第一篇：高中數(shù)學相關定理

2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學（文）復習資料2013.5.26

高中數(shù)學相關定理、公式及結論證明

（一）三角函數(shù)部分。

一、兩角和（差）的余弦公式證明。

內容：cos(???)?cos?cos??sin?sin?,cos(???)?cos?cos??sin?sin?

證明：

①如圖（1），在單位圓中設P（cos?,sin?）,Q（cos?,-sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（1）

②如圖（2），在單位圓中設P（cos?,sin?）,Q（cos?,sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（2）

二、兩角和（差）的正弦公式證明。

內容：sin(???)?sin?cos??cos?sin?,sin(???)?sin?cos??cos?sin?

證明：

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

三、兩角和（差）的正切公式證明。內容：tan(???)?

證明： tan??tan?1?tan?tan?，tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

四、半角公式證明。內容：sin

?2??

1?cos?,cos

?

2??

1?cos?,tan

?2

?

1?cos?1?cos?

?

2sin?1?cos?

?

1?cos?2sin?

??cos2??1?2sin?

證明：由二倍角公式? 2

??cos2??2cos??

1?2?cos??1?2sin???2

??用?代替2?，得?，得sin2

?cos??2cos2??1?2?

sin?cos

?cos?,cos

?2

??

?cos?

?2

tan

?2

sin?cos

?2

?2cos?2cos

?2

?2

?2

?2

?

2sin?1?cos?，tan

?2

sin?cos

?2

sin?cos

?2

?2sin?2sin

?2

?2

?2

?2

?

1?cos?2sin?

五、正弦定理證明。

內容：在?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則證明：①如圖（3），在Rt?ABC中，sinA?

?

asinAbc,?

bsinB

?

csinC

.ac,sinB?

asinA

?

bsinB

?c，?C?90?,sinC?1.?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（3）

②如圖（4），在銳角?ABC中，以B為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，作AC??y軸于點C?，易知BA和CA在軸上的射影均為BC?

?C?bsinC??

?

2?B)?csinB,bsinB

?

csinC,同理

asinA

?

bsinB

?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（4）

③如圖（5），在鈍角?ABC中，以C為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，作AC??y軸于點C?，易知BA和CA在軸上的射影均為CC?

?B?csinB?C?

?

?2)?bsinC,bsinBasinA

??

csinCbsinB,同理?

c

asinA

?

bsinB

?

sinC

.圖（5）

六、余弦定理證明。

?a2?b2?c2?2bccosA

?

2?ABC內容：在中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則?b?a2?c2?2accosB

?222

c?a?b?2abcosC?

證明：如圖（6），在?ABC中，a?a?BC

?(AC?AB)(AC?AB)

??2AC?AB?

?2

?2AC?ABcosA?2

?b?c?2bccosA圖（6）

222

??a?b?c?2bccosA

同理可證：?2 22

??c?a?b?2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

內容：如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意一向量a，存在唯一一對 實數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2.證明：如圖（7），過平面內一點O，作OA?e1,OB?e2,OC?a，過點C分別作直 線OA和直線OB的平行線，交OA于點M，交OB于點N，有且只有一組實數(shù)，使

得OM??1OA,ON??2OB圖（7）

?OC?OM?ON?OC??1OA??2OB

即a??1e1??2e2.二、共線向量定理。

內容：如圖（8），A,B,C為平面內的三點，且A,B不重合，點P為平面內任一點，若C在直線AB上，則有

PC??PA?(1??)PB

證明：由題意，BC與BA共線，?BC??BA

BC?PC?PB,BA?PA?PB?PC?PB??(PA?PB)

圖（8）

化簡為：PC??PA?(1??)PB

三、平行向量定理。

內容：若兩個向量（與坐標軸不平行）平行，則它們相應的坐標成比例；若兩個向量相對應的坐標成比例，則兩向量平行。

證明：設a,b是非零向量，且a?(x1,y1),b?(x2,y2)若a//b，則存在實數(shù)?使a??b，且由平面向量基本定理可知

x1i?y1j??(x2i?y2j)??x2i??y2j.?x1??x2①，y1??y2②

①?y2?②?x2得：x1y2?x2y1?0

若y1?0,y2?0（即向量a,b不與坐標軸平行）則

x1y

1?x2y

2（三）立體幾何部分。

一、三垂線定理及其逆定理。

內容：在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：如果平面內一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

證明：已知：如圖（9），直線l與平面?相交與點A，l在?上的射影OA垂直于a,a??

