第一篇：應(yīng)用切比雪夫

應(yīng)用切比雪夫不等式解題

切比雪夫不等式是解決不等式問(wèn)題的強(qiáng)力武器之一.本文對(duì)該不等式及其應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹.一、切比雪夫不等式及其推論

1?ai?bi n②若a1?a2?????an,b1?b2?????bn.則有?aibi??ai?bi（切比雪夫不等式）n①若a1?a2?????an,b1?b2?????bn.則有?aibi?

常見(jiàn)的方法是運(yùn)用排序不等式，但最簡(jiǎn)單的證法是通過(guò)恒等變形.證明1：①式左邊為順序和，記為S，則

S?a1b1?a2b2?????anbn,S?a1b2?a2b3?????anb1,S?a1b3?a2b4?????anb2,??????,S?a1bn?a2b1?????anbn?1.將上面n個(gè)式子相加，并按列求和即得結(jié)論.②證明同上（左邊反序和不等號(hào)反向即可）.證明2：

推論1設(shè)xi?R?(i?1,2,???,n)，實(shí)數(shù)p,q均不為零.則

⑴當(dāng)p,q同號(hào)時(shí)，?x

i?

1nnp?qi1npnq??xi??xi ni?1i?11npnq??xi??xi.ni?1i?1⑵當(dāng)p,q異號(hào)時(shí)，?xi?1p?qi

該推論直接應(yīng)用切比雪夫不等式即證.推論2設(shè)xi?R?(i?1,2,???,n)，ns則x?1,r?s?0.x?x?i?i.?iri?1i?1i?1nnn1nnn1nr?sns1r?snss證明：事實(shí)上，?xi??xi?xi??n(?xi)??xi??xi ni?1ni?1i?1i?1i?1i?1r

推論3設(shè)a1,a2,???,an,b1,b2,???,bn?R且a1?a2?????an,b1?b2?????bn 或a1?a2?????an,b1?b2?????bn，mi?R?(i?1,2,???,n)

則?m??mab??ma??mb iiiiiiii

i?1i?1i?1i?1nnnn

1nn

證明：事實(shí)上，?mi??miaibi??miai??mibi???mimj(ai?aj)(bi?bj)?0.2i?1j?1i?1i?1i?1i?1

推論3是切比雪夫不等式的加權(quán)形式.顯然，當(dāng)m1?m2?????mn時(shí)，就是切比雪夫不等式.nnnn

注意：切比雪夫與推論3等號(hào)成立的條件均為a1?a2?????an,b1?b2?????bn中至少一組成立.二、切比雪夫不等式的應(yīng)用

1、構(gòu)造兩組數(shù)證明不等式.此類(lèi)問(wèn)題最關(guān)鍵、也是最難的步驟就是構(gòu)造，選擇兩組數(shù)時(shí)往往需要很強(qiáng)的技巧.例

1、已知0?a?b?c?d?e,例

2、設(shè)xi?R?(i?1,2,???,n)，n

n

?(n?1)i?

1ad?cd?cb?be?ea?.求證：.a?1?

5?x

i?1

n

i

?1

求證：

i?1

例

3、設(shè)xi?R?(i?1,2,???,n)，k?1.n

1n1nxik?

1求證：?（2006，女子數(shù)學(xué)奧林匹克）xi??k???1?xx1?xi?1i?1ii?1ii?1i

n2、去分母.能用切比雪夫不等式去分母的分式不等式，往往當(dāng)變量排序后，分式的值也可以排序.一般的，當(dāng)分母的值與分式的值都能排序時(shí)，可考慮用這種方法.ak

3?（第四屆中國(guó)東南）例

4、設(shè)a,b,c?0,abc?1.求證：對(duì)整數(shù)k(k?2),?

b?c

2例

5、設(shè)a,b,c?0,a?b?c?1.求證：

?

1bc?a?

1a

?

（2008，塞爾維亞）

31例

6、a,b,c?0，?a?b?1?1.求證：a?b?c?ab?bc?ca（2007，羅馬尼亞）

123、極值問(wèn)題中的化簡(jiǎn)作用.在多元極值問(wèn)題中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用切比雪夫不等式可以將代數(shù)式簡(jiǎn)化，有助于問(wèn)題的解決.例

7、給定實(shí)數(shù)c?(,1).求最小的常數(shù)M，使得対任意的整數(shù)n?2及實(shí)數(shù)

nnm

1n

只要滿(mǎn)足?kak?c?ak，總有?ak?M?ak，其中，0?a1?a2?????an，m??cn?

nk?1k?1k?1k?

