第一篇：不等式知識點不等式基礎(chǔ)知識

不等式的知識要點

1.不等式的基本概念

不等（等）號的定義：a?b（1）

（2）

（3）

（4）?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.同向不等式與異向不等式.同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）a

（2）a

（3）a

（4）a

（5）a?b?b?a（對稱性）?b,b?c?a?c（傳遞性）?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）

（6）a.?

（7）a

（8）ab,c?0?ac?bc ?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

ab（異向不等式相除）?cd(9)a?b?0,0?c?d?

(10)a?b,ab?0?

（11）a

（12）a11（倒數(shù)關(guān)系）?ab?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）?b?0??(n?Z,且n?1)（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若a?R,則|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R?,則a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（當僅當a=b時取等號）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

極值定理：若x,y?R?a?b（當僅當a=b時取等號）.2,x?y?S,xy?P,則：

1如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最??；○2如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時取等號）

3ba(5)若ab?0,則??2（當僅當a=b時取等號）

ab

(6)a?0時，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;

（7）若a、b?R,則||

4.幾個著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

|x|?a?x2?a2??a?x?a a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| a?b（當僅當a=b時取等號）22?ab

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則 222222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)?(a1?a2?a3???an)(b1?b2?b3??bn)aaaa1?2?3???n時取等號b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1?x2),有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.2

2則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則 2

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

1?f(x)?0? ???定義域?g(x)?0??f(x)?g(x)?

?f(x)?03?f(x)?0○f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)] ○2?f(x)?0 ?f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;

?f(x)?g(x)?

（6）含絕對值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對值；○2應(yīng)用數(shù)形思想； ○

3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化 ○?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)?g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?

第二篇：不等式基礎(chǔ)知識匯總

不等式基礎(chǔ)知識

一、不等式的概念

1．不等式的定義

不等式：用不等號連接兩個解析式所得的式子，叫不等式．

不等式組：含有相同未知數(shù)的幾個不等式組成的式子，叫不等式組．

2．不等式的分類

（1）按所用不等號分：嚴格不等式（簡單命題）、不嚴格不等式（復(fù)合命題）．

（2）按變量取值范圍分：絕對不等式、條件不等式、矛盾不等式．

（3）按變量的數(shù)量分：一元不等式、二元不等式、多元不等式．

（4）按解析式的類型分：

3．不等式的相互關(guān)系

（1）由不等號方向看：同向不等式、異向不等式．

（2）由變量范圍看：同解不等式、等價不等式．

（3）由形式關(guān)系看：同構(gòu)不等式、不同構(gòu)不等式．

二、實數(shù)運算的性質(zhì)（符號法則）

實數(shù)運算的符號法則是構(gòu)建不等式理論的基石，其順序為：

實數(shù)運算的符號法則→不等式的性質(zhì)→不等式性質(zhì)的應(yīng)用．

實數(shù)運算的符號法則：正數(shù)大于負數(shù)，零小于正數(shù)，零大于負數(shù)．

1．a(chǎn)?b?a?b?0,a?b?a?b?0,a?b?a?b?0．

2．a(chǎn)?0??a?0．

3．a(chǎn)?0?11?0,a?0??0． aa

4．a(chǎn)?0,b?0?a?b?0;a?0,b?0?a?b?0．

5．a(chǎn)?0,b?0?ab?0;a?0,b?0?ab?0;a?0,b?0?ab?0．

三、不等式的性質(zhì)

1．三歧性：對于任意兩個實數(shù)a與b，在a?b,a?b,a?b三種情況中僅有一種成立．

a?b?b?a．

3．傳遞性：a?b,b?c?a?(c?,?;?,?;?,等號是否傳到底？??2．對稱性：

a?b?c?a?b?c（移項法則、作差原理）． a?b?a?c?b?；c

5．加法法則：a?b,c?d?a?c?b?d（同向特征，可推廣）．

6．可乘性：a?b,c?0?ac?bc（若c?0，則a?b?ac?b）； c

． a?b,c?0?ac?bc（若c?0，則a?b?ac?bc）4．可加性：

7．倒數(shù)法則：（1）a?b?0?1111a?(若a、b?R?，則a?b????1)； ababb

1111a?(若a、b?R?，則a?b????1)； ababb

11?． ab（2）b?a?0?（3）a?0?b?

