第一篇：高考不等式大盤點(diǎn)（寫寫幫推薦）

高考不等式大盤點(diǎn)

從高考考題分析,不等式及其不等式的應(yīng)用已滲透到函數(shù)、三角、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、概率等各個(gè)內(nèi)容中,涉及的深度、廣度也在不斷地提高和增大,充分體現(xiàn)了不等式知識(shí)點(diǎn)的重要性、不等式思想方法的獨(dú)特性,既有一般的解不等式(組)和證明不等式的題,也有將其作為數(shù)學(xué)工具應(yīng)用的試題.不等式部分考題分散到選擇題、填空題和解答題,難度差別比較大,選擇題和填空題難度系數(shù)在0.5～0.7左右,解答題的難度系數(shù)變化比較大.不等式的證明是難點(diǎn),解不等式是重點(diǎn),含參數(shù)不等式綜合題是高考命題的熱點(diǎn).其高考命題熱點(diǎn)主要表現(xiàn)在:(1)在選擇題中考察實(shí)數(shù)的大小比較,涉及函數(shù)的小綜合題;(2)在填空題中考查不等式,求含參變量問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍及函數(shù)的最值;(3)在解答題中,其主要題型為解不等式、證明不等式、討論含參數(shù)的方程或不等式等,常把不等式與函數(shù)、三角、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、概率等知識(shí)綜合起來(lái)考查.1.不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)主要考察實(shí)數(shù)大小的比較,不等式的相關(guān)性質(zhì),均值不等式等內(nèi)容.例1設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù),則下列等式中不恒成立的是()A.a-b≤a-c+b-cB.a2+a......(本文共

透過(guò)2010年高考題看不等式怎么考

楊文金

【摘要】：正不等式在高考中屬主體內(nèi)容,它與代數(shù)內(nèi)容聯(lián)系密切,高考中所占比例約為10%～15%。從近幾年的高考試題來(lái)看,考查的內(nèi)容主要有以下幾點(diǎn):

一、不等式的性質(zhì)、基本不等式和絕對(duì)值不等式這些內(nèi)容大多出現(xiàn)在選擇題或填空題中,一般屬于容易題或中檔題。因此,關(guān)于這一部分的知識(shí),考生在備考中要注意理解并深刻記憶基本公式。例1(2010年江蘇省高考題·12)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿

【作者單位】： 山東省棗莊市第二中學(xué);

【關(guān)鍵詞】： 不等式 高考題 絕對(duì)值 線性規(guī)劃問(wèn)題 最小值 最大值 數(shù)學(xué)知識(shí) 取值范圍 解析 選擇題

【分類號(hào)】：G634.6

【正文快照】：

不等式在高考中屬主體內(nèi)容，它與代數(shù)內(nèi)容聯(lián)系密切，高考中所占比例約為10%一巧%。從近幾年的高考試題來(lái)看，考查的內(nèi)容主要有以下幾點(diǎn):

一、不等式的性質(zhì)、基本不等式和絕對(duì)值不等式這些內(nèi)容大多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，一般屬于容易題或中檔題。因此，關(guān)于這一部分的知識(shí)，

第二篇：2013高考數(shù)學(xué)均值不等式專題

均值不等式歸納總結(jié)

ab?(a?b

2)?2a?b

222(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成立）

(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用一：求最值

例：求下列函數(shù)的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域?yàn)?，+∞）2x 2

1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域?yàn)椋ǎ?，?]∪[2，+∞）解題技巧

技巧一：湊項(xiàng)

例:已知x?，求函數(shù)y?4x?2?4514x?5的最大值。

4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x?2)對(duì)4x?2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，?x?

54,?5?4x?0不是常數(shù)，所以，?y?4x?2?

11????5?4x?4x?55?4x?1???2?3?1??3? ?1。當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?5?4x，即x?1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax

評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)

例1.當(dāng)時(shí)，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，y?x(8?2x)的最大值為8。

評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)0?

x?

32，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

2x?3?2x?9

解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2????

222??

當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?技巧三： 分離常數(shù) 例3.求y?

x?7x?10

x?

1?3?

??0,?時(shí)等號(hào)成立。4?2?

(x??1)的值域。

解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng),即

時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1

時(shí)取“＝”號(hào)）。

技巧四：換元法

解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。

y?

(t?1)?7(t?1）+10

t

=

t?5t?

