第一篇：基本不等式與不等式基本證明

課時九 基本不等式與不等式基本證明

第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用

基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時，關(guān)鍵在對已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。

技巧一：加減常數(shù)

例

1、求函數(shù)y?x?

點評：當各項符號不確定時，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項均為正。

技巧二：巧變常數(shù)

例

2、已知0?x?

點評：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應(yīng)用時要注意活用。

技巧

三、分離常數(shù)

例

3、已知x?

5452121x?1(x?1)的值域。，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)?x?3x?32x?4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32點評：通過加減常數(shù)，分離出一個常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。

技巧

四、活用常數(shù)

例

4、若x,y?R且滿足

點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號不能同時取到的麻煩。

技巧

五、統(tǒng)一形式

?例

5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(?4x?16y?1，求x＋y的最小值。1

a?b?1

c)的最小值。

點評：根據(jù)分母的特點，進行結(jié)構(gòu)調(diào)整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。含有根號的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧

。x(1?x)等）

1．輪換對稱型

例1 若a,b,c是互不相等的實數(shù)，求

證：a?b?c

222

?ab?bc?ac.點評：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對稱不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代換型

111?

已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2

點評：做“1”的代換。

.3.逆向運用公式型

a,b?R,a?b?1求證： a?

?

?b?

?2.例3已知

點評：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。為脫去左邊的根號，a?

12,b?

將

1?1???

轉(zhuǎn)換成 1??a??,1??b??,然后逆向運22?2???

用均值不等式： 若

a,b?R則 ab?

?

a?b2

.4．挖掘隱含條件證明不等式

1??1?1??

a,b?R,a?b?1求證：?1???1???.a??b?9 ?例4 已知

?a,b?R?,a?b?1

1??2

?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b?

4??ab??

?2?點評:由于?

著一個不等式ab?

.5．用均值不等式的變式形式證明不等式

a?b?例5已知a,b,c?R,求證：

?

b?c

?c?a

?

2?a?b?c?.點評：本題的關(guān)鍵在于對a?b,b?c,c?a的處理，如果能找出

a?b與a?b間的關(guān)系，問題就可以

222222

解決，注意到

?

a?b?2ab?2a?b

?

??

?a?b?2

?2a?b

?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時要注意a

?b?2ab的a?b

變式應(yīng)用。常用

?

a?b2

(其中a,b?R)來解決有關(guān)根式不等式的問題.?

第二篇：基本不等式的證明

課題：基本不等式及其應(yīng)用

一、教學目的(1)認知：使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和

a?b?ab(a、b∈R+，當且僅當a=b時取“=”號)，并能應(yīng)用它們證明一些不等

2式．

(2)情感：通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學生運用綜合法進行推理的能力．

二、教學重難點

重點：兩個基本不等式的掌握；

難點：基本不等式的應(yīng)用。

三、教材、學生分析

教材分析：兩個基本不等式為以后學習不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種

方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。

學生分析：學生在上新課之前都預(yù)習了本節(jié)內(nèi)容，對上課內(nèi)容有一定的理解。所以根據(jù)這一

情況多補充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。

四、教學過程

（一）引入新課

客觀世界中，有些不等式關(guān)系是永遠成立的。例如，在周長相等時，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對這些不等關(guān)系的證明，常常會歸結(jié)為一些基本不等式。今天，我們學習兩個最常用的基本不等式。

（二）推導(dǎo)公式

1．奠基

如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？

學生回答：a=b，因為a=b?a+b=2ab 2

2充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．

以公式①為基礎(chǔ)，運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．

2．探索

公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個實數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有

a2＋b2≥2ab；

b2＋c2≥2bc；

c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

（當且僅當a=b=c時取“=”號)．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

22a12?a2???an?a1a2?a2a3???ana

1④

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法——迭代與疊加．

3．練習

222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）

4．基本不等式

2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2

如果a、b、∈R，那么ab?R?，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到

22a）?）?2ab 即a?b?2ab ∴a?b?ab⑤

2(當且僅當a=b時取“=”號)．

這就是課本中基本不等式2 我們把a?b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。

25、公式小結(jié)

(1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①

配方

② ③ 降換

次元

⑤

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實數(shù)的平方是非負數(shù)．

(3)四個公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明．

+222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表

示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

2ab?4?ab?4S?ABC 2

如上左圖所示，顯然有c?4?21ab 2

∴a＋b≥2ab 22

(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經(jīng)見過． 公式

示：

a?b?ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2

（三）例題

1、已知x，y∈R，證明：+xy??2，并指出等號成立的條件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a?b?8，并指出等號成立的條件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4

