

?ax?bx?cx?

3????? ??

?1

?ax?bx?cx

而limxln?

x???3?

???? ??

?1?xxx??ln?a?b?c??ln3??=lim

x???1

x

?2?axlna?2?bx?lnb?2?cx?lnc=lim

x???

1?2x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alna?b?lnb?c?lnc

a?b?c

1x

1x

1x

x???

=lnabc

???c?

? ?lim??n????3??

n

?1

?ax?bx?cx

=lim?

n???3?

???? ??

n

=lime

n???

??111??ax?bx?cxxln???????

???????

=e??

?lnabc??

?3?

=e

ln?abc?3

=?abc?

通過(guò)上面簡(jiǎn)單的對(duì)求數(shù)列極限的一般方法加以歸納，并舉例說(shuō)明，就可以在我們大腦中造成深刻的印象，更好地掌握函數(shù)和數(shù)列極限的求法。但數(shù)列極限的求法并不限于這幾種方法，或許還有很多種，希望大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中善于歸納總結(jié)求數(shù)列極限的方法，以便我們共勉。

參考文獻(xiàn)：

[1]程其襄.數(shù)學(xué)分析第三版[M].高等教育出版社，1981（4）[2]謝惠民.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M].高等教育出版社，2003（7）

[3]周建瑩 李正元.高等數(shù)學(xué)解題指南[M].北京大學(xué)出版社，2002.（10）[4]王汝發(fā).高等數(shù)學(xué)解題方法[M].蘭州大學(xué)出版社，1994.（3）

第二篇：淺析極限的若干求法

科技信息 ○高校講臺(tái)○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

2007 年第 23 期

淺析極限的若干求法

孟金濤

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系河南 鄭州 450015)

摘要: 極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 本文給出了極限的若干求法, 并用具體實(shí)例加以說(shuō)明。關(guān)鍵詞: 極限;表達(dá)式;等價(jià)無(wú)窮小

極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 極限問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)中困難問(wèn)題之

a +a +?+a

xx

x n

一。中心問(wèn)題有兩個(gè): 一是證明極限的存在性, 二是求極限的值。兩個(gè) 問(wèn)題密切相關(guān): 若求出了極限的值, 自然極限的存在性也就證明了。反 之, 證明了存在性, 常常也就為求極限鋪平了道路。

利用定義證明極限的存在, 有一先決條件, 即事先要知道極限的 猜測(cè)值。通常情況下我們都不知道表達(dá)式的極限值, 那么如何根據(jù)表

→0

a1

+lim

x→0

+?+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)將根式有理化, 于是有原式為

x

解】令 t=-x,則 x→∞時(shí), t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函數(shù)在有定義的地方都連續(xù),=sin

π

=sin項(xiàng)趨向于零求極限。1+

(1)利用收斂級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨向于零求極限。(2)利用收斂級(jí)數(shù)的余 2 π2lim =1。

原極限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×?×(n+10)例 9】求下列極限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限n→∞ n

2×5×8?×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】設(shè) f(x)在 x0 處可導(dǎo), 求lim 0 【(2)xn=?+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原極限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)求極限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+當(dāng) x→∞時(shí)), 所以正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收斂, 從而可得通項(xiàng) xn→0(當(dāng) n→∞時(shí))。

∞

∞

∞

解】由導(dǎo)數(shù)定義有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 頁(yè))實(shí)可行的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)防范措施。

從單個(gè)企業(yè)來(lái)講, 收益不足是導(dǎo)致財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)的主要因素, 經(jīng)營(yíng)收 入扣除經(jīng)營(yíng)成本費(fèi)用稅金等經(jīng)營(yíng)費(fèi)用后是經(jīng)營(yíng)收益, 如果從經(jīng)營(yíng)收益 開(kāi)始就已經(jīng)虧損, 說(shuō)明企業(yè)已近破產(chǎn)倒閉, 即使總收益為盈利, 可能是 由于非主營(yíng)業(yè)務(wù)或營(yíng)業(yè)外收入所形成利潤(rùn)增加, 如出售手中持有有價(jià) 證券、固定資產(chǎn)等;如果經(jīng)營(yíng)收益為盈利, 而總收益為虧損, 問(wèn)題不太 嚴(yán)重的話,說(shuō)明已經(jīng)出現(xiàn)危機(jī)信號(hào), 但是可以正常經(jīng)營(yíng)的, 這是因?yàn)槠?業(yè)的資本結(jié)構(gòu)不合理, 舉債規(guī)模大,利息負(fù)擔(dān)重所致。企業(yè)必須針對(duì)財(cái)