8．乘法法則：a?b?0,c?d． ?0?ac?bd（可推廣）

nn9．乘方法則：a?b?0?a?b(n?2,n?N?)．（乘法法則的特例）

mm（若a、b?R，m?Q，則a?b?a?b）．

10．開方法則：a?b?0n?2,n?N?)．

2211．均值定理：

（1）a?b?2ab（當且僅當a、b相等時取等號）（可推廣）；

（2）a、b?R?，a?b?（當且僅當a、b相等時取等號）

（幾何意義：半徑不小于半弦．）；

22（3）ab?a

?b,ab?(a?

b)2（當且僅當a、b相等時取等號）； 2

2（4）a?b???a、b?R?)2?

ab

（當且僅當a、b相等時取等號）；

（調(diào)和平均數(shù)?幾何平均數(shù)?算術(shù)平均數(shù)?冪平均數(shù)）；

2（5）qpx??px?0,qx?0)（一正二定三相等）； x

(aq?bp)2

（6）(a?px)(b?qx)?（一正二定三相等）． 4pq

12．真分數(shù)性質(zhì)：0?a?b,m?0?0?aa?m??1（濃度不等式）． bb?m

注：不等式的性質(zhì)可分為單向性質(zhì)和雙向性質(zhì)兩類．在解不等式時，只能用雙向性質(zhì)；

在證明不等式時，既可用單向性質(zhì)，也可用雙向性質(zhì)．

附：化歸方法在不等式中的具體運用：（1）異向化同向；（2）負數(shù)化正數(shù)；（3）減式化

加式；（4）除式化乘式；（5）多項化少項；（6）高次化低次．

四、不等式的證明

證明不等式就是利用不等式的性質(zhì)等知識，證明所給不等式在給定條件下恒成立．不等式形式的多樣性導(dǎo)致其證明方法的靈活性，具體問題具體分析是證明不等式的準則．具體證明方法有如下幾種：

1．作差比較法

原理：符號法則．

步驟：作差?變形（配方、通分、分解、有理化、配方等）?定號?判斷．

2．作商比較法

原理：符號法則．

步驟：作商（注意前提）?變形（指數(shù)運算）?定號?判斷．

3．分析法

原理：B?B1?B2????Bn?A．

步驟：執(zhí)果索因，從“未知”找“需知”，逐步靠攏“已知”．

特點：利于思考，方向明確，思路自然．（刑警辦案、剝筍）

格式：欲證??（#），（因為??，所以）只需證??，??

（因為??，所以）只需證??（*），而（*）顯然成立，所以（#）

4．綜合法

原理：A?B??Bn1?B2???B．

步驟：由因?qū)Ч?，從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”?/p>

特點：條理清楚，經(jīng)驗豐富，傳統(tǒng)自然．（法官定罪、包裝）

注：（1）證明時，如果首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等

式，只要推出過程的每一步都是可逆的，那么就可以斷定所給的不等式成立，這也是分析法，其邏輯原理為：B?B1?B2????Bn?A．

（2）用分析法時要正確使用連接有關(guān)分析推理步驟的關(guān)鍵詞，如“欲證??，只需

證??”、“即??”、“假定??成立，則??”等．并且，必須有對最后找到 的，使求證結(jié)論成立的充分條件正確性的判斷，否則其步驟因不完善而錯誤．

（3）由條件或一些基本性質(zhì)入手、較易的不等式，以及條件較多的不等式，多可用

綜合法證明．而對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的不等式，以及恒成立的不等式，運用分析法證明更為有效．分析法和綜合法之間是互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辨證統(tǒng)一關(guān)系，分析法的終點是綜合法的起點，綜合法的終點是綜分析法的起點．對于復(fù)雜問題的證明，常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法加以整理，甚至需交替使用這兩種方法，事實上，這兩種方法往往也很難區(qū)分開．

