第一篇：必修五基本不等式 知識(shí)點(diǎn)

第三章:不等式、不等式解法、線性規(guī)劃

1.不等式的基本概念

不等（等）號(hào)的定義：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）a?b?b?a（對(duì)稱性）（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）

（3）a?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）

（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）

（5）a?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）（6）a.?b,c?0?ac?bc

（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）

（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

(9)a?b?0,0?c?d?11ab（異向不等式相除）(10)a?b,ab?0??（倒數(shù)關(guān)系）?abcd

（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）

（12）a?b?0?a?b(n?Z,且n?1)（開方法則）

練習(xí)：（1）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題：

①若a?b,則ac?bc；②若ac?bc,則a?b；

③若a?b?0,則a?ab?b；④若a?b?0,則

⑤若a?b?0,則22222211?； abba?；⑥若a?b?0,則a?b； ab

ab11⑦若c?a?b?0,則；⑧若a?b,?，則a?0,b?0。?c?ac?bab

其中正確的命題是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是______

（答：1?3x?y?7）；

（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,則

3.幾個(gè)重要不等式

（1）若a?R,則|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R,則a?b?2ab(或a?b?2|ab|?2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

?c1??的取值范圍是______（答：??2,??）2?a??2222a?b.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）2極值定理：若x,y?R,x?y?S,xy?P,則：

1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最?。弧?/p>

2如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時(shí)取等號(hào)）

3ba(5)若ab?0,則??2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）ab

(6)a?0時(shí)，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a

（7）若a、b?R,則||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

4.幾個(gè)著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

a?b（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）??2?ab

即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：

2a?b2a2?b2a?b2a2?b2)?)??ab）特別地，ab?(（當(dāng)a = b時(shí)，(2222

a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c時(shí)取等)33??

222?冪平均不等式：a1?a2?...?an?21(a1?a2?...?an)2 n

注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).1111111常用不等式的放縮法：①???2???(n?2)

nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

????n?1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則

2222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa當(dāng)且僅當(dāng)1?2?3???n時(shí)取等號(hào)b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1?x2),有

x1?x2f(x1)?f(x2)x?xf(x1)?f(x2))?或f(12)?.222

2則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法 f（（1）整式不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式）根軸法：

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（奇穿偶回），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.a?0????x1?x2???0????x1?x2?? ??a?0??0??????0??????

（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

?f(x)g(x)?0 f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0;?0??g(x)g(x)?g(x)?0

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

1?f(x)?0????定義域 ???g(x)?0??f(x)?g(x)?

?f(x)?0f(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)] ○2f(x)?g(x)??g(x)?0?

?f(x)?03f(x)?g(x)?? ○?g(x)?02??f(x)?[g(x)]

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);

（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;

?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?

（6）含絕對(duì)值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；○2應(yīng)用數(shù)形思想； ○

3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化 ○

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)? g(x)?0?|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時(shí)為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)

7、線性規(guī)劃

（1）線性目標(biāo)函數(shù)問題

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是線性關(guān)系式如z?ax?by?c（b?0）時(shí)，可把目標(biāo)函數(shù)變形為

az?cz?c，則可看作在在y軸上的截距，然后平移直線法是解決此類問題y??x?bbb的常用方法，通過比較目標(biāo)函數(shù)與線性約束條件直線的斜率來尋找最優(yōu)解.一般步驟如下：

1.做出可行域;2.平移目標(biāo)函數(shù)的直線系,根據(jù)斜率和截距,求出最優(yōu)解.（2）非線性目標(biāo)函數(shù)問題的解法

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)時(shí)非線性函數(shù)時(shí)，一般要借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后根據(jù)其幾何意義，數(shù)形結(jié)合，來求其最優(yōu)解。近年來，在高考中出現(xiàn)了求目標(biāo)函數(shù)是非線性函數(shù)的范圍問題.這些問題主要考察的是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,出題形式越來越靈活,對(duì)考生的能力要求越來越高.常見的有以下幾種：

比值問題：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如z?y?a時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)Q(b,a)連線x?b

22的斜率，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。距離問題：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如z?(x?a)?(y?b)時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)

Q(a,b)距離的平方，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ距離平方的最值。

?x+y?0?2截距問題：例 不等式組?x?y?0表示的平面區(qū)域面積為81，則x?y的最小值為_____

?x?a?

