第一篇：定積分在數(shù)列和式不等式證明中的應(yīng)用

定積分在數(shù)列和式不等式證明中的應(yīng)用

湖北省宜昌市第二中學(xué)曹超

郵編：443000電子郵箱：c220032003@yahoo.cn

數(shù)列和式不等式?ai?A(或?ai?A)的證明通常要用到放縮法，由于放縮法技巧性強(qiáng)，且無(wú)固定模式，i?

1i?1

n

n

在實(shí)際解題過(guò)程中同學(xué)們往往難以掌握。學(xué)習(xí)了定積分的相關(guān)知識(shí)后，我們可以利用定積分的定義及幾何意義證明此類不等式，下面筆者僅就兩例對(duì)這種方法加以介紹。

例1

證明：1)?1?

第2題）

證明：

構(gòu)造函數(shù)f(x)?

1?

1????

1（n?N?）（高中人教（A）版選修4-5P29?，作出函數(shù)圖象，圖（1）中n-1個(gè)矩形的面積

和

1????

應(yīng)為直線x?1，x?n，x軸和曲

線

f(x)?

所圍成曲邊梯形面積的不足近似值，故

?????

?

?

n

x

?

2dx=2x

2n

=2，所以

圖（1）

1?

?

????

?1?。

圖（2）中n

個(gè)矩形的面積和1?

??????

應(yīng)為直線

x?1，x?n?1，x軸和曲

線f(x)?所圍成的曲邊梯形

面積的過(guò)剩近似值，故1?

?

?????

?

n?1

x

?

dx=

圖（2）

2x2

n1

=2，不等式得證。

評(píng)析：

教材對(duì)本題證明給出了提示：?

?

?

?

?

①，實(shí)際解題過(guò)程中，由于不等式①技巧性強(qiáng)，思維量大，學(xué)生如不參考提示很難得到。事實(shí)

上，如圖（3）所示，根據(jù)定積分的定義及幾何意義，在區(qū)間?n,n?1?(n?N?)上的曲邊梯形的面積大于以區(qū)間的右端點(diǎn)n?1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(n?1)為一邊的長(zhǎng)，以1

為鄰邊的長(zhǎng)的矩形的面積，小于以區(qū)間的左端點(diǎn)n對(duì)

圖（3）

應(yīng)的函數(shù)值f(n)為一邊的長(zhǎng)，以1為鄰邊的長(zhǎng)的矩形的面積，即

?

?

n?1n

x

?

dx?2x2

n?1n

?

?

代數(shù)變形技巧得到，更非“空穴來(lái)風(fēng)”，而是有著明確幾何意義的代數(shù)表示，數(shù)形結(jié)合思想在這里得以充分地體現(xiàn)。

例 2對(duì)于任意正整數(shù)n，試證：（1）當(dāng)n?N時(shí)，求證：ln(n?1)?lnn?

（2）

1n?1

?

1n?2

?????

1n?n

?ln

3?

1n+1

分析：此題的設(shè)計(jì)意圖是利用第（1）問(wèn)的結(jié)論證明第（2）問(wèn)。但如果沒(méi)有第一問(wèn)作鋪墊，第（2）問(wèn)的證明很難用代數(shù)方法得到，如果利用例1所述方法，那么證明變得非常簡(jiǎn)潔。

證明：（1）證明略。

（2）構(gòu)造函數(shù)f(x)?

1x

(x?0)，作出函數(shù)圖象，根據(jù)y?f(x)

在區(qū)間?n,2n?上定積分定義及其幾何意義，圖（4）中n個(gè)矩形的面積和小于由直線x?n，x?2n，x軸和曲線f(x)?圍

1x

所，即

成?

?n的12?

曲

邊梯形的面積

n?1

21n1

l???n2nx??x

n??(n?2l

7n?)n，l不等式nln

得證。

圖（4）

新課標(biāo)新增的微積分知識(shí)有著豐富的數(shù)學(xué)背景及內(nèi)涵，所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法為我們問(wèn)題的解決提供了新的視角，所以我們?cè)谄匠W(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)予以足夠的重視。最后提供兩道練習(xí)題供同學(xué)們參考。

1、2、求證：()?()?????（n

n

n

n

n?1

nnn)?()?2nn

1n?

1n?1

?

（n?N）

????

1n

?

