第一篇：高中數(shù)學(xué)知識點：不等式的證明及應(yīng)用

不等式的證明及應(yīng)用

知識要點：

1．不等式證明的基本方法：

?a?b?0?a?b

?（1）比較法：?a?b?0?a?b

?a?b?0?a?b?

用比較法證明不等式，作差以后因式分解或配方。

（2）綜合法：利用題設(shè)、不等式的性質(zhì)和某些已經(jīng)證明的基本不等式（a2 | a a?0;a2?b2?2ab;a3?b3?c3?3abc等），推論出所要證的不等式。綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч奔磸囊粋€（一組）已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件來代替前面的不等式，直至推導(dǎo)出所要求證的不等式。

（3）分析法：“執(zhí)果索因”從求證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前

面的不等式，直至找到已知的不等式。

證明不等式通常采用“分析綜合法”，即用分析法思考，用綜合法表述。

2．不等式證明的其它方法：

（1）反證法：理論依據(jù)A?B與B?A等價。先否定命題結(jié)論，提出假設(shè)，由

此出發(fā)運用已知及已知定理推出矛盾。根據(jù)原命題與逆否命題等價，A得證。

（2）放縮法：理論依據(jù) a > b,b > c?a > c ?B

（3）函數(shù)單調(diào)性法。

3．?dāng)?shù)（式）大小的比較：

（1）作差或作比法（2）媒介法（3）函數(shù)單調(diào)性法

4．不等式在函數(shù)中的應(yīng)用：

（1）求函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的值域（3）研究函數(shù)的單調(diào)性

5．基本不等式法求最值：

（1）均值定理求最值：要求各項為正，一邊為常數(shù)，等號可取。

（2）絕對值不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|的應(yīng)用。其中|a?b|?|a|?|b|取等號的條件是ab且|ab|。|a+ba| + |b|取等號的條件是ab。

6．方程與不等式解的討論

（1）一元二次方程ax2

a?0,??b2?bx?c?0有嚴(yán)格的順序性： 及x1,2??b?2a??4ac?0,b?x1?x2????a?c?xx?12?a?。

（2）函數(shù)與不等式：利用函數(shù)圖象找出等價關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式問題去解決。

第二篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法

本科生畢業(yè)設(shè)計（論文中學(xué)證明不等式的常用方法

所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院

專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

姓 名： 張俊

學(xué) 號： 1010510020 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)東

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是對高中學(xué)習(xí)階段不等式證明方法的概括和總結(jié).不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,換元法等等.關(guān)鍵詞: 不等式的證明;函數(shù)的構(gòu)造;極值;導(dǎo)數(shù)

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 錄

1.構(gòu)造函數(shù)法 ·········································1 1.1 移項法構(gòu)造函數(shù) ·································1 1.2 作差法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.3 換元法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.4 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

······················3 1.5 主元法構(gòu)造函數(shù) ··································3 1.6 構(gòu)造形似函數(shù) ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應(yīng)用 ································9 參考文獻(xiàn) ··············································11

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

眾所周知,生活中存在著大量的不等量關(guān)系.不等量關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無可替代.不等式的證明是高中學(xué)習(xí)階段的重要內(nèi)容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學(xué)習(xí)既是重點也是難點,無論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對不等式的證明方法做一個全面的,科學(xué)的,系統(tǒng)的總結(jié)和歸納.1.構(gòu)造函數(shù)法

1.1移項法構(gòu)造函數(shù)

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證：當(dāng)x??1時,恒有

1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)

1?1,從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當(dāng)x?(?1,0)時,g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時,g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù),在x?(0,??)上為增函數(shù),故函數(shù)

g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當(dāng)x??1時,g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當(dāng)?1?x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù), 當(dāng)x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1

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因此,當(dāng)x??1時f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0

∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x??1時,有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小（大）值,則有f(x)?f(a)

（或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證． 1.2作差法構(gòu)造函數(shù)

【例2】 當(dāng)x?(0,1)時,證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,將兩個函數(shù)變?yōu)橐粋€函數(shù).作差法是最直接把兩者結(jié)合的方法且求導(dǎo)

后能很容易看出兩者的聯(lián)系.證:做函數(shù)f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當(dāng)x?0時,f'(x)?0

而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當(dāng)x?(0,1)時,f''(x)?0

∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減

∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)

性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無法判斷兩個關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)

來先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,再來判斷原函數(shù)的關(guān)系.1.3換元法構(gòu)造函數(shù)

122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x?y經(jīng)常出現(xiàn)在三角代換中.于是可以采用 換元法進(jìn)行嘗試,則結(jié)果顯而易見.證:因為 1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設(shè)x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?)

