第一篇：構(gòu)造直線巧破不等式恒成立問(wèn)題

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構(gòu)造直線巧破不等式恒成立問(wèn)題

作者：蘇文云

來(lái)源：《學(xué)習(xí)與研究》2013年第05期

不等式恒成立，求解參變量取值范圍的問(wèn)題，由于集不等式、方程、函數(shù)知識(shí)于一身，可以較好地考查學(xué)生的綜合素質(zhì)與能力，因而，在高考中備受青睞，本文從構(gòu)造直線人手，給出破解不等式恒成立問(wèn)題的幾種簡(jiǎn)便且有效的思維策略，用以拋磚引玉。

第二篇：構(gòu)造向量巧解不等式問(wèn)題

構(gòu)造向量巧解有關(guān)不等式問(wèn)題

新教材中新增了向量的內(nèi)容，其中兩個(gè)向量的數(shù)量積有一個(gè)性質(zhì)：a?b??|a||b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|，又?，則易得到以1?cos?1a?b|??||a|||bcos|

下推論：

（1）ab??|ab|?||；

（2）|ab?|?|a|?|b|；

（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，ab??|ab|?||；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b???|a||b|；

（4）當(dāng)a與b共線時(shí)，|ab?|?|a|?|b|。

下面例析以上推論在解不等式問(wèn)題中的應(yīng)用。

一、證明不等式

例1已知a。、b?R，a?b?12證明：設(shè)m=（1，1），n，則 2a?2b?1)???

?ab?

1||2||a?1?2b?1?

2ab?12由性質(zhì)m ?n?|m|?|n|，得?y?z?1，求證：x?y?z例2已知x。

證明：設(shè)m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 2221

3m?n????xyz1

||3，|n|x?y?z

222222 m?nm|?||||n，得x?y?z由性質(zhì)|

?22213a2b2c2a?b?cR，求證：???例3已知a，b，c?。b?cc?aa?b2

222abc)證明：設(shè)m，??a?b)bc?ca?ab?

則m ??na?b?c

222abc||||2(a?b?c)b?ca?ca?b

第1頁(yè)（共4頁(yè)）

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a2b2c2a?b?c由性質(zhì)| ???m?n|?|m||n|，得b?cc?aa?b2222例4已知a,b為正數(shù)，求證：(。a?b)(a?b)?(a?b)

證明：設(shè)m ?(a，b)，n?(a，b)，則

33m?n?a?b

224442233222||a?b，|n|a?b

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得 222

44422332(a?b)(a?b)?(a?b)

d?a?cd?。,b,c,d?R例5設(shè)a，求證：a

證明：設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則

m?n??adbc

2222 ||a?b||c?d222

由性質(zhì)ab??|ab|?||，得

222ad?a?cd?

二、比較大小

Rda?例6已知m,n,a,b,c,d?

p，q的大小關(guān)系為（）

A.p?qB.p?qC.p

hk?abcd

bd |h|ma?nc，|k|mn

hk?|??|hk|||得 由性質(zhì)|

bcdman?即p?q，故選（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y?，且m，那么mx+ny的最大值為??na，x??ybR

（）A.2222abB.a?b

2C.a2?b2

2D.a2?b2

解：設(shè)p=（m,n），q=（x,y），則

由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得p ?q?mx?ny

而|| m?n||x?y

從而有m xnmx?y

當(dāng)p與q同向時(shí)，mx+ny取最大值m，故選（A）。?nx?yb

例8求函數(shù)的最大值。x??)

解：設(shè)，則 x?2x)，n?(1，1)***2

m?n2x?1?2x

|m|?2，|n|2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

x?2x2

當(dāng)

四、求參數(shù)的取值范圍 113 時(shí)時(shí)，y?2max22x??2x

y?y例9設(shè)x,y為正數(shù)，不等式x恒成立，求a的取值范圍。

yn)，?（1，1）解：設(shè)，則

||x?y||2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

xyx?y y?y又不等式x恒成立

故有a?2

黑龍江省大慶市66中學(xué)（163000）

第三篇：構(gòu)造函數(shù)巧解不等式

構(gòu)造函數(shù)巧解不等式

湖南 黃愛(ài)民

函數(shù)與方程，不等式等聯(lián)系比較緊密，如果從方程，不等式等問(wèn)題中所提供的信息得知其本質(zhì)與函數(shù)有關(guān)，該題就可考慮運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法求解。構(gòu)造函數(shù)，直接把握問(wèn)題中的整體性運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解題，是一種制造性的思維活動(dòng)。因此要求同學(xué)們多分析數(shù)學(xué)題中的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及內(nèi)在聯(lián)系，能合理準(zhǔn)確地構(gòu)建相關(guān)函數(shù)模型。

一、構(gòu)造函數(shù)解不等式

例

1、解不等式 810??x3?5x?0 3(x?1)x?

