第一篇：運(yùn)用均值不等式的八類配湊方法

運(yùn)用均值不等式的八類拼湊方法

利用均值不等式求最值或證明不等式是高中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)。在運(yùn)用均值不等式解題時,我們常常會遇到題中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用題設(shè)條件，此時需要對題中的式子適當(dāng)進(jìn)行拼湊變形。均值不等式等號成立條件具有潛在的運(yùn)用功能。以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，為解題提供信息，可以引發(fā)出種種拼湊方法。下面把運(yùn)用均值不等式的拼湊方法概括為八類。

一、拼湊定和

通過因式分解、納入根號內(nèi)、升冪等手段，變?yōu)椤胺e”的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，均分系數(shù)，拼湊定和，求積的最大值。

例１ 已知0?x?1，求函數(shù)y??x3?x2?x?1的最大值。

解：y??x2?x?1???x?1???x?1??1?x2???x?1??1?x?

2?x?1x?1???1?x????32x?1x?1?4?。?1?x??4???22327????

當(dāng)且僅當(dāng)31x?132?1?x，即x?時，上式取“=”。故ymax?。3227

評注：通過因式分解，將函數(shù)解析式由“和”的形式，變?yōu)椤胺e”的形式，然后利用隱含的“定和”關(guān)系，求“積”的最大值。

例2

求函數(shù)y?x0?x?1?的最大值。

解：

y?

? ?x2x22???1?x22???1?xx2因?，???1?x???22327??????

x2??1?

x2?，即x?當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取“=”

。故ymax?。2

3評注：將函數(shù)式中根號外的正變量移進(jìn)根號內(nèi)的目的是集中變元，為“拼湊定和”創(chuàng)造條件。例3 已知0?x?2，求函數(shù)y?6x?4?x2?的最大值。

解：y?36x22?4?x?22?18?2x2?4?x2??4?x2?

3?2x2??4?x2???4?x2??18?83

???18?。327????

當(dāng)且僅當(dāng)2x?4?x

?

?

18?832，即x?時，上式取“=”。故ymax?，又

27y?0,ymax?

3。3

二、拼湊定積

通過裂項(xiàng)、分子常數(shù)化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀钡男问剑缓笠跃挡坏仁降娜〉葪l件為出發(fā)點(diǎn)，配項(xiàng)湊定積，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件

例

4x?5??x?2??設(shè)x??1，求函數(shù)y?的最小值。

x?

1解：y?

???x?1??4?????x?1?

?1???x?1?4?5?x?1x?1

5?9。當(dāng)且僅當(dāng)x?1時，上式取“=”。故ymin?9。

評注：有關(guān)分式的最值問題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮裂項(xiàng)，變?yōu)楹偷男问?，然后“?/p>

湊定積”，往往是十分方便的。

例5 已知x??1，求函數(shù)y?

24?x?1?

?x?3?的最大值。

解：?x??1,?x?1?0，?y?

24?x?1?

?x?1?

?4?x?1??4

?

?x?1??

?4x?1

?

?3。

2?2?4

當(dāng)且僅當(dāng)x?1時，上式取“=”。故ymax?3。

評注：有關(guān)的最值問題，若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，可考慮改變原式的結(jié)構(gòu)，將分子化為常數(shù)，再

設(shè)法將分母“拼湊定積”。

例6 已知0?x??，求函數(shù)y?

2?cosx的最小值。

sinx

xx?

解：因?yàn)??x??，所以0??，令tan?t，則t?0。

211?cosx1?t213t所以y????t????

sinxsinx2t2t2當(dāng)且僅當(dāng)

13t??，即t?x?時，上式取“

=”。故ymin? 2t

3評注：通過有理代換，化無理為有理，化三角為代數(shù)，從而化繁為簡，化難為易，創(chuàng)造出運(yùn)用均值不等

式的環(huán)境。

三、拼湊常數(shù)降冪

例7 若a3?b3?2,a,b?R?，求證：a?b?2。

分析：基本不等式等號成立的條件具有潛在的運(yùn)用功能，它能在“等”與“不等”的互化中架設(shè)橋

梁，能為解題提供信息，開辟捷徑。本題已知與要求證的條件是a?b?1，為解題提供了信息，發(fā)現(xiàn)應(yīng)拼湊項(xiàng)，巧妙降次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。

