第一篇：關(guān)于判別式法與韋達(dá)定理的論述

關(guān)于判別式法與韋達(dá)定理論述

weiqingsong

摘要：判別式法與韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，討論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：判別式法韋達(dá)定理

在中學(xué)解題中判別式法與韋達(dá)定理的應(yīng)用極其普遍，因此系統(tǒng)的研究一下利用判別式法與韋達(dá)定理解題是有必要的。別式法與韋達(dá)定理說明了一元二次方程中根和系數(shù)之間的關(guān)系。它們都有著廣泛的應(yīng)用在整個(gè)中學(xué)階段。

一、韋達(dá)定理的由來

法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此，人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理。歷史是有趣的，韋達(dá)的16世紀(jì)就得出這個(gè)定理，證明這個(gè)定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個(gè)實(shí)質(zhì)性的論性。判別式法與韋達(dá)定理在方程論中有著廣泛的應(yīng)用。

二、對(duì)判別式法的介紹及概括

一般的關(guān)于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）根的判別，△=b^2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。

關(guān)于x的一元二次方程x^2+mx+n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求符合條件的一組的實(shí)數(shù)值。這是應(yīng)注意以下問題：如果說方程有實(shí)數(shù)根，即應(yīng)當(dāng)包括方程只有一個(gè)實(shí)根和有兩個(gè)不等實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根三種情況；如果方程不是一般形式，要化為一般形式，再確定a、b、c的值；使用判別式的前提是方程為一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)a≠0；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含字母時(shí)，解題時(shí)要加以考慮。

判別式的主要應(yīng)用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情況；已知方程根的情況，確定方程中未知系數(shù)（或參數(shù)）的取值范圍；判別或證明一元二次方程的根的性質(zhì)；判別二次三項(xiàng)式ax^2+bx+c(a≠0)能否在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式(1)當(dāng)△≥0 時(shí)，二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式；（2）當(dāng)△≤0 時(shí)，二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式。

三、某些利用別式法解題的例題

“判別式法”是我們解題時(shí)常用的方法，對(duì)初高中同學(xué)來說，在解題中常常用到，掌握它很有必要，下面舉例說明它的作用。

1.求最值

例： 已知a?2b?ab?30，且a?0，b?0，試求實(shí)數(shù)a、b為何值時(shí)，ab

1取得最大值。

解：構(gòu)造關(guān)于a的二次方程，應(yīng)用“判別式法”。設(shè)ab?y

由已知得a?2b?y?30（2）

（3）（1）2ab由（1）（2）消去，對(duì)a整理得?(y?30)a?2y?0

22對(duì)于（3），由??(y?30)?4?2y?0，y?68y?900?0，解得y?50或

y?18。由y?ab?30，舍去y?50，得y?18。

2把y?18代入（3）（注意此時(shí)??0），得a?12a?36?0，即a?6，從而

b?3。

故當(dāng)a?6，b?3時(shí)，ab取得最大值為18。

2.求參數(shù)的取值范圍

例：對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0?R，使f(x0)?x0成立，則稱x0為f(x)的2f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)，不動(dòng)點(diǎn)。已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)

恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍。

解：對(duì)任意實(shí)數(shù)b，f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)?對(duì)任意實(shí)數(shù)b,ax2?(b?1)x?b?1?x恒有兩個(gè)不等實(shí)根?對(duì)任意實(shí)數(shù)b，ax2?bx?b?1?0

2恒有兩個(gè)不等實(shí)根?對(duì)任意實(shí)數(shù)b,??b?4a(b?1)?0恒成立。

22??b?4a(b?1)?b?4ab?4a看作關(guān)于b的二次函數(shù)，可以將則對(duì)任意實(shí)

22b，??b?4ab?4a?0?'?(?4a)?4?4a?0?a(a?1)?0 ?數(shù)恒成立

?0?a?1

故a的取值范圍是(0，1)

四、對(duì)韋達(dá)定理的介紹及概括

韋達(dá)定理說明了一元n次方程中根和系數(shù)之間的關(guān)系。這里講一元二次方程兩根之間的關(guān)系。一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，兩根X1,X2有如下關(guān)系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系）雖然是初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，但它的應(yīng)用卻貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，用它來解決一些數(shù)學(xué)問題非常簡捷巧妙，簡捷得使人驚嘆，巧妙的令人叫絕，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興

2趣。有利于創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng)。

五、某些利用韋達(dá)定理解題的例題

1.利用根與系數(shù)的關(guān)系求值

11?2例：若方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，則x1x2的值為_____.x1?x2??b?3c?1???3,x1?x2????1a1a1解：根據(jù)韋達(dá)定理得：

?11x1?x23?????3x1x2x1x2?

