第一篇：第21講：不等式的證明(教師用書(shū))

（聚焦2008四川高考）第21講：不等式的證明（2）

作套題，抓住知識(shí)點(diǎn)；詳評(píng)講，抓常規(guī)思維；仔細(xì)看，抓典型思維。

一、知識(shí)梳理

作商比較法不

綜合分析法 分析法 判別式法向量法 三角換元均值換元 明增量換元反證法 整體換元數(shù)學(xué)歸納法

構(gòu)造函數(shù)法

放縮法和最值法

二、點(diǎn)解讀與例（考）題

（一）判別式法法證明不等式

依據(jù)：已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），則

當(dāng)a＞0時(shí)，若Δ≤0，則f（x）≥0；

當(dāng)a＜0時(shí)，若Δ≤0，則f（x）≤0。

⑴與二次函數(shù)有關(guān)，或通過(guò)等價(jià)變換為二次函數(shù)的問(wèn)題可試用判別式法證明。

⑵對(duì)含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的字母，若能變成某一個(gè)字母為主元的二次方程，也可利用判別式法證明。

【例1】已知a，b∈R且b＞0 b?0，求證：a2+b2＞3a－2ab－3。

注：構(gòu)造a的二次三項(xiàng)式。

【例2】設(shè)a，b，c∈R，證明：a2+ac+b2+3b（a+b+c）≥0，并指出等號(hào)成立的條件。

分析：⑴視為a的二次三項(xiàng)式；

⑵計(jì)算判別式；

⑶當(dāng)b+c=0，即b=－c時(shí)，Δ=0，此時(shí)f（a）=（a+b）2=0，從而a=－b=c時(shí)等號(hào)成立。

【例3】已知x，y∈R，M= x2+y2+1，N=xy+x+y，試比較M與N的大小。

分析：構(gòu)造函數(shù)f(x)?M?N?x?(y?1)x?y?y?1，于是由2

2f(x)?0的???3(y?1)2?0知，當(dāng)且僅當(dāng)y?2時(shí)，M?N取等號(hào)。第21講：不等式的證明（2）

1【例4】已知a,b,c?R且a?b?c?2,a?b?c?2，證明：222

4a,b,c?[0,]。

3分析：依題意得a?(b?2)a?(b?1)?0，此時(shí)可將方程視為關(guān)于a的一元二次方程，于是??(b?2)?4(b?1)?0，解得0?b?理可證a,b,c?[0,]。

注：⑴當(dāng)求不等式的字母指明是實(shí)數(shù)時(shí)，可構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使不等式的字母作為方程各項(xiàng)的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)，從而利用判別式可得證。

⑵輪換對(duì)稱不等式的證明方法：證明一個(gè)，其與的同；同理可證。

【例5】已知a,b,c?R且a?b?c?0,abc?1，求證：a、b、c中一定有一個(gè)不小于4。

分析：①若a,b,c均大于0，則a?b?c?0；

②若a,b,c均小于0，則a?b?c?0；

③若a,b,c兩正一負(fù)，則abc?0。則都與已知矛盾。

從而知a,b,c兩負(fù)一正，不妨令a?0，則a?b??a,bc?

c為一元二次方程x?ax?222224。同3431，即b、a14?0的兩根。于是??a2??0，即aaa?4。同理可證。a,b,c?4。

1sec2x?tanx?3?！纠?】求證：?3sec2x?tanx

策略：①如果是一元二次方程，則直接可利用判別式可證。

②如果是二次三項(xiàng)式，則先計(jì)算判別式，然后確定判別式的符號(hào)。

【例7】已知tanx=3tany（0＜y＜x＜?），且w=x—y，求w的最大值。

2（二）數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題。

（1）數(shù)學(xué)歸納法是證明具有遞推性的自然數(shù)命題P（n）的正確性的重

要的數(shù)學(xué)方法。

（2）證明程序：①命題的遞推基礎(chǔ)；②遞推依據(jù)。

（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵在遞推依據(jù)，證明時(shí)必須明確： 當(dāng)n=k+1時(shí)，所要證明的結(jié)果P（k+1）是什么，而且必須利用歸納假設(shè)P（k），經(jīng)過(guò)推理演算得出P（k+1）。

⑷在推證程序(遞推依據(jù))時(shí)，應(yīng)依據(jù)具體問(wèn)題靈活恰當(dāng)?shù)靥幚砗褪褂霉椒ǎ罕容^法、分析法、放縮法等。