?????????x?4y?3?0,OP?OA?的向量問題：例已知點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足：?3x?5y?25,及A（2，0），則OA?x?1?0.?

最大值是.

第二篇：必修五3.1.1基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

《基本不等式（第一課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

汪清剛

吉林省遼源市東遼縣第一高級(jí)中學(xué)

一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：

1.理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們之積的2倍的不等式的證明。2．理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及幾何解釋。過程與方法

本節(jié)的學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形倆方面深入的探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)?；静坏仁降淖C明要注重嚴(yán)密性，每一步都有理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力。情感，態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生舉一反三地邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會(huì)方法與策略．

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

三、重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；

難點(diǎn)：理解“=”成立的充要條件.三、教學(xué)過程：

1．動(dòng)手操作，幾何引入

如圖是2002年在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的，該圖給出了迄今為止對(duì)勾股定理最早、最簡(jiǎn)潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的．

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？ 在正方形中有4個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為

．于是，，那么正方形的邊長(zhǎng)為4個(gè)直角三角形的面積之和正方形的面積由圖可知，即

．

．

探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，再用這兩個(gè)三角形拼接構(gòu)造出一個(gè)矩形（兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余部分折疊）．假設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為和現(xiàn)一個(gè)不等式嗎？

（），考察兩個(gè)直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)通過學(xué)生動(dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)：

2．代數(shù)證明，得出結(jié)論

根據(jù)上述兩個(gè)幾何背景，初步形成不等式結(jié)論： 若，則

． 若，則．

學(xué)生探討等號(hào)取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動(dòng)畫，使學(xué)生直觀感受不等關(guān)系中的相等條件，從而進(jìn)一步完善不等式結(jié)論：

（1）若，則；（2）若，則

請(qǐng)同學(xué)們用代數(shù)方法給出這兩個(gè)不等式的證明． 證法一（作差法）：，當(dāng)（在該過程中，可發(fā)現(xiàn)證法二（分析法）：由于的取值可以是全體實(shí)數(shù)），于是

時(shí)取等號(hào)．

要證明，只要證明，即證，即，該式顯然成立，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

得出結(jié)論，展示課題內(nèi)容 基本不等式: 若若，則，則

（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）時(shí)，等號(hào)成立）

深化認(rèn)識(shí)：

稱為的幾何平均數(shù)；稱為的算術(shù)平均數(shù)

基本不等式又可敘述為：

兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù) 3．幾何證明，相見益彰 探究三：如圖，于的弦是圓的直徑，點(diǎn)．

由于Rt

中直角邊

斜邊，是

上一點(diǎn)，．過點(diǎn)

作垂直，連接根據(jù)射影定理可得：于是有故而再次證明： 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立．

當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）

（進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，提升思維的靈活性）4．應(yīng)用舉例，鞏固提高

例1.（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）對(duì)于（1）若，（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，有最小值

；

（2）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值．

（鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神．）

例2.求的值域．

變式1.若，求的最小值．

在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 的函數(shù)圖象，使學(xué)生并通過例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會(huì)方法與策略． 練一練（自主練習(xí)）：

1.已知2.設(shè)，且，且，求，求的最小值． 的最小值．

5．歸納小結(jié)，反思提高 基本不等式：若，則

（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立）

若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）

（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；

（2）運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問題的基本方法． 媒體展示，滲透思想：

若將算術(shù)平均數(shù)記為，幾何平均數(shù)記為

利用電腦3D技術(shù)，在空間坐標(biāo)系中向?qū)W生展示基本不等式的幾何背景：平面在曲面 的上方

6．布置作業(yè)，課后延拓

（1）基本作業(yè)：課本P100習(xí)題組1、2題

（2）拓展作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．

（3）探究作業(yè)：

現(xiàn)有一臺(tái)天平，兩臂長(zhǎng)不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實(shí)重量．這種說法對(duì)嗎？并說明你的結(jié)論．

第三篇：必修五不等式知識(shí)匯總

必修五不等式知識(shí)匯總

1．實(shí)數(shù)的三歧性：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，a>b，a＝b，a0?a>b???a－b＝0?a＝b

??a－b<0?a

.2．不等式的性質(zhì)： 性質(zhì)1(對(duì)稱性)a>b?bb，b>c?a>c； 性質(zhì)3(可加性)a>b?a＋c>b＋c.移項(xiàng)法則：不等式中的任意一項(xiàng)都可以變成它的相反數(shù)后從一邊移到另一邊．

a>b?a>b????acbc；c>0?c<0?

