第一篇：讀書筆記韋奇定理

每個人一生中都做出各種決策，大到擇業(yè)、婚戀，小到出行、購物等。而借用老馬的話，人又是一種社會性動物，周圍都有家人、親戚、朋友和同事等人際交往圈。因此，在準備做出決策時，不可避免就會咨詢他人的意見。這時，就必然面臨韋奇定律的困擾。美國洛杉磯加州大學經(jīng)濟學家伊渥·韋奇曾說：即使你已有了主見，但如果有十個朋友看法和你相反，你就很難不動搖。這種現(xiàn)象就被稱為韋奇定理。當一群遠足的人走到一個岔路口，向左走，還是向右走？如果你想往左走，但其他人都想向右，那么你是一個人勇往直前，還是去跟隨眾人的腳步？對一件事情眾說紛蕓，大家各執(zhí)己見，莫衷一是，這時，你是旗幟鮮明地提出自己的觀點，做報曉的雄雞；還是人云亦云，做群鳴的青蛙？當你做出一個決定時，如果身邊的人都不支持你，甚至懷疑、否定你，這時，你還會相信自己是正確的嗎？你還會有勇氣和決心來執(zhí)行自己做出的決定嗎？不是有這樣的一句話，當周圍所有的人都說你做的決定是錯誤的，你的決定就一定是錯誤的。韋奇定理告訴我們，即使我們已經(jīng)有了主見，但如果受到大多數(shù)人的質(zhì)疑，恐怕你就會動搖乃至放棄。但許多偉人之所以成功，就是因為比別人看得更高、想得更遠，更堅定地忠于自己所做出的選擇。在盲目從眾和剛愎自用中找個臨界點。

韋奇定理有以下要點：

1、一個人有主見是非常重要的事情；2、第一要確定你的主見是建立在對客觀情況準確把握的基礎(chǔ)上，第二要確信你的主見不是固執(zhí)的；3、對于別人的意見，為聽之時不應有成見，既聽之后不可無主見；

4、不怕開始眾說紛紜，就怕最后莫衷一是，各說各的理，各講各的經(jīng)，最后誰也弄不清的結(jié)局就是慘敗的開始。每個人都有自己的人生目標，每個人的思維方式也不一樣。所以，一旦選定了自己人生的目標，選定了想要的生活方式，就不要用別人的觀念來衡量自己的價值。做自己喜歡做的事情，堅持不懈，終成正果。盲目聽信別人的評論，不加思考的采納別人的觀點，只能導致自己無所適從，迷失最初的方向，最終一事無成。

案例：

話說三國時期，群雄逐鹿，劍拔弩張。曹操北踞中原，試圖吞并江南。在南下征戰(zhàn)之前，曹操向?qū)O權(quán)修書表示，欲“與將軍會獵于吳”，威脅之意溢于紙面。東吳朝野頓時人心惶惶，大臣們分成兩派，以三世老臣張昭為首的一派認為曹操勢力極盛，難以與之抗衡；而以周瑜為首的一派軍方少壯派為主的，就主張力抗曹賊。到底做何決策？降者易安，戰(zhàn)恐難保。就在這關(guān)鍵時刻，孫權(quán)聽從了周瑜等人的意見，更堅定了與曹操戰(zhàn)斗到底的信念，并當場拔出寶劍，砍下案頭一角，斬釘截鐵地說“孤意已決，再有言降者，如斯！”于是，在英主的領(lǐng)導下，東吳將士奮力抗戰(zhàn)，于是有了赤壁一戰(zhàn)的輝煌，打得百萬曹軍“檣櫓灰飛煙滅”，不可一世的曹操敗走華容。在這個例子里，孫權(quán)本身不愿做亡國之君，再就是對東吳的軍事實力有相當了解，本意就想力戰(zhàn)拒曹，周瑜等一幫軍方將領(lǐng)的支持，更堅定了他的信念，最后在內(nèi)閣會議上，雖然開始戰(zhàn)、和兩立，但最后卻高度統(tǒng)一達成共識，所以才讓曹操幾近覆滅。雖然歷史不能推翻，但我們可以假設(shè)。如果孫權(quán)是自己毫無主見，又對東吳的士氣、軍力不了解，在內(nèi)閣會議上，他肯定一頭霧水?；蛘呙つ繌谋?，獻地求和；或者逞匹夫之勇，如果周瑜等人也反對力戰(zhàn)，他卻一意孤行，不顧實際情況拼死力戰(zhàn)，那么曹操肯定就百萬雄師過大江了，孫權(quán)也自然國破身擒，成亡國之君。認真聽取別人的意見有助于更全面的掌握信息、更深入地分析問題，以最小的偏差做出正確的決策；但過多地聽取別人的觀點，往往導致自己思維混亂、莫衷一是，難以堅持自己的選擇。這看起來是一個可笑的悖論，但確實是人們經(jīng)常走進的怪圈。

