專題三

含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

不等式問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，而含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題又是重點(diǎn)中的難點(diǎn)．這類問(wèn)題既含參數(shù)又含變量，與多個(gè)知識(shí)有效交匯，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，檢驗(yàn)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)造性，這正符合高考強(qiáng)調(diào)能力立意，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想與方法的命題思想，因此恒成立問(wèn)題成為近年來(lái)全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試題的一個(gè)熱點(diǎn)．

模塊1

整理方法

提升能力

處理含參數(shù)函數(shù)不等式（一個(gè)未知數(shù)）恒成立問(wèn)題，從方法上，可考慮分離參數(shù)法或猜想最值法（必要條件法）．如果使用分離參數(shù)法，則猜想是沒(méi)有作用的，對(duì)于難一點(diǎn)的分離參數(shù)法，可能要使用多次求導(dǎo)或洛必達(dá)法則．如果使用猜想法，則后續(xù)有3種可能：一是猜想沒(méi)有任何作用；二是利用猜想減少分類討論；三是在猜想的基礎(chǔ)上強(qiáng)化，從而得到答案．從改造的形式上，解答題優(yōu)先選擇一平一曲，可利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為一平一曲兩個(gè)函數(shù)，也可以把函數(shù)化歸為一邊，考慮函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)情況（本質(zhì)上也是一平一曲）．

洛必達(dá)法則

如果當(dāng)（也可以是）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)和都趨向于零或都趨向于無(wú)窮大，那么極限可能存在，也可能不存在．如果存在，其極限值也不盡相同．我們稱這類極限為型或型不定式極限．對(duì)于這類極限，一般要用洛必達(dá)法則來(lái)求．

定理1：若函數(shù)和滿足條件：

（1）．

（2）和在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且．

（3）存在或?yàn)闊o(wú)窮大．

則有．

定理2：若函數(shù)和滿足條件：

（1）．

（2）和在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且．

（3）存在或?yàn)闊o(wú)窮大．

則有．

在定理1和定理2中，將分子、分母分別求導(dǎo)再求極限的方法稱為洛必達(dá)法則．

使用洛必達(dá)法則時(shí)需要注意：

（1）必須是型或型不定式極限．

（2）若還是型或型不定式極限，且函數(shù)和仍滿足定理中和所滿足的條件，則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，即．

（3）若無(wú)法判定的極限狀態(tài)，或能判定它的極限振蕩而不存在，則洛必達(dá)法則失效，此時(shí)，需要用其它方法計(jì)算．

（4）可以把定理中的換為，，此時(shí)只要把定理中的條件作相應(yīng)的修改，定理仍然成立．

例1

已知函數(shù)（）．

（1）求在上的最小值；

（2）若對(duì)恒成立，求正數(shù)的最大值．

【解析】（1）定義域?yàn)?，?/p>

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，所以．

②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，所以在上遞增，在上遞減．于是在上的最小值為或．

（i）當(dāng)，即時(shí)，．

（ii）當(dāng)，即時(shí)，．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

（2）令，則對(duì)恒成立對(duì)恒成立．

法1：（分離參數(shù)法）當(dāng)，不等式恒成立，于是對(duì)恒成立對(duì)恒成立．

令，則，令，則，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增．

由洛必達(dá)法則，可得，于是，所以正數(shù)的最大值為．

法2：（不猜想直接用最值法）構(gòu)造函數(shù)，則．

①當(dāng)，即時(shí)，所以函數(shù)在上遞增，所以．

②當(dāng)，即時(shí)，由可得，所以函數(shù)在上遞減，于是在上，不合題意．

綜上所述，正數(shù)的最大值為．

法3：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）由常用不等式（）可得，即．當(dāng)時(shí)，式子恒成立，當(dāng)，有恒成立，而，所以．

下面證明可以取到，即證明不等式對(duì)恒成立．構(gòu)造函數(shù)（），則，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以不等式對(duì)恒成立，所以正數(shù)的最大值為．

法4：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）對(duì)恒成立，因?yàn)樗?，即?/p>

下同法3．

法5：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）當(dāng)，不等式恒成立，于是對(duì)恒成立對(duì)恒成立．由洛必達(dá)法則，可得，于是．

下同法3．

【點(diǎn)評(píng)】法1（分離參數(shù)法）把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，法2（最值法）把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值．由此可見(jiàn)最值法與分離參數(shù)法本質(zhì)上是相通的，其本質(zhì)都是把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，其區(qū)別在于所求的函數(shù)中是否含有參數(shù)．

法3、法4和法5都是先求出必要條件，然后將必要條件進(jìn)行強(qiáng)化，需要解題的敏感度和判斷力．如果我們將這個(gè)必要條件與法2的最值法進(jìn)行結(jié)合，可減少法2的分類討論．

