第一篇：基本不等式復(fù)習學案

高三數(shù)學復(fù)習學案第六章 不等式、推理與證明姓名：班級：主備人：趙鎖恩

第四節(jié)

A.1B.3C.5D.7

基本不等式

三.基本不等式的應(yīng)用

10.（2011.日照質(zhì)檢）已知正數(shù)a,b,c滿足a?2b?c?1，則

一.基本不等式成立的條件

1.（2011.茂名期末）下列結(jié)論中，正確的序號有：（1）x?

??的最小值為_____ abc

11111.（2012.白山一摸）函數(shù)y?loga(x?3)?1(a?0,且a?1)的圖象恒過定點A，若定點A?2 ；（2）當x?0x?（3）當x?0且x?1時，lgx??2；?2xx

lgx（4）當x?(0,?)時，sinx?4sinx?4；（5）x2?5x2?4?2 ；（6）2x

?12x?2 二.利用基本不等式求最值

2.（2009.湖南）若x?0，則x?2

x的最小值為________

3.（2011.重慶）函數(shù)f(x)?x?

x?2

(x?2)在x?a處取最小值，則a?_______ 4.（2012.九江模擬）函數(shù)f(x)?x2

?2x?1x2

?2x?1,x?(0,3)，則（）A.f(x)有最大值7

4B.f(x)有最小值?1

C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1

5.（2009.重慶）已知a?0,b?0，則

1a?1

b

?2ab的最小值是（）A.2B.22C.4D.5

6.（2013.福建）若2x

?2y

?1，則x?y的取值范圍是（）

A.[0,2]B.[?2,0]C.[?2,??)D.(??,?2]

7.（2011.天津）已知log2a?loga

b

2b?1，則3?9的最小值是______

8.（2011.浙江）若正實數(shù)x,y滿足x,y滿足x2?y2

?xy?1，則x?y的最大值是______

9.（2012.韶關(guān)一摸）當點(x,y)在直線x?3y?2?0上移動時，表達式3x

?27y

?1的最小值為（）

十年磨劍為一搏，六月試鋒現(xiàn)真我。在直線mx?ny?1?0，其中mn?0，則1m?2

n的最小值為______

12.(2010山東)若對任意x?0,xx2?3x?1

?a恒成立，則a的取值范圍是__________________ 13.（2012.大連二模）已知x?0,y?0，且

2x?1

y

?1，若x?2y?m2?2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.m?4或m??2B.m?2或m??4C.?2?m?4D.?4?m?2

14.（2012長春模擬）已知M是?ABC內(nèi)的一點，且??2,?BAC?30?,若?MBC,?MCA,?MAB的面積分別為

114

2，x，y，則x?y的最小值為______

15.（2012.煙臺二模）設(shè)a,b?R，則“a?b?1”是“4ab?1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

16.（2008.浙江）已知a?0,b?0，且a?b?2，則（）

A.ab?

1B.ab?12222

C.a?b?3

D.a

?b2?2

17.（2010.安徽）若a?0,b?0，且a?b?2，則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是__________________（寫出所有正確命題的序號）（1）ab?1（2）a?b?（3）a

?b2?2（4）a3?b3?3（5）1a

?1b

?2

把奮斗留在今天，把結(jié)果留給命運。

第二篇：1.1.2不等式的基本性質(zhì)導學案

蘭州新區(qū)永登縣第五中學高二數(shù)學（文）導學案

班級：小組名稱：姓名：得分：

導學案 §1.1.2不等式的基本性質(zhì)

設(shè)計人：薛東梅審核人：梁國棟、趙珍

學習目標：

1．了解兩個正數(shù)的算術(shù)平均與幾何平均；2．理解定理1和定理2；3．掌握利用基本不等式求一些函數(shù)的最值及解決實際的應(yīng)用問題。學習重點：對兩個定理的理解

學習難點：應(yīng)用基本不等式求最值問題

學習方法：六動感悟法（讀，想，記，思，練，悟）

一、自學評價 1．定理1：

2．定理2：（基本不等式）

3．如果a,b都是正數(shù)，我們就稱為a,b的為a,b的，于是，基本不等式可以表述為：思考：利用基本不等式

a?b

?ab求最值的條件？

注意：利用基本不等式求最值的方法與步驟：（1）變正：通過提取“負號”變?yōu)檎龜?shù)；

（2）湊定：利用拆項、添項的方法，湊出“和”或“乘積”為定值；（3）求最值：利用基本不等式求出最值；（4）驗相等：驗證等號能否成立；（5）結(jié)論：得出最大值或最小值。

4．已知x，yyx

x?y

?