性質(zhì)5(同向可加性)a>b，c>d?a＋c>b＋d；

性質(zhì)6(同向可乘性)a>b>0???ac>bd； c>d>0?

性質(zhì)7(不等式的乘方法則)a>b>0?an>bn(n∈N＋且n>1)；

性質(zhì)8(不等式的開方法則)a>b>0?a>b(n∈N＋且n>1)．

3．一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系：

4.常見不等式的解法：

(1)分式不等式的解法

f?x?A先通分化為一邊為一邊為0的形式，再等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式．?A·B>0；Bg?x?

??B≥0B≤0?A·?A·AAA???A·B<0；≥0?；≤0?.BBB?B≠0?B≠0??

如果用去分母的方法，一定要考慮分母的符號(hào)．

(2)高次不等式的解法

只要求會(huì)解可化為一邊為0，另一邊可分解為一次或二次的積式的，解法用穿根法，要注意穿根時(shí)“奇過偶不過”．如(x－1)(x＋1)2(x＋2)3>0穿根時(shí)，－2點(diǎn)穿過，－1點(diǎn)返回，故解為x<－2或x>1.(3)含絕對(duì)值不等式的解法：一是令每個(gè)絕對(duì)值式為0，找出其零點(diǎn)作為分界點(diǎn)，分段討論，二是平方法．

(4)含根號(hào)的不等式解法，一是換元法，二是平方法．

(5)解含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)分類討論(常見的有一次項(xiàng)系數(shù)含字母、二次項(xiàng)系數(shù)含字母、二次不等式的判別式Δ、指對(duì)不等式中的底數(shù)含參數(shù)等)．

(6)超越不等式問題可用圖象法．

5．二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的平面區(qū)域．

(1)在平面直角坐標(biāo)系中作出直線Ax＋By＋C＝0；

(2)在直線的一側(cè)任取一點(diǎn)P(x0，y0)，特別地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)．

(3)若Ax0＋By0＋C>0，則包含點(diǎn)P的半平面為不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面區(qū)域，不包含點(diǎn)P的半平面為不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面區(qū)域．

(4)

主要看不等號(hào)與B的符號(hào)是否同向，若同向則在直線上方，若異向則在直線下方，簡(jiǎn)記為“同上異下”，這叫B值判斷法．

一般地說，直線不過原點(diǎn)時(shí)用原點(diǎn)判斷法或B值判斷法，直線過原點(diǎn)時(shí)用B值判斷法或用(1,0)點(diǎn)判斷．

注意：畫不等式Ax＋By＋C≥0(或Ax＋By＋C≤0)所表示的平面區(qū)域時(shí)，區(qū)域包括邊界直線Ax＋By＋C＝0上的點(diǎn)，因此應(yīng)將其畫為實(shí)線．把等號(hào)去掉，則直線為虛線．

6．線性規(guī)劃的有關(guān)概念

(1)約束條件——目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組．

(2)線性目標(biāo)函數(shù)——目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量是一次函數(shù)．

(3)線性約束條件——約束條件是關(guān)于變量的一次不等式組．

(4)可行解——滿足線性約束條件的解．

(5)可行域——由所有可行解組成的集合．

(6)最優(yōu)解——在可行域中使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解．

(7)線性規(guī)劃問題——求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．

7．利用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟

(1)作出可行域．將約束條件中的每一個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域作出，找出其公共部分．

(2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線．

(3)確定最優(yōu)解．

①在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)等值線，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，從而確定最優(yōu)解．

②利用圍成可行域的直線的斜率來判斷．若圍成可行域的直線l1、l2、…、ln的斜率分別為

k1

8．(1)重要不等式a2＋b2≥2a·b(a、b∈R)；

a＋b＋(2)基本不等式ab(a、b∈R)； 2(3)均值定理．

①x、y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值P.S2②x、y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值.4(4)證明不等式常用方法有：綜合法、比較法、分析法、反證法及利用函數(shù)單調(diào)性等． 誤區(qū)警示：

1．兩個(gè)同向不等式的兩邊不能分別相減，也不能分別相除，在需要求差或商時(shí)，可利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為同向不等式相加或相乘．

2．a(chǎn)≥b的含義是“a>b”或“a＝b”，只要其中一個(gè)成立，則a≥b就成立．

3．特別注意不等式性質(zhì)成立的條件．對(duì)每一條性質(zhì)，要弄清條件和結(jié)論，注意條件加強(qiáng)和放寬后，條件和結(jié)論之間關(guān)系發(fā)生的變化；避免由于忽略某些限制條件而造成解題失誤，特別注意關(guān)于符號(hào)的限制條件．

a>b>0?a>b?如：a>b??1111????但a>b?是錯(cuò)誤的，?ac>bd是成立的，但ababc>d>0c>d???ab>0?