例2

設(shè)函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求的最大值．

【解析】（1）．

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上遞增．

②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得．所以在上遞減，在上遞增．

（2）當(dāng)時(shí)，所以，即在上恒成立．

法1：（分離參數(shù)法）在上恒成立在上恒成立．令，則，令，有在上恒成立，所以在上遞增（也可由（1）可知，函數(shù)在上遞增）．而，所以在上有唯一根，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是在上遞減，在上遞增，所以在上的最小值為，因?yàn)?，所以，于是，所以，所以的最大值為?/p>

法2：（不猜想直接用最值法）令，則，令可得．

①當(dāng)，即時(shí)，有在上恒成立，于是在上遞增，從而在上有，于是在上恒成立．

②當(dāng)，即時(shí)（因?yàn)槭钦麛?shù)，所以），可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是在上的最小值是．令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減．而，．所以當(dāng)時(shí)，有在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上不恒成立．

綜上所述，的最大值為．

法3：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ援?dāng)時(shí)，該式子也成立，于是，即．下證的最大值為．

令，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增．所以，于是的最大值為．

【點(diǎn)評(píng)】由于是整數(shù)，所以先猜想再將猜想強(qiáng)化是優(yōu)先采用的解題方法．如果將是整數(shù)這個(gè)條件去掉，則得到的必要條件既不能強(qiáng)化又不能減少分類討論，此時(shí)猜想將沒(méi)有任何作用，只能用法1的分離參數(shù)法和法2的最值法進(jìn)行求解．

例3

設(shè)函數(shù)．

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，．由可得，由可得．所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是．

（2）法1：（分離參數(shù)法）在上恒成立在上恒成立．

當(dāng)時(shí)，式子顯然成立；當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)可得在上恒成立．令，則，令，可得，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增，于是，所以，所以在上遞增．

由洛必達(dá)法則，可得，所以在上有，所以．

法2：（不猜想直接用最值法），．

①當(dāng)，即時(shí)，有，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以．

②當(dāng)，即時(shí)，由可得時(shí)，于是在上遞減，所以，所以，所以在上遞減，于是，于是不恒成立．

綜上所述，的取值范圍是．

法3：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）當(dāng)時(shí)，在上恒成立．

當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上恒成立．由洛必達(dá)法則，可得，所以．，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以．

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于恒成立問(wèn)題，最值法與分離參數(shù)法是兩種最常用的方法．如果分離后的函數(shù)容易求最值，則選用分離參數(shù)法，否則選用最值法．最值法主要考查學(xué)生分類討論的思想，一般遵循“構(gòu)造函數(shù)——分類討論”兩部曲來(lái)展開(kāi)．一些稍難的恒成立問(wèn)題，如果用分離參數(shù)法來(lái)處理，往往需要多次求導(dǎo)和使用洛必達(dá)法則．本題中，法2的最值法比法1的分離參數(shù)法要簡(jiǎn)單，這是因?yàn)樘幚淼淖钚≈狄忍幚淼淖钚≈狄菀祝?/p>

猜想最值法的模式是解決恒成立問(wèn)題的重要模式，猜想的一般方法有：特殊值代入，不等式放縮，洛必達(dá)法則，端點(diǎn)效應(yīng)．

模塊2

練習(xí)鞏固

整合提升

練習(xí)1：已知函數(shù)．

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，；

（3）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值．

【解析】（1），因?yàn)?，所以，于是切線方程為．

【證明】（2）構(gòu)造函數(shù)，．因?yàn)椋栽谏线f增，所以．于是當(dāng)時(shí)，．

【解析】（3）法1：（不猜想直接用最值法）構(gòu)造函數(shù)，則．

①當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，所以．

②當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，所以．

③當(dāng)時(shí)，由可得，于是在上遞減，所以，于是在上不恒成立．

綜上所述，的最大值為．

法2：（先猜想并將猜想強(qiáng)化）由（2）可知，猜想的最大值為．下面證明當(dāng)

時(shí)，在上不恒成立．

構(gòu)造函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，由可得，于是在上遞減，所以，于是在上不恒成立．

練習(xí)2：設(shè)函數(shù)．

（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

（2）若對(duì)于任意、，都有，求的取值范圍．

【證明】（1），令，則，所以在上遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

【解析】（2）由（1）可知，在上遞減，在上遞增，所以，于是對(duì)于任意、，都有，即．構(gòu)造函數(shù)，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增．又因?yàn)?，所以的取值范圍是?/p>

