第一篇：數(shù)學(xué)文科均值不等式做題方法或思路

均值不等式：

a2?b

2一般公式a?b?當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a?b有最大值 2

22這是基本的公式，主要運(yùn)用的就是我們以前常學(xué)的(a?b)2=a?2a?b?b?0，這個(gè)式子

a2?b倒一下你可以看出2a?b?a?b?a?b? 2222

還有幾個(gè)特殊的不等式ab?a?bba（此時(shí)的要求是a、b〉0)還有幾個(gè)??2(ab?0)2ab

a?b2a2?b

2ab?()?（此時(shí)都是當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，有最值或者最小值，這都是看是求那22

個(gè)了，是點(diǎn)乘還是加。

1）先說求不等式的最大值或最小值，例如證明題

已知：a,b,c,d〉0，求證ad?bcbc?ad??4，在此題里就看是否能出現(xiàn)我們已知的一些bdac

均值不等式的公式，一次來證明，先看不等式左邊，分母為單數(shù)沒有加減，分母有加和，那么分母分別除以分子會怎么樣？你可以試試·····

得出的結(jié)果應(yīng)該是等式左邊=abacbd???然后你看看。然后其他兩個(gè)，你看有什babdac

么公式能求出個(gè)不等式結(jié)果來····

另一類就是讓你比較兩個(gè)等式的大小，那么你看題型，能均值不等式，你就先均值不等式，然后看另一個(gè)等式的大小，你可以通過畫圖、求導(dǎo)、來確定最值，然后比較大小。

還有一種是給你了一個(gè)立體幾何圖形等，有兩個(gè)未知數(shù)，讓你求某個(gè)陰影面積的最大或者最小值，在這類題里說到最大最小值，如果只出現(xiàn)了一個(gè)未知數(shù)，那么不說別的先按求面積方法求出面積來，如果最后是一個(gè)未知數(shù)的二次不等式，就用二次不等式的求法求值：如果出現(xiàn)的是一個(gè)未知數(shù)的多次冪，就面積求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)為0，求此時(shí)的x，然后根據(jù)判斷極值是最大值還是最小值，但此時(shí)一定要注意x的定義域：若面積的最后結(jié)果是兩個(gè)未知數(shù)時(shí)，就看能否進(jìn)行均值不等式求法：第一題中是否滿足均值不等式的要求，如果滿足了可以嘗試通過均值不等式求面積的最大值或者最小值；如果不能滿足均值不等式的要求，就看這個(gè)式子是在三角函數(shù)里還是在等邊三角形等，是否有限制，如果有限制，從限制里入手，根本還是不等式

再有就是一類題型，在含有x的不等式中還有未知系數(shù)k，讓你求未知數(shù)k的最大值或者最小值或者取值范圍，在這類題里他應(yīng)該會給你說明他的單調(diào)性或者第一問里讓你求他的單調(diào)性了，那么在這一問里你就要用到這么東西，根據(jù)單調(diào)性求出這個(gè)含有未知系數(shù)的最值，然后在有它＞（＜）0來求，這個(gè)一般很繁瑣，看你的邏輯了，還有一種就是求導(dǎo)或者換元法求解。

還有一類證明題就是給出你一個(gè)f(n)=·······的式子，讓你求它的最大或者最小值 或者最后大于一個(gè)數(shù)

在這里的解題方法太多沒辦法全部列出來，就說幾個(gè)一般出現(xiàn)的，第一個(gè)方法是：看他的等式是否能化簡，例如111111??，即??，有這類情況出現(xiàn)時(shí)，你可以2?323n?(n?1)nn?1

寫出f(n-1)或者f(n+1)，然后相加或者相減，最后會出現(xiàn)一個(gè)式子整合或者均值不等式求出最后結(jié)果。第二種：就是添加后配出一種規(guī)律，但是要記得最后要減掉你添加的項(xiàng)，但要記得書寫的格式問題。還有一種疊加類的這是要有很明顯的規(guī)律在的情況下，這個(gè)要視題目來定。第三種：放縮法，原理就是添加或者減去某個(gè)數(shù)字什么的，使等式更加的有規(guī)律，但是大小的變化你也要隨之寫出來，添加或者減去不等號另一邊的變化不能丟。