1分析；本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來(lái)做運(yùn)算較煩。但注意到8102323x?5x , 啟示我們構(gòu)造函數(shù)且題中出現(xiàn)??()?5()3x?1x?1x?1(x?1)

f(x)=x3+5x去投石問(wèn)路。解：將原不等式化為(232)?5()?x3?5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變?yōu)閤?1x?1

22f()?f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上為增函數(shù)∴原不等式等價(jià)于?x，解x?1x?1之得：－1＜x＜2或x＜－2。

例

2、解不等式

1?x

2?2?0 x?11?x21?tan2??cos2?于是可構(gòu)造三分析：由x?R及的特征聯(lián)想到萬(wàn)能公式1?x21?tan2?

角函數(shù)，令x=tanα(??

2????

2)求解。

1?tan2?解：令x=tanα(????)?0，從 222tan??1??

1??3而2sin2??sin??1?0???sin??1∴????∴tanα＞?,∴x＞262

3?3。3

二、構(gòu)造函數(shù)求解含參不等式問(wèn)題。

例3已知不等式11112??????????loga(a?1)?對(duì)大于1的一切自然數(shù)nn?1n?22n12

3恒成立，試確定參數(shù)a的取值范圍。解：設(shè)f(n)?

∵f(n+1)-f(n)111?????????，n?1n?22n1111????0,∴f(n)是關(guān)于n 的增函2n?12n?2n?1(2n?1)(2n?2)

712∴f(n)?loga(a?1)?對(duì)大于1的一切自然數(shù)n恒12123

7121成立,必須有?loga(a?1)?∴l(xiāng)oga(a?1)??1，而a＞1，∴a-1＜12123a數(shù)。又n≥2∴f(n)≥f(2)=

∴1＜a＜1?1?5∴a的取值范圍為（1，）。2

2三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式。

例

4、已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞-

1證：把a(bǔ)看成自變量x，作一次函數(shù)f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1

又∵f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>1

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0，又一次函數(shù)具有嚴(yán)格的單調(diào)性?！鄁(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（-1，1）的圖象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+1>0,從而：(b+c)a+bc+1>0,即證：ab+bc+ca＞-1 例

5、已知???????，求證：x2?y2?z2?2xycos??2yzcos??2zxcos? 證明：考慮函數(shù)f(x)=x2?y2?z2?(2xycos??2yzcos??2zxcos?)=2

x2?2x(ycos??zcos?)?y2?z2?2yzcos?,其中??4(ycos??zcos?)2?4(y2?z2?2yzcos?)??4(ysin??zsin?)2?0 又x2的系數(shù)大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2?y2?z2?2xycos??2yzcos??2zxcos?。

第四篇：函數(shù)、不等式恒成立問(wèn)題解法(教案)

函數(shù)、不等式恒成立問(wèn)題解題策略

教學(xué)目標(biāo):

1.通過(guò)對(duì)不同問(wèn)題的解題探討歸納該類(lèi)問(wèn)題的一般解法

2.培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題和靈活應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力

3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力

重難點(diǎn):

分析解決問(wèn)題的能力,數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用 教學(xué)方法:

指導(dǎo)練習(xí)法

教學(xué)過(guò)程:

一、復(fù)習(xí)回顧

引例：（9月月考）

23、已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x?1)?f(x)?2x且f(0)?1．

（1）求f(x)的解析式；

（2）求f(x)在區(qū)間??1,1?上的最大值和最小值。

（3）當(dāng)x?[?1,1]時(shí)，不等式：f(x)?2x?m恒成立，求m的范圍。

二、歸納：（恒成立問(wèn)題的基本類(lèi)型）

類(lèi)型1：設(shè)f(x)?ax2?bx?c(a?0)，（1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0。

類(lèi)型2：設(shè)f(x)?ax2?bx?c(a?0)

?b?b?b

（1）當(dāng)a?0時(shí)，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立????2a??或?????2a??或???2a??，??f(?)?0????0??f(?)?0

f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??f(?)?0

?)?0

?f(?

