第一篇：高等數(shù)學(xué)說課稿《數(shù)列極限》

《數(shù)列極限》說課稿

袁勛

這次我說課的內(nèi)容是由盛祥耀主編的《高等數(shù)學(xué)》（上冊(cè)）第一章第二節(jié)極限概念中的數(shù)列極限。這部分內(nèi)容在課本第18頁(yè)至20頁(yè)。

下面我把對(duì)本節(jié)課的教學(xué)目的、過程、方法、工具等方面的簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)作一個(gè)說明。

一、關(guān)于教學(xué)目的的確定：

眾所周知，對(duì)極限這個(gè)概念的理解是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但由于學(xué)生對(duì)數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的理解比較困難，這種理解上的困難將影響學(xué)生對(duì)后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)，因此，我從知識(shí)、能力、情感等方面確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)。

1．在知識(shí)上，使學(xué)生理解極限的概念，能初步利用極限定義確定某些簡(jiǎn)單的數(shù)列極限；

2．在能力上，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力和在探索問題中的，由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、由有限到無限的辨證觀點(diǎn)。體驗(yàn)?從具體到抽象，從特殊到一般再到特殊?的認(rèn)識(shí)過程；

3．在情感上，通過介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的成就，激發(fā)學(xué)生的民族自尊心和愛國(guó)主義思想情感，并使他們對(duì)數(shù)列極限知識(shí)有一個(gè)形象化的了解。

二、關(guān)于教學(xué)過程的設(shè)計(jì)：

為了達(dá)到以上教學(xué)目的，根據(jù)兩節(jié)。在具體教學(xué)中，根據(jù)?循序漸進(jìn)原則?，我把這次課分為三個(gè)階段：?概念探索階段? ；?概念建立階段? ；?概念鞏固階段?。下面我將對(duì)每一階段教學(xué)中計(jì)劃解決的主要問題和教學(xué)步驟作出說明。

（一）?概念探索階段? 1.這一階段要解決的主要問題

在這一階段的教學(xué)中，由于注意到學(xué)生在開始接觸數(shù)列極限這個(gè)概念時(shí)，總是以靜止的觀點(diǎn)來理解這個(gè)描述變化過程的動(dòng)態(tài)概念，總覺得與以前知識(shí)相比，接受起來有困難，似乎這個(gè)概念是突然產(chǎn)生的，甚至于不明概念所云，故我在這一階段計(jì)劃主要解決這樣幾個(gè)問題：

①使學(xué)生了解以研究函數(shù)值的變化趨勢(shì)的觀點(diǎn)研究無窮數(shù)列，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限的過程；

②使學(xué)生形成對(duì)數(shù)列極限的初步認(rèn)識(shí)； ③使學(xué)生了解學(xué)習(xí)數(shù)列極限概念的必要性。2．本階段教學(xué)安排

我采取溫故知新、推陳出新的教學(xué)過程，分三個(gè)步驟進(jìn)行教學(xué)。① 溫故知新

由于研究數(shù)列極限首先應(yīng)對(duì)數(shù)列知識(shí)有一個(gè)清晰的了解，因此在具體教學(xué)中通過對(duì)教案中5個(gè)具體數(shù)列通項(xiàng)公式的思考讓學(xué)生對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式這個(gè)概念產(chǎn)生回憶，指出以前研究數(shù)列都是研究的有限項(xiàng)的問題，現(xiàn)在開始研究無限項(xiàng)的問題。然后引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)列是自變量為自然數(shù)的函數(shù)，通項(xiàng)公式就是以n為自變量的、定義域?yàn)樽匀粩?shù)集的函數(shù)an的解析式。再引導(dǎo)學(xué)生回憶研究函數(shù)，實(shí)際上研究的就是自變量變化過程

