第一篇：4-5第二講 證明不等式的基本方法
第二講證明不等式的基本方法
班級________姓名________考號________日期________得分________
一?選擇題:(本大題共6小題,每小題6分,共36分,將正確答案的代號填在題后的括號.)
1.設(shè)P???則P?Q?R的大小順序是()
A.P>Q>RB.P>R>Q
C.Q>P>RD.Q>R>P
解析:???即P?R;
又??,即R>Q;
故有P>R>Q.故應(yīng)選B.答案:B
2.已知a>2,b>2,則a+b與ab的大小關(guān)系是()
A.a+b>abB.a+b C.a+b≥abD.a+b≤ab 解析:解法一:∵a>2,b>2,∴a-1>1,b-1>1,∴(a-1)(b-1)>1,即ab-a-b>0,∴ab>a+b,故選B.解法二:?a?2,b?2,?0? 1a?111 2,0?b?2,?0?1 a?1 b?1,即0?a?b ab?1,?0?a?b?ab,故選B.答案:B 3.若實(shí)數(shù)x,y適合不等式xy>1,x+y≥-2,則() A.x>0,y>0B.x<0,y<0 C.x>0,y<0D.x<0,y>0內(nèi) 解析:x,y異號時(shí),顯然與xy>1矛盾,所以可排除C?D.假設(shè)x<0,y<0,則x<1.y ∴x+y 又xy≠0,∴x>0,y>0.答案:A 4.若a,b∈(0,+∞),且 a≠b,M? () A.M>NB.M C.M≥ND.M≤N 解析:∵a,b∈(0,+∞),且a≠b,N? ,則M與N的大小關(guān)系是????? ???M?N,故應(yīng)選A.答案:A 5.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T? A.T>0B.T<0 C.T=0D.無法判斷T的正負(fù) 解析:∵a+b+c=0,∴(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac=0,即2ab+2bc+2ac=-(a+b+c)<0,∵abc>0,∴上述不等式兩邊同除以2abc, 2222222111??,則()abc 111a2?b2?c 2?0,故選B.得T?????abc2abc 答案:B 6.已知a,b,c,d都是正數(shù),S? () A.S<1B.S>1 abcd???,則有a?b?ca?b?dc?d?ac?d?b C.S>2D.以上都不對 解析:S> 答案:B 二?填空題:(本大題共4小題,每小題6分,共24分,把正確答案填在題后的橫線上.) 7.某品牌彩電廠家為了打開市場,促進(jìn)銷售,準(zhǔn)備對其生產(chǎn)的某種型號的彩電降價(jià)銷售,現(xiàn)有四種降價(jià)方案: (1)先降價(jià)a%,再降價(jià)b%; (2)先降價(jià)b%,再降價(jià)a%; (3)先降價(jià)1(a+b+c+d)=1.a?b?c?da?ba?b%,再降價(jià) %;22 (4)一次性降價(jià)(a+b)%.其中a>0,b>0,a≠b,上述四種方案中,降價(jià)幅度最小的是________.解析:設(shè)降價(jià)前彩電的價(jià)格為1,降價(jià)后的彩電價(jià)格依次為x1、x2、x3、x4.則x1=(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%·b%,x2=(1-b%)(1-a%)=x1,?a?b??a?b?x3??1?%??1?%?22???? 21?1??a?b?%? ?a?b%????,? 4x4?1??a?b?%?1??a?b?%?a%?b% ?a%?b%??x1?x2,x3?x1????a%?b%?0,2?? ?x3?x1?x2?x4.答案:方案(3) 28.已知|a+b|<-c(a、b、c∈R),給出下列不等式: ①a<-b-c;②a>-b+c;③a 9.函數(shù) y?的最大值為________.解析:函數(shù)的定義域?yàn)?/p> [1,6].y2??12 ≤[2?12]?2?2]?3?5?15.?y2≤15.由題意知y?0?0?y?1即x? 時(shí)等號成立.?答案 10.已知x+2y+3z= 解析: 22????? x2?2y2?3z2??32?2??≥?3x ????? ?(3x?2y?z)22228318,則3x+2y+z的最小值為________.17 當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=9z,等號成立.∴(3x+2y+z)≤12,即 當(dāng) x=-y??z??時(shí),171717 為最小值.答案 三?解答題:(本大題共3小題,11?12題13分,13題14分,寫出證明過程或推演步驟.) a2b2c2 11.(2010·浙江自選模塊卷)設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c,滿足abc≥1,求??a?2bb?2cc?2a的最小值.?a2b2c2?2????[?a?2b???b?2c???c?2a?]≥? a?b?c?,a?2bb?2cc?2a?解:因?yàn)? 222abca?b?c所以??≥1,a?2bb?2cc?2a3 當(dāng)a=b=c=1時(shí),上述不等式取等號, a2b2c2 所以的最小值為1.??a?2bb?2cc?2a 12.(2010·江蘇)設(shè)a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),求證:a+b+b).33 證明:a+b+b)=(a-a-b 2232 ?a?b??當(dāng)a≥b時(shí)當(dāng)a?b時(shí),???a3?b3 a2?b2?≥0,?a3?b3a2?b2?.評析:證明不等式,常用方法是作差比較法.13.已知x,y,z是正實(shí)數(shù),求證: 分析:注意到所證不等式的特點(diǎn),可考慮構(gòu)造向量,使用柯西不等式的向量形式證明.證明:∵x,y,z是正實(shí)數(shù),令 ?a??a?b?ab,222?,b???2 ?x2y2z2?≤???[(y?z)?(x?z)?(x?y)],??y?zx?zx?y?? 當(dāng)且僅當(dāng)x?y?z時(shí),等號成立,即?x?y?z?≤2 x2y2z2 (??)??x?y?z?,z?yx?zx?y x2y2z2x?y?z???≥.y?zx?zx?y22 評析:使用柯西不等式時(shí),既要注意它的數(shù)學(xué)意義,又要注意它的外在形式.當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí),就可以考慮使用柯西不等式對這個(gè)式子進(jìn)行縮小或放大. 