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??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換

元法.將x,y進(jìn)行替換,再找兩者的關(guān)系來進(jìn)行論證.1.4從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

【例4】 若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數(shù)

a ,b滿足0?a?b,求證:af(a)

xf(x)，?(x)?f(x)此時可以得到F(x)的導(dǎo)數(shù)為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)?f(b)

?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出

F(x),求導(dǎo)后即可得到證明結(jié)果.1.5主元法構(gòu)造函數(shù)

【例5】 設(shè)a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d

分析:本題初看含有四個未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時必須從這條

不等式入手,對其進(jìn)行變換.證:把a看成未知量進(jìn)行化簡,得一元二次不等式

?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0

22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d

用替換,構(gòu)造一個函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上

且當(dāng)x?a時,f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0

?其判別式 ?

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d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d

疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡,得bc?【啟迪】:有些復(fù)雜的不等式可以看成一個未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€未知量之間的關(guān)系,進(jìn)行證明.1.6構(gòu)造形似函數(shù)

【例6】 當(dāng)a?b?e時,證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構(gòu)造函數(shù)

f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調(diào)遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0

設(shè)f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調(diào)遞減.?a?b

?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0

ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡單不等式時,可以采用求導(dǎo)等變換來構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函

數(shù)的單調(diào)性來證明簡單不等式.2.比較法

2.1作差比較法

【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來考慮

問題.證:(1)當(dāng)0?a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?

1?loga(1?x)?0,得證.（2）當(dāng)a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?1

22222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,或者是對數(shù)式子時可以采用作差法來嘗試.2.2作商比較法

【例2】 設(shè)a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,從而來證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當(dāng)a?b時,()baa?b?1?0, 當(dāng)0?b?a時，b2baa?a02()?()?1.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當(dāng)0?a?b時，,同理可得bbb2 綜上所述,對于任意的正實數(shù)a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當(dāng)遇到作差法無法解決的問題時可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前

提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數(shù)函數(shù)的形式.3.放縮法

2n?1an(n?N)

【例1】 已知數(shù)列?an?的前n項和為sn?1?2(1)設(shè)xn?(2n?1)sn,求證:數(shù)列?xn?為等差數(shù)列.11115???..........??(2)當(dāng)n?2時,2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識,是為第二小題做的鋪墊,在做

第二小題時,需要采用放縮來證明,來把不等式的左邊放大來比較.2n?1(sn?sn?1)

證:(1)當(dāng)n?2時,sn?1?2

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化簡,得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1

由已知條件得xn 其通項公式為xn ??xn?是以首項為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2

?2公差d?2的等差數(shù)列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n?

2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44

2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當(dāng)n?2時,f(n)的值隨著n的增大而增

n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法

較多.4.判別式法

?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,?

?3?222

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分析:實系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個不等實根、有兩個相等實根、沒有實根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0．

?b2?4ac,稱其為方程是否有實根的判別式.同時也是與方程對應(yīng)的

函數(shù)、不等式的判別式.此題含有三個未知數(shù),所以要進(jìn)行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中

證:有條件可得,代入 化簡可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0

x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0

22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復(fù)雜,含有三個未知量,其實只需要簡單的幾個步驟就解決了,因此在解決這類問題時,第一步是替換未知量,第二部把另一個未知量看成已知量,再

用根的判別式來確定范圍.5.反證法 【例1】 設(shè)0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.分析:本題的結(jié)論為否定形式,適合用反證法來證明,假設(shè)命題不成立,從而導(dǎo)出矛

盾.證:假設(shè)(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個數(shù)都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1

?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ?