4t

?t?4t?5

5?9（當(dāng)t=2

當(dāng),即t=時(shí),y?即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。

Ag(x)

評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正

技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)f(x)?的單調(diào)性。

例：求函數(shù)y?因t?0,t?

x?

ax

x?52的值域。

?t(t?

2)，則y?

1t

??t?

1t

(t?2)

?1，但t?1t

1t

解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。

因?yàn)閥?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故

y?

52。

5?所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,???。?

?2

?

技巧六：整體代換 例：已知x?0,y?0，且解：?x?0,y?0,1?9

x

1x

?

9y

?1，求x?y的最小值。

?16。

?19?y9x

?10?6?10?16?1，?x?y??x?y??????

xyxyy??

當(dāng)且僅當(dāng)

yx

?

9xy

時(shí)，上式等號(hào)成立，又

1x

?

9y

?1，可得x?4,y?12

時(shí)，?x?y?min

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,y?R?且a?b

x

y

?1，求x?y的最小值

技巧七：消元法

已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y 的最小值.ab

分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不

等式的途徑進(jìn)行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u則u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式

a?b2

?

ab（a,b?R）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；

?

②如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R?）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到

a?b與ab

之間的關(guān)系，由此想到不等式

a?b

2?

ab（a,b?R），這樣將已知條件轉(zhuǎn)

?

換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.技巧八：平方法

已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，很簡(jiǎn)單

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本題

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5變式:

求函數(shù)y?

y?2

?x?

52)的最大值。

解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。

?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

y?2

又y?

0，所以0?32

當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x?

時(shí)取等號(hào)。

故ymax

?

評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2

?b?c

?ab?bc?ca

2.正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求證：??

??1??1?

?1???1???1??8 ?a??b??c?

1分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“

2”連乘，又1?1?1?a?b?c?a

a

a

a，可由此變形入手。

?b?ca

?a

11?a

a?b?c?1。

解：b、c?R?，?a、??1?

a

a。

同理1?1?

b

b

?1?c

c

上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當(dāng)且僅當(dāng)?1?1?1??8??????

3abc?a??b??c?

時(shí)取等號(hào)。

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題 例：已知x?0,y?0且

1x?9y

?1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

9xky

?1

解：令x?y?k,x?0,y?0,1x

?

9y

?1，?

x?ykx

?

9x?9yky

?1.?

10k

?

ykx

?

?1?

10k

?2?

3k

。?k

?16，m????,16?

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a

?b?1,P?

lga?lgb,Q?

(lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關(guān)系

是.分析：∵a

Q?

?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?

a?b2)?lg

lga?lgb?p

lgab?Q

R?lg(ab?

∴R>Q>P。

練習(xí)．1.求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.（1）y?

x?3x?1

x,(x?0)（2）y?2x?

1x?3,x?3

(3)y?2sinx?2．已知0?

1sinx,x?(0,?)（4）y?sinx?

2sinx,x?(0,?)

x?

x?

1，求函數(shù)y?的最大值.；3．0?，求函數(shù)y?的最大值.3.若實(shí)數(shù)滿足a?b?2，則3a4.若log4x?log4

y?2，求

?3

b

1x

?

1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值.y 2

第三篇：高考常用不等式全面總結(jié)

高考常用不等式

（1）基本不等式：a,b?R?a2?b2?2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．（2）均值不等式：a,b?R??a?b2?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

bb?ma?na?1??

aa?mb?nb（3）分式不等式：ab ???0，m?0，n?0，則（4）證明不等式常用方法：

比較法、綜合法、分析法、反證法、換元法、判別式法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法（5）放縮法常用不等式：

tanx?x?exx33,sinx?x?tanx,x2x1?x?ln(1?x)?x,1

1n?1?x(x?0),1?x?1?,(1?x)n?1?（6）調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)

a?b222a?b2ab??ab?a，b?R? 當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成立。2a?b??