還有一種被某數(shù)整除的問題，這類題就是要讓你最后寫出被整除的倍數(shù)的式子。

運(yùn)用在小題里的不等式就是比較大小，求值域或者極值還有就是線性規(guī)劃問題，這個(gè)上次給你說了，就是畫圖，根據(jù)你畫出的圖的范圍，然后移動(dòng)要求的直線，與臨界點(diǎn)相遇時(shí)的值，然后判斷那個(gè)是要求的最值。

運(yùn)用在大題里德不等式就是求面積的最值，或者讓你求取值范圍，在這里你就要用到很多，比如求導(dǎo)（求導(dǎo)是個(gè)好玩意，用好?。?，均值不等式，畫圖·····注意圖形結(jié)合，別太懶??！

還有那些問題，要及時(shí)說，我想不到那么多，你問了我能解說的給你解說!現(xiàn)在不是學(xué)習(xí)，是查漏補(bǔ)缺，補(bǔ)你的漏洞，能補(bǔ)多少補(bǔ)多少····

第二篇：高三數(shù)學(xué)均值不等式

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3.2 均值不等式 教案

教學(xué)目標(biāo)：

推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理.利用均值定理求極值.了解均值不等式在證明不等式中的簡單應(yīng)用

教學(xué)重點(diǎn)：

推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理

利用均值定理求極值

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)：

1、復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)定理及其推論

1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：

4、若(1)、若(2)、若(3)、若23?a?ⅱ）a2?b2?2ab和a?b

2?ab成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,bⅲ）3以長為a+b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使C作垂直于直徑

2AB的弦DD′,那么CD?CA?CB，即CD?ab

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這個(gè)圓的半徑為a?ba?b?ab，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓，顯然，它不小于CD，即2

2心重合；即a=b應(yīng)用例題：

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應(yīng)設(shè)法通過適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉(zhuǎn)化為完全平方式，再利用不等式的性質(zhì)證得原命題。

例

2、若

a,例3證明：∵222∴a?b?c?ab?bc?ca 例

4、已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)證明：∵a,b,c,d都是正數(shù)，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得ab?cdac?bd?

?0,??0.2

2由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得

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?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

歸納小結(jié)

定理：如果a,b是正數(shù)，那么a?b?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”號).22、利用均值定理求最值應(yīng)注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關(guān)鍵。鞏固練習(xí)

P71 練習(xí)A，P72 練習(xí)B。

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第三篇：2013高考數(shù)學(xué)均值不等式專題

均值不等式歸納總結(jié)

ab?(a?b

2)?2a?b

222(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號成立）

(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用一：求最值

例：求下列函數(shù)的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域?yàn)?，+∞）2x 2

1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域?yàn)椋ǎ?，?]∪[2，+∞）解題技巧

技巧一：湊項(xiàng)

例:已知x?，求函數(shù)y?4x?2?4514x?5的最大值。

4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x?2)對4x?2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，?x?

54,?5?4x?0不是常數(shù)，所以，?y?4x?2?

11????5?4x?4x?55?4x?1???2?3?1??3? ?1。當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?5?4x，即x?1時(shí)，上式等號成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax

評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)

例1.當(dāng)時(shí)，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號當(dāng)x＝2時(shí)，y?x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)0?

x?

32，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

2x?3?2x?9

解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2????

222??

當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?技巧三： 分離常數(shù) 例3.求y?

x?7x?10

x?

1?3?

??0,?時(shí)等號成立。4?2?

(x??1)的值域。

解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng),即

時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1

時(shí)取“＝”號）。

技巧四：換元法

解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

y?

(t?1)?7(t?1）+10

t

=

t?5t?

4t

?t?4t?5

5?9（當(dāng)t=2

當(dāng),即t=時(shí),y?即x＝1時(shí)取“＝”號）。

Ag(x)

評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正

技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)f(x)?的單調(diào)性。

例：求函數(shù)y?因t?0,t?

x?

ax

x?52的值域。

?t(t?

2)，則y?

1t

??t?

1t

(t?2)

?1，但t?1t

1t

解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調(diào)性。

因?yàn)閥?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故

y?

52。

5?所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,???。?

?2

?

技巧六：整體代換 例：已知x?0,y?0，且解：?x?0,y?0,1?9

x

1x

?