111n*++…+（n∈N），求證：f（2n）＞。23n

21311分析：當(dāng)n=1時(shí)，f(2)?1???，此時(shí)不等式成立。假設(shè)當(dāng)222

111kkn=k時(shí)不等式成立，即f(2)?1?????k?。2322

11111k?1則當(dāng)n=k+1時(shí)，f(2)?1?????k?k???k?1＞2322?12

kk11111+(＞+（++…????)kkkkkkkk222?12?22?22?22?2【例8】已知f（n）=1+

k2kk1k?11k???+）（共2項(xiàng)）??k。kkk22?22222?2

故當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立，即命題成立。

【例9】對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，證明：（1+111）（1+）…（1+）352n?1＞2n?1。2

分析：當(dāng)n=2時(shí)不等式成立。

假設(shè)當(dāng)n?k(k?2)時(shí)不等式成立，即（1+111）（1+）…（1+）352n?1＞2n?1成立。2

則當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1111）（1+）…（1+）（1+）＞352k?12k?12k?12k?2k?1+=。于是由 22k?12k?

1(k?1

2k?1)2?(2k?321)??0(k?N?,n?2)知不等式24(2k?1)

成立。

故當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立，即命題成立。

（三）構(gòu)造函數(shù)法：數(shù)學(xué)問(wèn)題若能將其某些字母視為變量二建立聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)（一次、二次、指數(shù)函數(shù)等），從而利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題將會(huì)使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)潔的求解（證明），構(gòu)造相應(yīng)的公式證明不等式。

【例10】設(shè)不等式mx?2x?m?1?0對(duì)滿足|m|?2的一切m值都成立。求實(shí)數(shù)x的取值范圍。

變式：若x,y,z?(0,1),證明：(1?y)x?(1?z)y?(1?x)z?1。注：構(gòu)造一次函數(shù)證明即可。

【例11】設(shè)a1，a2，a3，…，an∈R+，證明：對(duì)?n?N有

22(a1?a2???an)2?n(a12?a2???an)。2*

策略：由不等式

22(a12?a2???an)x2?2(a1?a2???an)x?n?0對(duì)一切x?R而且x?N*均成立，即(a1x?1)2?(a2x?1)2???(anx?1)2?0，于是構(gòu)造二次函數(shù)。因此令

22y?(a12?a2???an)x2?2(a1?a2???an)x?n(ai?0,i?1,2,?,n對(duì)x?R而且x?N均成立，從而由??0得

22(a1?a2???an)2?n(a12?a2???an)。*

變式：求證：

2222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a2???an)(b12?b2???bn)，并

討論何時(shí)取得等號(hào)（柯西不等式）。

證：若ai?0或bi?0(i?1,2,?,n)，則左=右=0。此時(shí)不等式成立，且取等號(hào)。

若ai?0(i?1,2,?,n)不全為零，則考慮函數(shù)：

f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2，由f(x)?0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒有成立，從而

2222f(x)?(a12?a2???an)x2?2(a1b1?a2b2???anbn)x?(b12?b2???bn)，于是依題意a1?a2???an?0且x?R，f(x)?0，從而由??0得

2222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a2???an)(b12?b2???bn)。22

2其中等號(hào)成立?f(x)?0的??0，即方程有相等實(shí)數(shù)根x0，即?(aix0?bi)2?0，從而

i?1nbb1b2???n?x0。a1a2an

bb1b2???n?x0時(shí)等a1a2an綜上所得當(dāng)ai?0或bi?0(i?1,2,3,?,n)或

號(hào)成立。

例

3、已知a?b?0，求證：ab?ab。

策略1：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)f(x)?()；策略2：比商法。

例

4、設(shè)三角形三邊a、b、c，求證：

策略：令f(x)?abbaabxabc。??1?a1?b1?cx1?1?,x?(0,??)。由函數(shù)的單調(diào)性知，1?x1?x

x在區(qū)間(0,??)上是單調(diào)遞增函數(shù)，于是由a、b、c為三角形1?x的三邊知a?b?c，從而有f(x)?

f(a?b)?f(c)，即

原不等式得證。

例

5、求證：sinx?2ababc????，故1?a1?b1?(a?b)1?(a?b)1?c4?5。2sinx

策略：⑴構(gòu)造指數(shù)函數(shù)f(x)?x?