2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.4【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時”,“至多”等字樣時,可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,然后再用假設(shè)的條件推出矛盾.6.向量法

a2b2c2???12.【例1】設(shè)a?1,b?1,c?1,證明:

b?1c?1a?1 分析:本題只有一個已知條件,且結(jié)論也無法化簡,因此可以想到高中最直接的方法

向量法,構(gòu)造兩個向量.利用向量的知識進(jìn)行解決.?m 證:設(shè)?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c

222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3

?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3?

a?b?c?3 ?23

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?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時平方可得

b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應(yīng)用

1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)?

ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學(xué)生獨立完成,可得到如下解決

方法.解法一:分析法

1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因為a?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因為1?a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法

?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab?

41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0

?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4

解法三:三角代換法

?a?b?1,a

?0,b?0

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??? 故設(shè)a?sin?,b?cos?,???0,?

?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ?

4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進(jìn)行一步

步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉(zhuǎn)化

為所學(xué)的知識,或者已知條件.只要分析的過程合理,一般過渡的結(jié)論很

容易得到.第二種方法也是根據(jù)問題入手,不同的是它把問題直接改變?yōu)?/p>

一道運算式,這樣就把問題變?yōu)檫\算式結(jié)果與零比較大小,因為題目所給的數(shù)字往往讓在解題時無從下手,無法想出這個數(shù)字從何而來,一但轉(zhuǎn)化

為零后,解題時只需要考慮對算式的變形,最后只需判斷算式的正負(fù)號.第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是

角的范圍,一般學(xué)生在采用代換時往往忘記角的范圍,從而無法確定三角

函數(shù)值的范圍,容易產(chǎn)生多解或錯解.這種方法好處在于已經(jīng)知道了三角

值的范圍,且三角函數(shù)含有多種變形方式可以對式子進(jìn)行更好的化簡.并

且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均

可采用,根據(jù)學(xué)生個人的掌握程度來選擇方法.本論文主要對高中不等式的常用證明方法進(jìn)行簡單的總結(jié),使中學(xué)生在證明不等式時有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

參考文獻(xiàn)

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[A],2012(4):108～109

第三篇：高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)_不等式的性質(zhì)與證明

要點重溫之不等式的性質(zhì)與證明

1．在不等式兩邊非負(fù)的條件下能同時平方或開方，具體的：當(dāng)a>0,b>0時，a>b?an>bn；

222

2當(dāng)a<0,b<0時，a>b?ab?|a|>|b|。在不等式兩邊同號的條件下能同時取倒數(shù)，但不等號的方向要改變，如：由0

1x

<2推得的應(yīng)該是：x>

或x<0，而由

1x

>2推得的應(yīng)該是：

（別漏了“0

13?f(x)

1f(x)?

3[舉例]若f(x)=2x,則g(x)?為。的值域為；h(x)?1?的值域

解析：此題可以“逆求”：分別用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒數(shù)”求：3-f(x)<3，分兩段取倒數(shù)即0<3-f(x)<3得

13?f(x)

3>

或3-f(x)<0得

13?f(x)

<0,∴g(x)∈(-?,0)∪（1a

1b

13,+?)；f(x)+3>3?0<

1f(x)?3

43。

ba

ab

[鞏固1] 若??0，則下列不等式①a?b?ab；②|a|?|b;|③a?b；④??2中，正確的不等式有A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

（）

[鞏固2] 下列命題：①若a>b,則ac2>bc2；②若ac2>bc2,則a>b；③若a>b,c>d則a-d>b-c； ④若a>b,則a>b；⑤若a>b,則lg(a2?1)?lg(b2?1),⑥若aab>b； ⑦若a|b|；⑧若aa>b>0,則

ac?a

?

bc?b

ba?ab

2；⑨若a>b且

1a

?