1?中，函數(shù)值變化的情況和變化的趨勢(shì)，并以第[2]的數(shù)列an????為例說

?2?明：當(dāng)n=2、3、4、5 時(shí)，對(duì)應(yīng)的an?1、1、1、1 就說明自變量由

242168增加到5時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就由1減小到1這種變化情況。若問自然數(shù)n

216n?1一直增加下去，函數(shù)an應(yīng)怎樣變化下去，這就是研究變化的趨勢(shì)。

這樣利用通項(xiàng)公式就可把數(shù)列變化趨勢(shì)問題與函數(shù)值變化趨勢(shì)問題有機(jī)地結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)值變化趨勢(shì)的角度來看待例題中五個(gè)數(shù)列的變換趨勢(shì)。通過這種討論，在對(duì)變化趨勢(shì)這個(gè)概念的理解上發(fā)揮心理學(xué)上所提?無意注意?的作用，使學(xué)生對(duì)進(jìn)一步討論的數(shù)列變換趨勢(shì)問題不至于太陌生。

② 推陳出新

在對(duì)5個(gè)數(shù)列變化趨勢(shì)的分析過程中，通過引導(dǎo)，由學(xué)生討論得到數(shù)列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向?qū)W生說明：?具有類似于數(shù)列（2）、（3）、（5）共性的數(shù)列稱為有極限的數(shù)列，共性中的?趨近于一個(gè)確定的常數(shù)?稱它為有極限數(shù)列的極限?。并進(jìn)一步和學(xué)生討論如何給數(shù)列的極限下定義，此時(shí)我根據(jù)學(xué)生情況給予提示，給出數(shù)列極限概念的描述性說明：當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增加時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)的數(shù)列稱為有極限的數(shù)列，這個(gè)確定的常數(shù)稱為數(shù)列極限。

③ 劉徽及其《割圓術(shù)》的介紹

學(xué)生對(duì)數(shù)列極限概念有了一定的認(rèn)識(shí)，為了使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這個(gè)概念并不是突然產(chǎn)生的，是和他們已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)密切相關(guān)的，為此在第一階段我設(shè)計(jì)了這一部分教學(xué)。

我一方面介紹了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)列極限思想所做的貢獻(xiàn)，如?在世界數(shù)學(xué)史上，劉徽是最早運(yùn)用這種數(shù)列極限的思想解決數(shù)學(xué)問題的大 數(shù)學(xué)家。用這種指導(dǎo)思想計(jì)算圓面積的方法，就稱為劉徽割圓術(shù).用類似劉徽割圓術(shù)的方法求出圓周率的近似值，雖然在公元前3世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德也算出過，但所用的方法卻比劉徽所用的方法繁雜的多。?

在另一方面重點(diǎn)結(jié)合計(jì)算機(jī)模擬劉徽割圓術(shù)，介紹這種算法的指導(dǎo)思想：?割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?。通過課件動(dòng)態(tài)演示，進(jìn)一步在?無意注意?作用的發(fā)揮上下文章，加深學(xué)生對(duì)?變化趨勢(shì)?、?趨近于?、?極限?等概念的認(rèn)識(shí)，為下一階段極限概念的教學(xué)提供對(duì)這個(gè)概念感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)。

（二）?概念建立階段? 1． 這一階段要解決的任務(wù)

由于數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述具有高度的概括性、抽象性，學(xué)生初次接觸很困難。具體講，在?-N語(yǔ)言中，學(xué)生搞不清?的兩重性——絕對(duì)的任意性、相對(duì)的確定性；學(xué)生搞不清?N?，不太理解N的實(shí)質(zhì)是表示項(xiàng)數(shù)n無限增大過程中的某一時(shí)刻，從這一時(shí)刻起，所有an(n>N)，都聚集在以極限值A(chǔ)為中心，?為半徑的鄰域中，N是否存在是證明數(shù)列極限存在的關(guān)鍵。

因此在這一階段的教學(xué)中，我采取?啟發(fā)式談話法?與?啟發(fā)式講解法?，注意不?一次到位?，這樣在本階段我設(shè)計(jì)解決的幾個(gè)主要問題是：