2二、檢測交流

1．用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

2．一段長為36m的籬笆圍城一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積時多少？

三、拓展探究

1．設(shè)a，b?R2ab

?，且a?b，求證a?b

?ab

2．當x>0時，x?1x存在最值，最值為x<0時，x?1

x

存在最

3．設(shè)x,y為正數(shù)，求(x?y)(1?4

xy)的最小值

4．已知x?54，求函數(shù)y?4x?2?14x?5的最值

5．猜想對于3個正數(shù)a,b,c,a?b?c3

?abc成立嗎？

第三篇：基本不等式練習題

基本不等式練習題

一、選擇題，本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若a?R，下列不等式恒成立的是（）

A．a(chǎn)2?1?aB12?1C．a(chǎn)2?9?6aD．lg(a?1)?lg|2a| 2a?

12.若0?a?b且a?b?1，則下列四個數(shù)中最大的是（）

Ａ．1Ｂ．

2xa2?b2Ｃ．2abＤ．a(chǎn)3.設(shè)x>0,則y?3?3x?的最大值為（）

Ａ．3Ｂ

．3? Ｃ．

3?Ｄ．－1

4.設(shè)x,y?R,且x?y?5,則3x?3y的最小值是()

A.10

B.C.D.5.若x, y是正數(shù)，且14??1，則xyxy有（）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值11 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 1616

6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是（）

A．a(chǎn)2?b2?c2?2B．(a?b?c)2?3

C

．1

a?1

b?1

c?D

．a(chǎn)?b?c?7.若x>0, y>0,且x+y?4,則下列不等式中恒成立的是（）

A．11111?B．??1C

2D．?1 x?y4xyxy

8.a,b是正數(shù)，則

Ａ

．

a?b,22ab三個數(shù)的大小順序是（）a?b a?b2aba?b2abＢ

．????2a?b2a?b

2aba?bＤ

．a(chǎn)?b22aba?b?a?b2Ｃ

．9.某產(chǎn)品的產(chǎn)量第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，設(shè)這兩年平均增長率為x，則有（）

Ａ．x?p?qp?qp?qp?qＢ．x?Ｃ．x?Ｄ．x? 2222

10.下列函數(shù)中，最小值為4的是（）

Ａ．y?x?Ｂ．y?sinx?

?x

Ｃ．y?ex?4eＤ．

x

4(0?x??)sinx

y?log3x?4loxg 3

二、填空題, 本大題共4小題，每小題3分，滿分12分，把正確的答案寫在題中橫線上.11.函

數(shù)y?的最大值為12.建造一個容積為18m3, 深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和

池壁每m2 的造價為200元和150元，那么池的最低造價為_________元.13.若直角三角形斜邊長是1，則其內(nèi)切圓半徑的最大值是.14.判斷下列不等式的證明過程中的正誤，并指出錯因。（1）若a、b∈R，則

baba

＋≥2?＝2（）abab

?

（2）若x,y?R，則lgx＋lgy≥2lgx?lgy（）

（3）若x?0，則x＋

4≥－2x?＝－4（）xx

（4）若x∈R，則2x＋2?x≥22x?2?x＝2（）

三、解答題, 本大題共4小題，每小題12分，共48分，解答應(yīng)寫出

必要的文字說明、證明過程和演算步驟.15..16.設(shè)a, b, c?(0,??),且a+b+c=1，求證：(?1)(?1)(?1)?8.a

1b

1c

17.已知正數(shù)a, b滿足a+b=1（1）求ab的取值范圍;的最小值.18.2）求ab?

ab

（基本不等式

1.若a,b?R，則ab?a

?b2

2（當且僅當a?b時取“=”）

2.若a,b?R*，則a?b?2ab（當且僅當a?b時取“=”）

3.若

x?0，則

x?

?2(當且僅當x

x?1時取“=”）;若x?0，則x?1??2(當且僅當

x

x??1時取“=”）

注：（1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植

時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”。

應(yīng)用一：求最值

例1：求下列函數(shù)的值域

（1）y＝3x＋

12x

（2）y＝x＋

x

解：（1）y＝3x＋

2≥22x

3x·

2＝2x

6∴值域為[6，+∞）

（2）當x＞0時，y＝x＋ ≥2

x

1x· ＝2；

x

x· =－2

x

當x＜0時，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2

xx

∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）

1.已知2.當3.若

4已知

時，求

x?，求函數(shù)y?4x?2?