課題：基本不等式及其應(yīng)用 一、教學(xué)目的(1)認(rèn)知：使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)和 a?b?ab(a、b∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)，并能應(yīng)用它們證明一些不等 2式． (2)情感：通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力． 二、教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：兩個(gè)基本不等式的掌握； 難點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用。 三、教材、學(xué)生分析 教材分析：兩個(gè)基本不等式為以后學(xué)習(xí)不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種 方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。 學(xué)生分析：學(xué)生在上新課之前都預(yù)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容，對上課內(nèi)容有一定的理解。所以根據(jù)這一 情況多補(bǔ)充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。 四、教學(xué)過程 （一）引入新課 客觀世界中，有些不等式關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的。例如，在周長相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對這些不等關(guān)系的證明，常常會歸結(jié)為一些基本不等式。今天，我們學(xué)習(xí)兩個(gè)最常用的基本不等式。 （二）推導(dǎo)公式 1．奠基 如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0① 把①左邊展開，得 a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？ 學(xué)生回答：a=b，因?yàn)閍=b?a+b=2ab 2 2充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)． 以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索． 2．探索 公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca． 把以上三式疊加，得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ③ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)． 以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有 22a12?a2???an?a1a2?a2a3???ana 1④ (當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號)． ④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加． 3．練習(xí) 222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c） 4．基本不等式 2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2 如果a、b、∈R，那么ab?R?，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到 22a）?）?2ab 即a?b?2ab ∴a?b?ab⑤ 2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)． 這就是課本中基本不等式2 我們把a(bǔ)?b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。 25、公式小結(jié) (1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加① 配方 ② ③ 降換 次元 ⑤ (2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)． (3)四個(gè)公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明． +222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表 示以斜邊c為邊的正方形的面積．而 2ab?4?ab?4S?ABC 2 如上左圖所示，顯然有c?4?21ab 2 ∴a＋b≥2ab 22 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過． 公式 示： a?b?ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2 （三）例題 1、已知x，y∈R，證明：+xy??2，并指出等號成立的條件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a?b?8，并指出等號成立的條件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4 （其中一題作為練習(xí)） （四）應(yīng)用 下面我們來解決開始上課時(shí)所提到的：在周長相等時(shí)，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。 求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。 證明：設(shè)矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a?b，2 '可計(jì)算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S?(a?b2)，2 由基本不等式2，得a?b?ab?0（因?yàn)閍≠b等號不成立）。2 a?b2)?