（2）當(dāng)a?0時(shí)，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??f(?)?0

??f(?)?0

?b

f(x)?0在x?[?,?]上恒成立????b

2a???

或?????2a???

或???b

2a??

??f(?)?0????0??f(?)?0

類(lèi)型3：

f(x)??對(duì)一切x?I恒成立?f(x)min??f(x)??對(duì)一切x?I恒成立?f(x)max??。類(lèi)型4：

f(x)?g(x)對(duì)一切x?I恒成立?f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方或(x?I)恒成立。

f(x)min?g(x)max

三、例題講評(píng)

例1：若不等式2x?1?m(x2?1)對(duì)滿(mǎn)足?2?m?2的所有m都成立，求x的范圍。

解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化為：m(x2?1)?(2x?1)?0，；?f(?2)?0令f(m)?m(x2?1)?(2x?1)，則?2?m?2時(shí)，f(m)?0恒成立，所以只需?即

?f(2)?0

??1???2(x?1)?(2x?1)?0

x?(，所以x的范圍是?

22??2(x?1)?(2x?1)?0

71?,32)。

例2：若不等式(m?1)x2?(m?1)x?2?0的解集是R，求m的范圍。

解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。

（1）當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿(mǎn)足題意；

?m?1?0

（2）m?1?0時(shí)，只需?，所以，m?[1,9)。2

???(m?1)?8(m?1)?0

變式：

（1）若不等式x2?mx?2?0在x??1,2?上恒成立，求m的范圍。（2）若不等式x2?mx?2?0在x??1,2?上恒成立，求m的范圍。（3）若不等式x2?mx?2?0在m??1,2?上恒成立，求x的范圍。例3：已知a?0,a?1,f(x)?x?a,當(dāng)x?(?1,1)時(shí),有f(x)?解析：由f(x)?x?a?

x

x

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

12，得x?

?a，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函12

?a及(?1)?

x

數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由1?

?a

?

1得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)

1x1x2xx

y?2及y?()的圖象，所以，要想使函數(shù)x??a在區(qū)間x?(?1,1)中恒成立，只須y?2在22

區(qū)間x?(?1,1)對(duì)應(yīng)的圖象在y?x?在區(qū)間x?(?1,1)對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)a?1時(shí),只有a?2

才能保證，而0?a?1時(shí)，只有a?

才可以，所以a?[,1)?(1,2]。

四：小結(jié)

對(duì)不同的問(wèn)題的采取的方法是不一樣的，要根據(jù)具體的情境靈活選擇。但一定要借助圖像去分析才能選擇好恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ忸}。在分類(lèi)討論時(shí)要注意分類(lèi)的完整性和合理性，在等號(hào)成立的情況下一定要仔細(xì)思考。五：同步練習(xí)

1、設(shè)f(x)?lg

1?2?a

4xx

如果x?(??.1)時(shí)，f(x)恒有意義，求a的取值范圍。,其中a?R，分析：如果x?(??.1)時(shí)，f(x)恒有意義，則可轉(zhuǎn)化為1?2x?a4x?0恒成立，即參數(shù)分離后a??解。

解：如果x?(??.1)時(shí)，f(x)恒有意義?1?2x?a4x?0，對(duì)x?(??,1)恒成立.?a??

1?24

xx

1?24

x

x

??（2?x

?2

?2x)，x?(??.1)恒成立，接下來(lái)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求

??(2

?x

?2

?2x)x?(??.1)恒成立。

令t?2?x，g(t)??(t?t2)又x?(??.1)則t?(,??)?a?g(t)對(duì)t?(,??)恒成立，又

113

3?g(t)在t?[,??)上為減函數(shù)，g(t)max?g()??，?a??。

2244

112、設(shè)函數(shù)是定義在(??,??)上的增函數(shù)，如果不等式f(1?ax?x2)?f(2?a)對(duì)于任意x?[0,1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1?ax?x2?2?a對(duì)于任意x?[0,1]恒成立，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。

解：?f(x)是增函數(shù)?f(1?ax?x2)?f(2?a)對(duì)于任意x?[0,1]恒成立

?1?ax?x?2?a對(duì)于任意x?[0,1]恒成立

?x?ax?1?a?0對(duì)于任意x?[0,1]恒成立，令g(x)?x?ax?1?a，x?[0,1]，所以原

問(wèn)題?g(x)min?0，又g()xnim)(??????0a??g,0

?

a?