（7）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).ab??ca?b?bc?caa，b?R 當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)取等號(hào)。??222（8）理解絕對(duì)值不等式的幾何意義

①a?b?a?b?a?b

②∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；

③∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－a∣＋∣x－b∣≥c.（9）柯西不等式的幾種不同形式

①柯西不等式向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.②(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.③平面三角不等式.（10）貝努利不等式：（數(shù)學(xué)歸納法證明）

(1?x)?1?nxn＋ ≥，x??1,x?0,n為大于1的正整數(shù)

第四篇：高考不等式解題詳解

高考數(shù)學(xué)不等式解法

不等式這部分知識(shí),滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中,有著十分廣泛的應(yīng)用.因此不等式應(yīng)用問(wèn)題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性,對(duì)數(shù)學(xué)各部分知識(shí)融會(huì)貫通,起到了很好的促進(jìn)作用.在解決問(wèn)題時(shí),要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案,最終歸結(jié)為不等式的求解或證明.不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛,它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中.諸如集合問(wèn)題,方程(組)的解的討論,函數(shù)單調(diào)性的研究,函數(shù)定義域的確定,三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問(wèn)題,無(wú)一不與不等式有著密切的聯(lián)系,許多問(wèn)題,最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。

一、知識(shí)整合1.解不等式的核心問(wèn)題是不等式的同解變形,不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù),方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān),要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來(lái),互相轉(zhuǎn)化.在解不等式中,換元法和圖解法是常用的技巧之一.通過(guò)換元,可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的或基本不等式,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合,則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系,對(duì)含有參數(shù)的不等式,運(yùn)用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰.2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ),利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性,將分式不等式、絕對(duì)值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想,分類、換元、數(shù)形結(jié)

合是解不等式的常用方法.方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān),要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來(lái),相互轉(zhuǎn)化和相互變用.3.在不等式的求解中,換元法和圖解法是常用的技巧之一,通過(guò)換元,可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的或基本不等式,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系,對(duì)含有參數(shù)的不等式,運(yùn)用圖解法,可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰.4.證明不等式的方法靈活多樣,但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法.要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系,選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法,要熟悉各種證法中的推理思維,并掌握相應(yīng)的步驟,技巧和語(yǔ)言特點(diǎn).比較法的一般步驟是:作差(商)→變形→判斷符號(hào)(值).5.證明不等式的方法多樣,內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng).在證明不等式前,要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系,選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.通過(guò)等式或不等式的運(yùn)算,將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式,從而使原不等式得到證明;反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手,經(jīng)過(guò)一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式,前者是“執(zhí)果索因”,后者是“由因?qū)Ч?為溝通聯(lián)系的途徑,證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析綜合法,兩面夾擊,相輔相成,達(dá)到欲證的目的.6.不等式應(yīng)用問(wèn)題體現(xiàn)了一定的綜合性.這類問(wèn)題大致可以分為兩類:一類是建立不等式、解不等式;另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí),要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個(gè)條件缺一不可,有時(shí)需要適當(dāng)拼湊,使之符合這三個(gè)條件.利

用不等式解應(yīng)用題的基本步驟:1.審題,2.建立不等式模型,3.解數(shù)學(xué)問(wèn)題,4.作答。

7.通過(guò)不等式的基本知識(shí)、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識(shí)中的應(yīng)用,深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的融匯貫通,從而提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.在應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、方法、思想解決問(wèn)題的過(guò)程中,提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識(shí).二、方法技巧

1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸,一般都轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來(lái)求解,。

2.解含參數(shù)不等式時(shí),要特別注意數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想,分類討論思想的錄活運(yùn)用。

3.不等式證明方法有多種,既要注意到各種證法的適用范圍,又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上,選用一些特殊技巧。如運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)要注意調(diào)整放縮的度。

4.根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn),執(zhí)果索因,往往是有效的思維方法。

1.常用不等式：

（1）a,b?R

?a?b?2ab

a?b

2?

(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

（2）a,b?

R??

（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).（4）a?b?a?b?a?

2.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a與ax2?bx?c同號(hào)，則其解集在兩根之外；

如果a與ax2?bx?c異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；

x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).3.含有絕對(duì)值的不等式 當(dāng)a> 0時(shí)，有 x?a?x2

?a2

??a?x?a.x?a?x2?a2

?x?a

或x<-a.4.無(wú)理不等式： ?f(x)?0（1?

??

?g(x)?0

.??

f(x)?g(x)?f(x)?0

（2

g(x)??)?0或?f(x)?0?g(x?

.??f(x)?[g(x)]2

?g(x)?0?f(x)?0（3g(x)??

?g(x)?0

.??

f(x)?[g(x)]25.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

(1)當(dāng)a>1時(shí),af(x)?ag(x)?

f(x)?g(x);

?f(x)?0loga

f(x)?log?

ag(x)??g(x)?0

.??

f(x)?g(x)(2)當(dāng)0

?a

g(x)

?f(x)?g(x);

?f(x)?0loga

f(x)?log?

ag(x)??g(x)?0

??

f(x)?g(x)6.特殊數(shù)列的極限

?0|q|?1（1）limqn

??q?1

n??