3?3a,b3?13?13?3b。證明：?a?1?1?，故原不等式?a3?b3?4?6?3?a?b?,?a?b?2.當(dāng)且僅當(dāng)a?b?1時，上述各式取“=”得證。

評注：本題借助取等號的條件，創(chuàng)造性地使用基本不等式，簡潔明了。

例8 若x3?y3?2,x,y?R?，求x2?y2?5xy的最大值。

解：?3?1?x?x?1?x3?x3,3?1?y?y?1?y3?y3,3?1?x?y?1?x3?y3,?x2?y2?5xy?

1?x3?x3?1?y3?y3?5?1?x3?y3?

?

7?7?x3?y3?

?7。

當(dāng)且僅當(dāng)a?b?1時，上述各式取“=”，故x2?y2?5xy的最大值為7。

例9 已知a,b,c?0,abc?1，求證：a3?b3?c3?ab?bc?ca。

證明：?1?a3?b3?3?1?a?b,1?b3?c3?3?1?b?c,1?c3?a3?3?1?c?a，?3?2?a3?b3?c3??3?ab?bc?

ca?，又?ab?bc?ca??3，?3?2?a3?b3?c3??2?ab?bc?ca??3,?a3?b3?c3?ab?bc?ca。

當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c?1時，上述各式取“=”，故原不等式得證。

四、拼湊常數(shù)升冪

例10 若a,b,c?R?，且a?b?c?

1。

分析：已知與要求證的不等式都是關(guān)于a,b,c的輪換對稱式，容易發(fā)現(xiàn)等號成立的條件是

1a?b?c?

3證明：?2161616

???

a?5?,2??

b?5?,2??c?5?，333?2?31??

a?b?c??32.?。

當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c?

時，上述各式取“=”，故原不等式得證。

3例11 若a?b?2,a,b,?R?，求證：a3?b3?2。

證明：?3?1?1?a?13?13?a3,3?1?1?b?13?13?b3,?3?a?b??4?a3?b3。

又?a?b?2,?a3?b3?2。當(dāng)且僅當(dāng)a?b?1時，上述各式取“=”，故原不等式得證。

五、約分配湊

通過“1”變換或添項(xiàng)進(jìn)行拼湊，使分母能約去或分子能降次。

例12 已知x,y,?0,??1，求xy的最小值。

xyy1?

解：xy?x?

?28?4y6x

4x?????32???xyxy??

3?26 4。

當(dāng)且僅當(dāng)

1??時，即x?4.y?16，上式取“=”，故?xy?min?64。xy

241?的最小值。x1?x

例13 已知0?x?1，求函數(shù)y?

解：因?yàn)??x?1，所以1?x?0。

所以y?

4?1?x?411?x?4

???x?1?x??5???9。???????x1?xx1?x?x1?x?

4?1?x?2x

?時，即x?，上式取“=”，故ymin?9。

3x1?x

?

當(dāng)且僅當(dāng)

a2b2c21

????a?b?c?。例14 若a,b,c?R，求證

b?cc?aa?b2

分析：注意結(jié)構(gòu)特征：要求證的不等式是關(guān)于a,b,c的輪換對稱式，當(dāng)a?b?c時，等式成立。此時

a2a

?，b?c2

a1b?ca2

設(shè)m?b?c??，解得m?，所以應(yīng)拼湊輔助式為拼湊的需要而添，經(jīng)此一添，解題可見眉

244b?c

目。

證

明

：

a2b?cb2c?ac2a?b????a,???b,???cb?c4c?a4a?b4。

a2b2c21?????a?b?c?。當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時，上述各式取“=”，故原不等式得證。b?cc?aa?b2

六、引入?yún)?shù)拼湊

某些復(fù)雜的問題難以觀察出匹配的系數(shù)，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解地待定系數(shù)，可開辟解題捷徑。

149

例15 已知x,y,z?R?，且x?y?z?1，求??的最小值。

xyz

解：設(shè)??0，故有??x?y?z?1??0。

??9149149?1??4?

?????????x?y?z?1?????x?????x?????x??? xyzxyz?x??y??