（其中一題作為練習）

（四）應(yīng)用

下面我們來解決開始上課時所提到的：在周長相等時，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。

求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。

證明：設(shè)矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a?b，2

'可計算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S?(a?b2)，2

由基本不等式2，得a?b?ab?0（因為a≠b等號不成立）。2

a?b2)?(ab)2，即S′>S.2又由不等式性質(zhì)，得（（五）作業(yè)

練習冊P10/6

第三篇：基本不等式的證明

重要不等式及其應(yīng)用教案

教學目的

(1)使學生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當且僅當a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式．

(2)通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學生運用綜合法進行推理的能力．

教學過程

一、引入新課

師：上節(jié)課我們學過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？

生：求差比較法，即

師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學習一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法．

如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？

生：當a≠b時，(a－b)2＞0，當a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈

R+∪{0}．

師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來推導(dǎo)一些重要的不等式，同時學習一些證明不等式的方法．

二、推導(dǎo)公式

1．奠基

師：如果a、b∈R，那么有

(a－b)2≥0．

①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？

師：充要條件通常用“當且僅當”來表達．“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a=b時取“=”號)．

以公式①為基礎(chǔ)，運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．

2．探索

師：公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個實數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個運用公式②，有

a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

④

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法——迭代與疊加．

3．再探索

師：考察兩個以上實數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個實數(shù)的立方和．由于

a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成

a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到

a3＋b3≥a2b＋ab2．

⑤

考查三個正實數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？

生：由③式的推導(dǎo)方法，再增加一個正實數(shù)c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．

三式疊加，并應(yīng)用公式②，得

2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)

≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．

∴a3＋b3＋c3≥3abc

⑥

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．

師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學們可能想到n個正實數(shù)的立方和會有什么結(jié)果，進一步還會想到4個正數(shù)的4次方的和會有什么結(jié)果，直至n個正數(shù)的n次方的和會有什么結(jié)果．這些問題留給同學們課外去研究．

4．推論

師：直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個重要的不等式．

⑦

(當且僅當a=b時取“=”號)．

這就是課本中定理1的推論．

⑧

(當且僅當a=b=c時取“=”號)．這就是課本中定理2的推論．

當ai∈R+(i=1，2，?，n)時，有下面的推廣公式(在中學不講它的證明)

⑨

(當且僅當a1=a2=?=an時取“=”號)．

何平均數(shù)．⑨式表明：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學掌握n=2、3時的兩個公式，即⑦和⑧．

三、小結(jié)

(1)我們從公式①出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關(guān)系可圖示如下：

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實數(shù)的平方是非負數(shù)．

四個公式中，②、⑦是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．

幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

+

如上左圖所示，顯然有

(當且僅當a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經(jīng)見過．

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2

=a2＋b2(∵sin2A≤1)

(當且僅當sinA=1，A=45°，即 a=b時取“=”號)．

2三、應(yīng)用公式練習

1．判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正．

a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對了．這時需令α是第一、三象限的角．]

改條件使a、b∈R+；②改變證法．a(chǎn)2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]

師：解題時，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件．只有公式①、②對任何實數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實數(shù)(事實上對非負實數(shù)也成立)．

2．填空：

(1)當a________時，an＋a－n≥________；

(3)當x________時，lg2x＋1≥_________；

(5)tg2α＋ctg2α≥________；

(6)sinxcosx≤________；

師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應(yīng)作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應(yīng)用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計．如

表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半．

四、布置作業(yè)

略．

教案說明

1．知識容量問題

這一節(jié)課安排的內(nèi)容是比較多的，有些是補充內(nèi)容．這是我教重點中學程度比較好的班級時的一份教案．實踐證明是可行的，效果也比較好．對于普通班級則應(yīng)另當別論．補充內(nèi)容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習也須壓縮．但講完兩個定理及其推論，實現(xiàn)教學的基本要求仍是可以做到的．還應(yīng)看到學生接受知識的能力也非一成不變的．同是一節(jié)課，講課重點突出，深入淺出，富有啟發(fā)性，學生就有可能舉一反

