第一篇：高中數(shù)學(xué)公式完全總結(jié)歸納(均值不等式) 2

均值不等式歸納總結(jié)

a2?b

21.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?2

a?b**2.(1)若a,b?R，則?ab(2)若a,b?R，則a?b?2ab 222（當(dāng)且僅當(dāng)a（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）?b時(shí)取“=”）

a?b?(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”(3)若a,b?R，則ab??）???2?*2

3.若x1?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取“=”）x

1若x?0，則x???2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時(shí)取“=”）x?0，則x?

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）xxx

4.若ab?0，則a?b?2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）ba

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”bababa

a?b2a2?b2

5.若a,b?R，則(（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）)?22

『ps.(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正

所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用』

例1：求下列函數(shù)的值域

（1）y＝3x＋

212x 21（2）y＝x＋x

解：(1)y＝3x＋ 21

2≥22x3x· 216∴值域?yàn)閇6，+∞）2＝2x

1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋ ≥2x1x·＝2； x

1x·=－2 x11當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋－（－ x－）≤－2xx

∴值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[2，+∞）

解題技巧

技巧一：湊項(xiàng)

例已知x?

54，求函數(shù)y?4x?2?1的最大值。4x?5

解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x?2)1不是常數(shù)，所以對(duì)4x?2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，4x?

5511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1 44x?55?4x??

當(dāng)且僅當(dāng)

5?4x?，即x?1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax?1。

5?

4x

評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。

技巧二：湊系數(shù) 例1.當(dāng)解析：由

時(shí)，求知，y?x(8?2x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但

其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，y?

x(8?

2x)的最大值為8。

評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)0

?x?，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

232x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??? 222??

當(dāng)且僅當(dāng)2x

技巧三： 分離

?3?2x,即x?

3?3?

??0,?時(shí)等號(hào)成立。4?2?

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?

1解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng),即

時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。技巧四：換元

解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt

當(dāng),即t=時(shí),y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。

評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值。即化為

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。y?mg(x)?

例：求函數(shù)

y?

2的值域。

2?t(t?2)，則y??1

?t?(t?2)

t

?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。

tt15

因?yàn)閥?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?。

t2

因t

所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

?5?

。,?????2?

練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.11x2?3x?1,x?(0,?),x?3(3)y?2sinx?,(x?0)（2）y?2x?（1）y?

sinxx?3x

2．已知0?條件求最值 1.若實(shí)數(shù)滿足a

x?

1，求函數(shù)y?.；3．0?x?，求函數(shù)y

3.?b?2，則3a?3b的最小值是.a

分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過(guò)程，而且3解： 3當(dāng)3

a

a

?3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，和3b都是正數(shù)，3a?3b≥23a?3b?23a?b?6

?3b時(shí)等號(hào)成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即當(dāng)a?b?1時(shí)，3a?3b的最小值是6．

11變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換

多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知x?0,y

?0，且??1，求x?y的最小值。

xy

錯(cuò)解：?．．

1919?x?0,y?0，且??1，?x?y???x?y??12故 ?x?y?min?12。?

???xy?xy?

x錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在x?

在1?9?y?x?y，xy

?

9y

即

y?9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步

驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：?x?0,y

?19?y9x19

?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當(dāng)且僅當(dāng)

19y9x

?1，可得x?4,y?12時(shí)，?x?y?min?16。?時(shí)，上式等號(hào)成立，又?xyxy

變式：（1）若

x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

y?R?且a?b

x

y 2

y

?1，求x

?y的最小值

已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x＋

＝1，求1＋y的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

1＋y2·＝2 x·

同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)1＋y中y前面的系數(shù)為，x1＋y＝x

21y ＋22

下面將x，1y

＋分別看成兩個(gè)因式： 22

x＋（x·

1y

＋≤22

1yy12 2

＋)x＋ ＋ 22223＝ ＝即x1＋y＝2 ·x

2

1y3

＋≤ 2224

技巧八：

已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y1

ab的最小值.分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行。

30－2b30－2b－2 b ＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t ＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2

ttt

t·＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥

當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。18

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥22 ab令u＝ab則u＋22 u－30≤0，－52 ≤u≤32

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥18點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式

a?b

?ab（a,b?R?）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；②如何由已知不等式

2的范圍，關(guān)鍵是尋找到

ab?a?2b?30出發(fā)求得ab（a,b?R?）

a?b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式

a?b

?ab（a,b?R?），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.2

變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值。

技巧

九、取平方

5、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本題很簡(jiǎn)單

3x ＋2y≤2（3x）＋（2y）＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x)·(2y)＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W≤20 ＝25變式:

求函數(shù)y?