12.利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造新方程

理論：以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是。例：解方程組

解：顯然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的兩根

由方程①解得 z1=2,z2=

3∴原方程組的解為 x1=2,y1=3

x2=3,y2=

2六、判別式法與韋達(dá)定理相結(jié)合的綜合應(yīng)用

例1.如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為?

4的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中－5＜m＜0由方?y?x?m?2程組?y?4x,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直線l線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=42(1?m)點(diǎn)

A到直線l的距離為∴S△=2(5+m)?m,從而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤

32?2m?5?m?5?m

32()3=128

∴S△≤82,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時(shí)取等號(hào)故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為

解法二由題意，可設(shè)l與x軸相交于B（m,0）, l的方程為x = y +m,其中0＜m＜5?x?y?m?2y?4x由方程組?,消去x,得y 2－4 y －4m=0①∵直線l與拋物線有

兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m,11(5?m)|y1?y2|?(5?m2∴S△

=251(?m)＝42

2??∴S△≤851(?m)?(1?m)22即m=1時(shí)取等號(hào)2,當(dāng)且僅當(dāng)

故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為

82y例2.已知拋物線?4x的焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N。求證：直線MN必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：設(shè)直線AB的方程為y?k(x?1)（k?0），則

4??y?k(x?1)x?x?2??B?k2x2?(2k2?4)x?k2?0??Ak2?2?y?4x??xA?xB?1，4?2?yA?yB???xC?xD?2?4k?yC?yD??4kk22???M?1?2,????yA?yB??2x?x?1kk???yC?yD??2，??CD從而有。同理，有?，N(1?2k,?2k)。因此，直線MN的斜率2kMN?k

1?k2，從而直線MN的方程為

y?2k?kk2(x?1?2k)y?(x?3)21?k21?k，即。顯然，直線MN必過定點(diǎn)(3,0)； 參考文獻(xiàn)：①《淺談“判別式法”的作用》作者：徐國鋒、袁玉鳳

②《 2008年安徽省安慶一中高考模擬試卷》

③《 2009年烏魯木齊地區(qū)高三年級(jí)第二次診斷性測驗(yàn)試卷》

第二篇：韋達(dá)定理教案

教案：韋達(dá)定理

一、教學(xué)目標(biāo)

1．通過根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納、猜想的能力和推理論證的能力；

2．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律。培養(yǎng)邏輯思維及創(chuàng)新思維能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．教學(xué)重點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)及其推導(dǎo)． 2．教學(xué)難點(diǎn)：韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用．

三、教學(xué)過程

（一）定理的發(fā)現(xiàn)及論證提出問題：已知?，?是方程2x2?3x?1?0的兩根，如何求?3??3的值

1.你能否寫出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別為 1）2和3 2）—4和7

問題1：從求這些方程的過程中你發(fā)現(xiàn)根與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？

觀察、思考、探索：2x-5x+3=0,這個(gè)方程的兩根之和，兩根之積與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？請(qǐng)猜想？ 2問題2；對(duì)于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具備這個(gè)特征？

22結(jié)論1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1?x2??bc,x1x2? aa結(jié)論2．如果方程x+px+q＝0的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2結(jié)論1具有一般形式，結(jié)論2有時(shí)給研究問題帶來方便．

（二）定理的應(yīng)用

例

1、關(guān)于x的方程x-2x+m=0 的一根為2，求另一根和m的值。2例2.已知?,?是方程2x2?3x?1?0的兩根,不解方程，求下列各式的值.11(1)?(2)(??1)(??1)??