三、觸類旁通，獲取更多的知識．知識容量增加了，并未增加學生的負擔．從整個單元來看，由于壓縮了講課時間，相應(yīng)的就增加了課堂練習的時間．反之，如果學生被動聽講，目標不清，不得要領(lǐng)，內(nèi)容講得再少，學生也是難以接受的．由此可見，知識容量的多少，既與學生的程度有關(guān)，與教學是否得法也很有關(guān)系．我們應(yīng)當盡可能采用最優(yōu)教法，擴大學生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果．

2．教學目的問題

近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學目的和要求時，開始追求傳授知識和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學效果．在培養(yǎng)學生的能力方面，不僅要求學生能夠運用知識，更重要的是通過自己的思考來獲取知識．據(jù)此，本節(jié)課確定如下的教學目的：一是在知識內(nèi)容上要求學生掌握四個公式；二是培養(yǎng)學生用綜合法進行推理的能力．當然，學生能力的形成和發(fā)展，絕不是一節(jié)課所能“立竿見影”的．它比掌握知識來得慢，它是長期潛移默化的教學結(jié)果．考慮到中學數(shù)學的基本知識，大量的是公式和定理，如能在每一個公式、定理的教學中，都重視把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來，天長日久，肯定會收到深遠的效果．

3．教材組織與教法選用問題

實現(xiàn)上述教學目的，關(guān)鍵在于組織好教材，努力把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來．教材中對定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應(yīng)．但這容易使人感到這兩個定理之間沒有什么內(nèi)在聯(lián)系，又似乎在應(yīng)用定理時才能用綜合法．事實上，可以用比較法證明兩個數(shù)的平方和或三個數(shù)的立方和的不等式，但當n＞3，特別對n是奇數(shù)時，用比較法就困難了(因為這時難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對綜合法，學生在初中證幾何題時已多次用過了(只是課本上沒有提到這個名稱)．現(xiàn)行課本中兩個不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式：

和它的等價形式當

n=2，3時的特殊情況(當n=2時，ai的取值有所變化)．在中學不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個特例應(yīng)是一般式的基礎(chǔ)．同時，這兩個特例之間應(yīng)有緊密的聯(lián)系，在推導(dǎo)方法上也應(yīng)該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設(shè)計思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法．

這里，我們用由定理1先推出一個輔助不等式

a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式

a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實上，引入一個一般的輔助不等式

an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學歸納法就可以證出公式

正因為上述證法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于

2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強調(diào)．

當學生在教師的指導(dǎo)下和教師一起探索問題時，這個探索本身就是培養(yǎng)學生今后獨立去獲取知識的過程．

第四篇：基本不等式練習題

基本不等式練習題

一、選擇題，本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若a?R，下列不等式恒成立的是（）

A．a(chǎn)2?1?aB12?1C．a(chǎn)2?9?6aD．lg(a?1)?lg|2a| 2a?

12.若0?a?b且a?b?1，則下列四個數(shù)中最大的是（）

Ａ．1Ｂ．

2xa2?b2Ｃ．2abＤ．a(chǎn)3.設(shè)x>0,則y?3?3x?的最大值為（）

Ａ．3Ｂ

．3? Ｃ．

3?Ｄ．－1

4.設(shè)x,y?R,且x?y?5,則3x?3y的最小值是()

A.10

B.C.D.5.若x, y是正數(shù)，且14??1，則xyxy有（）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值11 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 1616

6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是（）

A．a(chǎn)2?b2?c2?2B．(a?b?c)2?3

C

．1

a?1

b?1

c?D

．a(chǎn)?b?c?7.若x>0, y>0,且x+y?4,則下列不等式中恒成立的是（）

A．11111?B．??1C

2D．?1 x?y4xyxy

8.a,b是正數(shù)，則

Ａ

．

a?b,22ab三個數(shù)的大小順序是（）a?b a?b2aba?b2abＢ

．????2a?b2a?b

2aba?bＤ

．a(chǎn)?b22aba?b?a?b2Ｃ

．9.某產(chǎn)品的產(chǎn)量第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，設(shè)這兩年平均增長率為x，則有（）

Ａ．x?p?qp?qp?qp?qＢ．x?Ｃ．x?Ｄ．x? 2222

10.下列函數(shù)中，最小值為4的是（）

Ａ．y?x?Ｂ．y?sinx?