?ac>bd是錯(cuò)誤的．a(chǎn)>b>0?an>bn(n∈N*)是正確的，但a>b?an>bn是錯(cuò)誤的，若規(guī)定n為正奇數(shù)時(shí)，a>b?an>bn是正確的．

4．解決含有絕對(duì)值不等式問題的基本思想是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)，化歸為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式去解．脫去絕對(duì)值符號(hào)的方法主要有：

(1)定義法：|x|≤a(a>0)?－a≤x≤a，|x|≥a(a>0)?x≥a或x≤－a分段討論，含多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)(高考限于2個(gè))的情形，可令每一個(gè)為0，找出分界點(diǎn)再分段，特別注意a>0的條件．

(2)平方法：只有在不等式兩端同號(hào)的情況下才適用．

(3)客觀題還常結(jié)合幾何意義求解．

5．在利用均值定理求最值時(shí)，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件．“一正”是說每個(gè)項(xiàng)都必須為正值，“二定”是說各個(gè)項(xiàng)的和(或積)必須為定值．“三相等”是說各個(gè)項(xiàng)中字母取某個(gè)值時(shí)，能夠使得各項(xiàng)的值相等．

其中，通過對(duì)所給式進(jìn)行巧妙分拆、變形、組合、添加系數(shù)使之能夠出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵． 多次使用均值不等式時(shí)，要保持每次等號(hào)成立條件的一致性．

6．①寫一元二次不等式的解集時(shí)，一定要將圖象的開口方向與判別式結(jié)合起來． ②當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)為零的情形．如ax2－ax－1<0的解

－b＋集為R，求實(shí)數(shù)a的范圍．解答時(shí)應(yīng)對(duì)a＝0，a≠0進(jìn)行分類討論．還應(yīng)注意a<02a－b－Δ<2a

③解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，莫忘定義域的限制．

④換元法解不等式時(shí)，要注意把求得的新元的范圍等價(jià)轉(zhuǎn)化為原來未知數(shù)的取值范圍． ⑤解不等式的每一步變形要保持等價(jià)．

7．解線性規(guī)劃問題時(shí)：

①在求解應(yīng)用問題時(shí)要特別注意題目中變量的取值范圍，防止將范圍擴(kuò)大．

②對(duì)線性目標(biāo)函數(shù)z＝Ax＋By中的B的符號(hào)一定要注意．

當(dāng)B>0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸上截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)B<0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大．

③解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范．求最優(yōu)解時(shí)，若沒有特殊要求，一般為邊界交點(diǎn)．若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解．而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解，應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整．其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)直線的距離為依據(jù)，在直線附近尋求與直線距離最近的整點(diǎn)，但必須是在可行域內(nèi)尋找.但考慮到作圖畢竟還是會(huì)有誤差，假若圖上的最優(yōu)點(diǎn)并不明顯易辨時(shí)，應(yīng)將最優(yōu)解附近的整點(diǎn)都找出來，然后逐一檢查，以“驗(yàn)明正身”．

第四篇：新課標(biāo)必修5數(shù)學(xué)基本不等式經(jīng)典例題(含知識(shí)點(diǎn)和例題詳細(xì)解析)（范文）

基本不等式

知識(shí)點(diǎn)：

1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab

a?b時(shí)取“=”）22(2)若a,b?R，則ab?a?b222（當(dāng)且僅當(dāng)

2.(1)若a,b?R*，則

a?b時(shí)取“=”）a?b2?(2)若a,b?R，則a?b?2ab *ab（當(dāng)且僅當(dāng)

a?b?(3)若a,b?R，則ab??）??(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”

?2?*

23.若x?0，則x?