9y

?1，求x?y的最小值。

?16。

?19?y9x

?10?6?10?16?1，?x?y??x?y??????

xyxyy??

當(dāng)且僅當(dāng)

yx

?

9xy

時(shí)，上式等號成立，又

1x

?

9y

?1，可得x?4,y?12

時(shí)，?x?y?min

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,y?R?且a?b

x

y

?1，求x?y的最小值

技巧七：消元法

已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y 的最小值.ab

分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不

等式的途徑進(jìn)行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u則u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18點(diǎn)評：①本題考查不等式

a?b2

?

ab（a,b?R）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；

?

②如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R?）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到

a?b與ab

之間的關(guān)系，由此想到不等式

a?b

2?

ab（a,b?R），這樣將已知條件轉(zhuǎn)

?

換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.技巧八：平方法

已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，很簡單

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本題

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5變式:

求函數(shù)y?

y?2

?x?

52)的最大值。

解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。

?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

y?2

又y?

0，所以0?32

當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x?

時(shí)取等號。

故ymax

?

評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2

?b?c

?ab?bc?ca

2.正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求證：??

??1??1?

?1???1???1??8 ?a??b??c?

1分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“

2”連乘，又1?1?1?a?b?c?a

a

a

a，可由此變形入手。

?b?ca

?a

11?a

a?b?c?1。

解：b、c?R?，?a、??1?

a

a。

同理1?1?

b

b

?1?c

c

上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當(dāng)且僅當(dāng)?1?1?1??8??????

3abc?a??b??c?

時(shí)取等號。

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y?0且

1x?9y

?1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

9xky

?1

解：令x?y?k,x?0,y?0,1x

?

9y

?1，?

x?ykx

?

9x?9yky

?1.?

10k

?

ykx

?

?1?

10k

?2?

3k

。?k

?16，m????,16?

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a

?b?1,P?

lga?lgb,Q?

(lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關(guān)系

是.分析：∵a

Q?

?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?

a?b2)?lg

lga?lgb?p

lgab?Q

R?lg(ab?

∴R>Q>P。

練習(xí)．1.求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.（1）y?

x?3x?1

x,(x?0)（2）y?2x?

1x?3,x?3

(3)y?2sinx?2．已知0?

1sinx,x?(0,?)（4）y?sinx?

2sinx,x?(0,?)

x?

x?

1，求函數(shù)y?的最大值.；3．0?，求函數(shù)y?的最大值.3.若實(shí)數(shù)滿足a?b?2，則3a4.若log4x?log4

y?2，求

?3

b

1x

?

1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值.y 2

第四篇：均值不等式的證明方法

柯西證明均值不等式的方法 by zhangyuong（數(shù)學(xué)之家）

本文主要介紹柯西對證明均值不等式的一種方法，這種方法極其重要。一般的均值不等式我們通?？紤]的是An?Gn: 一些大家都知道的條件我就不寫了

x1?x2?...?xn

n

?

x1x2...xn

我曾經(jīng)在《幾個(gè)重要不等式的證明》中介紹過柯西的這個(gè)方法，現(xiàn)在再次提出：

二維已證，四維時(shí)：

a?b?c?d?(a?b)?(c?d)?2ab?2cd?4八維時(shí):

(a?b?c?d)?(e?f?g?h)?4abcd?4efgh?8abcdefgh

abcd

?4abcd

這樣的步驟重復(fù)n次之后將會得到

x1?x2?...?x2n

n

?

n

x1x2...x2n

令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?

n

x1?x2?...?xn

n

?A

由這個(gè)不等式有

A?

nA?(2?n)A

nn

?

n

x1x2..xnA

2?n

n

?(x1x2..xn)2A

n

1?

n2

n

即得到

x1?x2?...?xn

n

?

n

x1x2...xn

這個(gè)歸納法的證明是柯西首次使用的，而且極其重要，下面給出幾個(gè)競賽題的例子：

例1：

n

若0?ai?1(i?1,2,...,n)證明?

i?1

11?ai

?

n

1?(a1a2...an)n

例2：

n

若ri?1(i?1,2,...,n)證明?

i?1

1ri?1

?

n

1?(r1r2...rn)n

這2個(gè)例子是在量在不同范圍時(shí)候得到的結(jié)果，方法正是運(yùn)用柯西的歸納法：

給出例1的證明：

當(dāng)n?2時(shí)11?a1

?