(3)?2??2（5）???33(4)|???|例

2、已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2?6x?k?0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且x1x2?(x1?x2)?115，求k值。

例3已知實(shí)數(shù)a,b分別滿足a?2a?2,b?2b?2且a?b,求222211?的值 ab

（三）總結(jié)

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行．它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)使用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．

韋達(dá)定理的內(nèi)容

2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1+x2=-

ba，1·2=

xx

ca

②如果方程x+px+q＝0的兩個(gè)根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2

第三篇：初中數(shù)學(xué)之韋達(dá)定理

初中數(shù)學(xué)之韋達(dá)定理

韋達(dá)定理：對(duì)于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

bcx1,x2，那么x1?x2??,x1x2? aa

說明：定理成立的條件??0

1.不解方程寫出下列方程的兩根和與兩根差

（1）x2?3x?10?0（2）3x2?5x?1?0（3）2x?43x?22?0

2.如果一元二次方程x2?mx?n?0的兩根互為相反數(shù)，那么m；如果兩根互為倒數(shù)，那么n=.3.若兩數(shù)和為3，兩數(shù)積為－4，則這兩數(shù)分別為224.已知方程2x2?3x?4?0的兩根為x1，x2，那么x1?x2

5.若方程x2?6x?m?0的一個(gè)根是3?2，則另一根是，m的值是 6.已知方程x2?3x?2?0的兩根為x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值:

2（1）x12?x2；2（2）11 ?x1x2

（3）(x1?x2)2?；（4）(x1?1)(x2?1)7.已知關(guān)于x的方程x2?(5k?1)x?k2?2?0，是否存在負(fù)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存在，求出滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。

8.關(guān)于x的方程2x2?8x?p＝０有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則p的值是（）

（A）0（B）正數(shù)（C）－8（D）－4

9.已知方程x2?2x?1=0的兩根是x1，x2，那么x12x2?x1x22?1?（）

(A)－7(B)3(C)7(D)－3

1110.已知方程2x2?x?3?0的兩根為x1，x2，那么?=（）x1x2

11(A)－(B)(C)3(D)－3 33

11.若方程4x2?(a2?3a?10)x?4a?0的兩根互為相反數(shù)，則a的值是（）

(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或2

12.若方程2x2?3x?4?0的兩根是x1，x2，那么(x1?1)(x2?1)的值是（）

115(A)－(B)－6(C)(D)－ 222

213.分別以方程x?2x?1=0兩根的平方為根的方程是（）

（A）y2?6y?1?0（B）y2?6y?1?0

（C）y2?6y?1?0（D）y2?6y?1?0

第四篇：韋達(dá)定理推廣的證明

證明：

當(dāng)Δ＝b^2-4ac≥0時(shí),方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)根,設(shè)為x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取 x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a, 則：x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a] =[(-b)^2-Δ]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a.綜上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

若b^2-4ac<0 則方程沒有實(shí)數(shù)解

韋達(dá)定理的推廣

韋達(dá)定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對(duì)一個(gè)一元n次方程∑AiX^i=0

它的根記作X1,X2…,Xn

我們有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求積。

如果一元二次方程

在復(fù)數(shù)集中的根是，那么

由代數(shù)基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在復(fù)數(shù)集中必有根。因此，該方程的左端可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積：

其中是該方程的個(gè)根。兩端比較系數(shù)即得韋達(dá)定理。

法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此，人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理。歷史是有趣的，韋達(dá)的16世紀(jì)就得出這個(gè)定理，證明這個(gè)定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個(gè)實(shí)質(zhì)性的論性。

(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)

在分解二次三項(xiàng)式ax^2+bx+c的因式時(shí)，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外這與射影定理是初中必須

射影定理圖

掌握的.韋達(dá)定理推廣的證明

設(shè)x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個(gè)解。

則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打開(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時(shí)最好用乘法原理）

通過系數(shù)對(duì)比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

…

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求積。

有關(guān)韋達(dá)定理的經(jīng)典例題

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整數(shù)根．

(’94祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)

解：設(shè)方程的兩整數(shù)根為x1、x2，不妨設(shè)x1≤x2．由韋達(dá)定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－

1、x2－1均為整數(shù)，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知關(guān)于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求m的值．

解：設(shè)方程的兩個(gè)正整數(shù)根為x1、x2，且不妨設(shè)x1≤x2．由韋達(dá)定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2為正整數(shù)，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求實(shí)數(shù)k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整數(shù)．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，設(shè)二次方程的兩個(gè)整數(shù)根為x1、x2，由韋達(dá)定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．