若x?0，則x?1x

1x）?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取“=”??2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時(shí)取“=”）

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）

xxx

4.若ab?0，則a?b?2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）若ab?0，則

ba

a

b??2即a

bb

a?2或

2ab2ba（）-?2當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”5.若a,b?R，則（注意： a?b2)?2a?b2（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）

(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用

應(yīng)用一：求最值

例：求下列函數(shù)的值域

（1）y＝3x 2＋

12x 21（2）y＝x＋ x

解：(1)y＝3x 2＋1

2x 2 ≥23x 2·12x 2＝6∴值域?yàn)閇6，+∞）

1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x ≥2x1x·＝2； x

當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋= －（－ x－）≤－

2xx∴值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[2，+∞）

解題技巧

技巧一：湊項(xiàng)

例已知x?

54x·=－2 x，求函數(shù)y

?4x?2?

14x?5的最大值。

解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x?2)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，?x?

54,?5?4x?0，?y?4x?2?

4x?5

不是常數(shù)，所以對(duì)4x?

21?

???5?4x?

4x?55?4x?

???2?3?1 ??

3?

當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?

15?4x，即x?1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax?1。

技巧二：湊系數(shù) 例： 當(dāng)時(shí)，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由

知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將

y?x

(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，y?x(8?2x)的最大值為8。

變式：設(shè)0?x?，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

2x?3?2x?9

解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2????

222??

當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?

技巧三： 分離 技巧四：換元 例：求y?

x?7x?10

x?

1?3?

??0,?時(shí)等號(hào)成立。4?2?

(x??1)的值域。

解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng),即

時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。

解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。y?

(t?1)?7(t?1）+10

t

=

t?5t?4

t

?t?4t

?5

當(dāng),即t=時(shí),y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。

例：求函數(shù)y?的值域。

?t（t?2)，則y?

1t

1t

??t?

1t

(t?2)

因t?0,t??1，但t?因?yàn)閥?t?

1t

解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。

在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?

?5

??。

所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,???。

?2

技巧六：整體代換

多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。例：已知x?0,y?0，且

1x?9y

1x?

?1，求x?y的最小值。

9y

?1?x

9?

??x?y??y?

?12故

錯(cuò)．解．：?x?0,y?0，且

?1，?x?y??

?

?x?y?min

?12。

等號(hào)成立條件

是x?y，在錯(cuò)因：解法中

兩次連用均值不等式，在x?y?1x

9y

??1x

?

9y

即y?9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

?19?y9x正解：?x?0,y?0,1?9?1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy

?xy?

xy

當(dāng)且僅當(dāng)技巧七

yx

?

9xy

時(shí)，上式等號(hào)成立，又

1x

?

9y

?1，可得x?4,y?12時(shí)，?x?y?min?16。

例：已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x ＝1，求1＋y 2 的最大值.2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

221＋y中y前面的系數(shù)為，x

y 2

a 2＋b 2。

1＋y 22· ＝2

同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)1＋y 2 ＝x

x·

1y 2

＋22

1y 2

＋分別看成兩個(gè)因式： 22x 2＋（1y 2

＋)22222

x 2＋ ＝

y 22＋

下面將x，x·

1y 2

＋ ≤22

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

1y 23＋≤224技巧八：

已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.ab

分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。

30－2b－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝8

∴ ab≤18∴ y≥

118

當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。ab

－2t 2＋34t－31

1616

＝－2（t＋）＋34∵t＋ ≥2

t·

30－2b

tttt

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥2令u＝ab則u2＋22 u－30≤0，－5∴≤u≤3

ab≤32，ab≤18，∴y≥

a?b2

ab（a,b?R）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；②

?

點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式

?

?

如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到

a?b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式

a?b

2?ab（a,b?R），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換

?

為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍

.技巧

九、取平方

例:

求函數(shù)y

?

12?x?

52)的最大值。

解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。

y??

?4??4?(2x

?1)?(5?2x)?8

又y?0，所以0?y?當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x?

時(shí)取等號(hào)。故ymax?。

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

例：已知a、b、c?R?，且

a?b?c?1。求證：?

?

1??1??1?

?1???1???1??8 ?a??b??c?

分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又1?1?1?a?b?c?，可由此變形入手。

a

a

a

a

解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。

?

1a

?1?

1?aa

?

b?ca

?

a

。同理

1b

?1?

b，1c

?1?

c

1?1??1??1?。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。a?b?c??1?1?1??8??????

3abcabc??????

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y?0且

1x?9y

?1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：令x?y?k,x?0,y?0,10k

3k

1x

?

9y

?1，?

x?ykx

?

9x?9yky

?1.?

10k

?

ykx

?