?x?)的最大值。

解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。

y2?2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

又

y?

0，所以0?y??32

時(shí)取等號(hào)。

故

當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x

ymax?

評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知

a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

11?ab?c，?1???aaa1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c?R，且a?b?c

?

分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又可由此變形入手。

解：?a、b、c?R，a?b?c

?

?1。

?

11?ab?c?1???

aaa。同理

1?1?

b1。上?1?

c述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。?8??1???1???1??3?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題 例：已知x?0,y

?0且??1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

xy

19x?y9x?9y10y9x??1，???1.????1 xykxkykkxky

解：令x?y?k,x?0,y?0,?1?

3?2?。?k?16，m????,16? kk

1a?b

(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是.2

2應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a

?b?1,P?lga?lgb,Q?

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

Q?

（lga?lgb)?lga?lgb?p 2

R?lg（a?b

1)?lgab?lg

ab?Q∴R>Q>P。22

概念：

1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數(shù)：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

5、均值定理： 如果 a，b屬于 正實(shí)數(shù) 那么(a+b)/2≥√ab

且僅當(dāng) a=b 時(shí) 等號(hào)成立。這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、…、an∈R +，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2= … =an時(shí)取“=”號(hào)

第二篇：高中數(shù)學(xué)公式完全總結(jié)歸納(均值不等式)

解題技巧

技巧一：湊項(xiàng)

評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。

技巧二：湊系數(shù)

評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。

變式：

技巧三： 分離

第三篇：均值不等式教案2

課題：§3.2.2均值不等式 課時(shí):第2課時(shí) 授課時(shí)間: 授課類型：新授課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．知識(shí)與技能：利用均值定理求極值與證明。

2．過(guò)程與方法：培養(yǎng)學(xué)生的探究能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3．情態(tài)與價(jià)值：激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)善于思考、勤于動(dòng)手的學(xué)習(xí)品質(zhì)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】利用均值定理求極值與證明?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】利用均值定理求極值與證明。

【教學(xué)過(guò)程】

1、復(fù)習(xí)：

定理：如果a,b是正數(shù)，那么

a?b?ab(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”號(hào)).22、利用均值定理求最值應(yīng)注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關(guān)鍵

3、例子：

1)已知x≠0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2+2）已知x>1,求y=x+

81的值最小，最小值是多少？ 2x1的最小值 x?13）已知x∈R，求y=x2?2x?12的最小值

4）已知x>1,求y=x+116x+2的最小值 xx?15）已知0

8）要建一個(gè)底面積為12m2，深為3m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果底面造價(jià)每平方米600元，側(cè)面造價(jià)每平方米400元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？

9）一段長(zhǎng)為L(zhǎng)m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 小結(jié)：利用均值定理求極值

課堂練習(xí)：第73頁(yè)習(xí)題3-2B:1,2 課后作業(yè)：第72頁(yè)習(xí)題3-2A:3,4,5 2

板書(shū)設(shè)計(jì)：

教學(xué)反思：

第四篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語(yǔ)：一切的方法都要落實(shí)到動(dòng)手實(shí)踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點(diǎn)

要求：1.了解均值不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題.重難點(diǎn)：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對(duì)均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會(huì)太大.二．考點(diǎn)梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號(hào).（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡(jiǎn)記：和定積最大。

2）.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡(jiǎn)記：積定和最小。

3、幾個(gè)重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號(hào)）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測(cè)

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個(gè)數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長(zhǎng)為24cm的鐵絲做成長(zhǎng)方形模型，則模型的最大面積為_(kāi)__________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁(yè)（共4頁(yè)）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當(dāng)z取得最大值時(shí),xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向

二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實(shí)際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬(wàn)元購(gòu)買一輛大貨車,第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬(wàn)元,假定該年每年的運(yùn)輸收入均為25萬(wàn)元.小王在該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價(jià)格為25?x萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大?)(利潤(rùn)=累計(jì)收入+銷售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小？

五、當(dāng)堂檢測(cè)

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為_(kāi)__________。ab

4.若點(diǎn)A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為_(kāi)_________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對(duì)任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬(wàn)只,每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬(wàn)元,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元,預(yù)計(jì)銷售量從今年開(kāi)始每年比上一年增加10萬(wàn)只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變,第n次投入后的年利潤(rùn)為f(n)萬(wàn)元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達(dá)式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?