練習(xí)3：已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．

【解析】（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，．于是曲線在處的切線方程為．

（2）法1：（分離參數(shù)法）當(dāng)時(shí)，．令，則，令，則，于是在上遞增，所以，于是，從而在上遞增．

由洛必達(dá)法則，可得，于是．于是的取值范圍是．

法2：（不猜想直接用最值法）．

①當(dāng)，即時(shí)，所以在上遞增，所以．

②當(dāng)時(shí)，令，則，所以（即）在上遞增，于是．

（i）若，即時(shí)，于是在上遞增，于是．

（ii）若，即時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，于是在上遞減，所以．

綜上所述，的取值范圍是．

法3：（變形后不猜想直接用最值法）當(dāng)時(shí)，．令，則，記，則是以為對(duì)稱軸，開(kāi)口方向向上的拋物線．

①當(dāng)，即時(shí)，所以，于是在上遞增，因此．

②當(dāng)，即時(shí)，的判別式為，于是有兩根，不妨設(shè)為、，且．由韋達(dá)定理可得，于是，所以，于是，當(dāng)時(shí)，所以，于是在上遞減，即．

綜上所述，的取值范圍是．

法4：（通過(guò)猜想減少分類討論）當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋?，即．，記，則是以為對(duì)稱軸，開(kāi)口方向向上的拋物線．當(dāng)時(shí)，所以，于是在上遞增，因此．所以的取值范圍是．

法5：（通過(guò)猜想減少分類討論）當(dāng)時(shí)，．由洛必達(dá)法則，可得，于是．

下同法4．

練習(xí)4：已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）求、的值；

（2）如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍．

【解析】（1），因?yàn)椋?，于?/p>

．

（2）法1：（分離參數(shù)法）由可得，令（且）．，令，則，令，則，令，則．

當(dāng)時(shí)，在上遞增，于是，即，所以在上遞減，于是，即，所以在上遞增，所以，于是，所以在上遞減．

當(dāng)時(shí)，在上遞增，于是，即，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增，所以，于是，所以在上遞增．

由洛必達(dá)法則，可得，同理，所以當(dāng)且時(shí)，有，于是．

法2：（不猜想直接用最值法）由（1）知，所以，考慮函數(shù)，則，此時(shí)有．，令，當(dāng)時(shí)，其判別式為．

①當(dāng)時(shí)，所以，于是，于是在上遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，于是；當(dāng)時(shí)，于是．所以當(dāng)，且時(shí)，即恒成立．

②當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口方向向下，以為對(duì)稱軸，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，于是在上遞增，所以．而時(shí)，所以，于是不恒成立．

③當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，而，所以，于是不恒成立．

④當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口方向向上，以為對(duì)稱軸，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)．因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，所以在上是增函?shù)，以下同③，于是不恒成立．

⑤當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口方向向上，以為對(duì)稱軸，與軸最多有一個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上是增函數(shù)，以下同③，于是不恒成立．

綜上所述，的取值范圍為．

法3：（通過(guò)猜想減少分類討論）由（1）知，所以．因?yàn)?，所以?/p>

考慮函數(shù)，則，此時(shí)有．，令，這是開(kāi)口方向向下的拋物線，其判別式為．

①當(dāng)時(shí)，所以，于是，于是在上遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，于是；當(dāng)時(shí)，于是．所以當(dāng)，且時(shí)，即恒成立．

②當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口方向向下，以為對(duì)稱軸，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，于是在上遞增，所以．而時(shí)，所以，于是不恒成立．

綜上所述，的取值范圍為．

法4：（通過(guò)猜想減少分類討論）由可得，由洛必達(dá)法則，可得，于是，所以．

下同法2，只需討論法2的①②③三種情況即可．

法5：（通過(guò)猜想減少分類討論）由可得，由洛必達(dá)法則，可得，所以．

下同法2，只需討論法2的①即可．

【點(diǎn)評(píng)】法1的分離參數(shù)法，利用了高階導(dǎo)數(shù)以及洛必達(dá)法則，減少了解題的技巧性．法2的最值法構(gòu)造了函數(shù)，只需由在上恒成立，求出的取值范圍即可．但的表達(dá)式比較復(fù)雜，其復(fù)雜的根源在于前面帶有，直接求導(dǎo)只會(huì)讓式子變得更復(fù)雜，因此我們提取，讓變得“純粹”一點(diǎn)．的正負(fù)取決于與的正負(fù)，由此可找到的3個(gè)界：0、1、2，從而對(duì)的范圍作出不重不漏的劃分．

法3、法4和法5都是猜想最值法，分別通過(guò)特殊值代入和洛必達(dá)法則得到相應(yīng)的必要條件，有效縮小了參數(shù)的取值范圍，此時(shí)只需討論法2分類當(dāng)中的若干情況即可，減少了分類討論，從而降低題目的難度．