9xky

?1

?1??2?

。?k?16，m????,16?

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若

a?b?1,P?

lga?lgb,Q?

(lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關(guān)系

是.分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

Q?

（lga?lgb)?

a?b2)?lg

lga?lgb?p

lgab?Q∴R>Q>P。

R?lg(ab?

第五篇：新人教A版必修五教案：3.4 基本不等式(三)

河南教考資源信息網(wǎng)

http://004km.cn

版權(quán)所有·侵權(quán)必究

第三課時(shí) 基本不等式

（三）（一）教學(xué)目標(biāo)（1）知識(shí)與技能目標(biāo) 1.熟練使用a2+b2?2ab和a?b?2ab.2.會(huì)應(yīng)用此定理求某些函數(shù)的最值； 3.能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.（2）過程與能力目標(biāo) 了解運(yùn)用a?b?2ab的條件，熟練運(yùn)用不等式中1的變換.（3）情感與態(tài)度目標(biāo) 通過掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用公式的適當(dāng)變形，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力.（二）教學(xué)重點(diǎn)：在運(yùn)用a?b?2ab中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.教學(xué)難點(diǎn)：a?b?2ab的運(yùn)用.（三）教學(xué)流程（1）復(fù)習(xí)：基本不等式（2）舉例分析

例1：a,b是正數(shù)且a?b?4，求ab的最值 解：ab?（a?b2422)?()?4,即ab的最大值為2變形1：a,b是正數(shù)且2a?b?4，求ab的最值

解：ab?112a?b21422ab?（）?()?222222b2?4，求ab的最值

即ab的最大值為2

變形2：a,b是正數(shù)且a?解：ab?2a(12a?b)?（2b即ab的最大值為8

2)2?2(4)2?8,22變形3： a,b是正數(shù)且2a+3b=4,求ab的最值和此時(shí)a、b的值

解：ab?112a?3b21422(2a)(3b)?（）?()?,66262323,當(dāng)且僅當(dāng)2a?3b即a?1,b?23取最大值

即ab的最大值為例2． a,b都是正數(shù)且2a+b=2,求a(1+b)的最值和此時(shí)a、b的值

解：a(1?b)?112a?1?b21329(2a)(1?b)?（）?()?,22222898,當(dāng)且僅當(dāng)2a?1?b即a?34,b?12取最大值 即ab的最大值為 1 河南教考資源信息網(wǎng)

http://004km.cn

版權(quán)所有·侵權(quán)必究

(2)a,b是正數(shù),a?2b22?2,a(1?2b)的最值是2。

解：a1?2b2?2a(1?2b)?22(a?1?2b2222)2?23262,b?12取最大值

即a1?b的最大值為2,當(dāng)且僅當(dāng)a例3：已知a、b?R,a?b?1,y???1?2b即a?1a14?1b，求y的最小值．

證法1：直接用公式

由ab?(a?b2)得ab?214，由ab?得1a1ab??4 1b1a?1b?21a?1b?21ab?4 即?4

證法2：對(duì)1進(jìn)行變換

因?yàn)閍?b?1,所以1a1bba1a?ba?1b?a?ba?a?bb?2?ba?ba 而ba?ba?2ba?ab?2

所以??2??4

練習(xí)

(1)已知a、b?R,且a?2b?1,y???1a?1b，求y的最小值．1?1?1

?9

abc111?(3)已知a、b、c?R,且a?b?c?1,求證(?1)(?1)(?1)?8

abc(2)已知a、b、c?R,且a?b?c?1,求證解：(1)1a?1b?a?2ba?a?2bb?1?2ba?2?ab?3?2ba?ab?3?22ba?ab?3?22

(2)1a?1b?1c?a?b?caba??aba?b?cb?2cacaac??aca?b?cc?2cb??3?bc?9ba?ab?ca?ac?cb?bc?3?2(3)1a1c?1??1?a?b?caa?b?cc?1??1?babc???2?2bcaabc(1b1a?1??1)(a?b?cb1b?1)(1c?1?ab?cb?2acbacbabc?8?1)?8bca課堂小結(jié)：

1.熟練使用不等式 a?b?2ab和a?b?2ab． 22河南教考資源信息網(wǎng)

http://004km.cn

版權(quán)所有·侵權(quán)必究

2.注意使用a?b?2ab的條件．

3.注意取等號(hào)的條件．

4.靈活變換“1”．課后作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)三十三