?z????。當(dāng)且僅當(dāng)

式取“=”，即x?

149

??x,??y,??z同時成立時上述不等xyz

y?

z?，代入x?y?z?1，解得??

36，此時??36，故?

x49?yz的最小值為36。

七、引入對偶式拼湊

根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)，給不等式的一端匹配一個與之對偶的式子，然后一起參與運(yùn)算，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件。

例16 設(shè)a1,a2,???,an為互不相等的正整數(shù)，求證

證明：記bn?

則

an111a1a2a

31???????????????。122232n2123n

ana1a2a31111

???????，構(gòu)造對偶式，d????????n122232n2a1a2a3an

?a?a11??a21??a31?1?1??111

bn?dn??2????2????2????????n??2??????????，21a2a3ana123n???1??2?3?n???

?

當(dāng)且僅當(dāng)ai?ii?N,i?n時，等號成立。又因?yàn)閍1,a2,???,an為互不相等的正整數(shù)，??

所以dn??

11111111

??????，因此bn????????。123n123n

評注：本題通過對式中的某些元素取倒數(shù)來構(gòu)造對偶式。

八、確立主元拼湊

在解答多元問題時，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據(jù)具體條件和解題需要，確立主元，減少變元個數(shù)，恰當(dāng)拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式。

例17 在?ABC中，證明cosAcosBcosC?

1。8

分析：cosAcosBcosC為輪換對稱式，即A,B,C的地位相同，因此可選一個變元為主元，將其它變元

看作常量（固定），減少變元個數(shù)，化陌生為熟悉。

證明：當(dāng)cosA?0時，原不等式顯然成立。

當(dāng)cosA?0時，cosAcosBcosC?

cosA??cos?B?C??cos?B?C???

21?cosA??cos?B?C??cosA?? 2

11?cosA??1?cosA??1?cosA?1?cosA????。?22?28?

?cos(B?C)?1

當(dāng)且僅當(dāng)?，即?ABC為正三角形時，原不等式等號成立。

cosA?1?cosA?

綜上所述，原不等式成立。

評注：變形后選擇A為主元，先把A看作常量，B、C看作變量，把B、C這兩個變量集中到cos(B?C)，然后利用cos(B?C)的最大值為1將其整體消元，最后再回到A這個主元，變中求定。

綜上可見，許多貌似繁難的最值問題或不等式證明問題，運(yùn)用均值不等式等號成立條件，恰當(dāng)拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式，輕松獲解。

第二篇：均值不等式的證明方法

柯西證明均值不等式的方法 by zhangyuong（數(shù)學(xué)之家）

本文主要介紹柯西對證明均值不等式的一種方法，這種方法極其重要。一般的均值不等式我們通常考慮的是An?Gn: 一些大家都知道的條件我就不寫了

x1?x2?...?xn

n

?

x1x2...xn

我曾經(jīng)在《幾個重要不等式的證明》中介紹過柯西的這個方法，現(xiàn)在再次提出：

二維已證，四維時：

a?b?c?d?(a?b)?(c?d)?2ab?2cd?4八維時:

(a?b?c?d)?(e?f?g?h)?4abcd?4efgh?8abcdefgh

abcd

?4abcd

這樣的步驟重復(fù)n次之后將會得到

x1?x2?...?x2n

n

?

n

x1x2...x2n

令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?

n

x1?x2?...?xn

n

?A

由這個不等式有

A?

nA?(2?n)A

nn

?

n

x1x2..xnA

2?n

n

?(x1x2..xn)2A

n

1?

n2

n

即得到

x1?x2?...?xn

n

?

n

x1x2...xn

這個歸納法的證明是柯西首次使用的，而且極其重要，下面給出幾個競賽題的例子：

例1：

n

若0?ai?1(i?1,2,...,n)證明?

i?1

11?ai

?

n

1?(a1a2...an)n

例2：

n

若ri?1(i?1,2,...,n)證明?

i?1

1ri?1

?

n

1?(r1r2...rn)n

這2個例子是在量在不同范圍時候得到的結(jié)果，方法正是運(yùn)用柯西的歸納法：

給出例1的證明：

當(dāng)n?2時11?a1

?