①建立、理解數(shù)列極限的定義；

②認(rèn)識(shí)定義中反映出的靜與動(dòng)的辨證關(guān)系； ③初步學(xué)習(xí)論證數(shù)列極限的方法。2． 本階段教學(xué)安排

本階段教學(xué)安排分三個(gè)步驟進(jìn)行。① 問題的提出

在教學(xué)安排上，我根據(jù)學(xué)生形成對(duì)數(shù)列極限的初步認(rèn)識(shí)，以數(shù)列

?1,2,3,4,?,n,??

2345n?1為例，提出一個(gè)學(xué)生形成極限概念時(shí)不好回答的問題：根據(jù)數(shù)列極限定義直觀描述，這個(gè)數(shù)列的極限是1，即當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)無限地趨近于1，問題是為什么不說這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)無限地趨近于1.1，從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題在于自己已獲得的數(shù)列極限概念中?無限趨近于?這一描述，這種描述比較含混，感到有必要對(duì)極限定義做進(jìn)一步精 確描述。

② 問題的解決

具體講，由于數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離及其解析表示對(duì)學(xué)生來說是很熟悉的，故我在教學(xué)中利用數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生先得出結(jié)論：?趨近于?是距離概念，距離的解析表示是絕對(duì)值，?無限趨近于?就可用距離要多小有多小來表示。即數(shù)列項(xiàng)與確定常數(shù)差的絕對(duì)值要多小有多小。

然后讓學(xué)生通過具體計(jì)算如：?思考已知數(shù)列中是否有到1.1的距離為0.01的項(xiàng)？?使學(xué)生知道已知數(shù)列的項(xiàng)不能與1.1的距離要多小有多小，即1.1不是已知數(shù)列的極限，從而使學(xué)生對(duì)?要多小有多小?這一概念有了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，并為量化|an-1|當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增加時(shí)要多小有多小打下基礎(chǔ)。

③數(shù)列極限定義的得出

在?檢驗(yàn)‘1’是否滿足：已知數(shù)列的項(xiàng)與1的差的絕對(duì)值是否要多小有多小?的教學(xué)過程中，我采取?給距離找項(xiàng)數(shù)?的方法。

具體講讓學(xué)生考慮已知數(shù)列中有哪些項(xiàng)與1的差的絕對(duì)值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001，讓學(xué)生把用計(jì)算器計(jì)算的結(jié)果在黑板上列表寫出并解釋所得的結(jié)果，如提示學(xué)生得出結(jié)論：?已知數(shù)列中第908項(xiàng)以后各項(xiàng)與1的差的絕對(duì)值小于0.0011。?這種討論的目的是使學(xué)生感受到?N?是項(xiàng)數(shù)n 無限增大的過程中的一個(gè)標(biāo)志，進(jìn)而說明對(duì)于給定的每一個(gè)正數(shù)，可找到N，當(dāng)n>N時(shí)，|an-1|小于這個(gè)正數(shù)。進(jìn)而讓學(xué)生注意無論表示距離的正數(shù)取的多么小，也不能說成?要多小有多小?，而把具體值改為?后即可解決這個(gè)問題。

這樣通過討論，在我的引導(dǎo)下，使學(xué)生得到結(jié)論：?數(shù)列： 1,22,33,42,34,?,53,4n,? n?1n,? n?1當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，它的項(xiàng)越來越趨近于1?，也就是數(shù)列： 1,24,?,5的極限為1，并進(jìn)一步讓學(xué)生總結(jié)出一般數(shù)列的極限的準(zhǔn)確定義。

（三）?概念鞏固階段?

1． 本階段的教學(xué)計(jì)劃

在這一階段的教學(xué)中我計(jì)劃做兩件事情：

①說明N、?、|an-A |

2． 本階段的教學(xué)過程 根據(jù)上述說明，這一階段分為兩個(gè)步驟。① 定義說明

除了對(duì)極限概念予以說明外為了加深學(xué)生對(duì)數(shù)列極限概念中N、?、|an-A |

?1,0,?1,0,1,?,1sinn?,??