(ab)2，即S′>S.2又由不等式性質(zhì)，得（（五）作業(yè) 練習(xí)冊P10/6 課時(shí)九 基本不等式與不等式基本證明 第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用 基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時(shí)，關(guān)鍵在對已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。 技巧一：加減常數(shù) 例 1、求函數(shù)y?x? 點(diǎn)評：當(dāng)各項(xiàng)符號不確定時(shí)，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正。 技巧二：巧變常數(shù) 例 2、已知0?x? 點(diǎn)評：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應(yīng)用時(shí)要注意活用。 技巧 三、分離常數(shù) 例 3、已知x? 5452121x?1(x?1)的值域。，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)?x?3x?32x?4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值 32點(diǎn)評：通過加減常數(shù)，分離出一個(gè)常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。 技巧 四、活用常數(shù) 例 4、若x,y?R且滿足 點(diǎn)評：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號不能同時(shí)取到的麻煩。 技巧 五、統(tǒng)一形式 ?例 5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(?4x?16y?1，求x＋y的最小值。1 a?b?1 c)的最小值。 點(diǎn)評：根據(jù)分母的特點(diǎn)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。含有根號的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧 。x(1?x)等） 1．輪換對稱型 例1 若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)，求 證：a?b?c 222 ?ab?bc?ac.點(diǎn)評：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對稱不等式的常用技 巧。 2．利用“1”的代換型 111? 已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2 點(diǎn)評：做“1”的代換。 .3.逆向運(yùn)用公式型 a,b?R,a?b?1求證： a? ? ?b? ?2.例3已知 點(diǎn)評：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。為脫去左邊的根號，a? 12,b? 將 1?1??? 轉(zhuǎn)換成 1??a??,1??b??,然后逆向運(yùn)22?2??? 用均值不等式： 若 a,b?R則 ab? ? a?b2 .4．挖掘隱含條件證明不等式 1??1?1?? a,b?R,a?b?1求證：?1???1???.a??b?9 ?例4 已知 ?a,b?R?,a?b?1 1??2 ?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b? 4??ab?? ?2?點(diǎn)評:由于? 著一個(gè)不等式ab? .5．用均值不等式的變式形式證明不等式 a?b?例5已知a,b,c?R,求證： ? b?c ?c?a ? 2?a?b?c?.點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵在于對a?b,b?c,c?a的處理，如果能找出 a?b與a?b間的關(guān)系，問題就可以 222222 解決，注意到 ? a?b?2ab?2a?b ? ?? ?a?b?2 ?2a?b ?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時(shí)要注意a ?b?2ab的a?b 變式應(yīng)用。常用 ? a?b2 (其中a,b?R)來解決有關(guān)根式不等式的問題.? 重要不等式及其應(yīng)用教案 教學(xué)目的 (1)使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式． (2)通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力． 教學(xué)過程 一、引入新課 師：上節(jié)課我們學(xué)過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？ 生：求差比較法，即 師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？ 生：當(dāng)a≠b時(shí)，(a－b)2＞0，當(dāng)a=b時(shí)，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來推導(dǎo)一些重要的不等式，同時(shí)學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法． 二、推導(dǎo)公式 1．奠基 師：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左邊展開，得 a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個(gè)很重要的絕對不等式，對任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？ 師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)． 以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索． 2．探索 師：公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca． 把以上三式疊加，得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ③ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)． 