11?a2

?

?(1?

?a1?a2)?2(1?a1)(1?a2)

設(shè)p?a1?a2,q?

?(1?q)(2?p)?2(1?p?q)

?p?2q?pq?2q?p(1?q)?2q(q?1)?p?2q，而這是2元均值不等式因此11?a1?

?

11?a22

n

?

11?a3

?

11?a4

??

此過程進(jìn)行下去

n

?

因此?

i?1

1?ai

1?(a1a2...a2n)2

n

令an?1?an?2?...?a2n?(a1a2...an)n?G

n

有?

i?1n

11?ai

11?ai

?(2?n)

n

11?G

?

n

n2?n

n

?

n

1?(GG

?

n1?G

n)

n

1?G

即?

i?1

例3：

已知5n個(gè)實(shí)數(shù)ri,si,ti,ui,vi都?1(1?i?n),記R?T?

n

1n

n

?r,S

ii

?

1n

n

?s

i

i

1n

n

?t,U

ii

?

1n

n

?u

i

i,V?

1n

n

?v，求證下述不等式成立：

ii

?

i?1

（risitiuivi?1risitiuivi?1)?（RSTUV?1RSTUV?1)

n

要證明這題，其實(shí)看樣子很像上面柯西的歸納使用的形式

其實(shí)由均值不等式，以及函數(shù)f(x)?ln因此

e?1e?1

x

x

是在R上單調(diào)遞減

RSTUV?

?

（RSTUV?1RSTUV?1)?

n

我們要證明：

n

?(rstuv

i?1

iii

i

risitiuivi?1

i

?1)?

證明以下引理：

n

?(x

i?1

xi?1

i

x2?1x2?1

n

?1)?

n?2時(shí)，?(令A(yù)?

x1?1x1?1)（）?2

?A(x1x2?1?x1?x2)?(x1?x2?1?x1x2)

?2A(x1x2?x1?x2?1)?A(x1x2?1?x1?x2)?(1?x1x2?x1?x2)?2A(x1x2?1?x1?x2)

?(A?1)(x1x2?1)?2A(x1x2?1)顯然成立

2?n

n

n

因

此?（i?1

xi?1xi?1

n)?（G?1G?1)

2?n

n

?（GGGG

n

n

n

n

?1?1

2?n2

n)，G?

n

?（G?1G?1

n)

因此?（i?1

xi?1xi?1

n)?

所以原題目也證畢了

這種歸納法威力十分強(qiáng)大，用同樣方法可以證明Jensen:

f(x1)?f(x2)

?f（x1?x2)，則四維：

f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?2f（x1?x2)?2f（x3?x4)?4f（x1?x2?x3?x4)

一直進(jìn)行n次有

f(x1)?f(x2)?...?f(x2n)

n

?f（x1?x2?...?x2n

n),令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?

n

x1?x2?...?xn

n

n

?A

有

f(x1)?...?f(xn)?(2?n)f(A)

n

n

?f（nA?(2?n)A

n)?f(A)

所以得到

f(x1)?f(x2)?...?f(xn)

n

?f（x1?x2?...?xn

n)

所以基本上用Jensen證明的題目都可以用柯西的這個(gè)方法來證明

而且有些時(shí)候這種歸納法比Jensen的限制更少

其實(shí)從上面的看到，對于形式相同的不等式，都可以運(yùn)用歸納法證明

這也是一般來說能夠運(yùn)用歸納法的最基本條件

第五篇：2012屆高三文科數(shù)學(xué)不等式專題

2012屆高三文科數(shù)學(xué)不等式專題練習(xí)

一、選擇題

1．設(shè)a,b?R，若a?b?0，則下列不等式中正確的是（）

A．b?a?0B．b?a?0C．a(chǎn)3?b3?0D．a(chǎn)2?b2?0

２．設(shè)ａ，ｂ是非零實(shí)數(shù)，若ａ＜ｂ，則下列不等式成立的是（）

Ａ．a(chǎn)2?b2Ｂ．a(chǎn)b2?a2bＣ．

1ab2?1ab2Ｄ．ba?a

b

3．下列函數(shù)中，ｙ的最大值為４的是（）Ａ．y?x?