11?a2

?

?(1?

?a1?a2)?2(1?a1)(1?a2)

設(shè)p?a1?a2,q?

?(1?q)(2?p)?2(1?p?q)

?p?2q?pq?2q?p(1?q)?2q(q?1)?p?2q，而這是2元均值不等式因此11?a1?

?

11?a22

n

?

11?a3

?

11?a4

??

此過程進(jìn)行下去

n

?

因此?

i?1

1?ai

1?(a1a2...a2n)2

n

令an?1?an?2?...?a2n?(a1a2...an)n?G

n

有?

i?1n

11?ai

11?ai

?(2?n)

n

11?G

?

n

n2?n

n

?

n

1?(GG

?

n1?G

n)

n

1?G

即?

i?1

例3：

已知5n個實(shí)數(shù)ri,si,ti,ui,vi都?1(1?i?n),記R?T?

n

1n

n

?r,S

ii

?

1n

n

?s

i

i

1n

n

?t,U

ii

?

1n

n

?u

i

i,V?

1n

n

?v，求證下述不等式成立：

ii

?

i?1

（risitiuivi?1risitiuivi?1)?（RSTUV?1RSTUV?1)

n

要證明這題，其實(shí)看樣子很像上面柯西的歸納使用的形式

其實(shí)由均值不等式，以及函數(shù)f(x)?ln因此

e?1e?1

x

x

是在R上單調(diào)遞減

RSTUV?

?

（RSTUV?1RSTUV?1)?

n

我們要證明：

n

?(rstuv

i?1

iii

i

risitiuivi?1

i

?1)?

證明以下引理：

n

?(x

i?1

xi?1

i

x2?1x2?1

n

?1)?

n?2時，?(令A(yù)?

x1?1x1?1)（）?2

?A(x1x2?1?x1?x2)?(x1?x2?1?x1x2)

?2A(x1x2?x1?x2?1)?A(x1x2?1?x1?x2)?(1?x1x2?x1?x2)?2A(x1x2?1?x1?x2)

?(A?1)(x1x2?1)?2A(x1x2?1)顯然成立

2?n

n

n

因

此?（i?1

xi?1xi?1

n)?（G?1G?1)

2?n

n

?（GGGG

n

n

n

n

?1?1

2?n2

n)，G?

n

?（G?1G?1

n)

因此?（i?1

xi?1xi?1

n)?

所以原題目也證畢了

這種歸納法威力十分強(qiáng)大，用同樣方法可以證明Jensen:

f(x1)?f(x2)

?f（x1?x2)，則四維：

f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?2f（x1?x2)?2f（x3?x4)?4f（x1?x2?x3?x4)

一直進(jìn)行n次有

f(x1)?f(x2)?...?f(x2n)

n

?f（x1?x2?...?x2n

n),令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?

n

x1?x2?...?xn

n

n

?A

有

f(x1)?...?f(xn)?(2?n)f(A)

n

n

?f（nA?(2?n)A

n)?f(A)

所以得到

f(x1)?f(x2)?...?f(xn)

n

?f（x1?x2?...?xn

n)

所以基本上用Jensen證明的題目都可以用柯西的這個方法來證明

而且有些時候這種歸納法比Jensen的限制更少

其實(shí)從上面的看到，對于形式相同的不等式，都可以運(yùn)用歸納法證明

這也是一般來說能夠運(yùn)用歸納法的最基本條件

第三篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語：一切的方法都要落實(shí)到動手實(shí)踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點(diǎn)

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.重難點(diǎn)：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會太大.二．考點(diǎn)梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時取等號.（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當(dāng)z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實(shí)際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運(yùn)輸收入均為25萬元.小王在該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計(jì)收入+銷售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？

五、當(dāng)堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點(diǎn)A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬只,每只產(chǎn)品的銷售價為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元,預(yù)計(jì)銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達(dá)式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

第四篇：均值不等式說課稿

《均值不等式》說課稿

山東陵縣一中 燕繼龍李國星

尊敬的各位評委、老師們：

大家好！我今天說課的題目是 《均值不等式》，下面我從教材分析，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，教學(xué)方法，學(xué)生學(xué)法，教學(xué)過程，板書設(shè)計(jì)，效果分析八個方面說說我對這堂課的設(shè)計(jì)。