以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有 ④ (當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號)． ④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加． 3．再探索 師：考察兩個(gè)以上實(shí)數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個(gè)實(shí)數(shù)的立方和．由于 a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成 a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到 a3＋b3≥a2b＋ab2． ⑤ 考查三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？ 生：由③式的推導(dǎo)方法，再增加一個(gè)正實(shí)數(shù)c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到 b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2． 三式疊加，并應(yīng)用公式②，得 2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc． ∴a3＋b3＋c3≥3abc ⑥ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)． 師：這是課本中的不等式定理2，即三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學(xué)們可能想到n個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和會有什么結(jié)果，進(jìn)一步還會想到4個(gè)正數(shù)的4次方的和會有什么結(jié)果，直至n個(gè)正數(shù)的n次方的和會有什么結(jié)果．這些問題留給同學(xué)們課外去研究． 4．推論 師：直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個(gè)重要的不等式． ⑦ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)． 這就是課本中定理1的推論． ⑧ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)．這就是課本中定理2的推論． 當(dāng)ai∈R+(i=1，2，?，n)時(shí)，有下面的推廣公式(在中學(xué)不講它的證明) ⑨ (當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號)． 何平均數(shù)．⑨式表明：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個(gè)著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學(xué)掌握n=2、3時(shí)的兩個(gè)公式，即⑦和⑧． 三、小結(jié) (1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關(guān)系可圖示如下： (2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)． 四個(gè)公式中，②、⑦是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明． 幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而 + 如上左圖所示，顯然有 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過． 三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則 2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2 =a2＋b2(∵sin2A≤1) (當(dāng)且僅當(dāng)sinA=1，A=45°，即 a=b時(shí)取“=”號)． 2三、應(yīng)用公式練習(xí) 1．判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正． a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對了．這時(shí)需令α是第一、三象限的角．] 改條件使a、b∈R+；②改變證法．a(chǎn)2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．] 師：解題時(shí)，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件．只有公式①、②對任何實(shí)數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實(shí)數(shù)(事實(shí)上對非負(fù)實(shí)數(shù)也成立)． 2．填空： (1)當(dāng)a________時(shí)，an＋a－n≥________； (3)當(dāng)x________時(shí)，lg2x＋1≥_________； (5)tg2α＋ctg2α≥________； (6)sinxcosx≤________； 師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應(yīng)作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運(yùn)用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應(yīng)用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計(jì)．如 表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半． 四、布置作業(yè) 略． 教案說明 1．知識容量問題 這一節(jié)課安排的內(nèi)容是比較多的，有些是補(bǔ)充內(nèi)容．這是我教重點(diǎn)中學(xué)程度比較好的班級時(shí)的一份教案．實(shí)踐證明是可行的，效果也比較好．對于普通班級則應(yīng)另當(dāng)別論．