4x Ｂ．y?2(x?3)

x?222Ｃ．y?sinx?4sinx(0?x??)Ｄ．y?e?4ex?x

4．不等式x?1

x?2的解集為()

A．[?1,0)B．[?1,??)C．(??,?1]D．(??,?1]?(0,??)

5．設(shè)f(x)為奇函數(shù), 且在(-∞, 0)內(nèi)是減函數(shù), f(-2)= 0, 則x f(x)<0的解集為()

A(-1, 0)∪(2, +∞)B(-∞,-2)∪(0, 2)C(-∞,-2)∪(2, +∞)D(-2, 0)∪(0, 2)

二、填空題

?2x?y

??x?2y6．若變量x,y滿足?x??

?y???40?5000，則z?3x?2y的最大值是＿＿＿＿．

7．已知函數(shù)f(x)???x?2,x?0

??x?2,x?0，則不等式f(x)?x2的解集為＿＿＿＿．

8．x,y,z?R,x?2y?3z?0,*y

2xz的最小值為＿＿＿＿＿．若y?1，則xz的最小值為——————．

29．已知A??x/x?a?4?,B??x/x?6x?5?0?,且對任意m?R,m?A?B恒成立,則a的取值范圍

是_________．

10．若二次函數(shù)y?f(x)的圖象過原點(diǎn)，且1?f(?1)?2,3?f(1)?4,則f(?2)的取值范圍是．

三、解答題

11．某收購站分兩個(gè)等級收購小麥，一等每千克ａ元，二等每千克ｂ元（ａ＞ｂ），現(xiàn)有一等小麥ｘ千克，二等小麥ｙ千克，若以兩種價(jià)格的平均價(jià)收購合理嗎？請說明理由．

2212．已知命題p：方程ax?ax?2?0在??1,1?上有解；命題q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式

2x?2ax?2a?0,若命題“p或q”是假命題，求a的取值范圍．

13． 某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)

1測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

（注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝購地總費(fèi)用．）

建筑總面積

14．已知不等式ax2?3x?b?0的解集為?x/x?1或x?b?．

(1)求a,b;

(2)解不等式ax2?(ac?b)x?bc?0．

15．函數(shù)f(x)對任意m、n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1．

(1)求證f(x)是R上的增函數(shù)；

(2)設(shè)f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2．

16．已知函數(shù)f(x)=ax+x?

2x?1(a>1)．

(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，+∞)上為增函數(shù)；

(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根．

參考答案

一、BＣD A C

二、6．707．??1,1?8．３；

三、11．a(chǎn)x?by?(x?y)(a?b)

2?1329．?1,5?10．?6,10?，因此(a?b)(x?y)

（１）若ｘ＞ｙ，則收購站受益；

（２）若ｘ＝ｙ，則兩種方式的付款額相等；

（３）若ｘ＜ｙ，則收購站吃虧．

12．-1

13．設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則

f?x???560?4x8??216?01000010800??5?60x?4x?10,x?Z 2000xx???f(x)?560?248x?

當(dāng)且僅當(dāng)48x?10800

x10800x?2000,，即 x?15時(shí)f(x)min?2000；

答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層．

14．(1)．a(chǎn)?1,b?2;(2)c?2時(shí),解集為?c,2?；c?2時(shí), 解集為?2,c?；c?2時(shí), 解集為?．

15．(2)-3

16．證明：(1）設(shè)－1＜x1＜x2＜+∞,則x2－x1>0, ax

∴ax?ax?ax(ax21122?x1>1且ax>0, 1?x1?1)>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴x2?2

x2?1?x1?2

x1?1?(x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1)

(x1?1)(x2?1)

x2?2

x2?1x1?2x1?1?3(x2?x1)(x1?1)(x2?1)>0, 于是f(x2)－f(x1)=ax?ax+21? >0．

∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函數(shù)．

(2）證法一：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0,則ax0??x0?2

x0?1，且由0＜ax＜1得 0

0＜－x0?2

x0?1＜1，即1

2＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根．

證法二：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,則x0?2

x0?1＜－2,ax＜1,∴f(x0)＜－1與0

f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,則x0?2

x0?1>0, ax>0，∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根． 0