第五篇：均值不等式說(shuō)課稿

《均值不等式》說(shuō)課稿

山東陵縣一中 燕繼龍李國(guó)星

尊敬的各位評(píng)委、老師們：

大家好！我今天說(shuō)課的題目是 《均值不等式》，下面我從教材分析，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，教學(xué)方法，學(xué)生學(xué)法，教學(xué)過(guò)程，板書(shū)設(shè)計(jì)，效果分析八個(gè)方面說(shuō)說(shuō)我對(duì)這堂課的設(shè)計(jì)。

一、教材分析：

均值不等式又稱基本不等式，選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內(nèi)容。是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位。對(duì)于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實(shí)際問(wèn)題都起到工具性作用。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生對(duì)后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進(jìn)一步研究，起到承前啟后的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：

（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；

（2）能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

2、過(guò)程與方法：

（1）探索并了解均值不等式的證明過(guò)程、體會(huì)均值不等式的證明方法；

（2）培養(yǎng)探究能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：

（1）通過(guò)探索均值不等式的證明過(guò)程，培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神；

（2）通過(guò)對(duì)均值不等式成立條件的分析，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；

(3)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來(lái)，通過(guò)數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界。

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：通過(guò)對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認(rèn)為結(jié)果固然重要，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程更重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力，所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)之一；再者，均值不等式有比較廣泛的應(yīng)用，需重點(diǎn)掌握，而用好均值不等式，關(guān)鍵是對(duì)不等式成立條件的準(zhǔn)確理解，因此，均值不等式及其成立的條件也是教學(xué)重點(diǎn)。

難點(diǎn)：很多同學(xué)對(duì)均值不等式成立的條件的認(rèn)識(shí)不深刻，在應(yīng)用時(shí)候常常出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點(diǎn)。

四、教學(xué)方法：

為了達(dá)到目標(biāo)、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn)，我本著以教師為主導(dǎo)的原則，再結(jié)合本節(jié)的實(shí)際特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)方法。

突出重點(diǎn)的方法：我將通過(guò)引導(dǎo)啟發(fā)、學(xué)生展示來(lái)突出均值不等式的推導(dǎo)；通過(guò)多媒體展示、來(lái)突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點(diǎn)的方法：我將采用重復(fù)法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和

來(lái)突破均值不等式成立的條件這個(gè)難點(diǎn)。

此外還將繼續(xù)采用個(gè)人和小組積分法，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與的熱情。

五、學(xué)生學(xué)法：

在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，注重知識(shí)與能力，過(guò)程與方法，情感態(tài)度和價(jià)值觀三個(gè)方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，具體如下：

1、課前預(yù)習(xí)----學(xué)會(huì)；、明確重點(diǎn)、解決疑點(diǎn)；

2、分組討論

3、積極參與----敢于展示、大膽質(zhì)疑、爭(zhēng)相回答；

4、自主探究----學(xué)生實(shí)踐，鞏固提高；

六、教學(xué)過(guò)程：

采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，運(yùn)用學(xué)案導(dǎo)學(xué)開(kāi)展本節(jié)課的教學(xué)，首先進(jìn)行

:課前預(yù)習(xí)

（一）成果反饋

1.對(duì)課前小組合作完成的現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題：

“今有一臺(tái)天平，兩臂不等長(zhǎng)，要用它稱物體質(zhì)量，將物體放在左、右托盤各稱一次，稱得的質(zhì)量分別為a,b，問(wèn)：能否用a,b的平均值表示物體的真實(shí)質(zhì)量？若不能，這二者是什么關(guān)系？”

進(jìn)行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式抽出兩名同學(xué)上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________

a?b

2?。

預(yù)備定理：a2?b2?2ab(a,b?R)，仿照預(yù)備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0，求證：?

ab

ab?2，并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件。

與此同時(shí)，其他同學(xué)分組合作探究和均值定理有關(guān)的以下問(wèn)題，教師巡視并參與討論，適時(shí)點(diǎn)撥。

① 適用范圍a,b?________，x?0,x?