??(g,)?2?0?a?

2?

2???????????a?2???,即g(x)min

?1?a,??????a?0

?2?a????a?1,?2?a?0易

4?

?2,???????????a??2?

求得a?1。

3、設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x?[-1,+?)時(shí)，都有f(x)?a恒成立，求a的取值范圍。

分析：在f(x)?a不等式中，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間恒成立問(wèn)題。

解：設(shè)F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)當(dāng)?=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0時(shí)，即-2

ⅱ）當(dāng)?=4（a-1)(a+2)?0時(shí)由圖可得以下充要條件：

?

???0?(a?1)(a?2)?0??

即?a?3?0 ?f(?1)?0

?a??1,??2a

?????1,2?

得-3?a?-2;

綜上所述：a的取值范圍為[-3，1]。

4、當(dāng)x?(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2

分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對(duì)數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系通過(guò)特指求解a的取值范圍。

解：設(shè)T1:f(x)=(x?1)2,T2:g(x)?logax,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x?(1,2), f(x)

T1的圖象一定要在T2的圖象所的下方，顯然a>1,并且必須也只

需g(2)?f(2)

故loga2>1,a>1,?1

分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,若將等號(hào)兩邊分別構(gòu)造函數(shù)即二次函數(shù)y= x2+20x與一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。

解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,則如圖所

示，T1的圖象為一拋物線，T2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使T1和T2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)

當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（-20，0）此時(shí)縱截距為-6a-3=160,a=?

1636

;

2當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=?∴a的范圍為[?

1636，?

12）。

6、對(duì)于滿(mǎn)足|p|?2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應(yīng)范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變量，x看成參變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在[-2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)函數(shù)值大于0恒成立求參變量x的范圍的問(wèn)題。解：原不等式可化為(x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,則原問(wèn)題等價(jià)于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：

?x?1?0?x?1?0

方法一：?或?∴x<-1或x>3.f(2)?0f(?2)?0??

??x?3或x?1?f(?2)?0?x?4x?3?0

方法二：?即?2解得：?∴x<-1或x>3.??f(2)?0?x?1或x??1?x?1?0

lg2ax

7.若不等式lg(a?x)

?

1在x∈［1，2］時(shí)恒成立，試求a的取值范圍。

?x?1

?

解：由題設(shè)知?2ax?0，得a>0，可知a+x>1，所以lg(a?x)?0。原不等式變形為lg2ax?lg(a?x)。2]，可得2x?1?0 ?2ax?a?x，即(2x?1)a?x。又x?[1，?a?

x2x?1

?

1?1?1?1?f(x)??1??1???

2?2x?1?恒成立。設(shè)2?2x?1?，在x∈［1，2］上為減函數(shù)，可得

f(x)min?f(2)?

23，知

a?

3。綜上知

0?a?

23。

lg2ax

關(guān)鍵點(diǎn)撥：將參數(shù)a從不等式lg(a?x)

?1

中分離出來(lái)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

f(a)?f(b)a?b

?0

8.已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)且f(1)?1，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有（1）判斷函數(shù)f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)還是減函數(shù)。

1?1???

f?x???f?2x??

2?2?。?（2）解不等式?。

1]、a∈［－1，1］恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。（3）若f(x)?m?2am?1對(duì)所有x?[?1，解：（1）設(shè)?1?x1?x2?1，則

f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(?x2)?

f(x1)?f(?x2)

x1?x

2(x1?x2)?0，可知f(x1)?f(x2)，所以f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)。

1??1?x??1?2?

1?

??1?2x??

12?

11?x??2x??（2）由f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)知?

11??

x|??x?????x?

42?? 42解得，故不等式的解集

（3）因?yàn)閒(x)在［－1，1］上是增函數(shù)，所以f(x)?f(1)?1，即1是f(x)的最大值。依題意有

m

?2am?1?1，對(duì)a∈［－1，1］恒成立，即m

?2am?0恒成立。

令

g(a)??2ma?m，它的圖象是一條線段，那么

??g(?1)?m?2m?0

??2

?g(1)?m?2m?0m?(??，?2]?{0}?[2，??)。?