4162n?12并提示其根據(jù)定義考慮問題。這樣使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)由特殊到一般再到特殊的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

②習(xí)題訓(xùn)練

在學(xué)生對(duì)數(shù)列極限定義的初步掌握的基礎(chǔ)上，為鞏固學(xué)生所學(xué)，我讓學(xué)生作課本例1，練習(xí)這道題目的在于總結(jié)上一階段得到數(shù)列極限的過程，同時(shí)讓學(xué)生熟悉數(shù)列極限定義的應(yīng)用步驟；在此基礎(chǔ)上結(jié)合北大附中學(xué)生的特點(diǎn)我安排了例2，讓學(xué)生作這道題目的在于通過對(duì)這道題的證明與討論可讓學(xué)生對(duì)等比數(shù)列{1，q，q2，…qn，…}收斂、發(fā)散性有一個(gè)清楚的了解。在例2的處理手法上我讓學(xué)生先各抒己見，然后采用幾何畫板演示，驗(yàn)證同學(xué)猜想，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望。由于{1，q，q2，…qn，…}和{1,1,1,?1,?}是今后學(xué)習(xí)過程中的常用數(shù)列，因此我覺得23n學(xué)生對(duì)例

1、例2的掌握的好壞將對(duì)后面的學(xué)習(xí)產(chǎn)生直接影響。

③ 補(bǔ)充說明

對(duì)于較好的班級(jí)，還可考慮用直角坐標(biāo)系來代替數(shù)軸。由于數(shù)列是以自然數(shù)集子集為定義域的特殊函數(shù)，其圖象是離散的點(diǎn).這使得數(shù)列的項(xiàng)與點(diǎn)(n,f(n))，即點(diǎn)(n,an)對(duì)應(yīng)起來.當(dāng)數(shù)列{an}有極限A時(shí)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的幾何意義為：任給正數(shù)?，存在一個(gè)以直線y=A+?和y=A-?為邊界的條形區(qū)域，存在一個(gè)N，當(dāng)n>N時(shí)，所有的點(diǎn)（n, an）都落在這個(gè)條形區(qū)域內(nèi)。換句話說數(shù)列的項(xiàng)在坐標(biāo)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，只有有限個(gè)點(diǎn)落在條形區(qū)域外。利用這種方式教授這節(jié)課，形象直觀，并為今后函數(shù)極限的教學(xué)打下基礎(chǔ)。

三、關(guān)于教學(xué)用具的說明：

這節(jié)課的教學(xué)目的之一是使學(xué)生通過對(duì)極限概念形成過程的了解，較為自然地接受極限的定義，以利于加深對(duì)概念的理解和掌握。因此在本節(jié)課中主要使用的是計(jì)算器和計(jì)算機(jī)課件演示。計(jì)算器的作用在于使學(xué)生理解 ???和?N?內(nèi)在關(guān)系； 計(jì)算機(jī)課件演示目的有三：其一是通過史料的簡(jiǎn)單介紹對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育；其二是在概念形成階段，為學(xué)生提供感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)；其三可對(duì)學(xué)生所得的結(jié)論驗(yàn)證、完善，加深對(duì)問題的理解，鞏固所學(xué)的概念?？傊?恰當(dāng)使用現(xiàn)代化教學(xué)手段，充分發(fā)揮其快捷、生動(dòng)、形象的輔助作用，最大限度地使學(xué)生獲得并掌握所學(xué)的知識(shí)，?是我選擇和使用教學(xué)用具的根據(jù)。

四、結(jié)束語(yǔ)：

總之，作為極限概念這部分的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生初步體會(huì)到極限思想是從有限中認(rèn)識(shí)無限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想。充分發(fā)揮學(xué)生主體意識(shí)，在老師引導(dǎo)下自主地獲得知識(shí)。體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成的過程。