第二篇：韋達定理教案

教案：韋達定理

一、教學目標

1．通過根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)與推導，進一步培養(yǎng)學生分析、觀察、歸納、猜想的能力和推理論證的能力；

2．通過本節(jié)課的學習，向?qū)W生滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律。培養(yǎng)邏輯思維及創(chuàng)新思維能力。

二、教學重點、難點

1．教學重點：根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)及其推導． 2．教學難點：韋達定理的靈活應用．

三、教學過程

（一）定理的發(fā)現(xiàn)及論證提出問題：已知?，?是方程2x2?3x?1?0的兩根，如何求?3??3的值

1.你能否寫出一個一元二次方程，使它的兩個根分別為 1）2和3 2）—4和7

問題1：從求這些方程的過程中你發(fā)現(xiàn)根與各項系數(shù)之間有什么關(guān)系？

觀察、思考、探索：2x-5x+3=0,這個方程的兩根之和，兩根之積與各項系數(shù)之間有什么關(guān)系？請猜想？ 2問題2；對于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具備這個特征？

22結(jié)論1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1?x2??bc,x1x2? aa結(jié)論2．如果方程x+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2結(jié)論1具有一般形式，結(jié)論2有時給研究問題帶來方便．

（二）定理的應用

例

1、關(guān)于x的方程x-2x+m=0 的一根為2，求另一根和m的值。2例2.已知?,?是方程2x2?3x?1?0的兩根,不解方程，求下列各式的值.11(1)?(2)(??1)(??1)??

(3)?2??2（5）???33(4)|???|例

2、已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2?6x?k?0的兩個實數(shù)根且x1x2?(x1?x2)?115，求k值。

例3已知實數(shù)a,b分別滿足a?2a?2,b?2b?2且a?b,求222211?的值 ab

（三）總結(jié)

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導是在求根公式的基礎(chǔ)上進行．它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，為進一步學習使用打下堅實基礎(chǔ)．

韋達定理的內(nèi)容

2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-

ba，1·2=

xx

ca

②如果方程x+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2

第三篇：初中數(shù)學之韋達定理

初中數(shù)學之韋達定理

韋達定理：對于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果方程有兩個實數(shù)根

bcx1,x2，那么x1?x2??,x1x2? aa

說明：定理成立的條件??0

1.不解方程寫出下列方程的兩根和與兩根差

（1）x2?3x?10?0（2）3x2?5x?1?0（3）2x?43x?22?0

2.如果一元二次方程x2?mx?n?0的兩根互為相反數(shù)，那么m；如果兩根互為倒數(shù)，那么n=.3.若兩數(shù)和為3，兩數(shù)積為－4，則這兩數(shù)分別為224.已知方程2x2?3x?4?0的兩根為x1，x2，那么x1?x2

5.若方程x2?6x?m?0的一個根是3?2，則另一根是，m的值是 6.已知方程x2?3x?2?0的兩根為x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值:

2（1）x12?x2；2（2）11 ?x1x2

（3）(x1?x2)2?；（4）(x1?1)(x2?1)7.已知關(guān)于x的方程x2?(5k?1)x?k2?2?0，是否存在負數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存在，求出滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。

8.關(guān)于x的方程2x2?8x?p＝０有一個正根，一個負根，則p的值是（）

（A）0（B）正數(shù)（C）－8（D）－4

9.已知方程x2?2x?1=0的兩根是x1，x2，那么x12x2?x1x22?1?（）

(A)－7(B)3(C)7(D)－3

1110.已知方程2x2?x?3?0的兩根為x1，x2，那么?=（）x1x2

11(A)－(B)(C)3(D)－3 33

11.若方程4x2?(a2?3a?10)x?4a?0的兩根互為相反數(shù)，則a的值是（）

(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或2

12.若方程2x2?3x?4?0的兩根是x1，x2，那么(x1?1)(x2?1)的值是（）

115(A)－(B)－6(C)(D)－ 222

213.分別以方程x?2x?1=0兩根的平方為根的方程是（）

（A）y2?6y?1?0（B）y2?6y?1?0

（C）y2?6y?1?0（D）y2?6y?1?0

第四篇：韋達定理推廣的證明

證明：

當Δ＝b^2-4ac≥0時,方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)有兩個實根,設(shè)為x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取 x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a, 則：x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a] =[(-b)^2-Δ]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a.綜上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數(shù)根