1為不超過(guò)實(shí)數(shù)cn的最大整數(shù).（2002，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）.例

8、給定正整數(shù)r,s,t，滿(mǎn)足1?r?s?t，對(duì)滿(mǎn)足條件

xjxj?

1?1?

s?t

(j?1,2,???,n)的所j?t

?j(j?1)???(j?s?1)x

有正實(shí)數(shù)x1,x2,???,xn，求M?

n

j

?(j?r)???(j?s?1)x

j?1

j?1n的最小值.j

練習(xí)題

x331、設(shè)x,y,z?R?,xyz?1.求證：??（第39屆IMO預(yù)選題）

(1?y)(1?z)

4（提示：利用切比雪夫去分母，在用均值不等式及切比雪夫不等式推論）

2、設(shè)設(shè)為u，v，w正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足條件u?vwu??1，試求u+v+w的最小值．（2004 第三屆女子 五）

（提示：由切比雪夫不等式得

3、設(shè)a,b,c?0,??

u?.?

3a???a,a?b?c求證：ab2c3?

11222cba23222c（提示：abc?abc??abc(??)由切比雪夫得 a3abc

1222cba12221111

2abc(??)?abc(c?a?b)(??)?(ab?bc?ca)）3abc9abc94、設(shè)k是給定的非負(fù)整數(shù).求證：對(duì)所有滿(mǎn)足x?y?z?1的正實(shí)數(shù)x,y,z，不等式

xk?

21??xk?1?yk?zk7成立，并給出等號(hào)成立的條件.（2007塞爾維亞數(shù)學(xué)奧林匹克）

（提示：當(dāng)k?0時(shí)易證.當(dāng)k?1時(shí)，不妨設(shè)x?y?z，則不難得到

xk?2yk?2zk?2?k?1k?k?1k

k?1kkkx?y?zy?z?xz?x?yk，xk?1?yk?zk?yk?1?zk?xk?zk?1?xk?yk由切比雪夫及其推論可證）

5、設(shè)x1,x2,???,xn是n(n?2,n?N?)個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且求x1?4x2?????nxn的最大值.（提示：設(shè)Si?

?x

i?1

n

i

?n,?ixi?2n?2

i?1

n

?x

j?i

n

j

.則x1?4x2?????nxn?S1?3S2?????(2n?1)Sn由切比雪夫得

(n2?1)(S2?????Sn).所以，最大值為n2?2 n?1

n?2n?2,x2?x3?????xn?1?0,xn?當(dāng)x1?n?時(shí)，取得等號(hào)）n?1n?13S2?????(2n?1)Sn?

（補(bǔ)）在銳角三角形中，證明：

?sinA??sin2A

第二篇：切比雪夫不等式及其應(yīng)用(摘要)

天津理工大學(xué)2011屆本科畢業(yè)論文

切比雪夫不等式及其應(yīng)用

摘要

切比雪夫不等式是概率論中重要的不等式之一。尤其在分布未知時(shí)，估計(jì)某些事件的概率的上下界時(shí)，常用到切比雪夫不等式。另外，大數(shù)定律是概率論極限理論的基礎(chǔ)，而切比雪夫不等式又是證明大數(shù)定律的重要途徑。如今，在切比雪夫不等式的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一系列不等式都是研究中心極限定理的有力工具。作為一個(gè)理論工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。

本文首先介紹了切比雪夫不等式的一些基本理論，引出其概率形式，用現(xiàn)代概率方法證明了切比雪夫不等式并給出了其等號(hào)成立的充要條件。其次，從三大方面闡述了其在概率論中的應(yīng)用，并且給出了切比雪夫大數(shù)定律和伯努利大數(shù)定律的證明。在充分了解切比雪夫不等式后，最后探索了其在生活中的應(yīng)用，并且用切比雪夫不等式評(píng)價(jià)了IRR的概率風(fēng)險(xiǎn)分析。