?x

Ｃ．y?ex?4eＤ．

x

4(0?x??)sinx

y?log3x?4loxg 3

二、填空題, 本大題共4小題，每小題3分，滿分12分，把正確的答案寫在題中橫線上.11.函

數(shù)y?的最大值為12.建造一個容積為18m3, 深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和

池壁每m2 的造價為200元和150元，那么池的最低造價為_________元.13.若直角三角形斜邊長是1，則其內(nèi)切圓半徑的最大值是.14.判斷下列不等式的證明過程中的正誤，并指出錯因。（1）若a、b∈R，則

baba

＋≥2?＝2（）abab

?

（2）若x,y?R，則lgx＋lgy≥2lgx?lgy（）

（3）若x?0，則x＋

4≥－2x?＝－4（）xx

（4）若x∈R，則2x＋2?x≥22x?2?x＝2（）

三、解答題, 本大題共4小題，每小題12分，共48分，解答應(yīng)寫出

必要的文字說明、證明過程和演算步驟.15..16.設(shè)a, b, c?(0,??),且a+b+c=1，求證：(?1)(?1)(?1)?8.a

1b

1c

17.已知正數(shù)a, b滿足a+b=1（1）求ab的取值范圍;的最小值.18.2）求ab?

ab

（基本不等式

1.若a,b?R，則ab?a

?b2

2（當且僅當a?b時取“=”）

2.若a,b?R*，則a?b?2ab（當且僅當a?b時取“=”）

3.若

x?0，則

x?

?2(當且僅當x

x?1時取“=”）;若x?0，則x?1??2(當且僅當

x

x??1時取“=”）

注：（1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植

時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”。

應(yīng)用一：求最值

例1：求下列函數(shù)的值域

（1）y＝3x＋

12x

（2）y＝x＋

x

解：（1）y＝3x＋

2≥22x

3x·

2＝2x

6∴值域為[6，+∞）

（2）當x＞0時，y＝x＋ ≥2

x

1x· ＝2；

x

x· =－2

x

當x＜0時，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2

xx

∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）

1.已知2.當3.若

4已知

時，求

x?，求函數(shù)y?4x?2?

1的最大值 4x?

5y?x(8?2x)的最大值。

x,y?R?且2x?y?1，求

11的最小值 ?xy

a,b,x,y?R?且

ab

??1，求xy

x?y的最小值

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

5.已知

6.正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

7.已知a、b、c?R，且

?

a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

a?b?c?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題

8.已知

x?0,y?0且

??1，求使不等式x?y?m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。xy

應(yīng)用四：實際應(yīng)用題及比較大小

1a?b)，則P,Q,R的大小關(guān)系是例：若a?b?1,P?a?lgb,Q?(lga?lgb),R?lg（22

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0Q?（lga?lgb)?a?lgb?p

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

9.建造一個容積為18m, 深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每m 的造價為200元和150元，那么池的最低造價為多少元.

第五篇：基本不等式說課稿

基本不等式是主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明的不等式。以下是小編整理的基本不等式說課稿，希望對大家有幫助！

尊敬的各位考官大家好，我是今天的X號考生，今天我說課的題目是《基本不等式》。

接下來我將從教材分析、學情分析、教學重難點、教學方法、教學過程等幾個方面展開我的說課。

一、說教材

我認為要真正的教好一節(jié)課，首先就是要對教材熟悉，那么我就先來說一說我對本節(jié)課教材的理解。《基本不等式》在人教A版高中數(shù)學必修五第三章第四節(jié)，本節(jié)課的內(nèi)容是基本不等式的形式以及推導(dǎo)和證明過程。本章一直在研究不等式的相關(guān)問題，對于本節(jié)課的知識點有了很好的鋪墊作用。同時本節(jié)課的內(nèi)容也是之后基本不等式應(yīng)用的必要基礎(chǔ)。

二、說學情

教材是我們教學的工具，是載體。但我們的教學是要面向?qū)W生的，高中學生本身身心已經(jīng)趨于成熟，管理與教學難度較大，那么為了能夠成為一個合格的高中教師，深入了解所面對的學生可以說是必修課。本階段的學生思維能力已經(jīng)非常成熟，能夠有自己獨立的思考，所以應(yīng)該積極發(fā)揮這種優(yōu)勢，讓學生獨立思考探索。