?1.?

?不存在|q|?1或q??1

?0(k?t)（2）k?limak?1

kn?ak?1n???a0n??btt?1

???at

(k?t).tn?bt?1n???b0?bk

??

不存在(k?t)（3）S

?lim

a1?1?qn

?

a1無(wú)窮等比數(shù)列n??

1?q

?

1?q

（S?a1qn?1?的(|q|<1)

和）.7.a?bi?c?di?

a?c,b?d

.（a,b,c,d∈R）

8.復(fù)數(shù)z=a+bi的模（或絕對(duì)值）

9.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4)(a?bi)?(c?di)?10.集合關(guān)系：

ac?bdc?d

.?

bc?adc?d

i(c?di?0)

.A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R

11.平面兩點(diǎn)間的距離公式

d

A,B

????=|AB|?

?

(A(x1,y1)，B(x2,y2)).12.向量的平行與垂直 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b≠0，則 a∥b?b=λa ?

x1y2?x2y1?0.x1x2?y1y2?0.a⊥b(a≠0)?a·b=0?點(diǎn),λ

????????

是實(shí)數(shù)，且P1P??PP2

13.線段的定比分公式設(shè)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段P1P2的分，則）.x1??x2?????????x??????????????????OP1??OP21?1??

?OP??OP?tOP1?(1?t)OP2（t??

1??1???y?y1??y2

?1???

14.三角形的重心坐標(biāo)公式 △ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC的重心的坐標(biāo)是G（x1?x2?x3,y1?y2?y3).''???????????????x?x?h?x?x?h''

?OP?OP?PP15.點(diǎn)的平移公式 ?'??

'

?y?y?k???y?y?k

????'

P(x,y)，且PP

'

'

'

(圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形F′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為的坐標(biāo)為（h，k）).（注：只需記住前一個(gè)關(guān)系）

第五篇：高考沖刺不等式的證明

高考沖刺不等式的證明

【本周授課內(nèi)容】：不等式的證明

【重點(diǎn)】：正確使用不等式的基本性質(zhì)與定理，理解并掌握證明不等式的常用方法。

【難點(diǎn)】：據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征選擇證明方法以及把握不等式證明過(guò)程的基本過(guò)程及格式的規(guī)范。

主要內(nèi)容及重點(diǎn)例題參考：

1．不等式證明的理論依據(jù)：不等式的概念和性質(zhì)，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，以及一些基本的不等式：

（1）若a∈R，則|a|≥0，a2≥0。

（2）若a,b∈R，則a2+b2≥2ab。

（3）若a,b∈R+，則

（4）若a,b同號(hào)，則

（5）若a,b,c∈R+，則

2．證明不等式的基本方法：比較法(作差、作商)，綜合法，分析法，數(shù)學(xué)歸納法及反證法；另外還有如換元法、放縮法等。

3．例題分析:

例1．a(chǎn),b,c∈R+，求證：a3+b3+c3≥3abc。

分析與解答：

證法一：（比較法）

∵ a3+b3+c3-3abc

=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

=(a+b+c)[

證法二（綜合法）：

∵ a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立）

b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)“=”成立）

c3+a3=(a+c)(c2+a2-ca)≥(c+a)ca（當(dāng)且僅當(dāng)c=a時(shí)“=”成立）

∴ 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2

=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)

≥2abc+2abc+2abc=6abc。（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)“=”成立）

∴ a3+b3+c3≥3abc。

例2．已知a,b,c為不等正數(shù)，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。

≥+?！??！?。（6）若a,b∈R，則||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0?！?a3+b3+c3≥3abc。

分析：由于所證不等式兩端都是冪和積的形式，且a,b,c為正數(shù)，可選用商值比較法。

證明：a,b,c為不等正數(shù)，不失一般性，設(shè)a>b>c>0，這時(shí)a2ab2bc2c>0，ab+cbc+aca+b>0。

=a(a-b)+(a-c)b(b-c)+(b-a)c(c-b)+(c-a)=()a-b()b-c()c-a

∵ a>b>c>0，∴ >1，a-b>0；>1，b-c>0；0<)b-c>1，(<1，c-a<0。)c-a>1。由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：()a-b>1，（∴ >1，即：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。