補(bǔ)充內(nèi)容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習(xí)也須壓縮．但講完兩個(gè)定理及其推論，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的基本要求仍是可以做到的．還應(yīng)看到學(xué)生接受知識的能力也非一成不變的．同是一節(jié)課，講課重點(diǎn)突出，深入淺出，富有啟發(fā)性，學(xué)生就有可能舉一反 三、觸類旁通，獲取更多的知識．知識容量增加了，并未增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)．從整個(gè)單元來看，由于壓縮了講課時(shí)間，相應(yīng)的就增加了課堂練習(xí)的時(shí)間．反之，如果學(xué)生被動聽講，目標(biāo)不清，不得要領(lǐng)，內(nèi)容講得再少，學(xué)生也是難以接受的．由此可見，知識容量的多少，既與學(xué)生的程度有關(guān)，與教學(xué)是否得法也很有關(guān)系．我們應(yīng)當(dāng)盡可能采用最優(yōu)教法，擴(kuò)大學(xué)生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果． 2．教學(xué)目的問題 近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學(xué)目的和要求時(shí)，開始追求傳授知識和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學(xué)效果．在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面，不僅要求學(xué)生能夠運(yùn)用知識，更重要的是通過自己的思考來獲取知識．據(jù)此，本節(jié)課確定如下的教學(xué)目的：一是在知識內(nèi)容上要求學(xué)生掌握四個(gè)公式；二是培養(yǎng)學(xué)生用綜合法進(jìn)行推理的能力．當(dāng)然，學(xué)生能力的形成和發(fā)展，絕不是一節(jié)課所能“立竿見影”的．它比掌握知識來得慢，它是長期潛移默化的教學(xué)結(jié)果．考慮到中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識，大量的是公式和定理，如能在每一個(gè)公式、定理的教學(xué)中，都重視把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來，天長日久，肯定會收到深遠(yuǎn)的效果． 3．教材組織與教法選用問題 實(shí)現(xiàn)上述教學(xué)目的，關(guān)鍵在于組織好教材，努力把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來．教材中對定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應(yīng)．但這容易使人感到這兩個(gè)定理之間沒有什么內(nèi)在聯(lián)系，又似乎在應(yīng)用定理時(shí)才能用綜合法．事實(shí)上，可以用比較法證明兩個(gè)數(shù)的平方和或三個(gè)數(shù)的立方和的不等式，但當(dāng)n＞3，特別對n是奇數(shù)時(shí)，用比較法就困難了(因?yàn)檫@時(shí)難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對綜合法，學(xué)生在初中證幾何題時(shí)已多次用過了(只是課本上沒有提到這個(gè)名稱)．現(xiàn)行課本中兩個(gè)不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式： 和它的等價(jià)形式當(dāng) n=2，3時(shí)的特殊情況(當(dāng)n=2時(shí)，ai的取值有所變化)．在中學(xué)不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個(gè)特例應(yīng)是一般式的基礎(chǔ)．同時(shí)，這兩個(gè)特例之間應(yīng)有緊密的聯(lián)系，在推導(dǎo)方法上也應(yīng)該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設(shè)計(jì)思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法． 這里，我們用由定理1先推出一個(gè)輔助不等式 a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式 a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實(shí)上，引入一個(gè)一般的輔助不等式 an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法就可以證出公式 正因?yàn)樯鲜鲎C法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于 2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強(qiáng)調(diào)． 當(dāng)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下和教師一起探索問題時(shí)，這個(gè)探索本身就是培養(yǎng)學(xué)生今后獨(dú)立去獲取知識的過程． 課題：基本不等式的證明(1) 斜橋中學(xué)肖劍 一、教材分析 不等式是高中的重點(diǎn)也是難點(diǎn),而本節(jié)內(nèi)容又是該章的重中之重，是《考試說明》中八個(gè)C級考點(diǎn)之一?；静坏仁降淖C明方法（比較法、分析法、綜合法）為我們證明不等關(guān)系提供了主要的方法及應(yīng)用。用基本不等式求函數(shù)最值也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)。 二、教學(xué)目標(biāo) 1.知識目標(biāo)：⑴知道算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念 ⑵探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法； ⑶能利用基本不等式證明簡單的不等關(guān)系。 2.