1b,則a>0,b<0；

；其中正確的命題是。

[遷移]若a>b>c且a+b+c=0，則：①a>ab，②b>bc，③bc

ca

ba的取值范圍是：(-

12,1)，的取值范圍是：（-2，-

12）。上述結(jié)論中正確的是。

2．同向不等式相加及不等式的“傳遞性”一般只用于證明不等式，用它們求變量范圍時要

求兩個不等式中的等號能同時成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“兩不等式的兩邊均為正數(shù)”才可相乘。

[舉例]已知函數(shù)f(x)?ax?c，且滿足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,則f(3)的取值范圍是：。

解析：解決本題的一個經(jīng)典錯誤如下：－2≤a+c≤－1①；2≤4a+c≤3② 由①得：1≤－a－c≤2③4≤－4a－4c≤8④ 由③+②得：1≤a≤

⑤由④+②得： ?

113

≤c≤－2⑥

由⑤×9+⑥得：

163

≤9a+c≤13⑦，即

163

≤f(3)≤13。錯誤的原因在于：

當(dāng)且僅當(dāng)1=－a－c且2=4a+c時⑤式中的1=a成立，此時，a=1，c=－2； 當(dāng)且僅當(dāng)－4a－4c=8 且4a+c=3 時⑥式中的?可見⑤⑥兩式不可能同時成立，所以⑦中的正解是待定系數(shù)得f(3)=?∴7≤f(3)≤

343

163

113

=c成立，此時，a=

53，c=?

113；

=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。

f(1)+

f(2)，又：≤?

f(1)≤

103；

163

≤

f(2)≤8

。在此過程中雖然也用了“同向不等式相加”，但由錯解分析知：當(dāng)a=1，53

c=－2時，不等式c=?

113

≤?

f(1)和

163

≤

f(2)中的等號同時成立，即f(3)=7成立；而當(dāng)a=

343

53，時，不等式?f(1)≤和f(2)≤8中的等號同時成立，即f(3)=成立；所以這

個解法是沒有問題的。可見，在求變量范圍時也并非絕對不能用“同向不等式相加”，只要“等號”能同時成立即可；對不含等號的同向不等式相加時則需它們能同時“接近”。

注：本題還可以用“線性規(guī)劃”求解：在約束條件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目標(biāo)函數(shù)f(3)的最大、最小值。

[鞏固]設(shè)正實數(shù)a、b、c、x、y，且a、b、c為常數(shù)，x、y為變量，若x+y=c，則的最大值是： A．(a?b)cB．

a?b?c

ax+by

C．

a?

2b

?cD．

(a?b)

3．關(guān)注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等號成立的條件；具體的：xy≥0?

|x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y|?|x-y|=|x|-|y|；xy≥0且|x|≤|y|?|x-y|=|y|-|x|； xy≤0?|x-y|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y|?|x+y|=|x|-|y|；xy≤0且|x|≤|y|? |x+y|=|y|-|x|。

[舉例1]若m>0,則|x-a|

C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件。

解析：|x-a|m,∴|x-a|

解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等價于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|?2xlog2x>0? log2x>0?x>1∴不等式的解集為（1，+?)。

[鞏固1]a,b都是非零實數(shù)，下列四個條件：①|(zhì)a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|；③||a|-|b||<|a+b|； ④||a|-|b||<|a-b|；則與|a-b|=|a|+|b|等價的條件是：（填條件序號）。[鞏固2]方程|x?2?

xx?

1|=|x?2|+|

xx?1

|的解集是。

2aba?b

4．若a、b∈R，則

+

a?b

≥

a?b

2≥ab≥

；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立；

其中包含常用不等式：a?b≥

a?b2

(a?b)

；(a?b)（1a

?

1b)≥4以及基本不等式：

a?b2

≥ab，基本不等式還有另外兩種形式：若a≤0、b≤0，則≤ab；

若：a、b∈R，則a2?b2≥2ab；用基本不等式求最值時要關(guān)注變量的符號、放縮后是否為定值、等號能否成立（即：一正、二定、三相等，積定和小、和定積大）。[舉例1] 若直線ax+2by-2=0(a,b>0)始終平分圓x+y-4x-2y-8=0的周長，則值為。

解析：圓心（2，1），“直線始終平分圓”即圓心在直線上，∴a+b=1,1a?2b

a?ba

2a?2bb

ba

2ab

21a

?