求證：l⊥a

證明：過P作PO垂直于?

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l圖（9）

（四）解析幾何部分。

一、點到直線距離公式證明。

內容：已知直線l:Ax?By?C?0,直線外一點M(x0,y0).則其到直線l的距離為d?

Ax

?ByA

?C。

?B

證明：如圖（10），設直線l:Ax?By?C?0,直線外一點M(x0,y0).直線上一點P(x,y).可得直線的 一個方向向量為v?(?B,A),設其法向量為n?(s,t)則v?n??Bs?At?0，可得直線一法向量為n?(A,B),n的單位向量為n0?

?（AA

?B,A

B

?B)圖（10）

由題意，點M到直線的距離為PM在n0上的射影，所以，d???

A(x0?x)?B(y0?y)

A

?B

?

Ax

?By

0

2?(Ax?By)?B

②

A

因為點P(x,y)在直線上，所以C??(Ax?By)①

Ax

?ByA

所以，把①代入②中，得d?

00

?C

?B

（五）數(shù)列部分

一、等差數(shù)列前n項和公式證明。

內容：?an?是等差數(shù)列，公差為d，首項為a1，Sn為其n前項和，則Sn?a1n?證明：由題意，Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?.......?(a1?(n?1)d)① 反過來可寫為：Sn?an?(an?d)?(an?2d)?.......?(an?(n?1)d)②

①+②得：2Sn?a1?n?a1?n.......?a1?n

???????????

n個

n(n?1)

d?

n(a1?an)

所以，Sn?

n(a1?an)

③，把an?a1?(n?1)d代入③中，得Sn?a1n?

二、等比數(shù)列前n項和公式證明。

n(n?1)

d?

n(a1?an)

?na1,(q?1)

?n

內容：?an?是等比數(shù)列，公比為q，首項為a1，Sn為其n前項和，則Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

證明：Sn?a1?a1q?a1q?.......?a1qqS

n

2n?

1①

n

?a1q?a1q

?a1q

?.......?a1q②

n

①—②得：(1?q)Sn?a1?a1q，當q?1時，Sn?

a1?a1q1?q

n

?

a1(1?q)1?q

n

③

把an?a1q

n?1

代入③中，得Sn?

a1?anq1?q

當q?1時。很明顯Sn?na1

?na1,(q?1)

?n

所以，Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

（六）函數(shù)和導數(shù)部分

一、換底公式證明。內容：log

N?

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b?0;a,b?1)

證明：設log

a

N?X,log

a

b?Y，則b?a,N?a

YX

?log

b

N?log

a

Y

a

X

?

XY

log

a

a?

XY

?

loglog

aa

Nb

第二篇：高中數(shù)學立體幾何部分定理

高中數(shù)學立體幾何部分定理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內。

公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線。

公理3： 過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面。推論1: 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面。推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

空間兩直線的位置關系：空間兩條直線只有三種位置關系：平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類：

（1）共面：平行、相交

（2）異面：

異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)esp.空間向量法 兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法

2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：

（1）有且僅有一個公共點——相交直線；（2）沒有公共點——平行或異面

直線和平面的位置關系： 直線和平面只有三種位置關系：在平面內、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內——有無數(shù)個公共點

②直線和平面相交——有且只有一個公共點

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角。esp.空間向量法(找平面的法向量)

規(guī)定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內，所成的角為0°角

由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]

最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理: 如果平面內的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直

esp.直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面 內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