一、教材分析：

均值不等式又稱基本不等式，選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內(nèi)容。是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位。對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實(shí)際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進(jìn)一步研究，起到承前啟后的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能：

（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；

（2）能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡單的問題。

2、過程與方法：

（1）探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法；

（2）培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3、情感態(tài)度與價值觀：

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神；

（2）通過對均值不等式成立條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；

(3)認(rèn)識到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界。

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：通過對新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認(rèn)為結(jié)果固然重要，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)之一；再者，均值不等式有比較廣泛的應(yīng)用，需重點(diǎn)掌握，而用好均值不等式，關(guān)鍵是對不等式成立條件的準(zhǔn)確理解，因此，均值不等式及其成立的條件也是教學(xué)重點(diǎn)。

難點(diǎn)：很多同學(xué)對均值不等式成立的條件的認(rèn)識不深刻，在應(yīng)用時候常常出現(xiàn)錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點(diǎn)。

四、教學(xué)方法：

為了達(dá)到目標(biāo)、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn)，我本著以教師為主導(dǎo)的原則，再結(jié)合本節(jié)的實(shí)際特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)方法。

突出重點(diǎn)的方法：我將通過引導(dǎo)啟發(fā)、學(xué)生展示來突出均值不等式的推導(dǎo)；通過多媒體展示、來突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點(diǎn)的方法：我將采用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和

來突破均值不等式成立的條件這個難點(diǎn)。

此外還將繼續(xù)采用個人和小組積分法，調(diào)動學(xué)生積極參與的熱情。

五、學(xué)生學(xué)法：

在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，注重知識與能力，過程與方法，情感態(tài)度和價值觀三個方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，具體如下：

1、課前預(yù)習(xí)----學(xué)會；、明確重點(diǎn)、解決疑點(diǎn)；

2、分組討論

3、積極參與----敢于展示、大膽質(zhì)疑、爭相回答；

4、自主探究----學(xué)生實(shí)踐，鞏固提高；

六、教學(xué)過程：

采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，運(yùn)用學(xué)案導(dǎo)學(xué)開展本節(jié)課的教學(xué)，首先進(jìn)行

:課前預(yù)習(xí)

（一）成果反饋

1.對課前小組合作完成的現(xiàn)實(shí)生活中的問題：

“今有一臺天平，兩臂不等長，要用它稱物體質(zhì)量，將物體放在左、右托盤各稱一次，稱得的質(zhì)量分別為a,b，問：能否用a,b的平均值表示物體的真實(shí)質(zhì)量？若不能，這二者是什么關(guān)系？”

進(jìn)行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式抽出兩名同學(xué)上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________

a?b

2?。

預(yù)備定理：a2?b2?2ab(a,b?R)，仿照預(yù)備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0，求證：?

ab

ab?2，并推導(dǎo)出式中等號成立的條件。

與此同時，其他同學(xué)分組合作探究和均值定理有關(guān)的以下問題，教師巡視并參與討論，適時點(diǎn)撥。

① 適用范圍a,b?________，x?0,x?

1x??2

對嗎？

② 等號成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)__________時，________=_________ ③ 語言表述：兩個___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點(diǎn)：兩個正數(shù)的______中項(xiàng)不小于它們的_____中項(xiàng)

。⑥ 幾何解釋（見右圖）：________________

⑦常見變形a?b?_______

?________,即ab?

___________。例：

4、（1）一個矩形的面積為100 m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長是36m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規(guī)律：

兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有______值； 兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有______值。

等待兩名同學(xué)做完后，適時終止討論，學(xué)生各就各位。首先針對黑板上這兩道題發(fā)動學(xué)生上來捉錯（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學(xué)生對定理及應(yīng)用條件的認(rèn)識。其次，老師根據(jù)剛才巡視掌握的情況，結(jié)合多媒體進(jìn)行有針對性的講解（重點(diǎn)應(yīng)強(qiáng)調(diào)均值定理的幾何解釋：半徑不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程，使定理“形化”），進(jìn)一步加深學(xué)生對定理的認(rèn)識及應(yīng)用能力，初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”

第二步：課內(nèi)探究

（二）精講點(diǎn)撥 1.例：求函數(shù)f(x)?