情感目標(biāo)：通過不等式基本性質(zhì)的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的思維品質(zhì)，滲透不等式 中的數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，陶冶學(xué)生的數(shù)學(xué)情操。 3.能力目標(biāo):⑴通過對基本不等式證明的理解，體會三種證明方法，能準(zhǔn)確用三種證明中簡 單的方法證明其它不等式問題。 ⑵體會類比的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)其觀察、分析問題的能力和總結(jié)概括的能力 三、教學(xué)重、難點(diǎn) 以學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)定理來得出重點(diǎn)，以學(xué)生小組討論，教師點(diǎn)撥來突破難點(diǎn)。 四、教學(xué)方法 以學(xué)生自主探究為住，教師歸納總結(jié)，采用啟發(fā)式教學(xué)。 五、教學(xué)過程 1、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課 利用多媒體顯示下面不等式，由學(xué)生完成比較大小。 3?42?94? 423 322222、問題探究、講授新課 提出問題：能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 通過比較，學(xué)生不難得出，兩數(shù)和的一半大于兩數(shù)積的算術(shù)平方根。從而得出數(shù)學(xué)表達(dá)式a?b?ab。從而得出本節(jié)課的第一個(gè)重點(diǎn)：基本不等式的定理。這樣由學(xué)生自主探索、2發(fā)現(xiàn)新知，可讓他們體會獲得成功的愉悅感。在這里，如果學(xué)生漏掉a和b是正數(shù)，可對他們進(jìn)行修正，并可擴(kuò)充到a?0，b?0。同時(shí)講明取“＝”當(dāng)且僅當(dāng)?shù)暮x，接著可向?qū)W生講 解算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念。 得出這個(gè)定理后，下面我可利用多媒體生動地向?qū)W生展示該不等式的幾何證明即不等式的幾何意義同時(shí)強(qiáng)調(diào)取等號時(shí)的位置，這樣可提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。展示完后，我便可提問，剛才我們是從圖中直觀地看出這個(gè)不等式是正確的，但我們數(shù)學(xué)是需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，同學(xué)們可用哪些方法去證明呢？這便是本節(jié)課的第二個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。在此，可鼓勵學(xué)生發(fā)揮集體的力量，一人不行兩人，兩人不行四人，大家一起探討，這樣以學(xué)生為主體，使他們?nèi)紖⑴c到課堂中去，使課堂達(dá)到高潮。在學(xué)生的討論過程中，我也深入到學(xué)生中去，并做適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥。 通過學(xué)生的討論，學(xué)生不難得出用作差的方法證明該不等式，對此，我對他們進(jìn)行鼓勵、肯定，豎立他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。同時(shí)向他們講明作差比較是我們高中階段證明不等式的重要方法之一。最后我用多媒體展示書寫過程，幫他們再次強(qiáng)化該方法的書寫步驟。對于分析法，我估計(jì)學(xué)生可能會想到思路，會說出大致的證明過程，但對該方法的理解還是很模糊的，在這里，我首先向他們介紹這就是分析法，是我們證明不等式的另一個(gè)重要方法，接著講解該方法，即從結(jié)論出發(fā)，推到已知結(jié)論或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成書寫，幫他們學(xué)會規(guī)范的書寫，即“要證，只要證”的形式 要證ab?a?b 2只要證2ab?a?b 只要證0?a?b?2ab 只要證0?a?b ?2 因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以ab? a?b成立，當(dāng)且僅當(dāng)a?b，即a?b時(shí)取“?” 2 對于綜合法，在證明這道題時(shí)，如果學(xué)生沒有先想到，就把本方法在最后的方法中講，因?yàn)榫C合法在本題中不易想到從哪個(gè)式子開始證明，但有了比較法和分析法后，學(xué)生自然能想到從哪個(gè)式子開始證明，同時(shí)講清綜合法的特點(diǎn)，即由條件，推倒結(jié)論。 講完三種證明方法后，留一定時(shí)間給學(xué)生，讓他們自己去感悟一下三種方法的特點(diǎn)及書寫過程，加深他們的印象。 b2a2 ?最后，我以鞏固本節(jié)課所學(xué)知識為目的，讓學(xué)生比較:與a?b的大小(其中ab a,b?R?)，在這里，我認(rèn)為比較兩個(gè)變量的大小，可引導(dǎo)學(xué)生利用我們上課一開始比較具體數(shù)大小的方法，代幾個(gè)具體的數(shù)去比較。這種方法在我們以后做填空題中比較大小是一種捷徑。而本題的證明可利用我們今天課上所講的三種方法，我打算讓兩位學(xué)生在黑板板演，以檢驗(yàn)他們掌握情況與書寫格式是否合理。如時(shí)間還有剩余，可由學(xué)生完成例一，幫他們鞏固基本不等式定理。 例一1．設(shè)a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立： ba1??2（2）a??2 aba 162．已知函數(shù)y?x?，x?(?2,??)，求此函數(shù)的最小值。x?2（1） 六、回顧反思： 本節(jié)課的最后，由學(xué)生思考今天所學(xué)到了哪些知識，這些知識可解決哪些問題？ 七、板書設(shè)計(jì) 基本不等式 一、定理 a?b?ab（a?0，b?0） 2二、證明方法 ⑴作差法 ⑵分析法 ⑶綜合法 三、探索 a?b比較?2a2?b2的大小 2 如何證明 例一第二篇：基本不等式的證明
第三篇：基本不等式與不等式基本證明
第四篇：基本不等式的證明
第五篇：基本不等式的證明 教案
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