（4）證明不等式的方法還有反證法、判別式法、換元法、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)

數(shù)法、放縮法（把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性進行證明不等式的方法，叫放縮法．其常用方法有：舍去一些項、在積中換大（?。┠承╉?、擴大（縮?。┓质降姆帜福ǚ肿樱┑龋┑龋?/p>

分析法只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如

果把“只需證??”去掉不寫，就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式，掩蓋了分析、探索的過程。如果直接寫，而不用分析法，人們會感到看得明白，自己卻做不出。因此，在做題時，通常先用分析法探求解題途徑，在解答時，再用綜合法書寫。另外，凡是能用分析法證明的問題，一定可以用綜合法證明。

反證法證題的特征是通過導(dǎo)出矛盾，歸結(jié)為謬誤，而使命題得證。因此，反證法也

叫歸謬法。如果結(jié)論的反面只有一種情況，即只需作出一種反設(shè)，并設(shè)法導(dǎo)致矛盾，立即使命題獲證；如果結(jié)論的反面不止一種情況，則對每種情況都必須作出反設(shè)，然后將每一反設(shè)一一駁倒，才能使命題獲證；這就是反證法的兩種類型，前者稱為簡單歸謬法（簡稱歸謬法），后者稱為窮舉歸謬法（簡稱窮舉法）。

“否定結(jié)論”在推理論證中要作為已知使用。“假設(shè)”不能寫成“設(shè)”

用反證法證明“若p則q”的過程如下圖所示：

適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題有：①結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；②結(jié)論是以

“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題；③關(guān)于唯一性、存在性的命題；④結(jié)論的反面比原

結(jié)論更簡單、更具體、更容易研究的命題等。

五、解不等式

利用不等式性質(zhì)及相關(guān)知識，求變量的取值集合或判斷其無解的過程，叫解不等式．解不等式是一個由繁到簡的等價轉(zhuǎn)化變形過程，大體情形為：若不等式是超越不等式，則把它等價變形為代數(shù)不等式；若代數(shù)不等式是無理不等式，則把它等價變形為有理不等式；若有理不等式是分式不等式，則把它等價變形為整式不等式；若整式不等式是高次不等式，則把它等價變形為低次不等式；若不等式是形式不規(guī)范的不等式，則把它等價變形為規(guī)范形式的不等式；若不等式是絕對值不等式，則把它等價變形為不含絕對值的不等式．

1．一次型

2．二次型

3．分式型

4．絕對值型

5．無理不等式

6．高次不等式、高次分式不等式

（1）數(shù)軸標根法：標準化→分解→標根→定號→取解集．

（2）降次成組法．

7．不等式組、不等式串

求不等式組的解集就是求組成不等式組的各個不等式的解集的交集（由多變少，最

后歸一）；不等式串可化歸為與之等價的不等式組求解．

8．混和條件組

等式（方程）和不等式共同組成的關(guān)系組稱為混和條件組，求解時以等式為主，不等式起檢驗作用．

9．超越不等式（指數(shù)不等式、對數(shù)不等式、三角不等式等）

指數(shù)不等式、對數(shù)不等式、三角不等式等都可利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)（定義域、單調(diào)性等）、圖象和不等式性質(zhì)把原不等式化歸為有之等價的代數(shù)不等式（組）．