關(guān)鍵詞:切比雪夫不等式大數(shù)定律IRR

The Chebyster’s Inequality and Its Applications

ABSTRACT

In probability theory, the Chebyshev’s Inequality is one of the important inequalities.In particular the distribution is unknown, the Chebyshev’s Inequality is usually used when estimating the boundary from above or below of probability.In addition, the Law Of Large Numbers is the basis of the limit theory of probability.The Chebyshev’s Inequality is an important way to prove it.Now, a series of inequalities that are developed on the basis of the Chebyshev’s Inequality are a powerful tool for the Central Limit Theorem.As a theoretical tool, its status is very high.First, this article introduces some basic theory of the Chebyshev’s Inequality, it raises the Chebyshev’s Inequality’s form of probability and makes a prove for the Chebyshev’s Inequality with the method of modern probability.Furthermore, it gives the necessary and sufficient condition of the establishment of the equal sign.天津理工大學(xué)2011屆本科畢業(yè)論文

Secondly, we introduces its five application in probability theory and gives theprove of the Chebyshev and Bernoulli Law Of Large Numbers.After the full understanding of the Chebyshev’s Inequality, finally, we explore its application in the life and give the probabilistic risk assessment of the IRR with the Chebyshev’s Inequality.Key Words：Chebyshev’s InequalityLaw Of Large NumbersIRR

第三篇：切比雪夫不等式教學(xué)

★★★1．設(shè)

求的最小值

★★★2．若a、b、c是三角形三邊長(zhǎng)，s是半周長(zhǎng)。求證：Vn∈N，下式成立

解答或提示

．不妨令

由切比雪夫不等式

當(dāng)且僅當(dāng)

．設(shè)a≥b≥

c,則a+b≥a+c≥b+c,（）

第四篇：切比雪夫不等式證明

切比雪夫不等式證明

一、試?yán)们斜妊┓虿坏仁阶C明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次，其出現(xiàn)正面的次數(shù)在400到600之間。

分析:將一枚均勻硬幣連續(xù)拋1000次可看成是1000重貝努利試驗(yàn),因此

1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面H的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.解:設(shè)X表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面H的次數(shù),則X是一個(gè)隨機(jī)變量,且

~XB(1000,1/2).因此

500

211000=×==npEX,250)

2答題完畢，祝你開(kāi)心!

11（2

1000)1(=××==pnpDX,而所求的概率為

}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=EXXp

}100{<=EXXp

975.0

=≥

DX

.二、切比雪夫(Chebyshev)不等式

對(duì)于任一隨機(jī)變量X,若EX與DX均存在,則對(duì)任意ε>0,恒有p{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2或p{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式說(shuō)明，DX越小，則p{|X-EX|>=ε}

越小，p{|X-EX|<ε}越大，也就是說(shuō)，隨機(jī)變量X取值基本上集中在EX附近，這進(jìn)一步說(shuō)明了方差的意義。

同時(shí)當(dāng)EX和DX已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了概率p{|X-EX|>=ε}的一個(gè)上界，該上界并不涉及隨機(jī)變量X的具體概率分布，而只與其方差DX和ε有關(guān)，因此，切比雪夫不等式在理論和實(shí)際中都有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應(yīng)用廣泛，但在一個(gè)具體問(wèn)題中，由它給出的概率上界通常比較保守。

切比雪夫不等式是指在任何數(shù)據(jù)集中，與平均數(shù)超過(guò)K倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)占的比例至多是1/K^2。

在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機(jī)變數(shù)的「幾乎所有」值都會(huì)「接近」平均。這個(gè)不等式以數(shù)量化這方式來(lái)描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

與平均相差2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/4

與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/9

與平均相差4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/16

……

與平均相差k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的值，數(shù)目不多于1/K^2

舉例說(shuō)，若一班有36個(gè)學(xué)生，而在一次考試中，平均分是80分，標(biāo)準(zhǔn)差是10分，我們便可得出結(jié)論：少于50分(與平均相差3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以上)的人，數(shù)目不多于4個(gè)(=36*1/9)。

設(shè)(X,Σ,μ)為一測(cè)度空間，f為定義在X上的廣義實(shí)值可測(cè)函數(shù)。對(duì)於任意實(shí)數(shù)t>0，一般而言，若g是非負(fù)廣義實(shí)值可測(cè)函數(shù)，在f的定義域非降，則有

上面的陳述，可透過(guò)以|f|取代f，再取如下定義而得：

概率論說(shuō)法

設(shè)X為隨機(jī)變數(shù)，期望值為μ，方差為σ2。對(duì)于任何實(shí)數(shù)k>0，改進(jìn)