1的最大值 4x?

5y?x(8?2x)的最大值。

x,y?R?且2x?y?1，求

11的最小值 ?xy

a,b,x,y?R?且

ab

??1，求xy

x?y的最小值

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

5.已知

6.正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

7.已知a、b、c?R，且

?

a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

a?b?c?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題

8.已知

x?0,y?0且

??1，求使不等式x?y?m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。xy

應(yīng)用四：實際應(yīng)用題及比較大小

1a?b)，則P,Q,R的大小關(guān)系是例：若a?b?1,P?a?lgb,Q?(lga?lgb),R?lg（22

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0Q?（lga?lgb)?a?lgb?p

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

9.建造一個容積為18m, 深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每m 的造價為200元和150元，那么池的最低造價為多少元.

第四篇：基本不等式說課稿

基本不等式是主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明的不等式。以下是小編整理的基本不等式說課稿，希望對大家有幫助！

尊敬的各位考官大家好，我是今天的X號考生，今天我說課的題目是《基本不等式》。

接下來我將從教材分析、學情分析、教學重難點、教學方法、教學過程等幾個方面展開我的說課。

一、說教材

我認為要真正的教好一節(jié)課，首先就是要對教材熟悉，那么我就先來說一說我對本節(jié)課教材的理解。《基本不等式》在人教A版高中數(shù)學必修五第三章第四節(jié)，本節(jié)課的內(nèi)容是基本不等式的形式以及推導和證明過程。本章一直在研究不等式的相關(guān)問題，對于本節(jié)課的知識點有了很好的鋪墊作用。同時本節(jié)課的內(nèi)容也是之后基本不等式應(yīng)用的必要基礎(chǔ)。

二、說學情

教材是我們教學的工具，是載體。但我們的教學是要面向?qū)W生的，高中學生本身身心已經(jīng)趨于成熟，管理與教學難度較大，那么為了能夠成為一個合格的高中教師，深入了解所面對的學生可以說是必修課。本階段的學生思維能力已經(jīng)非常成熟，能夠有自己獨立的思考，所以應(yīng)該積極發(fā)揮這種優(yōu)勢，讓學生獨立思考探索。

三、說教學目標

根據(jù)以上對教材的分析以及對學情的把握，結(jié)合本節(jié)課的知識內(nèi)容以及課標要求，我制定了如下的三維教學目標：

(一)知識與技能

掌握基本不等式的形式以及推導過程，會用基本不等式解決簡單問題。

(二)過程與方法

經(jīng)歷基本不等式的推導與證明過程，提升邏輯推理能力。

(三)情感態(tài)度價值觀

在猜想論證的過程中，體會數(shù)學的嚴謹性。

四、說教學重難點

并且我認為一節(jié)好的數(shù)學課，從教學內(nèi)容上說一定要突出重點、突破難點。而教學重點的確立與我本節(jié)課的內(nèi)容肯定是密不可分的。那么根據(jù)授課內(nèi)容可以確定本節(jié)課的教學重點是：基本不等式的形式以及推導過程。而作為高中內(nèi)容，命題的嚴謹性是必要的，所以本節(jié)課的教學難點是：基本不等式的推導以及證明過程。

五、說教法和學法

那么想要很好的呈現(xiàn)以上的想法，就需要教師合理設(shè)計教法和學法。根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，我認為應(yīng)該選擇講授法，練習法，學生自主思考探索等教學方法。

六、說教學過程

而教學方法的具象化就是教學過程，基于新課標提出的教學過程是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。我試圖通過我的教學過程，打造一個充滿生命力的課堂。

(一)新課導入

教學過程的第一步是新課導入環(huán)節(jié)。

我先PPT出示的是北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的。

提問：你能在這個圖中找到不等關(guān)系么?

引出課題。

通過展示會標并提問的形式，一方面可以引發(fā)學生的好奇心和求知欲，激發(fā)學生的學習興趣;另一方面直入課題，可以很好的過渡到今天的主題內(nèi)容：推導基本不等式。

(二)新知探索

接下來是教學中最重要的新知探索環(huán)節(jié)。

1.通過導入的問題，學生思考：通過趙爽弦圖推可以發(fā)現(xiàn)哪些不等關(guān)系呢?