必須依單調(diào)性定義證明。4，⑵利用函數(shù)的單調(diào)性得證（但x

注：一般地，當(dāng)x?0,a?0,b?0時(shí)。①f(x)?x?a在區(qū)間(0,a]單調(diào)遞減，在區(qū)間[a,??)單調(diào)遞增； x

111,0)?(0,]單調(diào)遞減，在區(qū)間在區(qū)間[?aax②f(x)?ax?

(??,?11]?[,??)單調(diào)遞增； aa

bbb,0)?(0,]單調(diào)遞減，在區(qū)間在區(qū)間[?aax③f(x)?ax?

(??,?bb]?[,??)單調(diào)遞增。aa

例

6、設(shè)a、b、c、d∈R，22求證：a?b+c?d≥(a?c)?(b?d)。2222

精析：對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，多是利用常規(guī)思維方法進(jìn)行求解，幾經(jīng)周折不得結(jié)果。這時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行試探，于是學(xué)生馬上就會(huì)聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式。因?yàn)閤1，x2，y1，y2∈R且含有平方和開(kāi)方運(yùn)算，形式與題意何等相似！

于是設(shè)P（a，b），Q（c，d）為坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)，則|OP|=a?b，22|OQ|=c?d，|PQ|=(a?c)?(b?d)，顯然有|OP|+|OQ|≥|PQ|。2222

（五）

第二篇：第21講：勞動(dòng)法(2013年新版)

2Z201170勞動(dòng)法（4分；６分；5分；5分）★★

2Z201171勞動(dòng)保護(hù)的規(guī)定★★

1．勞動(dòng)安全衛(wèi)生

（1）用人單位必須建立．健全勞動(dòng)安全衛(wèi)生制度，嚴(yán)格執(zhí)行國(guó)家勞動(dòng)安全衛(wèi)生規(guī)程和標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)勞動(dòng)者進(jìn)行勞動(dòng)安全衛(wèi)生教育，防止勞動(dòng)過(guò)程中的事故，減少職業(yè)危害；

（2）勞動(dòng)安全衛(wèi)生設(shè)施必須符合國(guó)家規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)。新建．改建．?dāng)U建工程的勞動(dòng)安全衛(wèi)生設(shè)施必須與主體工程同時(shí)設(shè)計(jì)．同時(shí)施工．同時(shí)投人生產(chǎn)和使用；★★

（3）用人單位必須為勞動(dòng)者提供符合國(guó)家規(guī)定的勞動(dòng)安全衛(wèi)生條件和必要的勞動(dòng)防護(hù)用品，對(duì)從事有職業(yè)危害作業(yè)的勞動(dòng)者應(yīng)當(dāng)定期進(jìn)行健康檢查；★★

（4）從事特種作業(yè)的勞動(dòng)者必須經(jīng)過(guò)專門(mén)培訓(xùn)并取得特種作業(yè)資格；★

（5）勞動(dòng)者在勞動(dòng)過(guò)程中必須嚴(yán)格遵守安全操作規(guī)程。勞動(dòng)者對(duì)用人單位管理人員違章指揮．強(qiáng)令冒險(xiǎn)作業(yè)，有權(quán)拒絕執(zhí)行；對(duì)危害生命安全和身體健康的行為，有權(quán)提出批評(píng)．檢舉和控告?！?/p>

【例】安全及勞動(dòng)衛(wèi)生規(guī)程未對(duì)用人單位提出嚴(yán)格要求的是()。

A．執(zhí)行國(guó)家勞動(dòng)安全衛(wèi)生規(guī)程和標(biāo)準(zhǔn)

B．為勞動(dòng)者辦理意外傷害保險(xiǎn)

C．對(duì)勞動(dòng)者進(jìn)行勞動(dòng)安全衛(wèi)生教育

D．對(duì)從事有職業(yè)危害作業(yè)的勞動(dòng)者應(yīng)當(dāng)定期進(jìn)行健康檢查

【參考答案】B

2．女職工和未成年工特殊保護(hù)★★★

（1）女職工的特殊保護(hù)★★★

根據(jù)婦女生理特點(diǎn)組織勞動(dòng)就業(yè)，實(shí)行男女同工同酬。

1）禁止安排女職工從事礦山井下．國(guó)家規(guī)定的第四級(jí)體力勞動(dòng)強(qiáng)度的勞動(dòng)和其他禁忌從事的勞動(dòng)。

2）不得安排女職工在經(jīng)期從事高處．低溫．冷水作業(yè)和國(guó)家規(guī)定的第三級(jí)體力勞動(dòng)強(qiáng)度的勞動(dòng)。