第二篇：高等數(shù)學(xué)-極限

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉(zhuǎn)載▼ 標(biāo)簽： 分類： 數(shù)學(xué)問題解答

雜談 知識(shí)/探索

【摘 要】《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中對(duì)于極限部分的要求很高，這主要是因?yàn)槠涮厥獾牡匚粵Q定的。然而極限部分絕大部分的運(yùn)算令很多從中學(xué)進(jìn)入高校的學(xué)生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運(yùn)算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對(duì)學(xué)習(xí)者有所幫助?！娟P(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 極限 技巧

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

《高等數(shù)學(xué)》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對(duì)于剛?cè)敫咝５膶W(xué)生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學(xué)”向“高等數(shù)學(xué)”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當(dāng)函數(shù)的變量具有某種變化趨勢(shì)（這種變化趨勢(shì)是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時(shí)具有一種趨勢(shì)，而且這種趨勢(shì)是與自變量的變化具有對(duì)應(yīng)性。通俗的來講，函數(shù)值因?yàn)楹瘮?shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時(shí)的極限！

從數(shù)學(xué)式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個(gè)問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運(yùn)算技巧

我在上課時(shí)，為了讓學(xué)生好好參照我的結(jié)論，我夸過這樣一個(gè)?？?，我說，只要你認(rèn)真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來這不是什么?？?，數(shù)學(xué)再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當(dāng)時(shí)有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實(shí)不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助!我們看到一道數(shù)學(xué)題的時(shí)候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時(shí)可以直接套用的。1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個(gè)我不細(xì)說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學(xué)習(xí)者都很清楚不定型的重要性，確實(shí)。那么下面詳細(xì)說明一些注意點(diǎn)以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價(jià)無窮小代換，因?yàn)檫@是最能簡(jiǎn)化運(yùn)算的。等價(jià)代換的公式主要有六個(gè)：

需要注意的是等價(jià)物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運(yùn)算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價(jià)代換的時(shí)候，必須拆項(xiàng)運(yùn)算，不過，需要說明，拆項(xiàng)的時(shí)候要小心，必須要保證拆開的每一項(xiàng)極限都存在。此外等價(jià)無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算的之前，檢驗(yàn)形式，是無窮小的形式才能等價(jià)代換。

當(dāng)然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運(yùn)算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進(jìn)行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運(yùn)算形式），可以找高次項(xiàng)，提出高次項(xiàng)，這樣其他一切項(xiàng)就都是無窮小了，只有高次項(xiàng)是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項(xiàng)都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當(dāng)然如果分式形式中，只有分子中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項(xiàng)，我們可以直接去看高次項(xiàng)的系數(shù)，基本原理其實(shí)就是上面所說的提高次項(xiàng)。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項(xiàng)的方法（提高次項(xiàng)是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達(dá)也是一種很好的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是洛必達(dá)是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴(yán)格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時(shí)候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運(yùn)算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運(yùn)算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項(xiàng)解。（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因?yàn)闊o窮大與無窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時(shí)比較簡(jiǎn)單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗(yàn)形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對(duì)數(shù)消指數(shù)。簡(jiǎn)單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對(duì)數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點(diǎn)不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時(shí)候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)，多做題多總結(jié)。

（本文著作權(quán)歸個(gè)人所有，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系本人。）

第三篇：數(shù)列極限例題

三、數(shù)列的極限

(?1)n?1}當(dāng)n??時(shí)的變化趨勢(shì).觀察數(shù)列{1?n問題:

當(dāng)n無限增大時(shí), xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:

(?1)n?1當(dāng)n無限增大時(shí), xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時(shí), 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時(shí), 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時(shí), 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時(shí), 有xn?1??成立.?定義