證明：對(duì)于大于1的正整數(shù)n，n?2

?1

第二篇：利用定積分證明數(shù)列和型不等式

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見(jiàn)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù)，求證

.分析

這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)數(shù)圖象可知，在區(qū)間

并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函

上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1 即，因?yàn)椋?所以

.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)

而函數(shù)在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以.例3 證明。

證明 構(gòu)造函數(shù)可知，在區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖

3個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3

即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng)，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖4

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為

（Ⅰ）用表示出 ；

.的圖象在點(diǎn)（Ⅱ）若 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明（Ⅲ）不等式數(shù)列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臅r(shí)，此式適合，故只要證當(dāng) 時(shí)，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即

.圖

5而，所以，故原不等式成立.點(diǎn)評(píng) 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題，解法雖然綜合性強(qiáng)，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個(gè)新方法新亮點(diǎn)，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化問(wèn)題，這樣才能化繁為簡(jiǎn)、化難為易，

第三篇：利用定積分證明數(shù)列和型不等式

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))

或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見(jiàn)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù)，求證

.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)

數(shù)圖象可知，在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

1即，因?yàn)椋?所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以

.例3證明。

證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間

上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可

個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

3即

.所以

.二、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前

項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間

上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng)，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩

個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)

處的切線方程為的圖象在點(diǎn)

.（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若；

在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明（Ⅲ）不等式

列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí)，此式適合，故只要證當(dāng)

時(shí)，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積，即

.圖5

而

故原不等式成立.，所以，

第四篇：關(guān)于和式的數(shù)列不等式證明方法

關(guān)于“和式”的數(shù)列不等式證明方法

方法：先求和，再放縮

例

1、設(shè)數(shù)列?an?滿足a1?0且an

?n,2an?1?1?an?1?an，n

?N*，記Sn??bk,證明：Sn?1.k?1n

（Ⅰ）求?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn?

【解析】：（Ⅰ）由

?1?1

1??1.得??為等差數(shù)列，1?a1?an?11?ann??

前項(xiàng)為

1111

?1,d?1,于是?1?(n?1)?1?n，?1?an?,an

?1?

1?a11?annn

（Ⅱ）bn?

n

?

?

?

?

Sn??bk?k

?1

?????1??1 練習(xí)：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且

a1?3,b1?1，數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2?64.（1）求an,bn；（2）求證

1113?????.S1S2Sn

4解：（1）設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù)，an?3?(n?1)d，bn?qn?1

?ban?1q3?ndd6

??q?64?2?

q3?(n?1)d依題意有?ban①

?

S2b2?(6?d)q?64?

由(6?d)q?64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1,2,3,6之一，解①得d?2,q?8

故an?3?2(n?1)?2n?1,bn?8

n?1

（2）Sn?3?5???(2n?1)?n(n?2)∴

1111111

??????????

S1S2Sn1?32?43?5n(n?2)

11111111?(1?????????)232435nn?211113?(1???)? 22n?1n?24

方法：先放縮，再求和 例

1、（放縮之后裂項(xiàng)求和）（遼寧卷21）．

在數(shù)列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an?1成等差數(shù)列，bn，an?1，bn?1成等比數(shù)列（n?N）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)|an|，|bn|的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）證明：

*

5??…??． a1?b1a2?b2an?bn1

2本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．滿分12分． 解：（Ⅰ）由條件得2bn?an?an?1，an?1?bnbn?1 由此可得

a2?6，b2?9，a3?12，b3?16，a4?20，b4?25． ···················································· 2分

猜測(cè)an?n(n?1)，bn?(n?1)． ······················································································· 4分 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

ak?k(k?1)，bk?(k?1)2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，2ak

ak?1?2bk?ak?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2)，bk?1??2?(k?2)2．

bk

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．

由①②，可知an?n(n?1)，bn(n?1)對(duì)一切正整數(shù)都成立． ·········································· 7分（Ⅱ）

5??．

a1?b161

2n≥2時(shí)，由（Ⅰ）知an?bn?(n?1)(2n?1)?2(n?1)n． ·············································· 9分 故

11111?111?

??…??????…?? a1?b1a2?b2an?bn62?2?33?4n(n?1)?

?

11?111111???????…??? 62?2334nn?1?11?11?115??????? 62?2n?1?6412

?

綜上，原不等式成立．··································································································· 12分（例

2、（放縮之后等比求和）

（06福建）已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N).*

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：

an1a1a2n

????...?n?(n?N*)23a2a3an?1

22n

（III）.設(shè)bn?an(an?1)，數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和為sn，令Tn?，sn

（i）求證：T1?T2?T3??Tn?n；

（ii）求證：T1?T2?T3??Tn?；

本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。滿分14分。

（I）解：?an?1?2an?1(n?N),*

?an?1?1?2(an?1),??an?1?是以a1?1?2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。?an?1?2n.即 an?2?1(n?N).*

（II）證法一：?41

4k?1k2?

1...4kn?1?(an?1)kn.?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn.?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn,①

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1.② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,即 bn?2?2bn?1?bn?0,?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),??bn?是等差數(shù)列。

證法二：同證法一，得(n?1)bn?1?nbn?2?0 令n?1,得b1?2.設(shè)b2?2?d(d?R),下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 bn?2?(n?1)d.（1）當(dāng)n?1,2時(shí)，等式成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n?k(k?2)時(shí)，bk?2?(k?1)d,那么

k2k2bk??[2?(k?1)d]??2?[(k?1)?1]d.k?1k?1k?1k?1這就是說(shuō)，當(dāng)n?k?1時(shí)，等式也成立。bk?1?