因?yàn)閤1－

1、x2－1均為整數(shù)，所以

例4 已知二次函數(shù)y＝－x2＋px＋q的圖像與x軸交于(α，0)、(β，0)兩點(diǎn)，且α＞1＞β，求證：p＋q＞1．

(’97四川省初中數(shù)學(xué)競賽試題)

證明：由題意，可知方程－x2＋px＋q＝0的兩根為α、β．由韋達(dá)定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

映射定理

正玄定理與余弦定理

第五篇：廣東省徐聞縣梅溪中學(xué)2013屆中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題 判別式與韋達(dá)定理

廣東省徐聞縣梅溪中學(xué)2013屆中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題 判別式與韋

達(dá)定理

〖知識(shí)點(diǎn)〗

一元二次方程根的判別式、判別式與根的個(gè)數(shù)關(guān)系、判別式與根、韋達(dá)定理及其逆定理 〖大綱要求〗

1.掌握一元二次方程根的判別式，會(huì)判斷常數(shù)系數(shù)一元二次方程根的情況。對(duì)含有字母系數(shù)的由一元二次方程，會(huì)根據(jù)字母的取值范圍判斷根的情況，也會(huì)根據(jù)根的情況確定字母的取值范圍；

2.掌握韋達(dá)定理及其簡單的應(yīng)用；

3.會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把二次三項(xiàng)式分解因式；

4.會(huì)應(yīng)用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理分析解決一些簡單的綜合性問題。內(nèi)容分析

1.一元二次方程的根的判別式

22一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△＝b-4ac

當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．

2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

2(1)如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1?x2??b，x1x2?c aa

(2)如果方程x+px+q=0的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q

x1x2=q

(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x-(x1+x2)x+x1x2=0．

2x-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)

22在分解二次三項(xiàng)式ax+bx+c的因式時(shí)，如果可用公式求出方程ax+bx+c=0的兩個(gè)根是

2x1,x2，那么ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重點(diǎn)與常見題型〗

1.利用根的判別式判別一元二次方程根的情況，有關(guān)試題出現(xiàn)在選擇題或填空題中，如：

2關(guān)于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情況是（）

（A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（C）沒有實(shí)數(shù)根（D）不能確定

2.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)兩根的代數(shù)式的值，有關(guān)問題在中考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，多為選擇題或填空題，如：

222設(shè)x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的兩根，則x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．在中考試題中常出現(xiàn)有關(guān)根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系的綜合解答題。在近三年試題中又出現(xiàn)了有關(guān)的開放探索型試題，考查了考生分析問題、解決問題的能力。

考查題型

21．關(guān)于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情況是（）22

（A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（C）沒有實(shí)數(shù)根（D）不能確定

2222．設(shè)x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的兩根，則x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．下列方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）

（A）2y+5=6y（B）x+5=25 x（C）3 x－2 x+2=0（D）3x－26 x+1=0

4．以方程x＋2x－3＝0的兩個(gè)根的和與積為兩根的一元二次方程是（）

2222（A）y+5y－6=0（B）y+5y＋6=0（C）y－5y＋6=0（D）y－5y－6=0

225．如果x1，x2是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，且滿足x1－2x1＝1，x2－2x2＝1，那么x1·x2等于（）

（A）2（B）－2（C）1（D）－1

226．如果一元二次方程x＋4x＋k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么k＝

227．如果關(guān)于x的方程2x－(4k+1)x＋2 k－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍

是

228．已知x1，x2是方程2x－7x＋4＝0的兩根，則x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）

＝

229．若關(guān)于x的方程(m－2)x－(m－2)x＋1＝0的兩個(gè)根互為倒數(shù)，則m＝

二、考點(diǎn)訓(xùn)練：

1、不解方程，判別下列方程根的情況：

（1）x－x=5(2)9x－62 +2=0(3)x－x+2=02、當(dāng)m=時(shí)，方程x+mx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

2當(dāng)m=時(shí)，方程mx+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

23、已知關(guān)于x的方程10x－(m+3)x+m－7=0，若有一個(gè)根為0，則m=，這時(shí)方程的另

3一個(gè)根是；若兩根之和為－，則m=，這時(shí)方程的兩個(gè)根為.54、已知3－2 是方程x+mx+7=0的一個(gè)根，求另一個(gè)根及m的值。