2b的最小

=??3???3?22,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立。

[舉例2]正數(shù)a,b滿足a+3=b(a-1),則ab的最小值是，a+b的最大值是。解析：ab=a+b+3≥2ab+3?ab-2ab-3≥0?等號成立。a+b=ab-3≤（ab≥3?ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時

a?b2)-3?(a?b)?4(a?b)?12?0? a+b≥6, 當(dāng)且僅當(dāng)

a=b=3時等號成立。

注：該方法的實質(zhì)是利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放縮得到最值，因此不存在放縮后是否為定值的問題。[鞏固1]在等式1?

1?9

????

中填上兩個自然數(shù)，使它們的和最小。

[鞏固2]某工廠第一年年產(chǎn)量為A，第二年的年增長率為a，第三年的年增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則

A．x?

a?b2

a?b2

a?b2

（）

a?b2

B．x? C．x? D．x?

[遷移]甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半時間步行、一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則：

A．甲先到教室B．乙先到教室C．兩人同時到教室D．不能確定誰先到教室 5．比較大小的方法有：①比差：判斷“差”的正負(fù)，因式分解往往是關(guān)鍵；②比商：判斷“商”與1的大小，兩個式子都正才能比商，常用于指數(shù)式的比較；③變形：如平方（需為正數(shù)）、有理化（根式的和、差）等；④尋求中間變量，常見的有0，1等；⑤數(shù)形結(jié)合。用定義證明單調(diào)性的過程就是已知自變量的大小比較函數(shù)值的大小的過程。[舉例1]已知a?b?0且ab?1，若0?c?1,p?log

p、q的大小關(guān)系是（）

a?b

c

2,q?logc（1a?

b),則

A．p?q 解析：記x=

a?b2

B．p?qC．p?qD．p?q , y=（1a?

b)2, 直接比較x、y的大小將大費周章，但： x>

2ab

2=1,y=

1a?b?2ab

?

1a?b?2

x

?

12ab?2

=

4，∴x>y，又0

[舉例2] x0是x的方程a=logax(0

如右，它們的交點為P（x0，y0）,易見 x0<1, y0 <1，而y0=ax=logax0

即logax0<1,又0a, 即a

ln22

ln3

3ln552a?2、、,q=

2?a?4a2

[鞏固2]設(shè)a>2，p=a?A．p>qB．pq與p=q都有可能D．p>q與p

[遷移] 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意的實數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)；②當(dāng)

x>0時,f(x)>1；判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

6．放縮法的方法有：①添加或舍去一些項，如：a?1?a； ②將分子或分母放大（或縮?。虎劾没静坏仁?，如：

lg3?lg5?（lg3?lg

5)

?（lg）?(lg)

?lg

4；n(n?1)?

n?(n?1)

等；

④利用常用結(jié)論：下列各式中k?N?（Ⅰ）k?

k(k?1)?k?1（Ⅱ）k?1?

k?

1k?1?1k

k

1?

12k1k?；

（Ⅲ）

1k!

?

k(k?1)k1

?

1k(k?1)

?

1k?11

?

1k

(k?2)； ?

k(k?1)

?

1k?1

(Ⅳ)

1k

?

k

?1

?

1(k?1)(k?1)

?

2k?1

(?

a

1k?1

?

(k?2)；

b

c1?c

[舉例]已知a、b、c是⊿ABC的三邊長，A=

1?a1?b,B=,則：

A．A>B,B． A

c1?c

=

11c?

1<

11a?b

?1

=

a?b1?a?b

=

a1?a?b

?

b1?a?b

a1?a

?

b1?b

=A

[鞏固]若n∈N﹡,求證：(n?1)?1?(n?1)?

n?1?n

[遷移]已知an=2n-1,數(shù)列{an}的前n項和為Sn，bn=對一切自然數(shù)n，恒有Tn<2。

簡答

1Sn,數(shù)列{ bn}的前n項和為Tn，求證：

1．[鞏固1]B，[鞏固2] ②③④⑥⑦⑨⑩；[遷移] ①③④⑤；

2、[鞏固]A；

3、[鞏固1] ①④，[鞏固2]（-1，0]∪[2, +?);

4、[鞏固1]4，12；[鞏固2]B，[遷移]B；

5、[鞏固1] 1n

ln5

5<

ln2

2<

ln55,[鞏固2]A，[遷移]遞增；

6、[鞏固]有理化，[遷移]放縮：

?