根據(jù)（1）和（2），可知bn?2?(n?1)d對(duì)任何n?N都成立。

*

?bn?1?bn?d,??bn?是等差數(shù)列。

ak2k?12k?11

?k?1??,k?1,2,...,n,（III）證明：?

ak?12?12(2k?1)

2?

aa1a2n

??...?n?.a2a3an?12

ak2k?11111111??k?1??????.,k?1,2,...,n, ak?12?122(2k?1?1)23.2k?2k?2232k

?

aa1a2n1111n11n1

??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322

3an1aan

???1?2?...?n?(n?N*).23a2a3an?12

方法：先放縮，再化類等差等比

例1（有界性放縮，迭加）、各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列?an?中，a1?a3?10，a3?a5?40,n?N*；

（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)b1?1，bn?1nn?

1?1?，求證：bn?1?bn?3?n?1 bnan

2an?2；分析；（1）（2）證明：因?yàn)閍n?1?(1?

所以an?0，n

n

所以an?1與an同號(hào)，又因?yàn)閍1?1?0，)an，2n

n

an?0，即an?1?an．所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以an?a1?1，n2nn12n?1

即an?1?an?nan?n，累加得：an?a1??2???n?1．

22222

12n?1112n?1

令Sn??2???n?1，所以Sn?2?3???n，兩式相減得：

2222222

11111n?1n?1n?1Sn??2?3???n?1?n，所以Sn?2?n?1，所以an?3?n?1，22222222

n?1

故得an?1?an?3?n?1．

即an?1?an?

例2（利用有界性化為類等比）、（安徽卷21）．（本小題滿分13分）

設(shè)數(shù)列?an?滿足a0?0,an?1?can?1?c,c?N,其中c為實(shí)數(shù)

*

（Ⅰ）證明：an?[0,1]對(duì)任意n?N成立的充分必要條件是c?[0,1]；

*

1n?1*，證明：an?1?(3c),n?N;312222

（Ⅲ）設(shè)0?c?，證明：a1?a2??an?n?1?,n?N*

31?3c

（Ⅱ）設(shè)0?c?

解(1)必要性 ：∵a1?0,∴a2?1?c，又 ∵a2?[0,1],∴0?1?c?1，即c?[0,1]

充分性 ：設(shè) c?[0,1]，對(duì)n?N用數(shù)學(xué)歸納法證明an?[0,1]當(dāng)n?1時(shí)，a1?0?[0,1].假設(shè)ak?[0,1](k?1)

則ak?1?cak?1?c?c?1?c?1，且ak?1?cak?1?c?1?c??0

*

∴ak?1?[0,1]，由數(shù)學(xué)歸納法知an?[0,1]對(duì)所有n?N*成立

(2)設(shè) 0?c?，當(dāng)n?1時(shí)，a1?0，結(jié)論成立 3

當(dāng)n?2 時(shí)，∵an?can?1?1?c,∴1?an?c(1?an?1)(1?an?1?an?1)∵0?C?

12,由（1）知an?1?[0,1]，所以 1?an?1?an?1?3 且 1?an?1?03

∴1?an?3c(1?an?1)

∴1?an?3c(1?an?1)?(3c)(1?an?2)???(3c)∴an?1?(3c)

(3)設(shè) 0?c?

n?1

n?1

(1?a1)?(3c)n?1

(n?N*)

122，當(dāng)n?1時(shí)，a1?0?2?，結(jié)論成立 31?3c

n?1

當(dāng)n?2時(shí)，由（2）知an?1?(3c)

?0

∴an?(1?(3c)n?1)2?1?2(3c)n?1?(3c)2(n?1)?1?2(3c)n?1 22222n?1∴a2]1?a2???an?a2???an?n?1?2[3c?(3c)???(3c)

2(1?(3c)n)2

?n?1??n?1?

1?3c1?3c

第五篇：利用定積分證明數(shù)列和型不等式剖析

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù)或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見(jiàn)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù)型，求證例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題已知正整數(shù)

.分析 這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間 并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函數(shù)圖象可上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1

即，因?yàn)?，所?所以.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)在和小于曲邊梯形的面積，又，上的個(gè)矩形的面積之

上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間

圖

2即，所以

.例

3證明。

證明

構(gòu)造函數(shù)區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可知，在個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3 即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為項(xiàng)之和，中間的通項(xiàng)不等式的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時(shí)這三個(gè)數(shù)列的可當(dāng)作是某數(shù)列的前

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋鞯膱D象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng)，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若； 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；.的圖象在點(diǎn)（Ⅲ）證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明

（Ⅲ）不等式項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，此式適合即，左邊是通項(xiàng)為，則當(dāng)，故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時(shí)，時(shí)，也就是要證

由此構(gòu)造函數(shù)積，即，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

.圖5

而立.，所以，故原不等式成