注：有些不等式可用構(gòu)造函數(shù)法利用對應(yīng)函數(shù)的圖象解之，步驟為：構(gòu)造函數(shù)→作圖象

→通過對應(yīng)方程得交點的橫坐標→根據(jù)圖象特點取解集．

六、不等式的其他應(yīng)用

利用不等式的性質(zhì)，除了可以證明和求解不等式外，還可以解決求代數(shù)式的取值范

圍、求最值、求實際問題的解等問題．

1．求范圍

先須求出所求代數(shù)式與已知代數(shù)式之間的線性關(guān)系（常需用待定系數(shù)法），然后利用同向不等式的加法法則和乘法法則等性質(zhì)求之．（亦可用線性規(guī)劃法）

2．求最值

（1）二次整式可用均值定理或二次函數(shù)的單調(diào)性求其最值．

（2）分子為二次式的假分式，可用待定系數(shù)法、配湊法或換元法化為部分分式，再

用均值定理或倒數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求其最值；真分式用倒數(shù)法化為假分式． 注：利用均值定理求最值時，必須滿足“一正、二定、三相等”，三者缺一不可．若

為兩個負變數(shù)相加，則可用提取法化歸；若無和或積為定值的特征，則可用調(diào)整系數(shù)或次數(shù)的方法化歸；若不存在等號成立的條件，則只能用二次函數(shù)或倒數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求其最值．

3．求實際問題的解（不等式建模）

七、不等式的相關(guān)知識

函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最值，一元二次方程的實根分布，線性規(guī)劃等知識

都與不等式密切相關(guān)．

絕對值基礎(chǔ)知識

1．絕對值的定義（幾何意義）：數(shù)軸上某數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，叫該數(shù)的絕對值．

2．絕對值的基本性質(zhì)：(1)；a?0（非負性、有界性）?a(a?0)?(2)a???a(a?0)

?0(a?0)?

(3)

(4)

(5)a；a?a,a??a,?a?a?a；a2?a2?a； 2

(6)平方法則：若a?0，則

3．絕對值的性質(zhì)定理：

（1）

（2）

（3）x?a?x2?a2，x?a?x2?a2，x?a?x2?a2． a??a；ab?a?b；aa?；bb

（4）an?a；

a?b?a?b?a?b； n（5）a?b?a?b?a?b，（可推廣），a?b?a?b?ab?0，a?b?a?b?ab?0； a??b?ab0?，2（6）a． ?b2?2ab（a2?b2?2ab?a?b）

4．絕對值的處理方法：

（1）公式法：x?a??a?x?ax?a?x?a或x??a，a?R；

（2）分段討論法：（即找界點，此法適用于解含多個絕對值的問題）；

（3）平方法：（即運用平方法則，注意平方的前提為不等號兩邊均為非負數(shù)）；

（4）幾何法：（即運用絕對值的幾何意義）．

5．絕對值不等式的類型：

（1）

f(x)?g(x)；（2）f(x)?g(x)；（3）f(x)?g(x)．

第三篇：不等式知識點整理

不等式知識點整理

一、不等關(guān)系：

1．實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)系：

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0.2．不等式的性質(zhì)：

（1）a?b?b?a（自反性）

（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）

（3）a?b?a?c?b?c（可加性）

（4）a?b,c?0?ac?bc；

a?b,c?0?ac?bc（可乘性）

（5）a?b,c?d?a?c?b?d（同向加法）

（6）a?b?0,c?d?0?ac?bd；（同向乘法）

（7）a?b?0,n?N,n?1?an?bn,a?。（同向乘方）

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）a?R,a2?0,a?0，當且僅當a?0取“=”.（2）a,b?R,則a2?b2?2ab（當且僅當a?b時取“=”）

（3）a,b?R?，則a?b?2ab（當且僅當a?b時取“=”）a?

b注：——集幾何平均數(shù).2a2?b2a?b2?()（當且僅當a?b時取“=”（4））22

a2?b2?c2a?b?c2?()（當且僅當a?b?c時取“=”（5））3

3ab（6）(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2（當且僅當?時取“=”）（柯西不等式）cd4、最值定理：設(shè)x,y?0,由x?y?