③直線和平面平行——沒有公共點

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

兩個平面的位置關系：

（1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點

（2）兩個平面的位置關系：

兩個平面平行-----沒有公共點； 兩個平面相交-----有一條公共直線。a、平行

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。

b、相交

二面角

（1）半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

（2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]

（3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為 ⊥

兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補關系）

多面體

棱柱

棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

棱柱的性質

（1）側棱都相等，側面是平行四邊形

（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

（3）過不相鄰的兩條側棱的截面（對角面）是平行四邊形

棱錐

棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

棱錐的性質：

（1）側棱交于一點。側面都是三角形

（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

正棱錐

正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質：

（1）各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

（3）多個特殊的直角三角形

esp： a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

Attention：

1、注意建立空間直角坐標系

2、空間向量也可在無坐標系的情況下應用

多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。

球

attention：

1、球與球面積的區(qū)別

2、經度（面面角）與緯度（線面角）

3、球的表面積及體積公式

4、球內兩平行平面間距離的多解性

cool2009-01-29 15:44

兩點確定一直線，兩直線確定一平面。

一條直線a與一個平面o垂直，則該直線與平面o內任何一條直線垂直。

一條直線a與一平面o內兩條相交直線都垂直，則該直線與該平面垂直。若直線a在平面y內，則平面y與平面o垂直。

平面o與平面y相交，相交直線為b，若平面o內衣直線a與直線b垂直，則平面o與平面y垂直。

一條直a與平面o內任何一條直線平行，則直線a與平面o平行。

直線a與平面o以及平面y都垂直，則平面o與平面y平行。

第三篇：2014年高中數(shù)學定理匯總

124推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

125切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

126圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

127弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

128推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

129相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

130推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

131切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割

線與圓交點的兩條線段長的比例中項

132推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

133如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

134①兩圓外離 d﹥r+r ②兩圓外切 d=r+r

③兩圓相交 r-r﹤d﹤r+r(r﹥r)

④兩圓內切 d=r-r(r﹥r)⑤兩圓內含d﹤r-r(r﹥r)

135定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

136定理 把圓分成n(n≥3):

?依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形

?經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形137定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

138正n邊形的每個內角都等于（n-2）3180°/n

139定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形149正n邊形的面積sn=pnrn/2 p表示正n邊形的周長

141正三角形面積√3a²/4(a表示邊長)

142如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為

360°，因此k3(n-2)180°/n=360°化為（n-2）(k-2)=

4143弧長計算公式：l=nπr/180

144扇形面積公式：s扇形=nπr2/360=lr/

2145內公切線長= d-(r-r)外公切線長= d-(r+r)

146等腰三角形的兩個底角相等

147等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合148如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

149三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形

150兩邊的平方的和等于第三邊的三角形是直角三角形

編輯本段數(shù)學歸納法

（—）第一數(shù)學歸納法：

一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，有如下步驟：

（1）證明當n取第一個值時命題成立

（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

（二）第二數(shù)學歸納法：

第二數(shù)學歸納法原理是設有一個與自然數(shù)n有關的命題，如果：

（1）當n=1回時，命題成立；

（2）假設當n≤k時命題成立，則當n=k+1時，命題也成立。

那么，命題對于一切自然數(shù)n來說都成立。

（三）螺旋歸納法：

螺旋歸納法是歸納法的一種變式，其結構如下：

Pi和Qi是兩組命題，如果：

P1成立

Pi成立=>Qi成立

那么Pi,Qi對所有自然數(shù)i成立

利用第一數(shù)學歸納法容易證明螺旋歸納法是正確的編輯本段排列，組合2階乘：

n！=132333……3n，（n為不小于0的整數(shù)）

規(guī)定0！=1。

2排列

從n個不同元素中取m個元素的所有排列個數(shù)，A（n，m）= n！/(nsinx

⑤(e^x)' = e^x

⑥(a^x)' =(a^x)* Ina（ln為自然對數(shù)）

⑦(Inx)' = 1/x（ln為自然對數(shù) X>0）

⑧(log a x)'=1/(xlna),(a>0且a不等于1)