1x??2

對(duì)嗎？

② 等號(hào)成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)__________時(shí)，________=_________ ③ 語(yǔ)言表述：兩個(gè)___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點(diǎn)：兩個(gè)正數(shù)的______中項(xiàng)不小于它們的_____中項(xiàng)

。⑥ 幾何解釋（見(jiàn)右圖）：________________

⑦常見(jiàn)變形a?b?_______

?________,即ab?

___________。例：

4、（1）一個(gè)矩形的面積為100 m，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？（2）已知矩形的周長(zhǎng)是36m，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規(guī)律：

兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有______值； 兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有______值。

等待兩名同學(xué)做完后，適時(shí)終止討論，學(xué)生各就各位。首先針對(duì)黑板上這兩道題發(fā)動(dòng)學(xué)生上來(lái)捉錯(cuò)（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學(xué)生對(duì)定理及應(yīng)用條件的認(rèn)識(shí)。其次，老師根據(jù)剛才巡視掌握的情況，結(jié)合多媒體進(jìn)行有針對(duì)性的講解（重點(diǎn)應(yīng)強(qiáng)調(diào)均值定理的幾何解釋：半徑不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過(guò)程，使定理“形化”），進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)定理的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用能力，初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”

第二步：課內(nèi)探究

（二）精講點(diǎn)撥 1.例：求函數(shù)f(x)?

?2x?x?

3x

(x?0)的最大值，及此時(shí)x的值。

先和學(xué)生們一起探討該問(wèn)題的解題思路，先拆分再提出“-”號(hào)，為使用均值定理創(chuàng)造條件，后由學(xué)生們獨(dú)立完成，教師通過(guò)巡視或提問(wèn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，通過(guò)多媒體演示來(lái)解決問(wèn)題，該例題主要讓學(xué)生注意定理的應(yīng)用條件及一些變形技巧。

2．多媒體展示辨析對(duì)錯(cuò)：

?這幾道辨析題先讓學(xué)生們捉錯(cuò)，再由

多媒體給出答案，創(chuàng)設(shè)情境加深學(xué)生對(duì)用均值定理求函數(shù)最值時(shí)注意“一正、二定、三相等”的認(rèn)識(shí)

（三）有效訓(xùn)練

1.(獨(dú)立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()

A、y?x?

1x

B、y?sinx?

1sinx

(0?x?

?)

C、y??

1D、y?tanx?

本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，待學(xué)生完成后，隨機(jī)抽取幾名學(xué)生說(shuō)一下答案，選D，應(yīng)該不會(huì)有問(wèn)題。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長(zhǎng)為一常值C(C>0)，當(dāng)α為何值時(shí)，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運(yùn)用均值不等式不會(huì)出現(xiàn)定值，需要拼湊。待學(xué)生討論過(guò)后，先通答案，??2時(shí)扇形面積最大值為

c

tanx

(0?x?

?)

。若有必要，抽派小組代表到講臺(tái)上講解，及時(shí)反饋矯正。

（四）本節(jié)小結(jié)

小結(jié)本節(jié)課主要內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)，由學(xué)生總結(jié)，教師完善，不外乎： 1.兩個(gè)重要不等式

a?b?2ab(a,b?R,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”)

2a?b2

?a,b?R,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”)

?

2.用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”。

（一）、雙基達(dá)標(biāo)（必做，獨(dú)立完成）：

1、課本第71頁(yè)練習(xí)A、B；

2、已知x??1,求y?x?6?

x?

1的最值；

（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：

?

23、若a,b?R且a?

b

?1,求a?最大值及此時(shí)a,b的值.4、a?0,b?0,且

5、求函數(shù)f(x)?

1a

?

9b

?1,求a?b最小值.x?3x?1x?

1(x??1)的最小值。

通過(guò)作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，注重分層次設(shè)計(jì)題目，更加關(guān)注學(xué)生的差異。

七、板書(shū)設(shè)計(jì)：

由于本節(jié)采用多媒體教學(xué)，板書(shū)比較簡(jiǎn)單，且大部分是學(xué)生的展示。

八、效果分析：

本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，通過(guò)學(xué)案導(dǎo)學(xué)，多媒體展示，師生互動(dòng)，生生互動(dòng)。學(xué)生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。但用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，說(shuō)起來(lái)容易做起來(lái)難，學(xué)生還得通過(guò)反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會(huì)。

我的說(shuō)課到此結(jié)束，懇請(qǐng)各位評(píng)委和老師們批評(píng)指正，謝謝！