（1）如積xy?P為定值，則當且僅當x?y時x?

y有最小值

S（2）如和x?y?S為定值，則當且僅當x?y時x?y有最大值()2.2即：積定和最小，和定積最大.注：運用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.5．含絕對值的不等式性質(zhì)： a?b?a?b?a?b（注意等號成立的情況）.二、不等式的證明方法

1．比較法

（1）作差比較法：作差——變形（通分、因式分解等）——判別符號；

（2）作商比較法：作商——變形（化為冪的形式等）——與1比大小.（分母要為正的）

2．綜合法——由因?qū)Чㄓ汕懊娼Y(jié)論）

3．分析法——執(zhí)果索因

注：（1）一般地常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法；

（2）還可以用放縮法、換元法等綜合證明不等式.三、解不等式

??b?b?1．一元一次不等式 ax?b(a?0)（1）a?0,?xx?? ；（2）a?0,?xx??.a?a???

2．一元二次不等式 ax2?bx?c?0,(a?0)

（1）步驟：一看開口方向（a的符號），二看判別式 ??b2?4ac的符號，三看方程的根寫解集.（2）重要結(jié)論：ax2?bx?c?0(a?0)解集為R（即ax2?bx?c?0對x?R恒成立），則a?0,??0.（注：若二次函數(shù)系數(shù)含參數(shù)且未指明不為零時，需驗證a?0）.3．絕對值不等式

a?0?a（1）零點分段討論?a?? ??aa?0

（2）轉(zhuǎn)化法：f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)

（3）數(shù)形結(jié)合4．高次不等式、分式不等式——序軸標根法 P(x)?0或P(x)Q(x)?0（移項，一邊化為0，不要輕易去分步驟：①形式：Q(x)

母）；

②因式分解，化為積的形式（x系數(shù)符號>0——標準式）； ③序軸標根；

④寫出解集.5．注意含參數(shù)的不等式的解的討論.．．．．．．．．．．．．．．．．

四、一個有用的結(jié)論 關(guān)于函數(shù)y?x?p x

pp?x?

0時x???

在(0、xx

[

上是減函數(shù)；在（??、[??)上是增函數(shù).1．p?0時，當x?

0時x?

（0，??）2．p?0時，在???，上為增函數(shù).0?、

第四篇：不等式知識點

不等式

一．知識點：

1．不等式的性質(zhì)：

2．不等式的解法：

（一）整式不等式的解法；

（二）分式不等式的解法；

（三）指對不等式的解法； 重點：含參二次不等式的解法；

3．不等式的證明：（1）作差變形；（2）分析法

4．均值不等式：（一正二定三等）

題型1：題型2：題型3：題型4：

5．線性規(guī)劃：

二．典型題：

1．已知二次函數(shù)零點分布，求參數(shù)范圍問題；

2．恒成立問題的解法；

3．均值不等式的應(yīng)用；

1．已知二次函數(shù)零點分布，求參數(shù)范圍問題；

2．恒成立問題的解法；

3．線性規(guī)劃問題的講解方式；

4．遞推式問題：相鄰項的關(guān)系較復(fù)雜，隔項或相鄰多項的關(guān)系會簡單。

5．均值不等式的幾種常見題型；

6．變形種類：

第五篇：不等式知識點總結(jié)

感受生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式和一元一次不等式的意義，下面是小編幫大家整理的不等式知識點總結(jié)，希望大家喜歡。

不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：①關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，他是隨著你加或乘的運算改變。

在不等式中，如果加上同一個數(shù)(或加上一個正數(shù))，不等式符號不改向;例如：AB,A+CB+C

在不等式中，如果減去同一個數(shù)(或加上一個負數(shù))，不等式符號不改向;例如：AB，A-CB-C

在不等式中，如果乘以同一個正數(shù)，不等號不改向;例如：AB，A*CB*C(C0)

在不等式中，如果乘以同一個負數(shù)，不等號改向;例如：AB，A*C

如果不等式乘以0，那么不等號改為等號

所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立。