3）不得安排女職工在懷孕期間從事國(guó)家規(guī)定的第三級(jí)體力勞動(dòng)強(qiáng)度的勞動(dòng)和孕期禁忌從事的勞動(dòng)。對(duì)懷孕7個(gè)月以上的女職工，不得安排其延長(zhǎng)工作時(shí)間和夜班勞動(dòng)。

4）女職工生育享受不少于90天的產(chǎn)假。

5）不得安排女職工在哺乳未滿一周歲的嬰兒期間從事國(guó)家規(guī)定的第三級(jí)體力勞動(dòng)強(qiáng)度的勞動(dòng)和哺乳期禁忌從事的其他勞動(dòng)，不得安排其延長(zhǎng)工作時(shí)間和夜班勞動(dòng)。

【例】女大學(xué)生孫某畢業(yè)后被企業(yè)錄用，孫某為了鍛煉自己，主動(dòng)要求到是最苦．最累．最臟的崗位上工作。企業(yè)可以滿足她的要求，但不得安排的工作是()。

A．高處．高溫工作

B．低溫．冷水作業(yè)

C．夜班勞動(dòng)

D．礦山井下作業(yè)

【參考答案】D

（2）未成年工特殊保護(hù)★★★

1）不得安排未成年工從事礦山井下．有毒有害．國(guó)家規(guī)定的第四級(jí)體力勞動(dòng)強(qiáng)度的勞動(dòng)和其他禁忌從事的勞動(dòng)。

2）用人單位應(yīng)當(dāng)對(duì)未成年工定期進(jìn)行健康檢查。

【例】未滿十七歲的張某應(yīng)聘于某施工單位，下列關(guān)于此事說(shuō)法正確的是()。

A．張某未成年，簽訂勞動(dòng)合同屬無(wú)效勞動(dòng)合同

B．因?yàn)槭桥R時(shí)工作，可以不簽勞動(dòng)合同

C．不得安排張某從事有毒有害的勞動(dòng)

D．可以安排張某從事有毒有害的勞動(dòng)，但必須保證安全

2Z201172熟悉勞動(dòng)爭(zhēng)議的處理★★

【例】下列爭(zhēng)議中，屬于勞動(dòng)爭(zhēng)議的是()。（11真）

A．企業(yè)職工張某與某地方勞動(dòng)保障行政部門(mén)因工傷認(rèn)定結(jié)論發(fā)生的爭(zhēng)議

B．公司的股東李某因股息分配與該公司發(fā)生的爭(zhēng)議

C．退休職工王某與社會(huì)保險(xiǎn)經(jīng)辦機(jī)構(gòu)因發(fā)放退休費(fèi)用發(fā)生的爭(zhēng)議

D．進(jìn)城務(wù)工的黃某與勞務(wù)分包企業(yè)因支付工資報(bào)酬發(fā)生的爭(zhēng)議

【參考答案】D

我國(guó)處理勞動(dòng)爭(zhēng)議的程序通常為：協(xié)商．調(diào)解．仲裁和訴訟。★

1．協(xié)商★

勞動(dòng)爭(zhēng)議發(fā)生后，當(dāng)事人首先應(yīng)當(dāng)協(xié)商解決。協(xié)商一致的，當(dāng)事人可以形成和解協(xié)議。但和解協(xié)議不具有強(qiáng)制執(zhí)行力，需要當(dāng)事人自覺(jué)履行。協(xié)商不是處理勞動(dòng)爭(zhēng)議的必要程序，當(dāng)事人協(xié)商不成或不愿協(xié)商的，可以依法申請(qǐng)調(diào)解和仲裁。

2．調(diào)解★★

（1）調(diào)解組織

1）企業(yè)勞動(dòng)爭(zhēng)議調(diào)解委員會(huì)

2）基層人民調(diào)解組織

3）在鄉(xiāng)鎮(zhèn)．街道設(shè)立的具有勞動(dòng)爭(zhēng)議調(diào)解職能的組織

企業(yè)勞動(dòng)爭(zhēng)議調(diào)解委員會(huì)由職工代表．企業(yè)代表組成。

【例】某建筑企業(yè)的勞動(dòng)爭(zhēng)議調(diào)解委員會(huì)應(yīng)由()組成。（10真）

A．企業(yè)的法定代表人與勞動(dòng)行政部門(mén)的代表

B．企業(yè)的工會(huì)代表與勞動(dòng)行政部門(mén)的代表

C．企業(yè)的職工代表和企業(yè)代表

D．企業(yè)的職工代表．企業(yè)代表和勞動(dòng)行政部門(mén)的代表

【參考答案】C

（2）調(diào)解協(xié)議書(shū)★

調(diào)解協(xié)議書(shū)由雙方當(dāng)事人簽名或蓋章，經(jīng)調(diào)解員簽名并加蓋調(diào)解組織印章后生效，對(duì)雙方當(dāng)事人具有約束力，當(dāng)事人應(yīng)當(dāng)履行。