1n(n?1),(n?2)。

第四篇：高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)_第六章不等式

高中數(shù)學(xué)第六章-不等式

考試內(nèi)容：

不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式． 考試要求：

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明．

（2）掌握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用．

（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．

（4）掌握簡單不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

§06.不 等 式知識要點

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）號的定義：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.（2）不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.（4）同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）a?b?b?a（對稱性）

（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）

（3）a?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）

（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）

（5）a?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）

（6）a.?b,c?0?ac?bc

（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）

（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

(9)a?b?0,0?c?d?ab?cd（異向不等式相除）

(10)a?b,ab?0?11（倒數(shù)關(guān)系）?ab

（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）

（12）a?b?0?a?(n?Z,且n?1)（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若a?R,則|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R?,則a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

a?b.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

2極值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,則：

1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時，S的值最??；○

2如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時取等號）

3ba(5)若ab?0,則??2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

ab

(6)a?0時，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a

（7）若a、b?R,則||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

4.幾個著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

11?aba?b（當(dāng)僅當(dāng)2a=b時

取等號）即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）： 2222a?ba?ba?ba?b22特別地，ab?(（當(dāng)a = b時，()?)??ab）222

2a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c時取等)33??

22?...?an??冪平均不等式：a12?a221(a1?a2?...?an)2 n

注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).1111111常用不等式的放縮法：①???2???(n?2)

nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

????n?1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則

（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)?aaaa1?2?3???n時取等號b1b2b3bn22(a12?a22?a32???an)(b122?b22?b32??bn)

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1?x2),有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2))?.2

2則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

1?g(x)?0??定義域 ???f(x)?g(x)??f(x)?0?

○2?f(x)?0?f(x)?0○3f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]?f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;

?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?

（6）含絕對值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對值；○2應(yīng)用數(shù)形思想； ○

3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化 ○

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)? g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?

注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：

①x(1?x)2?1124

?2x(1?x)(1?x)?()3?22327

22x2(1?x2)(1?x2)1234②y?x(1?x)?y??()??y?223272

類似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx)，③|x?1|?|x|?|1|(x與1同號，故取等)?2 22

xxx

第五篇：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

常澤武指導(dǎo)教師：任天勝

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點來認(rèn)識不等式，以導(dǎo)數(shù)為工具來證明不等式。

關(guān)鍵字： 導(dǎo)數(shù) 不等式最值中值定理單調(diào)性泰勒公式

中圖分類號： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為：

定理1.如果函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導(dǎo)，則至少存在一點???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。

（2）我們可根據(jù)其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數(shù)和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應(yīng)用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當(dāng)h>0時有

1??h?1?1?h,當(dāng)?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

我們在初等數(shù)學(xué)當(dāng)中學(xué)習(xí)不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負(fù)，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思想來判斷大小。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導(dǎo)，那么

（1）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞增。

（2）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設(shè)x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現(xiàn)在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當(dāng)x?0時f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因為F(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式

當(dāng)?shù)仁街泻小?”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價于函數(shù)G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個駐點，沒有不可導(dǎo)點，又函數(shù)f(x)在駐點x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(x?0和x?1)的函數(shù)值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式

若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導(dǎo)數(shù)，又在x0處有n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止?/p>

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)?；騠(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計算中有廣泛的應(yīng)用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數(shù)f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導(dǎo)函數(shù)f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當(dāng)f''(?)?f''(?)時，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻(xiàn)

《數(shù)學(xué)分析》上冊，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，?2?趙煥光，林長勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊，四川大學(xué)出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學(xué)分析》上冊，復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.?4?華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.