務(wù)指標(biāo)的評(píng)價(jià)采取有效措施加以調(diào)整。

綜上所述,利用財(cái)務(wù)指標(biāo)的評(píng)價(jià), 找出企業(yè)的薄弱環(huán)節(jié), 制定出企 業(yè)的籌資活動(dòng)、投資活動(dòng)、資金回收、收益分配策略及措施, 防范規(guī)避 財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn),才能使企業(yè)長(zhǎng)久穩(wěn)定健康發(fā)展。

[ 1] 溫素彬, 薛恒新.基于科學(xué)發(fā)展觀的企業(yè)三重績(jī)效評(píng)價(jià)模型[J].會(huì)計(jì)

研究.[ 2] 王化成, 劉俊勇, 孫薇.企業(yè)業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)[M].北京: 中國(guó)人民大學(xué)出版

參考文社.獻(xiàn)

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第三篇：淺談函數(shù)極限的求法

淺談函數(shù)極限的求法

摘要：函數(shù)極限是數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容之一，也是解決其它問(wèn)題的基礎(chǔ)。如何求出已知函數(shù)的極限是學(xué)習(xí)微積分必須掌握的基本技能。本文系統(tǒng)地介紹了利用定義、兩個(gè)重要極限、無(wú)窮小量代換、洛必達(dá)法則、夾逼準(zhǔn)則等求極限的方法，并結(jié)合具體的例子，指出了在解題中常遇見(jiàn)的一些問(wèn)題。

關(guān)鍵詞: 函數(shù)極限夾逼準(zhǔn)則等價(jià)無(wú)窮小量洛必達(dá)法則泰勒展開(kāi)式無(wú)窮小量

引言

極限研究的是函數(shù)的變化趨勢(shì)，在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限解決某個(gè)確定的數(shù)，那這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的極限了。極限是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的概念，是貫徹?cái)?shù)學(xué)分析的一條主線，它將數(shù)學(xué)分析的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)連在一起，所以，求極限的方法顯得尤為重要的，我們知道，函數(shù)是數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象，而極限方法則是數(shù)學(xué)分析中研究函數(shù)的重要方法，因此怎樣求極限就非常重要。

數(shù)學(xué)分析中所討論的極限大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限，一類是函數(shù)的極限。兩類極限的本質(zhì)上是相同的，在形式上數(shù)列界限是函數(shù)極限的特例。因此，本文只就函數(shù)極限進(jìn)行討論。函數(shù)極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本運(yùn)算，一部分函數(shù)的極限可以通過(guò)直接或間接的運(yùn)用“極限四則運(yùn)算法則”來(lái)求解，而另一部分函數(shù)極限需要通過(guò)特殊方法解決。求函數(shù)極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬(wàn)能的。對(duì)某個(gè)具體的求極限的問(wèn)題，我們應(yīng)該追求最簡(jiǎn)便的方法。在求極限的過(guò)程中，必然以相關(guān)的概念、定理以及公式為依據(jù)，并借助一些重要的方法和技巧。本文給出了十七種求極限的方法，每種方法都是以定理或簡(jiǎn)述開(kāi)頭，然后以例題來(lái)全面展示具體的求法。下面我們通過(guò)對(duì)一元函數(shù)和二元函數(shù)極限的求法來(lái)進(jìn)行分類討論

一元函數(shù)極限的求法

1.1利用函數(shù)定義求極限

利用函數(shù)極限的???定義驗(yàn)證函數(shù)的極限。設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某空心鄰域，使得當(dāng)U0(x0;??)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對(duì)任給的??0，存在正數(shù)?（???）

0?x?x0??時(shí)，有f(x)?A??成立，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0時(shí)以A為極限，記作limf(x)?A或f(x)?A(x?x0)。x?x0

x2?4例1設(shè)f(x)?,證明limf(x)?4.x?2x?