一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無(wú)法改進(jìn)。考慮下面例子：

這個(gè)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ=1/k，μ=0。

當(dāng)只求其中一邊的值的時(shí)候，有Cantelli不等式：

證明

定義，設(shè)為集的指標(biāo)函數(shù)，有

又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說(shuō)明對(duì)任意隨機(jī)變數(shù)Y和正數(shù)a有pr(|Y|leopeatorname{E}(|Y|)/a。取Y=(X?μ)2及a=(kσ)2。

亦可從概率論的原理和定義開(kāi)始證明。

第五篇：切比雪夫不等式解析,度量誤差及推論

切比雪夫不等式解析，度量誤差及推論

摘要：切比雪夫不等式表征了素?cái)?shù)定理的計(jì)算誤差極限，在孿生素?cái)?shù)個(gè)數(shù)及偶數(shù)表為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和的表法個(gè)數(shù)的漸近函數(shù)誤差估計(jì)中，可類(lèi)比得到對(duì)應(yīng)的表達(dá)式。

（1）切比雪夫不等式解析 由a?lim6?a，x??xlnx5x??，則必有 lnx?(x)設(shè)：?(x)??(x)?x?(x)??(x)?，??，?1??1??a，lnxxlnxxlnxxlnxxlnx已知a?0?92129，由切比雪夫不等式推知：

lnx對(duì)x的一維度量誤差率的下極限是同理 設(shè)：?(x)??xlnx?a?1??0?07871。

x???，則必有 lnx?(x)??(x)??6x?(x)???1??a，???，?1?xlnx5lnxxlnxxlnxxlnx已知a?0?92129，由切比雪夫不等式推知：

lnx對(duì)x的一維度量誤差率的上極限是

??xlnx?0?105548。

另：因?yàn)閘nx對(duì)x的一維度量誤差極限是

60?92129???(0?92129)，5

則二維度量誤差極限是

0?848775264??2?1?22223638

（2）一個(gè)推論

由偶數(shù)Ne?6表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和的表法個(gè)數(shù)r2(Ne)，1?3202Ne及其漸近函數(shù)r2?(Ne)?ln2Nes(Ne)i?2?(pi?1)，可與切比雪夫不等式類(lèi)比。首先 pi?2?(Ne)??，設(shè)：r2(Ne)?r2r2(Ne)r(N)???1?，2e?1?。

r2?(Ne)r2?(Ne)r2?(Ne)r2?(Ne)s(Ne)i?2因誤差?是由ln(Ne)對(duì)1?3202Nes(Ne)2?(pi?1)二維度量產(chǎn)生的，所以可表 pi?2p?11?3202?(i)NNi?2pi?2r2?(Ne)?()(e)。顯然，由切比雪夫不等式可知，e是lnNe對(duì)lnNelnNelnNe1?3202?(i?2s(Ne)偶數(shù)Ne的一維度量，產(chǎn)生的誤差率的下極限是?0?07871。s(Ne)i?2pi?1)pi?2lnNe也是一維度量，而1?3202?(pi?1)?Ne，產(chǎn)生的誤差率絕對(duì)值必然?0?07871。pi?2由此推知，二維度量產(chǎn)生的總誤差率的下極限

2。?(1?0?07871)2?0?92129?a2?0?84877526同理可得，二維度量產(chǎn)生的總誤差率的上極限為

636?(1?0?105548)2?()2(0?92129)2?()a2?1?22223638。

525（3）結(jié)論：

0?84877526?lim

參參考文獻(xiàn)：

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潘承彪著

1997,6月 北京大學(xué)出版社 2組合數(shù)學(xué)：屈婉玲

著

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北京大學(xué)出版社 3王元論哥德巴赫猜想：李文林

1999,9月

山東教育出版社 4數(shù)學(xué)與猜想一，二卷：G·波利亞

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科學(xué)出版社

5數(shù)論導(dǎo)引：G·H·Hardy，E·M·Wright 2008,10

人民郵電出版社 6華羅庚文集：（數(shù)論卷二）2010,5月

科學(xué)出版社

7代數(shù)數(shù)論：馮克勤

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2000,7月

科學(xué)出版社

r2(Ne)?1?22223638

Ne??r?(N)2e