學生小組探究：利用趙爽弦圖推導出基本不等式。

之后請學生把證明過程進行板書：

(2)“探究”，幾何證明。

分析法是從結(jié)果入手，由果索因;幾何法是由幾何中的不等關(guān)系，進行證明。此類不等式的證明分析法理解簡單，幾何法稍難。學生通過兩種證明過程，加深基本不等式的理解，還練習了證明方法。

至此本節(jié)課的主要教學內(nèi)容已經(jīng)完成，學生在我層次性問題的引導下，一步步通過自己的思考和探索，發(fā)現(xiàn)基本不等式，通過不同的方法證明了基本不等式。重點得以突出，難點得以突破。

(三)課堂練習

當然一節(jié)課只得出結(jié)論還是不夠的，作為一節(jié)數(shù)學課要及時對知識進行應(yīng)用。所以我設(shè)計了如下兩道課堂練習：

(2)一段長為36m的籬笆圍成矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時菜園面積最大?最大面積是多少?

這樣的問題能夠兼顧到本節(jié)課的所有主要內(nèi)容，并且問題具有層次性，能讓學生初步感知基本不等式應(yīng)用中“積定和最小，和定積最大”的規(guī)律，為后續(xù)基本不等式的應(yīng)用做好了鋪墊，利于學生的思維發(fā)展。

(四)小結(jié)作業(yè)

在課程的最后我會提問：今天有什么收獲?

引導學生回顧：基本不等式以及推導證明過程。

本節(jié)課的課后作業(yè)我設(shè)計為開放性問題：思考還有什么方法能夠證明基本不等式?可以利用書本資料，也可以上網(wǎng)查閱資料。

這樣的作業(yè)設(shè)置能夠有效激發(fā)學生思考，不限制學生的思維，真正做到以學生為主體，讓學生學會自主學習。

各位評委老師，上午好！我是來應(yīng)聘高中數(shù)學的一號考生，我今天說課的題目是《基本不等式》，下面我將從說教材，說學情，說教法，說學法，說教學過程，說板書設(shè)計六個方面展開我的說課，下面開始我的說課！

一、說教材。

1教材的地位和作用：

《基本不等式》是人教版高中數(shù)學必修五第三章第四節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)主要內(nèi)容是基本不等式的證明和簡單應(yīng)用。它是在學完不等式性質(zhì)，不等式的解法及線性規(guī)劃等知識的基礎(chǔ)上，對不等式的進一步研究，在不等式的證明和求最值的過程中有著廣泛的應(yīng)用。

2教學目標：

（1）知識與技能：學生能寫出基本不等式，會應(yīng)用基本不等式解決相關(guān)問題。

（2）過程與方法：學生通過觀察圖形，推導、證明等過程，培養(yǎng)觀察、分析、歸納、總結(jié)的能力。

（3）情感態(tài)度與價值觀：學生領(lǐng)略數(shù)學的實際應(yīng)用價值，感受數(shù)學學習的樂趣。

3教學重難點：

重點：理解基本不等式的本質(zhì)并會解決實際問題。

難點：基本不等式幾何意義的理解。

二、說學情。

為了更好地實現(xiàn)教學目標，我將對學生情況進行一下簡要分析。對于高一年級的學生來說，他們對不等式的知識有了一定的了解，但對基本不等式的理解運用能力不足。這一階段的學生正處在由抽象思維到邏輯思維的過渡期，對圖形的觀察、分析、總結(jié)可能會感到比較困難。這都將成為我組織教學的考慮因素。

三、說教法。

科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍，達到教育學的和諧完美與統(tǒng)一。根據(jù)本節(jié)課的特點并結(jié)合新課改的要求，在本節(jié)課中，我將采用講授法、演示法、引導啟發(fā)法等教學方法。

四、說學法。

教師的教是為了學生更好地學，結(jié)合本節(jié)內(nèi)容，我將學法確定為自主探究法、分析歸納

法。充分調(diào)動學生的眼、手、腦等多種感官參與學習，既培養(yǎng)了他們的學習興趣，又使他們感受到了學習的樂趣。

五、說教學過程。

首先，我將利用多媒體戰(zhàn)士2002年國際數(shù)學家大會的會標，讓同學們邊觀察邊思考：圖上有哪些相等或不等關(guān)系？通過展示來激發(fā)學生的學習興趣。接下來是新授環(huán)節(jié)。

我將會標抽象成幾何圖形，正方形ABCD 中有4個全等的直角三角形，讓學生自主探究，比較三角形面積之和與正方形面積的大小，從而讓學生自主推導出不等式a 2+b 2>2ab，再通過引導啟發(fā)，讓學生自己將結(jié)論補充完整。接下來，我會提問：你們能給出它的證明嗎？給兩分鐘的時間讓學生自主探究。然后用講授法給出基本不等式的常用形式ab≤a+b(a>0,b>0)，并給出具體的證明過程，強調(diào)等號成立的條件?；静?