三、說教學目標

根據(jù)以上對教材的分析以及對學情的把握，結(jié)合本節(jié)課的知識內(nèi)容以及課標要求，我制定了如下的三維教學目標：

(一)知識與技能

掌握基本不等式的形式以及推導(dǎo)過程，會用基本不等式解決簡單問題。

(二)過程與方法

經(jīng)歷基本不等式的推導(dǎo)與證明過程，提升邏輯推理能力。

(三)情感態(tài)度價值觀

在猜想論證的過程中，體會數(shù)學的嚴謹性。

四、說教學重難點

并且我認為一節(jié)好的數(shù)學課，從教學內(nèi)容上說一定要突出重點、突破難點。而教學重點的確立與我本節(jié)課的內(nèi)容肯定是密不可分的。那么根據(jù)授課內(nèi)容可以確定本節(jié)課的教學重點是：基本不等式的形式以及推導(dǎo)過程。而作為高中內(nèi)容，命題的嚴謹性是必要的，所以本節(jié)課的教學難點是：基本不等式的推導(dǎo)以及證明過程。

五、說教法和學法

那么想要很好的呈現(xiàn)以上的想法，就需要教師合理設(shè)計教法和學法。根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，我認為應(yīng)該選擇講授法，練習法，學生自主思考探索等教學方法。

六、說教學過程

而教學方法的具象化就是教學過程，基于新課標提出的教學過程是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。我試圖通過我的教學過程，打造一個充滿生命力的課堂。

(一)新課導(dǎo)入

教學過程的第一步是新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)。

我先PPT出示的是北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的。

提問：你能在這個圖中找到不等關(guān)系么?

引出課題。

通過展示會標并提問的形式，一方面可以引發(fā)學生的好奇心和求知欲，激發(fā)學生的學習興趣;另一方面直入課題，可以很好的過渡到今天的主題內(nèi)容：推導(dǎo)基本不等式。

(二)新知探索

接下來是教學中最重要的新知探索環(huán)節(jié)。

1.通過導(dǎo)入的問題，學生思考：通過趙爽弦圖推可以發(fā)現(xiàn)哪些不等關(guān)系呢?

學生小組探究：利用趙爽弦圖推導(dǎo)出基本不等式。

之后請學生把證明過程進行板書：

(2)“探究”，幾何證明。

分析法是從結(jié)果入手，由果索因;幾何法是由幾何中的不等關(guān)系，進行證明。此類不等式的證明分析法理解簡單，幾何法稍難。學生通過兩種證明過程，加深基本不等式的理解，還練習了證明方法。

至此本節(jié)課的主要教學內(nèi)容已經(jīng)完成，學生在我層次性問題的引導(dǎo)下，一步步通過自己的思考和探索，發(fā)現(xiàn)基本不等式，通過不同的方法證明了基本不等式。重點得以突出，難點得以突破。

(三)課堂練習

當然一節(jié)課只得出結(jié)論還是不夠的，作為一節(jié)數(shù)學課要及時對知識進行應(yīng)用。所以我設(shè)計了如下兩道課堂練習：

(2)一段長為36m的籬笆圍成矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時菜園面積最大?最大面積是多少?

這樣的問題能夠兼顧到本節(jié)課的所有主要內(nèi)容，并且問題具有層次性，能讓學生初步感知基本不等式應(yīng)用中“積定和最小，和定積最大”的規(guī)律，為后續(xù)基本不等式的應(yīng)用做好了鋪墊，利于學生的思維發(fā)展。

(四)小結(jié)作業(yè)

在課程的最后我會提問：今天有什么收獲?

引導(dǎo)學生回顧：基本不等式以及推導(dǎo)證明過程。

本節(jié)課的課后作業(yè)我設(shè)計為開放性問題：思考還有什么方法能夠證明基本不等式?可以利用書本資料，也可以上網(wǎng)查閱資料。

這樣的作業(yè)設(shè)置能夠有效激發(fā)學生思考，不限制學生的思維，真正做到以學生為主體，讓學生學會自主學習。

各位評委老師，上午好！我是來應(yīng)聘高中數(shù)學的一號考生，我今天說課的題目是《基本不等式》，下面我將從說教材，說學情，說教法，說學法，說教學過程，說板書設(shè)計六個方面展開我的說課，下面開始我的說課！

一、說教材。

1教材的地位和作用：

《基本不等式》是人教版高中數(shù)學必修五第三章第四節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)主要內(nèi)容是基本不等式的證明和簡單應(yīng)用。它是在學完不等式性質(zhì)，不等式的解法及線性規(guī)劃等知識的基礎(chǔ)上，對不等式的進一步研究，在不等式的證明和求最值的過程中有著廣泛的應(yīng)用。