如果對(duì)于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對(duì)于n?N時(shí)的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時(shí), 恒有xn?a??.n??其中記號(hào)?:每一個(gè)或任給的;?:至少有一個(gè)或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當(dāng)n?N時(shí), 所有的點(diǎn)xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當(dāng)n?N時(shí), 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對(duì)任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細(xì)推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當(dāng)n?N時(shí), 就有

n?1見下，以后不再重復(fù)說明或解釋，對(duì)函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴(yán)格寫法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當(dāng)n?N時(shí)一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí), 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當(dāng)n?N時(shí), 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當(dāng)作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第四篇：數(shù)列極限教案

數(shù)列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數(shù)學(xué)的重要思想。極限概念是從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語(yǔ)言的刻畫。

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語(yǔ)言的刻畫，簡(jiǎn)單數(shù)列的極限進(jìn)行證明。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、通過學(xué)習(xí)數(shù)列以及數(shù)列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過學(xué)習(xí)概念，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科知識(shí)的融會(huì)貫通，從哲學(xué)的量變到質(zhì)變的思想的角度來看待數(shù)列極限概念。

四、授課過程

1、概念引入

例子一：(割圓術(shù))劉徽的割圓術(shù)來計(jì)算圓的面積。

.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內(nèi)接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”。

第一天的長(zhǎng)度1第二天的剩余長(zhǎng)度 第二天的剩余長(zhǎng)度

第四天的剩余長(zhǎng)度 8

.....第n天的剩余長(zhǎng)度n?1.......2

隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長(zhǎng)度越來越短，越來越接近0。

這里蘊(yùn)含的就是極限的概念。

總結(jié)：極限是變量變化趨勢(shì)結(jié)果的預(yù)測(cè)。例一中，內(nèi)接正六n邊形的邊數(shù)不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數(shù)的不斷增加，木桿的剩余長(zhǎng)度無限接近0.在介紹概念之前看幾個(gè)具體的數(shù)列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來討論一種數(shù)列?xn?，在它的變化過程中，當(dāng)n趨近于??時(shí)，xn不斷接近于某一個(gè)常數(shù)a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數(shù)列越來越接近0；（3）

（4）中的數(shù)列卻沒有這樣的特征。

此處“n趨近于??時(shí)”，“xn無限接近于數(shù)a”主要強(qiáng)調(diào)的是“一個(gè)過程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準(zhǔn)確無誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來刻畫數(shù)列的概念。本節(jié)課的重點(diǎn)就是將數(shù)列的這樣一個(gè)特征用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫出來，并引入數(shù)列極限的概念。

2、內(nèi)容講授

（定義板書）設(shè)?xn?是一個(gè)數(shù)列，a是實(shí)數(shù)。如果對(duì)于任意給定的數(shù)??0，總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，都有xn?a??，我們稱a是數(shù)列?x

n?的極限，或者說數(shù)列?xn?收斂且收斂于數(shù)a。

寫作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個(gè)正數(shù)，但是這個(gè)數(shù)在選取時(shí)是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關(guān)的。1?1?以數(shù)列??為例，欲若取??，則存在N?100，當(dāng)n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當(dāng)n?N時(shí)，xn?a??。1000

數(shù)列極限的??N語(yǔ)言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數(shù)列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數(shù)列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設(shè)xn?，因?yàn)?nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們?nèi)????1，當(dāng)n?N時(shí)，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設(shè)xn?C（C為常數(shù)），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對(duì)于一切正整數(shù)n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結(jié)：用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業(yè)

第五篇：數(shù)列極限復(fù)習(xí)

數(shù)列極限復(fù)習(xí)題

姓名

2?4???2n1、lim=； n??1?3?9??(?3)n

an2?2n?1a2、若lim(2n?)?1，則=； n??bn?2b

1?an3、如果lim()?0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；n??2a

n4、設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an?(1?4x)，若liman存在，則x的取值范圍是n??