等式的證明是本節(jié)課的重點，先通過學生的自主探究，再通過我的講授，學生可以更快地理解這一知識點。接下來是探究基本不等式的幾何意義。先由學生自主思考兩分鐘的時間，然后通過我的講授，讓學生理解基本不等式的幾何意義，最后通過幾何畫板動態(tài)演示，讓學生更直觀地感受基本不等式的幾何意義。這樣就突破了基本不等式的幾何意義這一難點。接下來是鞏固練習環(huán)節(jié)。

這個環(huán)節(jié)，我將利用兩個例題對剛才所講的知識進行鞏固練習。

例1：證明（1）x +1≥2(x >0)x

（2）a +1≥2a(a ≥0)

例2：（1）用籬笆圍一個面積為100m的矩形菜園。問矩形長寬各為多少時，所用籬笆最短？

（2）一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問長寬各為多少時面積最大？第一個例題不是課本例題，它比課本例題簡單，這樣循序漸進，有利于學生理解不等式的內(nèi)涵，此處a、b不僅僅是一個字母，而是一個符號，可以是具體數(shù)字，也可以是一個多項式。對于這個例題，多數(shù)學生會仿照課本上的思路用分析法進行證明。

第二個例題是利用基本不等式求最值進而解決實際問題，體現(xiàn)了基本不等式的應(yīng)用價值，而且例題包含了公式的正向應(yīng)用和逆向應(yīng)用，鍛煉了學生的靈活使用能力。

下面是小結(jié)環(huán)節(jié)。我將讓學生用兩分鐘的時間回顧本節(jié)課所學習的內(nèi)容，并自己總結(jié)出本節(jié)的知識點。這樣不但能鞏固本節(jié)所學知識，而且能培養(yǎng)學生分析、歸納、總結(jié)的能力。22

然后是布置作業(yè)。為了在課后對所學的知識進行鞏固，我將布置課后習題第2題，第4題作為練習題。

第五篇：基本不等式教案

基本不等式

【教學目標】

1、掌握基本不等式，能正確應(yīng)用基本不等式的方法解決最值問題

2、用易錯問題引入要研究的課題，通過實踐讓同學對基本不等式應(yīng)用的二個條件有進一步的理解

3、會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想研究問題 【教學重點難點】

教學重點: 基本不等式應(yīng)用的條件和等號成立的條件 教學難點：基本不等式等號成立的條件 【教學過程】

一、設(shè)置情景，引發(fā)探究 問題一：x?1有最小值嗎？ x2問題二：x?3?1x?32?2正確嗎？

二、合作交流，研究課題

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，當且僅當a=b時取到等號。22

22a2?b2a?b2 R中，當且僅當a=b時取到等號。??ab?，1122?ab?注意：

1、公式應(yīng)用的條件

2、等號成立的條件

三、實例分析，深化理解 例

1、求所給下列各式的最小值（1）y?a? 1(a?3)a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1當且僅當a?3??a?3?1?a?4時，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1)（2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，當且僅當x?11?(1?x??1)?x?0時，y有最小值1。22(x?1)11+的最小值.xy總結(jié)：想求和的最小值，乘積為定值

例

2、已知正數(shù)x、y滿足x+2y=1，（1）求xy的最大值（2）求解：（1）1=x+2y?22xy，∴xy?

1； 8（2）∵x、y為正數(shù)，且x+2y=1，1111∴+=（x+2y）（+）xyxy2yx=3++≥3+22，xy當且僅當

22yx=，即當x=2－1，y=1－時等號成立.2xy∴11+的最小值為3+22.（目的：發(fā)現(xiàn)同學中的等號不成立的錯解）xy總結(jié)：想求乘積的最大值，和為定值

四、總結(jié)提高，明確要點

五、布置作業(yè)，復(fù)習鞏固

教學反思：加強利用均值不等式及其他方法求最值的練習，在求最大（?。┲禃r，有三個問題必須注意：第一，注意不等式成立的充分條件，即x＞0，y＞0（x+y≥2xy）；第二，注意一定要出現(xiàn)積為定值或和為定值；第三，要注意等號成立的條件，若等號不成立，利用均值不等式x+y≥2xy不能求出最大（?。┲?