2教學目標：

（1）知識與技能：學生能寫出基本不等式，會應(yīng)用基本不等式解決相關(guān)問題。

（2）過程與方法：學生通過觀察圖形，推導(dǎo)、證明等過程，培養(yǎng)觀察、分析、歸納、總結(jié)的能力。

（3）情感態(tài)度與價值觀：學生領(lǐng)略數(shù)學的實際應(yīng)用價值，感受數(shù)學學習的樂趣。

3教學重難點：

重點：理解基本不等式的本質(zhì)并會解決實際問題。

難點：基本不等式幾何意義的理解。

二、說學情。

為了更好地實現(xiàn)教學目標，我將對學生情況進行一下簡要分析。對于高一年級的學生來說，他們對不等式的知識有了一定的了解，但對基本不等式的理解運用能力不足。這一階段的學生正處在由抽象思維到邏輯思維的過渡期，對圖形的觀察、分析、總結(jié)可能會感到比較困難。這都將成為我組織教學的考慮因素。

三、說教法。

科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍，達到教育學的和諧完美與統(tǒng)一。根據(jù)本節(jié)課的特點并結(jié)合新課改的要求，在本節(jié)課中，我將采用講授法、演示法、引導(dǎo)啟發(fā)法等教學方法。

四、說學法。

教師的教是為了學生更好地學，結(jié)合本節(jié)內(nèi)容，我將學法確定為自主探究法、分析歸納

法。充分調(diào)動學生的眼、手、腦等多種感官參與學習，既培養(yǎng)了他們的學習興趣，又使他們感受到了學習的樂趣。

五、說教學過程。

首先，我將利用多媒體戰(zhàn)士2002年國際數(shù)學家大會的會標，讓同學們邊觀察邊思考：圖上有哪些相等或不等關(guān)系？通過展示來激發(fā)學生的學習興趣。接下來是新授環(huán)節(jié)。

我將會標抽象成幾何圖形，正方形ABCD 中有4個全等的直角三角形，讓學生自主探究，比較三角形面積之和與正方形面積的大小，從而讓學生自主推導(dǎo)出不等式a 2+b 2>2ab，再通過引導(dǎo)啟發(fā)，讓學生自己將結(jié)論補充完整。接下來，我會提問：你們能給出它的證明嗎？給兩分鐘的時間讓學生自主探究。然后用講授法給出基本不等式的常用形式ab≤a+b(a>0,b>0)，并給出具體的證明過程，強調(diào)等號成立的條件?；静?

等式的證明是本節(jié)課的重點，先通過學生的自主探究，再通過我的講授，學生可以更快地理解這一知識點。接下來是探究基本不等式的幾何意義。先由學生自主思考兩分鐘的時間，然后通過我的講授，讓學生理解基本不等式的幾何意義，最后通過幾何畫板動態(tài)演示，讓學生更直觀地感受基本不等式的幾何意義。這樣就突破了基本不等式的幾何意義這一難點。接下來是鞏固練習環(huán)節(jié)。

這個環(huán)節(jié)，我將利用兩個例題對剛才所講的知識進行鞏固練習。

例1：證明（1）x +1≥2(x >0)x

（2）a +1≥2a(a ≥0)

例2：（1）用籬笆圍一個面積為100m的矩形菜園。問矩形長寬各為多少時，所用籬笆最短？

（2）一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問長寬各為多少時面積最大？第一個例題不是課本例題，它比課本例題簡單，這樣循序漸進，有利于學生理解不等式的內(nèi)涵，此處a、b不僅僅是一個字母，而是一個符號，可以是具體數(shù)字，也可以是一個多項式。對于這個例題，多數(shù)學生會仿照課本上的思路用分析法進行證明。

第二個例題是利用基本不等式求最值進而解決實際問題，體現(xiàn)了基本不等式的應(yīng)用價值，而且例題包含了公式的正向應(yīng)用和逆向應(yīng)用，鍛煉了學生的靈活使用能力。

下面是小結(jié)環(huán)節(jié)。我將讓學生用兩分鐘的時間回顧本節(jié)課所學習的內(nèi)容，并自己總結(jié)出本節(jié)的知識點。這樣不但能鞏固本節(jié)所學知識，而且能培養(yǎng)學生分析、歸納、總結(jié)的能力。22

然后是布置作業(yè)。為了在課后對所學的知識進行鞏固，我將布置課后習題第2題，第4題作為練習題。