（3）調(diào)解協(xié)議的履行★★

一方當(dāng)事人不履行的，另一方可以依法申請(qǐng)仲裁。

因勞動(dòng)報(bào)酬．工傷醫(yī)療費(fèi)．經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償或賠償金事項(xiàng)達(dá)成調(diào)解協(xié)議，用人單位在約定期限內(nèi)不履行的，勞動(dòng)者可以持調(diào)解書(shū)向法院申請(qǐng)支付令。

3．仲裁★★★

（1）勞動(dòng)爭(zhēng)議仲裁的特點(diǎn)（與《仲裁法》規(guī)定的仲裁比較而言）

1）主體不同：勞動(dòng)仲裁委員會(huì)是行政機(jī)關(guān)；商事仲裁是民間組織；

2）解決對(duì)象不同

3）管轄不同：勞動(dòng)仲裁是法定管轄；商事仲裁是約定管轄。

4）與訴訟關(guān)系不同：勞動(dòng)仲裁是“先仲后訴”；商事仲裁是“或仲或訴”

（2）勞動(dòng)爭(zhēng)議仲裁解決原則★★

1）一次裁決原則

2）合議原則

3）強(qiáng)制原則

（3）勞動(dòng)爭(zhēng)議仲裁委員會(huì)與仲裁庭★★

1）勞動(dòng)爭(zhēng)議仲裁委員會(huì)：不按行政區(qū)劃層層設(shè)立。

2）仲裁庭：仲裁庭在仲裁委員會(huì)領(lǐng)導(dǎo)下處理勞動(dòng)爭(zhēng)議案件，實(shí)行一案一庭制。

仲裁庭由一名首席仲裁員和二名仲裁員組成。簡(jiǎn)單案件，也可一名仲裁員獨(dú)任審理。

3）仲裁委員會(huì)或仲裁庭組成人員的回避

（4）勞動(dòng)爭(zhēng)議仲裁的申請(qǐng)與受理★★

1）申請(qǐng)

申請(qǐng)時(shí)效期間為1年。注意中斷（主觀事由）與中止（客觀事由）的條件。

例外：拖欠勞動(dòng)報(bào)酬?duì)幾h不受1年限制，但勞動(dòng)關(guān)系終止的，應(yīng)當(dāng)自勞動(dòng)關(guān)系終止之日起一年內(nèi)提出?！铩铩?/p>

2）受理：收到仲裁申請(qǐng)之日起5日內(nèi)受理。受理后5日內(nèi)送達(dá)仲裁申請(qǐng)書(shū)副本。10日內(nèi)提交答辯狀?！铩?/p>

3）審理：申請(qǐng)人無(wú)正當(dāng)理由拒不到庭或中途退庭，視為撤回申請(qǐng)；被申請(qǐng)人無(wú)正當(dāng)理由拒不到庭或中途退庭，可缺席裁決?！铩?/p>

部分事實(shí)清楚的，可就該部分先行裁決。

4）執(zhí)行

當(dāng)事人對(duì)仲裁裁決不服的，可自收到仲裁裁決書(shū)之日起15日內(nèi)向人民法院提起訴訟。逾期不起訴的，仲裁裁決即發(fā)生法律效力。一方當(dāng)事人不履行的，另一方當(dāng)事人可向人民法院申請(qǐng)強(qiáng)制執(zhí)行?！铩铩?/p>

【例】根據(jù)《勞動(dòng)爭(zhēng)議調(diào)解仲裁法》的規(guī)定，勞動(dòng)爭(zhēng)議申請(qǐng)仲裁的時(shí)效期間為（），仲裁時(shí)效期間從當(dāng)事人知道或者應(yīng)當(dāng)知道其權(quán)利被侵害之日起計(jì)算。（09真）