評(píng)述：例1的證法一與例2都是應(yīng)用比較法證明不等式，求差比較法的基本步驟是“作差——變形——判定差式的正負(fù)”；求商比較法的基本步驟是“作商——變形——判定商式大于1或小于1”，應(yīng)注意，求商比較法一般用于各字母均為正數(shù)的不等式的證明。

例3．已知a,b,c∈R，求證：

分析：不等式的左端是根式，而右端是整式，應(yīng)設(shè)法通過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s變換將左式各根式的被開(kāi)方式轉(zhuǎn)化為完全平方式。

證明：∵ a2+b2≥2ab，∴ 2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2，++≥(a+b+c)。

即a2+b2≥，兩邊開(kāi)方，得：≥|a+b|≥(a+b)

同理可得≥(b+c)，≥(c+a)

三式相加，得：

++≥(a+b+c)

例4．已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求證：（1）

分析：利用基本不等式，采用綜合法解決問(wèn)題。

（1）證法一：++=+，∴ abc≤+，∴ ++≥9，（2）a2+b2+c2≥。=3+≥27，+++++≥3+2+2+2=9。證法二：∵ 1=a+b+c≥3

∴

++≥3≥3=9。

（2）∵ 1=a+b+c，∴ 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)=3(a2+b2+c2)。

∴ a2+b2+c2≥。

評(píng)述：利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異與聯(lián)系，不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，如例4是個(gè)條件不等式的證明問(wèn)題。給出的特定條件是a+b+c=1，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換就是證明不等式的關(guān)鍵。

例5．已知|a|<1，|b|<1，求證：|

分析：利用分析法證明。

證明：要證||<1成立，只要證|a+b|<|1+ab|，|<1。

只要證(a+b)2<(1+ab)2，即a2+b2+2ab<1+2ab+a2b2，只要證a2+b2-1-a2b2<0，只要證(a2-1)(1-b2)<0，只要證(a2-1)(b2-1)>0?！?|a|<1，|b|<1，∴ a2<1，b2<1，∴(a2-1)，(b2-1)同號(hào)，∴(a2-1)(b2-1)>0成立，∴ |

例6．已知a，b是不等正數(shù)，且a3-b3=a2-b2，求證：1

分析：已知條件中等式兩端和求證結(jié)論中不等式兩端有次數(shù)上的差異，因此在證明中應(yīng)采用從已知條件出發(fā)，施行降次變換，或從求證結(jié)論出發(fā)，施行升次變換的方法。

證明：a，b是不等正數(shù)，且a3-b3=a2-b2，a2+ab+b2=a+b

3(a+b)<4(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b3(a+b)2<4(a+b)a+b>1。|<1。a+b<

3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2)a2-2ab+b2>0(a-b)2>0。

成立。即(a-b)2>0一定成立，故a+b<

評(píng)述：分析法是從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立。分析法的思路是：執(zhí)果索因：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。在例6中證明a+b>1采用的是綜合法。證明a+b<

常常是相互配合交替進(jìn)行的。

例7．已知a,b,c∈(0,1)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一個(gè)不大于

證明：假設(shè)(1-a)b>，(1-b)c>，(1-c)a>。采用的是分析法，事實(shí)上，推理論證中，由因?qū)Ч蛨?zhí)果索因兩種方法

∵ a,b,c∈(0,1)，∴ 1-a，1-b，1-c∈(0,1)，∴ >，+>，+>，>。

三式相加，得：

由平均值定理可知：++≤++=

與上式相矛盾，故假設(shè)不成立。

∴(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一個(gè)不小于。

評(píng)述：反證法：基本思路是“假設(shè)——矛盾——肯定”，采用反證法證明不等式時(shí)，從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過(guò)程中，每一步推理都必須是正確的。由于本題（例7）題目的結(jié)論是：三個(gè)數(shù)中“至少有一個(gè)不大于

復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)多個(gè)由異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁雜，而對(duì)結(jié)論的否定是三個(gè)數(shù)“都大于

明了，為推出矛盾提供了方便，故采用反證法是適宜的。

4．課后練習(xí)：

（1）已知x∈R，求證：1+2x4≥x2+2x3

（2）已知a,b∈R，a≠b，求證：a2+ab+b2>0?！保闆r比較”，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單

（3）求證log56·log54<1。提示：先化成常用對(duì)數(shù)，然后用均值不等式，有

（4）設(shè)x≠0，求證：x+≥2或x+≤-2。