2x2?4?4?x?2?4?x?2，證明: 由于當(dāng)x?2時(shí)，f(x)?4?x?2

故對(duì)給定的??0，只要取???，則當(dāng)0?x?2??時(shí)，有f(x)?4??.這就證明了limf(x)?4.x?2

(1)定義中的正數(shù)?，相當(dāng)于數(shù)列極限??N定義中的N，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定。一般來(lái)說(shuō)，?愈小，?也相應(yīng)地要小一些，而且把?取得更小一些也無(wú)妨，如在題1中可取???

2或???

3等等。

(2)定義中只要求函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，而一般不考慮f在點(diǎn)x0處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值。這是因?yàn)?，?duì)于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0過(guò)程中函數(shù)值的變化趨勢(shì)。如在題1中函數(shù)f在點(diǎn)x?2是沒(méi)有定義的，但當(dāng)x?2時(shí),f的函數(shù)值趨于一個(gè)定數(shù)。

1.2 利用單側(cè)極限求函數(shù)極限

這種方法適用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。首先必須考慮分段點(diǎn)處的左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。如符號(hào)函數(shù)sgnx，由于它在x?0處的左、右極限不相等，所以limsgnx不存在。x?0

f(x)?limf(x)?A.定理1 limf(x)?A?lim??x?x0x?x0x?x0

?2xx?0?例2 ： f(x)??0 x?0,求f(x)在x?0處的極限.?1?x2x?0?

f(x)?lim2x?1，解: lim??x?0x?0

f(x)?lim1?x?1，lim??x?0x?0

2f(x)?limf(x)?1，? lim??x?0x?0

? limf(x)?1.x?0

1.3 利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則求極限

定理2 若極限limf(x)和limg(x)都存在，則函數(shù)f(x)?g(x)，f(x)?g(x)，x?x0x?x0

當(dāng)x?x0時(shí)也存在極限，且有

①limx?x0

x?x0?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)； x?x0x?x0x?x0x?x0②lim?f(x)?g(x)?=limf(x)?limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)x?x0③又若limg(x)?0，則在x?x0時(shí)也存在極限，且有l(wèi)im.?x?x0x?x0g(x)g(x)limg(x)

x?x0

利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則求極限，條件是每項(xiàng)或每個(gè)因子極限都存在，一般所給的變量都不滿足這個(gè)條件，如?0，等情況，都不能直接用四則運(yùn)算法?0

則，必須要對(duì)變量進(jìn)行變形，設(shè)法消去分子、分母中的零因子，在變形時(shí)，要熟練掌握因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形。

(xtanx?1).例3：求lim?x?4

解: 由xtanx?xsinx?2及l(fā)imsinx?sin??limcosx，有 ??x?x?cosx42lim(xtanx?1)=limx???x?4limsinx?x?4x?limcosx?x??lim1??x??4?1.1.6 利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限

參考文獻(xiàn):

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陳傳璋,朱學(xué)炎等.數(shù)學(xué)分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 張?jiān)僭?，陳湘棟等，極限計(jì)算的方法與技巧[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,22(2):16-19.[4]歐陽(yáng)光中.數(shù)學(xué)分析[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.[5]錢(qián)吉林.數(shù)學(xué)分析解題精粹[M].武漢：崇文書(shū)局出版社，2001

第四篇：數(shù)列極限例題

三、數(shù)列的極限

(?1)n?1}當(dāng)n??時(shí)的變化趨勢(shì).觀察數(shù)列{1?n問(wèn)題:

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), xn是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:

(?1)n?1當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), xn?1?無(wú)限接近于1.n問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時(shí), 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時(shí), 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時(shí), 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時(shí), 有xn?1??成立.?定義

如果對(duì)于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對(duì)于n?N時(shí)的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒(méi)有極限, 就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時(shí), 恒有xn?a??.n??其中記號(hào)?:每一個(gè)或任給的;?:至少有一個(gè)或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當(dāng)n?N時(shí), 所有的點(diǎn)xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當(dāng)n?N時(shí), 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說(shuō)明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對(duì)任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細(xì)推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當(dāng)n?N時(shí), 就有

n?1見(jiàn)下，以后不再重復(fù)說(shuō)明或解釋，對(duì)函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴(yán)格寫(xiě)法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當(dāng)n?N時(shí)一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí), 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當(dāng)n?N時(shí), 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說(shuō)明：當(dāng)作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第五篇：數(shù)列極限教案

數(shù)列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數(shù)學(xué)的重要思想。極限概念是從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過(guò)渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語(yǔ)言的刻畫(huà)。

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語(yǔ)言的刻畫(huà)，簡(jiǎn)單數(shù)列的極限進(jìn)行證明。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)列以及數(shù)列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過(guò)學(xué)習(xí)概念，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科知識(shí)的融會(huì)貫通，從哲學(xué)的量變到質(zhì)變的思想的角度來(lái)看待數(shù)列極限概念。

四、授課過(guò)程

1、概念引入

例子一：(割圓術(shù))劉徽的割圓術(shù)來(lái)計(jì)算圓的面積。

.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內(nèi)接正六n邊形來(lái)趨近，隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”。

第一天的長(zhǎng)度1第二天的剩余長(zhǎng)度 第二天的剩余長(zhǎng)度

第四天的剩余長(zhǎng)度 8

.....第n天的剩余長(zhǎng)度n?1.......2

隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長(zhǎng)度越來(lái)越短，越來(lái)越接近0。

這里蘊(yùn)含的就是極限的概念。

總結(jié)：極限是變量變化趨勢(shì)結(jié)果的預(yù)測(cè)。例一中，內(nèi)接正六n邊形的邊數(shù)不斷增加，多邊形的面積無(wú)限接近圓面積；例二中，隨著天數(shù)的不斷增加，木桿的剩余長(zhǎng)度無(wú)限接近0.在介紹概念之前看幾個(gè)具體的數(shù)列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來(lái)討論一種數(shù)列?xn?，在它的變化過(guò)程中，當(dāng)n趨近于??時(shí)，xn不斷接近于某一個(gè)常數(shù)a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數(shù)列越來(lái)越接近0；（3）

（4）中的數(shù)列卻沒(méi)有這樣的特征。

此處“n趨近于??時(shí)”，“xn無(wú)限接近于數(shù)a”主要強(qiáng)調(diào)的是“一個(gè)過(guò)程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準(zhǔn)確無(wú)誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)數(shù)列的概念。本節(jié)課的重點(diǎn)就是將數(shù)列的這樣一個(gè)特征用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)出來(lái)，并引入數(shù)列極限的概念。

2、內(nèi)容講授

（定義板書(shū)）設(shè)?xn?是一個(gè)數(shù)列，a是實(shí)數(shù)。如果對(duì)于任意給定的數(shù)??0，總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，都有xn?a??，我們稱a是數(shù)列?x

n?的極限，或者說(shuō)數(shù)列?xn?收斂且收斂于數(shù)a。

寫(xiě)作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個(gè)正數(shù)，但是這個(gè)數(shù)在選取時(shí)是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關(guān)的。1?1?以數(shù)列??為例，欲若取??，則存在N?100，當(dāng)n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當(dāng)n?N時(shí)，xn?a??。1000

數(shù)列極限的??N語(yǔ)言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數(shù)列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數(shù)列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設(shè)xn?，因?yàn)?nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們?nèi)????1，當(dāng)n?N時(shí)，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設(shè)xn?C（C為常數(shù)），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對(duì)于一切正整數(shù)n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結(jié)：用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業(yè)