___；

?a?5．已知無窮等比數(shù)列n的前n項(xiàng)和

窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和是；

6、數(shù)列?an?滿足a1?Sn?1?a(n?N*)n3，且a是常數(shù)，則此無1，且對(duì)任意的正整數(shù)m,n都有am?n?am?an，則數(shù)列?an?的3所有項(xiàng)的和為；

7、無窮等比數(shù)列?an?的首項(xiàng)是某個(gè)自然數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：數(shù)，m為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項(xiàng)和為3，則a1?a2；

8、無窮等比數(shù)列?an?的各項(xiàng)和為2，則a1的取值范圍是

1的分m

??

9、無窮等比數(shù)列an中，為；

lim(a2?a3?...?an)

n??

=1，則a1的取值范圍

cosn??sinn??

10、計(jì)算： lim,??[0,]?

n??cosn??sinn?

222n?a2n111、若lim2n?1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是； ?2n?

12?a

23?n?2?n?(?1)n(3?n?2?n)

12、若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,n=1,2,?,則

lim(a1?a2???an)__________；

n??

1?

1?n?2012?n(n?1)?

13、若an??,Sn為數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和,求limSn?____;

n??

?3?1n?2013n?1??

214、等差數(shù)列?an?，?bn?的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn且

an

? n??bn

Sn2n

?，則Tn3n?

1lim15、設(shè)數(shù)列?an?、?bn?都是公差不為0的等差數(shù)列，且lim

lim

b1?b2???b3n

na4n

an

?3，則bn16、已知數(shù)

列為等差數(shù)列，且，則

a117、設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且lim1?qn）?，則a1的取值范圍是

n??1?q

2__________；

18、已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?1，公比為q(q?0)，前n項(xiàng)和為Sn，若

lim

Sn?

1?1，則公比q的取值范圍是.；

n??Sn19、已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足：對(duì)于所有n?N*，有4Sn?(an?1)2，n

?（）其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．則limn??an

A．0B．1C．D．

220、下列命題正確的是 ?????????????????????????()

（A）liman?A, limbn?B則lim

n??

n??

anA

?(bn?0,n?N)

n??bBn

（B）若數(shù)列{an}、{bn}的極限都不存在，則{an?bn}的極限也不存在（C）若數(shù)列{an}、{an?bn}的極限都存在,則{bn}的極限也存在（D）設(shè)Sn?a1?a2???an，若數(shù)列{an}的極限存在,則數(shù)列{Sn}的極限也存在21、用記號(hào)“○+”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算, 即a○+b=已知數(shù)列{xn}滿足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),則limxn等于（）

n???

a?b

.2A.2

3B.12

C.0D.122、連結(jié)?ABC的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的?A1B1C1，又?A1B1C1的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的?A2B2C2，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形，?A1B1C1，?A2B2C2，?A3B3C3，?, 這一系列三角形趨向于一個(gè)點(diǎn)M。已知

A?0,0?,B?3,0?,C?2,2?，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）

52522Ａ、(,)Ｂ、(,1)Ｃ、(,1)Ｄ、(1,)

3333323、已知數(shù)列

lim

{an},{bn}

都是無窮等差數(shù)列，其中

a1?3,b1?2,b2是a2和a

3的等差中

an1111?lim(??...?)n??bn??2，求極限a1b1a2b2anbn的值； n項(xiàng)，且

24、設(shè)正數(shù)數(shù)列

lga?

lin?

1n??

?an?

為一等比數(shù)列，且a2?4,a4?16，求

lag????n2n

2al2ng；

bn?lgan，25、數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，其中c為正常數(shù)，數(shù)列?bn?a1?c，成等差數(shù)列且公差為lgc（1）求證?an?是等比數(shù)列；（2）?an?的前n項(xiàng)和為Sn，求lim26、已知f(x)?logax(a?o且a?1)，an

n??Sn

且2,f(a1),f(a2),f(a3),?,f(an),2n?1,?(n?N?)成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)a?1時(shí)，求lim

Sn

n??an