⑨(sinh(x))'=cosh(x)

⑩(cosh(x))'=sinh(x)

(tanh(x))'=sech^2(x)

(coth(x))'=-csch^2(x)

(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)

(csch(x))'=-csch(x)coth(x)

(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)

(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1)(x>1)

(arctanh(x))'=1/(1+x^2)(|x|<1)

(arccoth(x))'=1/(1-x^2)(|x|>1)

(chx)‘=shx,（ch為雙曲余弦函數(shù)）

（shx）'=chx:（sh為雙曲正弦函數(shù)）

（3）導數(shù)的四則運算法則：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^

2（4）復合函數(shù)的導數(shù)

復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù)（鏈式法則）：

d f[u（x）]/dx=（d f/du）*（du/dx）。

[∫（上限h（x），下限g（x））f（x）dx]’=f[h（x）]2h'（x）-f[g（x）]2g'（x）洛必達法則(L'Hospital)：

是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。

設

(1)當x→a時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零

(2)在點a的去心鄰域內，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0

(3)當x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么

x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再設

(1)當x→∞時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零

(2)當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0

(3)當x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么

x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：

①在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0/0或∞/∞型，否則濫用洛必達法則會出錯。當不存在時（不包括∞情形），就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則失效，應從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。

②洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

③洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等。

曲率

K = lim(Δs→0)|Δα/Δs|

當曲線y=f(x)存在二階導數(shù)時，K=|y''|/(1+ y' ^2)^(3/2);

曲率半徑R=1/K;

不定積分

設F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分。

記作∫f(x)dx。

其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分。

由定義可知：

求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。也可以表述成,積分是微分的逆運算，即知道了導函數(shù),求原函數(shù)。

2基本公式：

1）∫0dx=c;

∫a dx=ax+c;

2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c;

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2)dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c;

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+c;

16)∫sec^2 x dx=tanx+c;

17)∫shx dx=chx+c;

18)∫chx dx=shx+c;

19)∫thx dx=ln(chx)+c;

2分部積分法:

∫u(x)2v'(x)dx=∫u(x)d v(x)=u(x)2v(x)-∫v(x)d u(x)=u(x)2v(x)-∫u'(x)2v(x)dx.一元函數(shù)泰勒公式(Taylor's formula)

泰勒中值定理：若f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內時，可以展開為一個關于（x-x0)多項式和一個余項的和：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f的n階導數(shù)?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)為拉格朗日型的余項，這里ξ在x和x0之間。定積分

形式為∫f(x)dx(上限a寫在∫上面，下限b寫在∫下面)。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。

牛頓-萊布尼茲公式：若F'(x)=f(x)，那么∫f(x)dx(上限a下限b)=F(a)-F(b)

牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差。微分方程凡是表示未知函數(shù)的導數(shù)以及自變量之間的關系的方程，就叫做微分方程。

如果在一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個自變量，這個方程就叫做常微分方程特征根法是解常系數(shù)齊次線性微分方程的一種通用方法。

如 二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''+py'+qy=0的通解：

設特征方程r*r+p*r+q=0兩根為r1，r2。若實根r1不等于r2

y=C1*e^(r1x)+C2*e^(r2x).若實根r=r1=r2

y=(C1+C2x)*e^(rx)若有一對共軛復根 r1, 2=λ±ib ：

y=e^（λx）2[C12cos（bx）+ C22sin（bx）]

普通分類

兩點成一線，多線成面，多面成體，多體成界，多界成。。圓柱體

v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 c:底面周長

(1)側面積=底面周長3高

(2)表面積=側面積+底面積32

(3)體積=底面積3高

（4）體積=側面積÷23半徑

植樹問題非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:

?如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么:

株數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距－1

全長=株距3(株數(shù)－1)

株距=全長÷(株數(shù)－1)

?如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么:

株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距

全長=株距3株數(shù)

株距=全長÷株數(shù)

?如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么:

株數(shù)=段數(shù)－1=全長÷株距－1

全長=株距3(株數(shù)+1)

株距=全長÷(株數(shù)+1)封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關系如下

株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距

全長=株距3株數(shù)

株距=全長÷株數(shù)

盈虧問題

(盈+虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)

(大盈－小盈)÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)(大虧－小虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)相遇問題

相遇路程=速度和3相遇時間

相遇時間=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇時間

追及問題

追及距離=速度差3追及時間

追及時間=追及距離÷速度差

速度差=追及距離÷追及時間

流水問題

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度－水流速度

靜水速度=(順流速度+逆流速度)÷2

水流速度=(順流速度－逆流速度)÷2

濃度問題

溶質的重量+溶劑的重量=溶液的重量

溶質的重量÷溶液的重量3100%=濃度

溶液的重量3濃度=溶質的重量

溶質的重量÷濃度=溶液的重量

利潤與折扣問題

利潤=售出價－成本

利潤率=利潤÷成本3100%=(售出價÷成本－1)3100%漲跌金額=本金3漲跌百分比

折扣=實際售價÷原售價3100%(折扣<1)

利息=本金3利率3時間

稅后利息=本金3利率3時間3(1－20%)注：扣稅要扣20%

第四篇：高中數(shù)學定理

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)cot2A=(cot2A-1)/2cota

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式：

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式：

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式：

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))

cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式：

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))

cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式：

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))

tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式：

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^

4))

cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))

tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

·：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB-cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角

乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

第五篇：高中數(shù)學聯(lián)賽幾何定理

高中數(shù)學聯(lián)賽幾何定理

梅涅勞斯定理

BFAECD???1。FAECBD

BFAECD?1，逆定理：一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線于D,E,F若??FAECBD一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線于D,E,F則

則D,E,F三點共線。

塞瓦定理

BDCEAF??=1。在△ABC內任取一點O,直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則

托勒密定理

ABCD為任意一個圓內接四邊形，則AB?CD?AD?BC?AC?BD。

逆定理：若四邊形ABCD滿足AB?CD?AD?BC?AC?BD，則A、B、C、D四點共圓

西姆松定理

過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。

相關的結果有：

（1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。

（2）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。

(3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。

（4）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。斯特瓦爾特定理

設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB·DC+AC·BD-AD·BC＝BC·DC·BD。22

2三角形旁心

1、旁切圓的圓心叫做三角形的旁心。

2、與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓。

費馬點

在一個三角形中，到3個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點。

(1)若三角形ABC的3個內角均小于120°，那么3條距離連線正好平分費馬點所在的周角。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。

(2)若三角形有一內角不小于120度，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點。

判定（1）對于任意三角形△ABC，若三角形內或三角形上某一點E,若EA+EB+EC有最小值,則E為費馬點。費馬點的計算

（2）如果三角形有一個內角大于或等于120°，這個內角的頂點就是費馬點；如果3個內角均小于120°，則在三角形內部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。

九點圓：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點（連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓。通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle），歐拉線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。

幾何不等式

1托勒密不等式:任意凸四邊形

ABCD四點共圓時取等號。ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當

2埃爾多斯—莫德爾不等式:設P是ΔABC內任意一點，P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r，記PA=x,PB=y,PC=z。則 x+y+z≥2(p+q+r)3外森比克不等式:設△ABC的三邊長為a、b、c,面積為S,則a2+b2+c2≥4S 4歐拉不等式:設△ABC外接圓與內切圓的半徑分別為R、r，則R≥2r,當且僅當△ABC為正三角形時取等號。

圓冪

假設平面上有一點P，有一圓O，其半徑為R，則OP^2-R^2即為P點到圓O的冪；可見圓外的點對圓的冪為正，圓內為負，圓上為0；

根軸

1在平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓圓冪相等的點的集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。

2另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點的軌跡為根軸。

相關定理

1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；

2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內公切線；

4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓心不共線的圓，它們兩兩的根軸或者互相平行，或者交于一點，這一點叫做它們的根心；