關(guān)鍵點(diǎn)撥：對(duì)于（1），抽象函數(shù)單調(diào)性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號(hào)。對(duì)于（2），后一步解不等式往往是上一步單調(diào)性的繼續(xù)，通過(guò)單調(diào)性、函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化到自變量的大小上來(lái)。對(duì)于

（3），轉(zhuǎn)換視角變更主元，把m?2am?0看作關(guān)于a的一次函數(shù)，即g(a)??2ma?m在a∈［－1，1］上大于等于0，利用g(a)是一條直線這一圖象特征，數(shù)形結(jié)合得關(guān)于m的不等式組，從而求得m的范圍。

第五篇：含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略

含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略

授課人：李毅軍

“含參不等式恒成立問(wèn)題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競(jìng)賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類(lèi)討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。現(xiàn)就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類(lèi)問(wèn)題的一般求解策略。

一、最值法

一般的，若函數(shù)f(x)在定義域?yàn)镈，則當(dāng)x∈D時(shí)，有f(x)≥M恒成立?f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max≤M。因而，含參數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題常根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論。

例1：已知a＞0，函數(shù)f(x)=ax－bx2，當(dāng)b＞1時(shí)，證明：對(duì)任意x∈[0，1]，|f(x)| ≤1的充要條件是b－1≤a≤2b。

二、分離參數(shù)法

例2：設(shè)f(x)=lg??1?2x???(n?1)x?nxa??n?，其中a是實(shí)數(shù)，n是任意給定的自

?然數(shù)且n≥2，若f(x)當(dāng)x∈???，1?時(shí)有意義，求a的取值范圍。

一般地，利用最值分離參數(shù)法來(lái)確定不等式f(x，?)≥0，（x∈D ?為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù)取值范圍的基本步驟：

（1）將參數(shù)與變量分離，即化為f1(?)≥f2(x)（或f2(?)≤f2(x)）的形式；（2）求f2(x)在x∈D時(shí)的最大（或最?。┲?；

（3）解不等式f1(?)≥f2max(x)（或≤f2min(x)）得?的取值范圍。

練習(xí)1：已知定義在R上函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在?0，???上是增函數(shù)，對(duì)于任意x∈R求實(shí)數(shù)m范圍，使f(cos2?－3)+f(4m－2mcos?)＞0恒成立。

練習(xí)2：設(shè)0＜a≤54，若滿(mǎn)足不等式|x－a|＜b的一切實(shí)數(shù)x，亦滿(mǎn)足不等式| x－a 2|

＜12，求正實(shí)數(shù)b的取值范圍。

練習(xí)3：已知向量a=(x2，x+1)，b=(1－x，t)。若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間（－1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。

三、數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立的問(wèn)題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：

1．f(x)＞g(x)?函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方； 2．f(x)＜g(x)?函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下方。

例3：若不等式3x2－logax＜0在x∈??1??0，3??內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

練習(xí)：設(shè)f(x)=?x2?4x，g(x)=43x+1－a，若恒有f(x)≤g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四、主參換位法

某些含參不等式恒成立問(wèn)題，在分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度。即把變?cè)c參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它知識(shí)，往往會(huì)取得出奇制勝的效果。

例4：若對(duì)于任意a∈??1，1?，函數(shù)f(x)=x2(a－4)x+4－2a的值恒大于0，求x的取值范圍。

五、利用集合與集合間的關(guān)系

在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來(lái)求解，即：[m，n]?[f(a)，g(a)]，則f(a)≤m且g(a)≥n，不等式的解即為實(shí)數(shù)a的取值范圍。

例5：當(dāng)x∈??1??3，3??時(shí)，|logax|＜1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

六、課后練習(xí)

1．已知函數(shù)f(x)=lg???x?ax?2???，若對(duì)任意x∈?2，???恒有f(x)＞0，試確定a的取值

范圍。

2．若(x，y)滿(mǎn)足方程x2+(y－1)2=1，不等式x+y+c≥0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。

n??3．若不等式???1?1?n??≤e對(duì)任意的n∈N*都成立，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求?的最大值。

4．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(3)=log23且對(duì)任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，（1）求證f(x)為奇函數(shù)；

（2）若f(k·3x)+f(3x－9x－2)＜0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。