若b^2-4ac<0 則方程沒有實數(shù)解

韋達定理的推廣

韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個一元n次方程∑AiX^i=0

它的根記作X1,X2…,Xn

我們有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求積。

如果一元二次方程

在復數(shù)集中的根是，那么

由代數(shù)基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在復數(shù)集中必有根。因此，該方程的左端可以在復數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積：

其中是該方程的個根。兩端比較系數(shù)即得韋達定理。

法國數(shù)學家韋達最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此，人們把這個關(guān)系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質(zhì)性的論性。

(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三項式的因式分解(公式法)

在分解二次三項式ax^2+bx+c的因式時，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外這與射影定理是初中必須

射影定理圖

掌握的.韋達定理推廣的證明

設(shè)x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。

則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打開(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）

通過系數(shù)對比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

…

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求積。

有關(guān)韋達定理的經(jīng)典例題

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整數(shù)根．

(’94祖沖之杯數(shù)學邀請賽試題)

解：設(shè)方程的兩整數(shù)根為x1、x2，不妨設(shè)x1≤x2．由韋達定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－

1、x2－1均為整數(shù)，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知關(guān)于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的兩個根都是正整數(shù)，求m的值．

解：設(shè)方程的兩個正整數(shù)根為x1、x2，且不妨設(shè)x1≤x2．由韋達定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2為正整數(shù)，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求實數(shù)k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整數(shù)．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，設(shè)二次方程的兩個整數(shù)根為x1、x2，由韋達定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．

因為x1－

1、x2－1均為整數(shù)，所以

例4 已知二次函數(shù)y＝－x2＋px＋q的圖像與x軸交于(α，0)、(β，0)兩點，且α＞1＞β，求證：p＋q＞1．

(’97四川省初中數(shù)學競賽試題)

證明：由題意，可知方程－x2＋px＋q＝0的兩根為α、β．由韋達定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

映射定理

正玄定理與余弦定理

第五篇：韋達定理代數(shù)式的值教案

根與系數(shù)的關(guān)系2

教學目標：

1、會利用韋達定理求出與根有關(guān)的代數(shù)式的值

2、學會靈活多變的代數(shù)式變形

3、會求作新方程

一、知識回顧

1、設(shè)、代數(shù)式是方程=。的兩根，則兩根之和為

兩根之積為

則

學生講出做題依據(jù)，復習根與系數(shù)的關(guān)系。

2、如果關(guān)于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為x1=2，x2=1，那么p=，q=

2本題可能有學生用代人法，聯(lián)立方程組，引導用韋達定理。

二、自主探究1|

3、設(shè)x1.、x2是方程的兩根，求 ：（1）2x1?2x

2（2）2x1?2x2

（3）

111（4）? ?x1x2x1x2重點訓練利用韋達定理求出與根有關(guān)的代數(shù)式的值，和學生一起總結(jié)解題步驟。

（1）韋達定理

（2）代數(shù)式變形

變式訓練

4、方程x2-2x-1=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，求：（1）（x1-1）（x2-1）

（2）x1+x

2（3）

22x2x1?

（4）(x1?x2)2 x1x2

三、合作探究

25、如果關(guān)于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為x1=2，x2=1，則方程為

6、如果關(guān)于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為3?2和3?2，則方程為

如果第5題用代人法，聯(lián)立方程組還可以解決的話，那么的第6題用此法則太繁瑣，引導學生善于思考，善于比較，選擇最簡單的方法。

7、如果關(guān)于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為x1、x2，那么p=，q= 則方程為

28、設(shè)x1.、x2是方程程

引導學生總結(jié)求作新方程的解題步驟

（1）求出原方程的兩根和與積（2）寫出新方程的兩根

（3）求出新方程的兩根和與積（4）寫出新方程

四、反思總結(jié)：

五、課堂小測： 的兩根，求作一個新方程，使它的兩根是方的兩根的倒數(shù)。

9、已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的兩實數(shù)根，則

x2x1?的值為________ x1x210、方程x2-2x-1=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，求作一個新方程，使它的兩根分別是2x1和2x2。