?2x?x?

3x

(x?0)的最大值，及此時x的值。

先和學(xué)生們一起探討該問題的解題思路，先拆分再提出“-”號，為使用均值定理創(chuàng)造條件，后由學(xué)生們獨(dú)立完成，教師通過巡視或提問發(fā)現(xiàn)問題，通過多媒體演示來解決問題，該例題主要讓學(xué)生注意定理的應(yīng)用條件及一些變形技巧。

2．多媒體展示辨析對錯：

?這幾道辨析題先讓學(xué)生們捉錯，再由

多媒體給出答案，創(chuàng)設(shè)情境加深學(xué)生對用均值定理求函數(shù)最值時注意“一正、二定、三相等”的認(rèn)識

（三）有效訓(xùn)練

1.(獨(dú)立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()

A、y?x?

1x

B、y?sinx?

1sinx

(0?x?

?)

C、y??

1D、y?tanx?

本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”，待學(xué)生完成后，隨機(jī)抽取幾名學(xué)生說一下答案，選D，應(yīng)該不會有問題。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C(C>0)，當(dāng)α為何值時，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運(yùn)用均值不等式不會出現(xiàn)定值，需要拼湊。待學(xué)生討論過后，先通答案，??2時扇形面積最大值為

c

tanx

(0?x?

?)

。若有必要，抽派小組代表到講臺上講解，及時反饋矯正。

（四）本節(jié)小結(jié)

小結(jié)本節(jié)課主要內(nèi)容，知識點(diǎn)，由學(xué)生總結(jié)，教師完善，不外乎： 1.兩個重要不等式

a?b?2ab(a,b?R,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“?”)

2a?b2

?a,b?R,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取“?”)

?

2.用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”。

（一）、雙基達(dá)標(biāo)（必做，獨(dú)立完成）：

1、課本第71頁練習(xí)A、B；

2、已知x??1,求y?x?6?

x?

1的最值；

（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：

?

23、若a,b?R且a?

b

?1,求a?最大值及此時a,b的值.4、a?0,b?0,且

5、求函數(shù)f(x)?

1a

?

9b

?1,求a?b最小值.x?3x?1x?

1(x??1)的最小值。

通過作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，注重分層次設(shè)計(jì)題目，更加關(guān)注學(xué)生的差異。

七、板書設(shè)計(jì)：

由于本節(jié)采用多媒體教學(xué)，板書比較簡單，且大部分是學(xué)生的展示。

八、效果分析：

本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，通過學(xué)案導(dǎo)學(xué)，多媒體展示，師生互動，生生互動。學(xué)生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”，說起來容易做起來難，學(xué)生還得通過反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會。

我的說課到此結(jié)束，懇請各位評委和老師們批評指正，謝謝！

第五篇：常用均值不等式及證明證明

常用均值不等式及證明證明

這四種平均數(shù)滿足Hn?Gn?

An?Qn

?、ana1、a2、?R?，當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2??

?an時取“=”號

僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個簡單結(jié)論，中學(xué)常用

均值不等式的變形：

(1)對實(shí)數(shù)a,b，有a

2?b2?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)，a,b?0?2ab

(4)對實(shí)數(shù)a,b，有

a?a-b??b?a-b?

a2?b2?

2ab?0

(5)對非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有

(8)對實(shí)數(shù)a,b,c，有

a2?

b2?c2?ab?bc?ac

a?b?c?abc(10)對實(shí)數(shù)a,b,c，有

均值不等式的證明：

方法很多，數(shù)學(xué)歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個輔助結(jié)論。

引理：設(shè)A≥0，B≥0，則?A?B??An?nA?n-1?B

n

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數(shù)學(xué)歸納法)。

當(dāng)n=2時易證；

假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即

那么當(dāng)n=k+1時，不妨設(shè)ak?1是則設(shè)

a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak

用歸納假設(shè)

下面介紹個好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數(shù)f?x?,x1,x2,?,xn是函數(shù)f?x?在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個點(diǎn)，設(shè)f?x??lnx，f

?x?為上凸增函數(shù)所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）