A．2個(gè)月

B．6個(gè)月

C．1年

D．2年

【參考答案】C

第三篇：第五講 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式主要有兩種通法，即函數(shù)類不等式證明和常數(shù)類不等式證明。下面就有關(guān)的兩種通法用列舉的方式歸納和總結(jié)。

一、函數(shù)類不等式證明

函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1 已知x?(0,?2)，求證：sinx?x?tanx

證明這個(gè)變式題可采用兩種方法：

第一種證法：運(yùn)用本例完全相同的方法證明每個(gè)不等式以后再放縮或放大，即證明不等式 sinx?x以后，根據(jù)sinx?1?sinx?x來(lái)證明不等式sinx?1?x；

第二種證法：直接構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)?sinx?1?x和g(x)?x?tanx?1，其中x?(0,然后證明各自的單調(diào)性后再放縮或放大（如：f(x)?sinx?1?x?f(0)??1?0）例2 求證：ln(x?1)?x

?2)

技巧

一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)。

二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。

1、利用題目所給函數(shù)證明

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時(shí)，恒有1?

1?ln(x?1)?x x?

1如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（?。┲?，則有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過(guò)0就可得證．

2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

123【例2】已知函數(shù)f(x)?x2?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的g(x)?x23的圖象的下方；

首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。

3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明

111【例3】證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?2?3 都成立.nnn

當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則x?a時(shí)，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當(dāng)x?a時(shí)，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來(lái)推導(dǎo)．也就是說(shuō)，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F'(x)?０即可．

4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

由條件移項(xiàng)后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項(xiàng)后xf?(x)?f(x)

練習(xí)

21.設(shè)a?0,f(x)?x?1?ln2x?2alnx求證：當(dāng)x?1時(shí)，恒有x?lnx?2alnx?1

2.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且2b?

52a?3a2lna，求證：f(x)?g(x)2(?x)?3.已知函數(shù)f(x)?ln1blna?lnb?1?.a

x，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b，恒有1?x4.f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有

（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

二、常數(shù)類不等式證明

常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明不等式

f(a)?f(b)的問(wèn)題，在根據(jù)a,b的不等式關(guān)系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。

例3已知m?n?0,a,b?R且(a?1)(b?1)?0

?求證：(an?bn)m?(am?bm)n

利用導(dǎo)數(shù)證明常數(shù)類不等式的關(guān)鍵是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，將不等式證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性證明問(wèn)題，其中關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運(yùn)用的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。構(gòu)造輔助函數(shù)關(guān)鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子這樣根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”可以構(gòu)造輔助函數(shù)。例4 已知0?????

練習(xí)

2．當(dāng)x?1時(shí),求證:2x?3?證明：a?b

ba?2，求證：

tan??tan??1???1 tan??tan?1已知a,b為實(shí)數(shù)，并且e

3．已知函數(shù)f(x)?ex?ln(x?1)?1?x?0?（1）求函數(shù)f(x)的最小值；

（2）若0?y?x，求證：ex?y?1?ln(x?1)?ln(y?1)

求證：(?e?ee)??(???e?)e

第四篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書(shū)寫(xiě)不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題

化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門(mén)研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來(lái)證明一些不等式的方法。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過(guò)變量替換可以改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛危质阶優(yōu)檎?，無(wú)理式變?yōu)橛欣硎?，能?jiǎn)化證明過(guò)程。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱式的不等式，通過(guò)換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過(guò)大或縮得過(guò)小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

第五篇：不等式證明

不等式的證明

比較法證明不等式

a2?b2a?b?1.設(shè)a?b?0，求證：2.a?b2a?b

2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

（1）已知x、y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3?y3?x2y?xy2；

（2?對(duì)滿足x?y?z?1的一切正實(shí)數(shù) x,y,z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

.??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c

4.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac?3；

a2b2c2

???1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集;

121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證：

6.若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：

分析法證明不等式

7.某同學(xué)在證明命題“7??要證明7?3??2”時(shí)作了如下分析，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開(kāi)得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因?yàn)?4?18成立。

a?b?c8.已知a,b,c?R。?3?

9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)?|x?1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿分10分）當(dāng)a,b?M??x|?2?x?2?時(shí),證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式

11.已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236

求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個(gè)小于2.yx

放縮法證明不等式

13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1

1?2?3??n?2

214.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn?ann?N?,且

?1?4n?1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．

(1)證明：a2?

(2)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；an?2n?1

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12

15.設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；an?n2(Ⅲ)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

16.(本小題滿分12分)若不等式11??

n?1n?2?1a對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4

整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．25

17.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：

．