5、求證：方程(m+1)x－2mx+(m+4)=0沒有實(shí)數(shù)根。

6、求作一個(gè)一元二次方程使它的兩根分別是1－5 和1+5。

7、設(shè)x1,x2是方程2x+4x－3=0的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值：

x2x12(1)(x1+1)(x2+1)（3）x1+ x1x2+2 x1 x1x2

解題指導(dǎo)

221、如果x－2(m+1)x+m+5是一個(gè)完全平方式，則m=;

22、方程2x(mx－4)=x－6沒有實(shí)數(shù)根，則最小的整數(shù)m=;

3、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)兩根的和與兩根的積相等，則m=;

24、設(shè)關(guān)于x的方程x－6x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為;

25、設(shè)方程4x－7x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值:

1222(1)x1+x2(2)x1－x2（3ｘ1 ｘ2＊（4）x1x2＋ x1 2

22＊6.實(shí)數(shù)ｓ、ｔ分別滿足方程19ｓ＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ＝0求代數(shù)式2222222222222

2ｓｔ＋4ｓ＋1的值。ｔ

122227.已知a是實(shí)數(shù)，且方程x+2ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，試判別方程x+2ax+1x－2

2a－1)=0有無實(shí)根？

28.求證：不論k為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的式子(x－1)(x－2)－k都可以分解成兩個(gè)一次因式的積。

29．實(shí)數(shù)K在什么范圍取值時(shí)，方程ｋｘ＋2（ｋ－1）ｘ－（K－1）＝0有實(shí)數(shù)正根？

獨(dú)立訓(xùn)練

（一）1、不解方程，請(qǐng)判別下列方程根的情況；

22(1)2t+3t－4=0,;(2)16x+9=24x,;

2(3)5(u+1)－7u=0,;

222、若方程x－(2m－1)x+m+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是;

3、一元二次方程x+px+q=0兩個(gè)根分別是2+3 和23，則p=,q=;

4、已知方程3x－19x+m=0的一個(gè)根是1，那么它的另一個(gè)根是，m=;

25、若方程x+mx－1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，那么m的值是;

22n6、m,n是關(guān)于x 的方程x-(2m-1)x+m+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m=。

27、已知關(guān)于x的方程x－(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6，求k的值;

28、如果α和β是方程2x+3x－1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求作一個(gè)一元二次方程，11使它的兩個(gè)根分別等于α+ 和β+;β α

22229、已知a,b,c是三角形的三邊長，且方程(a+b+c)x+2(a+b+c)x+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：這個(gè)三角形是正三角形

2210.取什么實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式2x－(4k+1)x+2k－1可因式分解.12211.已知關(guān)于X的一元二次方程ｍｘ＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的兩實(shí)數(shù)根為α,β，若ｓ＝ α

1＋，求ｓ的取值范圍。β

獨(dú)立訓(xùn)練

（二）21、已知方程x－3x+1=0的兩個(gè)根為α,β，則α+β=, αβ=;

222、如果關(guān)于x的方程x－4x+m=0與x－x－2m=0有一個(gè)根相同，則m的值為;

123、已知方程2x－3x+k=0的兩根之差為2，則k=;2

224、若方程x+(a－2)x－3=0的兩根是1和－3，則a=;

25、方程4x－2(a-b)x－ab=0的根的判別式的值是;

226、若關(guān)于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為倒數(shù)，那么m的值

為;

27、已知p<0,q<0，則一元二次方程x+px+q=0的根的情況是;

28、以方程x－3x－1=0的兩個(gè)根的平方為根的一元二次方程是;

29、設(shè)x1,x2是方程2x－6x+3=0的兩個(gè)根，求下列各式的值：

1122(1)x1x2+x1x2(2)－x1x2

2210．m取什么值時(shí)，方程2x－(4m+1)x+2m－1=0

（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，（3）沒有實(shí)數(shù)根；

211．設(shè)方程x+px+q=0兩根之比為1:2，根的判別式Δ=1，求p,q的值。22

x12212．是否存在實(shí)數(shù)ｋ，使關(guān)于ｘ的方程9x－(4ｋ－7)x－6ｋ=0的兩個(gè)實(shí)根x1,x2，滿足｜｜ x2

3＝，如果存在，試求出所有滿足條件的ｋ的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由。2